TRILCE - Problemas Triángulos 5to

 

GEOMETRÍA 5TO – UNI

TRIÁNGULOS 1. De lla a fi figura, gura, calcu calcula: la: ““x”, x”, ssii AB= AB=BE=CD BE=CD..

 AC    y

8. (UNI 2008 - II)  So Sobr bre e los los lado ladoss

BC   de un triángulo acutángulo se ubican los

 A)5º B)10º C)15º D) 20º E)25º 2. En un tri triáng ángulo ulo ABC ABC,, se tra traza za la ccevi eviana ana m ∠ DBC  m ∠ BAC  =

=

BD

m ∠ ACB

2 3 . Si DC=12 cm y Entonces el máximo valor entero de AD es:  A) 8 cm B) 9 cm C) 10 cm D) 11 cm E) 12 cm

puntos D y E respectivamente de modo que  AD=BD=BE y m   ∠ DEB = m   ∠  ABC. Si las bisectrices de los ángulos BAC y ACB se cortan en “P”, m   ∠ EDC=40º. Calcule ∠ CPA.  A) 110º B) 125º C) 130º D) 115º E) 120º .

3. En u un n triá triángulo ngulo isósc isósceles eles A ABC BC (BC (BC=AC), =AC), se tra traza za

BD   tal que AB=AD. Calcule la la ceviana menor medida que puede tomar el ángulo ADB.  A) 42º B) 31º C) 32º D) 33º E) 46º 4. En un tr triá ián ngu gulo lo rect rectá áng ngu ulo isó isósc scel eles es ABC BD   se (AB = BC), la ceviana interior prolonga hasta un punto E de modo que el triángulo ABE sea equilátero. Luego el ángulo EAC mide:  A) 12º B) 13º C) 15º D) 16º E) 18º 5. En un tr triá iáng ngul ulo o re rect ctán ángu gulo lo ABC rect recto o en B,  AC   se ubican los puntos P y R mientras que en BC   se ubica el punto Q de manera que  AB = BP = PQ = QR = RC. Luego el ángulo ángulo BCA mide:  A) 9º B) 12º C) 18º D) 16º E) 10º 6. El áng ángul ulo o in inte tern rno o en A de un triá triáng ngul ulo o AB ABC C mide 60°, en los lados BC   y  AC   se ubican los puntos E y F respectivamente. Si AB = AF = BE y mBEF = mEBA, calcular la medida del ángulo EFC.  A) 20º B) 30º C) 50º D) 40º E) 60º 7. En un trián triángulo gulo o obtusá btusángul ngulo o ABC (o (obtuso btuso en B), se prolonga prolonga el lado  AB  hasta un punto Q tal  ACB) = 100°, que BQ =laQC. Si m del  AQC + 2(m entonces medida ángulo A es:  A) 20º B) 30º C) 50º D) 40º E) 60º

9. En un tr triá iáng ngul ulo o rect rectán ángu gulo lo ABC, se pro prolo long nga a CA  hasta D y en  AC   se ubica el punto F; si BD = BF y las medidas de los ángulos ABD y CBF suman 22°, luego el ángulo C mide:  A) 37º B) 44º C) 22º D) 18º E) 34º 10. (U (UNI NI 2006 2006 - I)  En un tri triang angulo ulo equil equiláte átero ro  ABC, se ubica el punto “D” exterior Al triángulo tal que

BD interseca al lado  AC  , si m   ∠

90º. AD AD=8 =8u u y CD CD=1 =15u 5u.. Calc Calcul ule e el  ADC ¿ 90º. menor perímetro del triángulo ABC.  A) 52 u B) 22 u C) 48 u D) 24 u E) 46 u 11.En 11. En un triá triángu ngulo lo ABC, se tie tiene ne m ∠

 ACB. Se traza la altura si AB=7 cm y AH=4 cm.  A) 2 cm B) 3 cm D) 11 cm E) 6 cm

  ∠

BAC=2m

BH  . Calcula CH

C) 8 cm

12. 12. En un tr triá iáng ngul ulo o AB ABC, C, se tr traz aza a la bise bisect ctri rizz   ∠   ∠ BD . Si m interior BAC = 2m BCA,  AB=5 m y BC=9 m. Calcular la longitud de  AD .  A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m 13.En un triángulo ABC sobre “BC” se ubica un punto exterior “D” de tal manera que  AD  es bisectriz del ∠ BDC, donde además la m   ∠ DBC=90º+   θ , m   ∠ BDA=   θ   y m   ∠  ACB=60º+2   θ . Calcule el máximo valor entero de la m   ∠ BAD. (  0) .  A) 30º D) 27º 14. De  A) B) C)

