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Calcul de surfaces

Chapitre 2

cours n°6

1 – Introduction Les travaux de Génie Civil se faisant dans la plupart des cas à même le sol, il est indispensable de connaître de façon précise la surface du terrain sur lequel l’ouvrage va reposer. On aura besoin de calculer par exemple la surface d’un terrain en vue d’un terrassement afin d’en déduire un volume, de calculer les parcelles de terrains constituant un lotissement.... Avant de faire les calculs, il faudra prendre sur le terrain tous les renseignements nécessaires et en particulier tous les points délimitant le terrain. Comme nous l’avons vu précédemment, les points dans le plan sont définis par 2 composantes bonnes à rappeler : Coordonnées polaires Angle : α Distance : L

Coordonnées rectangulaires Abscisse : x Ordonnée : y

Nous allons voir par conséquent les 2 méthodes utilisant soit les coordonnées polaires soit les coordonnées rectangulaires.

2 – Calcul de surface par les coordonnées polaires On considère le polygone défini par le schéma ci-dessous :

α

α

Le polygone est composé de 2 triangles quelconques ABC et ACD SABC = SACD = Donc la surface de ce polygone ABCD est : SABCD =

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Ici le calcul ne présente pas de difficulté, dans le cas général les polygones ont plus de 4 cotés, il est alors plus simple de présenter les résultats sous forme de tableau : Points

Distance Li

Distance Li+1

Angle αi

2S

Total 2S =

3 – Calcul de surface par les coordonnées rectangulaires On considère le même polygone défini par le schéma ci-dessous :

La superficie du polygone peut être obtenue par somme et différence des trapèzes (aABb), (bBCc), (dDCc) et (aADd). En évaluant chacune des superficies à l’aide des coordonnées rectangulaires des points A,B,C et D, les calculs deviennent : S(aABb) = S(bBCc) = S(dDCc) = S(aADd) =

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Démonstration de la formule générale

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On présente généralement les calculs dans le tableau ci-dessous :

Points

Xn

Yn

ΔX = Xn+1 – Xn-1 + -

ΔY = Yn+1 – Yn-1 + -

X.ΔY +

Y.ΔX -

+

-

TOTAUX 2S =

2S =

4 – Applications 1ère méthode : On considère la parcelle de terrain suivante et on donne les coordonnées polaires des points A, B, C, D et E à partir de 1, choisi comme station et origine du repère orthonormé.

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Points

d (m)

α (gon)

A B C D E

30,000 152,643 192,094 170,000 104,403

0 35,119 57,045 68,808 81,445

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Complétez les tableaux suivants : • Surface du polygone (1ABCDE) : S1 Points

Distance Li

Distance Li+1

Angle αi

2Si

Total 2S1 = • Surface du polygone (1AE) : S2 Points

Distance Li

Distance Li+1

Angle αi

2Si

Total 2S2 = • On déduit la surface du polygone (ABCDE) : S

2ème méthode : On considère la même parcelle de terrain mais on raisonne maintenant à partir des coordonnées rectangulaires des points A, B, C, D et E dont voici leurs composantes : Points X (m) Y (m) A 0,000 30,000 B 80,000 130,000 C 150,000 120,000 D 150,000 80,000 E 100,000 30,000

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Complétez le tableau suivant afin de déterminer la superficie de la parcelle :

Points

Xn

Yn

ΔX = Xn+1–Xn-1

ΔY = Yn+1–Yn-1

+

+

-

X.ΔY

-

+

Y.ΔX -

+

-

TOTAUX = 2S =

2S =

D’où S =

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