TRI_RAZONES.TRIGONOMETRICAS

PROFESOR: CESAR ALOCEN LONGORIA

III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

TRIGONOMETRÍA

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

a

25

AGUDO

6) Cosecante =

C.A

1

5

5a

3

37°

1

C.O

16°

30°

45°

53°

Sen 7/25

1/2

3/5 1/  2 4/5 1/  2  /2 3 Tg 7/24 1/  3 ¾ 1

3/5

Ctg 24/7 3  /1 4/3 Sec 25/24 2/  3 5/4 Csc 25/7 2/1 5/3

5/3

R.T.

37 °

1

60°

1/5

3

74°

 /2 24/25

Son recíprocos entre si : a) Seno y Cosecante b) Coseno y Secante c) Tangente y Cotangente

2a

a

a

3)Tg =

a  b 

a

2) Cos =

b  c 

2

c  b 

6)Csc =

3a

c  a 

37° 4a

2

74°

25a

53°

5a

5) Sec =

a/2

b 

4) Ctg = a 

45°

45° a/2

a

2

L = Cot 2   2

Sen =

1 2

.

2



2

Sen =

.

2 4

4 2



45°

45°



2).- Sabiendo que : Sen=Cos60° =Cos60 °. Cos45°;  es agudo, calcula :

3

a a

4

L = 7

4.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS

30°

5

Solución :

Luego : Senx . Cscx = 1 Cosx . Secx = 1 Tgx . Ctgx = 1

60°

Teorema de Pitágoras : a2 + b2 = c2

c

con la ayuda del triángulo:   5    2  L = 4.  2  1    

4.1. RAZONES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

½ 7/25 4/3 3 /1 24/7 1/  ¾ 3 7/24

2/1 25/7 2  /1 5/4 2/  3 25/24 2  /1

C

C.A

Luego : 1) Sen = a

2

L = 4

4. PROPIEDADES

3. CASOS GENERALES



b

a

7a

4

Cos 24/25

C.O

1



2

HIP

B

A

82°

2

8°

HIP a

Tan = Sen30°  Tan = ½

C.A

ABC :

c

a

53°/2 53°

HIP

Donde : C.O : Cateto Opuesto C.A : Cateto Adyacente Hip : Hipotenusa En el

5

5

45°

45°

C.O

HIP

3

2

4) Cotangente = C.A

3) Tangente = C.O

a

2a

Es el cociente que se puede formar con 2 de los 3 lados de un t riángulo rectángulo.

5) Secante =

1).- Sabiendo que “” es agudo y además : tan=sen30°. Calcula : L = 4Sec2 + Cot Solución :

30°

7

24

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

2) Coseno = C.A

a 3a

60° 1

2

74°

16°

HIP

10

37/2

DE UN ÁNGULO

1) Seno = C.O

PROBLEMAS RESUELTOS

OTROS

7a

2

Razones Razones Trigonométricas Complementarias

con la ayuda del triángulo: triángulo :

Seno Secante Tangente

L = 

En general :

16° 24a

a) Sen = Cos b) Sec = Csc c) Tg = Ctg

Coseno Cosecante Cotangente +

14

2

  14    2  L =     2  

= 90° L

= 72  9

L=3

 7 2  2

PROFESOR: CESAR ALOCEN LONGORIA 3).- Calcula “x” en la igualdad:

TRIGONOMETRÍA 3).- Simplifica :

5).- Del gráfico, calcula “Tan ”.

2

4

C

x . Sen30°+ Sec 60°= 4x . Tan37°+ Tan 45°

8).- En la figura. Calcula “3Cot”.

Tan60  Tan30

a) 3 b) 5

1 Tan60xTan 30

Solución : Con la ayuda de la tabla de los valores de las R.T. de los ángulos notables; tenemos: x . Sen30°+ Sec260°= 4x . Tan37°+ Tan445° 2

a) 37°

A



3

b)

3 

/3

c) 1

d) 2

e) 3

B

M

4).- Calcula :

Solución :

C

x( ½ )+ (2) = 4x( ¾ ) + (1) x 2

3=

+ 4 = 3x + 1 6x  x 2

4 – 1 = 3x -



3=

5x

x =

2

x

a) 9/4

3

b) 9/16

c) 3/2 d) 4/9 e) ¾

37° 2

A

5

4).- Del gráfico mostrado, calcula “Tan”



M

2

5).- Simplifica :

B

I.

ABC: notable  BC=3 ; AB=4

II. Como : AM = MB  AM=MB = 2

C

1  Ct g30 . Ct g60 Ct g30  Ct g30  Ct g60 2

4

III.

MBC :

a)

3

b) ½

c) 2

3

d)

e)3

2

Tan = 3/2



45°

A

B

M

C

Solución :



Nota que en este problema optamos por asignar valores numéricos. Pero lo que no debes olvidar es que se parte de un valor numérico y de aquel se calculan los demás segmentos que guarden relación con el problema.