B) 29º E) 20º

C) 28º

la figura mostrada, cal calcula cula “x”, si AB=CD. 20º 30º 40º

 

D) 35º E) 53º

 A) 38° D) 41°

15. 15. Da Dado do un tr triá iáng ngul ulo o AB ABC, C, se tra traza za la bise bisect ctri rizz exterior BD (D en la prolongación de  AC  ), la medida del ángulo BAC es igual a 40° y la del ángulo ACB igual a 60°. Calcular la medida del ángulo CDB.  A) 20° B) 30° C) 50° D) 40° E) 10° 16. De la figura mostrada, calcu calcula la “x”, si AD=BC.

 A)5º D) 15º

B) 10º E) 30º

C) 25º

α 

B) 135º E) 127º

C) 120º

18º 30º 24º 36º 40º

equilátero ABE, de modo que los puntos E y C se encu encuen entr tran an en un mism mismo o se semi mipl plan ano o co con n respecto a  AB . Calcula la m   ∠  AEC, si m ∠  ABC=20º.  A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º 20. Del gráfico, Calcula: “X”. Si: AB=BC; AD=1 cm cm;; DB=2 cm y D DC=3 C=3 cm  A) 120º B) 135º C) 150º D) 143º E) 90º ∠

BAC=64º y la m

BCA=32 BCA= 32º. º. Se traz traza a BD   de modo que BC=AB+AD. Calcula la m   ∠ DBC. ∠

23. De la figura mostrada, calcula “x”   A) B) C) D) E)

10º 20º 30º 25º 15º

 A) B) C) D) E)

15º 22º 30` 45º 30º 26º 3 30 0`

26. 26. En un tr triá iáng ngul ulo o AB ABC C se tr traz azan an las las cevi cevian anas as

19. 19. So Sobr bre e el lad lado o  AB  de un triángulo isósceles  ABC (AB=BC), se construye un triángulo

21. En un trián triángulo gulo ABC, la m  

22. Los lados de un tri triángulo ángulo ABC miden AB= 5 cm cm,, BC= 7 cm y AC=10 cm. Interiormente se toma un punto “Q” el cual se une con los vértices. ¿Cuá ¿C uáll es el má máxi ximo mo vl vlor or en ente tero ro que que pued puede e tomar E=QA+QB+QC?  A) 14 cm B) 16 cm C) 17 cm D) 18 cm E) 19 cm

25.La medida del ángulo mayor de un triángulo obtusángulo e isósceles es 3θ y 2α la medida de un uno o de los los án ángu gulo loss rest restan ante tes. s. Ca Calc lcul ula a el menor valor entero de θ (α: entero)  A) 28º B) 39º C) 30º D) 31º E) 32º

18. Del gráfico, calcula: ““x”  x”   A) B) C) D) E)

C) 40°

24. De la figura, calcula: ““x”, x”, si AB=BC.

17.. Exte 17 Exteri rior orme ment nte e rela relati tivvo al lado lado AB de un triángulo ABC, se ubica el punto “P”, tal que PB  BC . Calcula la m   ∠  APB, si: m   ∠ BAC=2 m   ∠ PAB=2   α    y m   ∠  ACB=90º+  A) 100º D) 150º

B) 39° E) 42°

 AE  y ∠

BD  que se cortan en “Q” tal que m

 ABD=

m   ∠  ACB;   ∠

Calcula  A) 76º la m D) 66º

AB=BD

y

AE=EC.

  ∠

BQE, B) 82ºsi m E) 90º

CBD=48º C) 88º

27. En la figur figura, a, AP=PC; BQ=MC, el trián triángulo gulo MBC es equilátero. Calcula “x”   A) B) C) D) E)

40º 50º 60º 70º 80º

28. En la figura I y E son el ince incentro ntro y el excentro   ∠

del triángulo ABC, respectivamente. Si m EIC- m   ∠ IEC=32º. Calcule: “x”   A) 56º B) 58º C) 62º

 

