Tugas Akhir Modul 3

NAMA

: FRIMADONA

TUGAS AKHIR MODUL 3

1. Buktikan secara formal Teorema berikut.

    ∈               

1. Jika fungsi ,: → , lim →

, lim →

( ) =  lim →



( )= , dan  kontinu di titik , buktikan bahwa

( ).

Jawab Misalka ambil f = 0 maka jelas f(g(x)=0 adalah benar Oleh karena itu Kita andaikan f≠0. Andaikan di berikan

 

>0. Menurut hipotesis, lim  g ( x)  x  a

ada; sebut nilainya adalah L. Sesuai definisi limit, terdapat suatu bilangan   sedemikian hingga

0   x  a



   

 g ( x)  L

  

 f  

 

  ,dengan

 f  

  bilangan positif. Pada definisi limit

mensyaratkan bahwa untuk sebarang bilangan positif, terdapat suatu     yang berpadanan. Sekarang setelah ditetapkannya   , maka kita dapat menyatakan bahwa Sehingga berarti  f  . g ( x)   fL



 f    g ( x)   L



 f  

0

 x  a 

  

 

 f  

  

Ini menunjukkan bahwa lim  fg ( x)   fL   f  lim  g ( x)  x  a

 x  a

       

2. Diberikan

 =

3+

2+

 

    

+  dengan >0. Tunjukkan bahwa  mempunyai sebuah

maksimum lokal dan sebuah minimum lokal jika dan hanya jika 2−3

>0.

Petunjuk pengerjaan:

    

a. Hitung ′  dan ′′ .

 

 

 b. Tentukan bilangan kritis dari  dan syarat  mempunyai dua bilangan kritis. c. Gunakan uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis.

Jawab



Menghitungƒ ′ 



 dan ƒ ′′ 

ƒ

 =  +  +  +  =3 +2+  =6+2 ′ 

ƒ

′′ 

ƒ

Menentukan bilangan kritis

  = 0  =3 +2+ 0=3 +2+  4 ±√ . = 2  43   2±  2 = 2.3  12  2±  4 = 6  3 ±√ = 3  = −±√ −  = −±√ −   =6+2 ′ 

ƒ

′ 

ƒ

Bilangan kritis

 ke ƒ ′′ 

Subtitusi bilangan kritis

′′ 

ƒ

 3 ±√ =6  3 +2 = 2  +   3+2 =2+2  3+2 =2√ 3 Jadi

3.

Lukislah daerah D yang dibatasi oleh

 

hitung (i) +2

   

  



 = +2, sumbu , =−2, dan =3, kemudian

3−2 dan (ii) luas daerah D dengan berbagai cara yang Anda ketahui. Apakah

yang dapat Anda simpulkan tentang luas daerah? (b) Dengan menggunakan daerah D pada (a), hitunglah volum benda yang terjadi apabila

 

daerah D diputar mengelilingi sumbu  menggunakan metode cakram dan rumus kerucut. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban tersebut. Jawab



∫− +2  =   +2−





= (12 3 +2.3)(12 2 +2.2) = (92 +6)(42 4) = (92 +62+4) = (252) ℎ =  ..=  .5 .5 =   satuan luas

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva sama dengan integral dari fungsi tersebut dengan batas-batas yang ditentukan

a. Dengan menggunakan luas daerah D pada a hitunglah volume benda yang terjadi apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu x menggunakan metode cakram dan rumus kerucut. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban tersebut.

 J awab

  =     =+2    =    +4+4   1  =  [3  +2 +4]− =[(1 3 +2.3 +4.3)(1 2 +22 +42)]

3 3  =  [9+18+12 ( 83 +88)] =[39+ 83]  =   satuan luas

 = 13 ..= 13 . .  = 13 ..5.5.5  = 13 ..125  = 1253 .

 =  ∫ 

Jadi volume benda yang diputarterhadapsumbu x samadengan 4. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut. a.  b.

+1 + 1=0 3+2+ 2+=0

 J awab:

+1+ 1=0

a.

 bagi kedua ruas dengan

1 + 1 =0 1 +1 1 +  1 =0  1 +1 ln1 + ln+1 = ln ln1 = ln  ln1  ln+1 = ln 1  y+ 1 = ln 1  = +1  1

 b. Menyelidiki apakah ini persamaan diferensial eksak atau tidak.

 , =3+2 →  = 2 , =2+ →  = 2  =     , = 3+2+   , = 32  + 2+  = 2+   =2+    =   =   Karena

maka persamaan tersebut merupakan persamaan eksak.

′ 

′ 

sehingga

solusi umum dari persamaan tersebut adalah:

 , = 

3  +2 +   =  2 3  +2+ 1  =  2 2