Tugas Akhir Modul 1profesi Nufitriyani

TUGAS AKHIR MODUL 1 Nama : Nurfitriyani, S.Pd 1. Berdasarkan penjelasan tentang tautologi dan kontradiksi. Selesaikan masalah berikut ini dengan menuliskan langkah-langkahnya. a.  b.

 p  q   r   q   p  r   q   p  ~  p  q

Jawab:

a.

 p  q  r   q    p  r   q  2 q

3 r

4

5

6

 p  q 

r     q 

 p  q  r   q

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

 S

B

B

B

B

B

B

B

B

 S

B

S

B

B

B

B

B

 S

S

B

B

S

S

B

S

B B

 S

S

S

B

B

B

B

S

 S

Berdasarkan tabel nomer 1a 1 a, pernyataan  bukan tautologi dan bukan kontradiksi. Pernyataan

tersebut masih mengandung logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenaran, jadi termasuk dalam kontingensi.

1

9

1 P

TA Modul 1 Profesional NURFITRIYANI USD 2019

7

8

 p  r   p  r   q  p  q   r   q   p  r   q 

KONTINGENSI

Langkah-langkah: 1. Buatlah tabel kebenaran yang terdiri dari  p,q,dan r. Dengan p terdiri dari 4 B dan 4 S, seperti tersaji dalam tabel kolom 1, 2, dan 3. 2. Cari nilai kebenaran dari  p  q  3. Cari nilai kebenaran dari r   q  4. Cari nilai kebenaran dari  p  q   r   q 5. Cari nilai kebenaran dari  p  r  6. Cari nilai kebenaran dari  p  r   q 7. Cari nilai kebenaran dari

 p  q  r   q    p  r   q

8. Karena didapat nilai kebenaran BBBBBBBS , maka pernyataan tersebut bukan tautologi dan bukan pula kontradiksi tpi merupakan KONTINGENSI.  b.

 p  ~  p  q 

1  p

2 q

B

3

5

~  p

4 ~  p  q

 p  ~  p  q

B

S

S

 S

B

S

S

S

 S

 S

B

B

B

 S

 S

S

B

S

 S

KONTRADIKSI

Langkah-langkah: 1. Buatlah tabel kebenaran yang terdiri dari  p,dan q Dengan p terdiri dari 2 B dan 2 S, seperti tersaji dalam tabel kolom 1 dan 2. 2. Cari nilai negasi p atau ~  p 3. Cari nilai kebenaran dari ~  p  q 4. Cari nilai kebenaran dari  p  ~  p  q  5. Karena didapat nilai kebenaran SSSS, maka pernyataan tersebut merupakan KONTRADIKSI.

2

TA Modul 1 Profesional NURFITRIYANI USD 2019

2. Buktikan keabsahan argumen berikut dengan menuliskan langkah dan aturan-aturan yang digunakan untuk pembuktian.

 p  q   r   s  ~ r  ~  s

 ~ p ~ q Jawab:

1)

 p  q   r   s 

2) ~ r  ~  s 3) ~ r    s 

( 2, Hukum De Morgan)

4) ~  p  q 

( 1, 3 Modus Tollens)

5) ~  p ~ q

( 4 Hukum De Morgan)

TERBUKTI

3. Tentukan banyanya solusi dari persamaan  x1   x 2  x3  20  dengan syarat  x1   2 , 0   x 2  3 dan 3   x 3  5  (selesaikan dengan fungsi pembangkit). Jawab:

 x1   x 2   x3  20



  ...)1   x   x

   x 1   x   x 

 P ( x)   x 2   x 3   x 4  ... 1   x   x 2   x 3  x 3   x 4   x 5  P ( x)   x 2 (1   x   x 2

2

  x 3

3

2

4 3   1   1   x   1   x      P ( x)   x      1  x 1  x 1  x           5

 

  1   x 4 1   x 3  3   1   x   

 P ( x)   x 5 

1

Dengan menggunakan teorema Binomial Newton untuk

1 1   x

, bila di hitung maka didapat

 17   2  17! 2! 17  16 2          136  2  134 2 1  15   1  15!2! 1!1!

koefisien  x 20  adalah 

Jadi terdapat 134 solusi persamaan  x1   x 2  x3  20 . 4. Perhatikan graf berikut.

Apakah graf pada gambar di atas merupakan graf bipartisi? Apakah graf tersebut merupakan graf bipartisi lengkap? Jelaskan jawaban Anda! Jawab:

Graf Bipartisi  G adalah Graf yang himpunan titiknya dapat dikelompokan menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah titik di V 1 ke sebuah titik di V 2 , dan dinyatakan dengan G(V 1 , V 2 ). Dengan kata lain, setiap pasang titik V 1 (demikian pula dengan titik-titik di V 2) tidak bertetangga. Apabila setiap

3

TA Modul 1 Profesional NURFITRIYANI USD 2019

titik di V 1 bertetangga dengan semua titik di V 2, maka G(V 1 , V 2 ) disebut dengan Graf Bipartisi Lengkap. Dari gambar pada soal nomor 3 di atas, sesuai definisi yang diberikan hanya merupakan  graf bipartisi saja karena titik-titik dalam graf G terbagi menjadi dua bagian, yaitu V 1  a, b,  f  , e dan V 2  c, d , h, g  , dan setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah titik di V 1  a, b,  f  , e ke sebuah titik di V 2  c, d , h, g  . Akan tetapi tidak semua titik dalam V 1  a, b,  f  , e dihubungkan dengan semua titik di V 2  c, d , h, g  , jadi graf tersebut bukan graf bipartisi

lengkap. 5. Perhatikan graf berikut. Tersedia enam warna berbeda untuk mewarnai semua titik sehingga dua titik yang bertetangga (adjacent ) berbeda warna. Ada berapa cara mewarnai semua titik tersebut?

Jawab:

Derajat titik di G disajikan dalam tabel dibawah. Titik

b

e

a

f

c

d

Derajat Titik

4

4

3

3

2

2

Langkah-langkah pewarnaan graf G dengan menggunakan algoritma Welch-Powell adalah sebagai berikut: 1) Jumlah titik graf G adalah 7 buah dan urutan titik dari derajat yang tertinggi hingga terendah tersaji dalam tabel diatas. 2) Karena b berderajat tertinggi, sehingga titik b dapat diwarnai dengan warna pertam, misal warna merah, dan titik d  tidak bertetangga dengan titik b dapat diwarnai dengan warna yang sama yaitu merah. 3) Titik berderajat tinggi berikutnya adalah titik e. Warnai titik e dengan warna kedua misal warna kuning . Titik yang belum diwarnai dan tidak bertetangga dengan e, yaitu titik c, sehingga titi c mendapat warna kuning . 4) Titik berderajat tinggi selanjutnya adalah titik a. Warnai titik a dengan warna ketiga misal warna hijau. 5) Titik terakhir yang belum diwarnai adalah titik f . Warnai titik f  dengan warna keempat misal warna biru. Jadi dengan menggunakan algoritma Welch-Powell ada 4 warna yang diperlukan untuk mewarnai graf G.

4

TA Modul 1 Profesional NURFITRIYANI USD 2019