A

B

n

I. Como : AM = MB  AM = MB = n II.

ABC : isósceles BC = AB = 2n

III.

MBC : Tan = 

Tan = ½

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

n

1  Tan2 60

2n

1  Ctg2 45

a) 4

b) 2

c) 6



1 Cos60

d) ½

e) 4







8

25

55

a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3/2 e) 3/4

°

45° 53° 2a

a

14

11).- Si: Sensec = 1 a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

2).- Simplifica :

4 2

10).- Calcula “Tan” en la figura:

37°



7).- Calcula “x” en :

1).- Calcula : 1-Cos60°-2Sen230° M

10

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03 NIVEL I

45° n

6).- Calcula la medida de “” en la figura. a) 30° b) 45° c) 60° d) 37° e) 53°

135°

a) 22 b) 22/3 c) 23/3 d) 10 e) 15

2 6

6



9).- En la figura. Halla : E = Tan + Tan2 +Tan3

(Tan37°+ Ctg53°)Csc30°

4

c) 7 d) 9 e) 10

Halla el valor de: 3+

5

73

60°

37° 30°

x

          Tan  Cot Tan.Tan   2     3  

a) 2 3 d) 1/2

b) 3 2 e) 24

c)

3

PROFESOR: CESAR ALOCEN LONGORIA

NIVEL II

12).- En la figura, calcula: Q = TanA + TanC

1).- Si : Sen = 60/61 . Calcula el valor de : P = Tg + Sec

B

a) 15/23 b) 20/17 c) 13/19 d) 17/20

135° 2

a) 101/11 d) 10

6

2

A

e) 19/13

C

13).- Calcula “x”. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

x

14).- Simplifica : 4

6

Tg  .Sec  .Ctg  3

4

a) 0 d) 7

6

4

b)

2

e)

6

c) 4

15).- Siendo ABC triángulo equilátero. Halla: Tg a) b) c) d) e)

B

3

3

3

7

5).- En el gráfico, calcula : Cot  a) 1 b) 2 c) 3

5 

4 1 1

R

A

a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60



n

B S



a) 1

C

8).- En un triángulo ABC( C =90) en el cual se cumple que : 1 + SenA TgA = SenB + CscB Calcula el valor de : E  Sec 2 A  Tg2 A

2 A



C

a)

  2TgA

    b) TgA  TgC

      d) 2(TgC  CtgA ) e) 2TgC

c)

  2CtgA

c) 3/2

d) 2/3

e) 4/3

b) 6

c) 7

e) 9

9).- A partir del triángulo ABC; Halla Tg  B

AB  BC .

a) 150 u2 d) 300u2

2

10).- Calcula “Tg” del gráfico. (AM = MD) a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7 d) 4/7 A

37° M

C



C

b) 180u2 e) 250u2

c) 200u2

a) 5 b) 5  /2 c) 2 5 d) 5  /4 e) N.A





CLAVES DE RESPUESTAS 45°

°

B

15).- Calcula : “Tg+ Ctg“ de la figura. C

8cm

A

14).- La base de un triangulo isósceles mide 30u y la altura relativa a uno de los lados congruentes mide 24u. Halla el área de dicho triangulo.

5cm A

a) 1 b) 2 c) 2  /2 d) 2 e) 3

D

d) 8

a) 1/3 b) 3 c) 2 d) 1/2 e) 1

b) 2

13).-Si: ABCD es un cuadrado, halla “Tg“ T





a) 5

Sen30  Cos60 2Tg45

Calcula : Q = Tg (90°n) + Sen (60°n)



P

D

e) 6/7

6).- En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el cateto AB forman un ángulo agudo , entonces Tg es:

D

5

3

3

12).- Si:

7).- En el cuadrado ABCD halla “ ”; si PR =4; PS  8 ; PT =7

D

5

4

6

2).- El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4m ¿Cuánto mide el cateto menor? a) 13m b) 33.8m c) 50m d) 56.33m e) 55

d) 4 e) 5

3

3

c) 11

4).- Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. El coseno del mayor ángulo agudo de ese triangulo es: a) 3/2 b) 3/4 c) 1/2 d) 3/5 e) 4/5

Sec  .Tag  .Ctg  3

b) 1/11 e) 13/11

3).- Determina el área de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 54 cm, y el coseno del ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa es igual a 2/3. a) 420 cm2 b) 450cm2 c) 486cm2 2 d) 962cm e) 243cm2

82°

7

TRIGONOMETRÍA

11).- Calcula “x+y”

NIVEL I 1) a 2) a 6) b 7) b 11) c 12) d

3) b 8) c 13) b

4) a 9) b 14) b

5) d 10) d 15) d

NIVEL II 1) c 2) d 6) a 7) d 11) b 12) c

3) c 8) c 13) b

4) d 9) a 14) d

5) d 10) e 15) a

Cos(2x+y) Sec (7x + 9°) =1 Tg 20°Csc (x+4y) = Ctg70° Sec(x+10°) a) 10 b) 21

c) 11

d) 13

e) 14