Tugas Akhir Modul 3: D R D c D c g g f D R D c D g f D

TUGAS AKHIR MODUL 3

NAMA

: DEDI SULAIMAN

NIM

: 18290418010048 18290418010048

1) Buktikan secara formal Teorema berikut. Jika fungsi

 , :  →  ,  ∈  , lim→ () =  , dan   kontinu di titik , buktikan

bahwa

lim (  (()) ()) =  lim l→ im ()

→

Bukti: a. Jika fungsi f dan g memenuhi  R g   D f   , g kontinu di c   D g   dan f kontinu di  g (c)  D f    , maka fungsi  f    g   kontinu di c

b. Jika fungsi f dan g memenuhi  R g   D f   , g kontinu di c   D g   dan f kontinu pada  D f    , maka  f    g   kontinu pada  D f   Berdasarkan teorema tersebut maka dapat digunakan untuk menghitung limit. Pada teorema (a), kekontinuan fungsi  f    g  menghasilkan:

lim (  °) ° )() = °().

→

Kemudian,

lim (  (()) ()) = ( () = li  lim m (). →

→

Jadi, dapat disimpulkan bahwa

lim→ (  (()) ()) = (lim→ ()) ())

(Terbukti)

2) Tentukan bilangan yang yang akar pangkat pangkat empat yang utama (bernilai positif) melebihi dua kali bilangan tersebut secara maksimal. Penyelesaian: Misalkan: bilangan tersebut adalah a, sehingga 4

a  2a

(4 a ) 4  ( 2a ) 4 a   16a 16 a 4 a  16 a 4  0

a (1  16a 3 )  0

Titik pembuat nol: a = 0 dan a  3

1 16



1 23 2

Garis Bilangan:

Sketsa Grafik:

Sehingga diperoleh:



1



23 2

HP =  x 0  a 



, x  R 



3) a) Lukislah daerah D yang dibatasi oleh

 () =  + 2, sumbu ,  = −2, dan

 = 3 , kemudian hitung (i) ∫ ( + 2) dan (ii) luas daerah D dengan berbagai cara yang Anda ketahui. Apakah yang dapat Anda simpulkan tentang luas daerah? (b) Dengan menggunakan daerah D pada (a), hitunglah volum benda yang

 

terjadi apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu  menggunakan metode cakram dan rumus kerucut. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban tersebut. Penyelesaian: a. Sketsa Grafik:

Cara I 3

3

 2( x  2)dx  2  x  2 x  2 1

2

1

1

2

2

 [ (3) 2  2(3)]  [ ( 2) 2  2( 2)] 9

4

2 9

2

 [  6]  [  4]  [  6]  [2  4] 

2 9 2

8 1

 12  satuan luas 2

Cara II Dengan Menggunakan Rumus Luas Segitiga 1 Luas =  xaxt  2 1 =  x5 x5 2 1 = 12 satuan luas 2 Kesimpulan: Luas daerah pada bidang datar, daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi f, b

x=a dan x=b, dan sumbu X adalah L=

  f  ( x)dx a

b. Metode Cakram 3



V      [ f  ( x )] 2 dx 2 3



V      [ x  2] 2 dx 2

3



V      [ x 2  4 x  4]dx 2 3

1  V       x 3  2 x 2  4 x  3  2  1  1  V       (3) 3  2(3) 2  4(3)    ( 2) 3  2(2) 2  4( 2)    3   3  27   8   18  12    8  8    3   3

V      

  27    8   30       3   3  35  V        30    3 V      

V 



125 3

  

 satuan volum

Rumus Volume Kerucut Jika daerah D diputar maka membentuk kerucut, dengan r = 5 dan t = 5 1 2 V     r  t  3 1 2 V     (5) (5) 3 125 V       satuan volum 3 Kesimpulan: Volum Benda Putar dari suatu daerah D pada bidang datar yang diputar dengan suatu poros tertentu, dimana D dibatasi oleh grafik f, sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X, dengan metode cakram, adalah: b



V      [ f  ( x)]2 dx a

Hasil yang diperoleh sama dengan mencari Volume dengan menggunakan Rumus Volume Kerucut.