D) 64º E) 60º

 A) 5º D) 8º

29. De la figura calcular el valor de



 A) 18º B) 30º C) 40º D) 36 36ºº E) 45 45ºº 30. (UNI 2008 II) Sobre los lados  AC   y BC  de un triángulo acutángulo ABC se ubican los puntoss D y E respec punto respectivam tivamente ente,, de tal modo que AD=BD=BE y m   ∠ DEB=m   ∠  ABC. Si las bisectrices de los ángulos BAC y ACB se cortan en “P”, m   ∠ EDC=40º. Calcule m   ∠ CPA.  A) 110º B) 125º C) 130º D) 115º E) 120º 31. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior

BP  tal que BP=PC. Si la m   ∠ BCA.  A) 25º D) 40º

∠

BAC= 75º. Calcula la m

B) 30º E) 45º

C) 35º

32. En el interio interiorr de un triángulo ABC se toma un punto P de modo que AB=AP=PC, m   ∠  ABC=7   α  , m   ∠ PAC=2   α    y m   ∠ PCB= α  . Calcula la H m   ∠ BAC.  A) 80° B) 60° C) 96° D) 100° E) 72° 33. En un triángu triángulo lo ABC se traza la ceviana BD tal que m   ∠ BCA=2m   ∠ BAC, m   ∠ BDC= 4m ∠ BAC, AD=20 m y BC=12 m. Calcula: BD.  A) 7 m B) 8 m C) 6 m D) 10 m E) 12 m 34 34.. En un triá triáng ngul ulo o AB ABC, C, se traz traza a la bise bisect ctri rizz exterior BP, tal que AB = CP y la mBCA=3(mBAC). Calcula la mBAC.  A) 18º B) 20º C) 22º D) 30º E) 36º 35. 35. En un triá triáng ngul ulo o AB ABC C rect recto o en B, se traz traza a la altura BH y las bisectric rices AE y CD que inters int erseca ecan n a BH   en P y Q respectivamente. Calcula: PQ, si BD=8cm y BE=12 B E=12 cm.  A) 2 cm B) 4 cm C) 1,5 cm D) 2,5 cm E) 5 cm 36. En el inte interior rior de un  ABC, se toma el punto M de modo que MA=AB=MC, m   ∠ MAC=2, m ∠ MCB=3 y m   ∠  ABC=13. Calcula: “”.

B) 6º E) 9º

C) 7º

37.En un triángulo rectángulo ABC recto en B la bisectriz bisec triz  AF    (F en BC  ) y la al altu tura ra BH  se intersectan en P. Si BF=6 m y PH=2 m, calcular la longitud de BH.  A) 4 m B) 12 m C) 10 m D) 8 m E) 6 m 38. En un triángul triángulo o ABC se toma un punto interio interiorr  “P”. m ∠ PCA 4

=

de m ∠ P  PAB AB

m ∠ P  PAC  AC  3

=

2

manera

=

m ∠ PCB 1

10 º 

=

medida del ángulo PBC.  A) 10º B) 20º D) 45º E) 36º

que: Calcular la

C) 30º

39. Del gráfico, calcul calcula: a: “x”, Si a + b = 210º  A) 40º B) 20º C) 50º D) 30º E) 25º 40. 40. En un tr triá iáng ngul ulo o AB ABC, C, se tr traz aza a la me medi dian ana a  AM  , tal que AM = MB, si la m   ∠  ACB=40°, calcula: la m   ∠ MAB.  A) 40° B) 60° C) 80° D) 70° E) 50° 41.En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la altu altura ra BH   mide 8 cm; por el punto “P” de CH    se leva levant nta a un una a perp perpen endi dicu cula larr qu que e interseca a BC   en “Q” “Q” y a la prolongac prolongación ión de  “   AB ” en “R”. PQ= 5cm, Calcular: PR.  A) 11 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 14 cm E) 15 cm 42. En un triángu triángulo lo ABC, se traza la altura BH   y la bisectriz interior BD . Calcular m   ∠ HBD, si m ∠ BAC=50º, m   ∠ BCA=30º.  A) 20° B) 15° C) 10° D) 8° E) 12° 43. En

el

triangulo

rectángu gullo

ABC

(m  

∠

 ABC=90º), se traza la altura BH  . Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y HBC.  A) 72º B) 60º C) 90º D) 100º E) 120º 44. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interio interiorr

BP  tal que la m Calcula la BCA=20°.

m

  ∠

  ∠

 ABP = 80°, y AP = BC, PBC, si además m   ∠

 

 A) 40° D) 60°

B) 10° E) 30°

C) 20°

45.En un triángulo ABC (AB = BC) trazamos la bi bise sect ctri rizz inte interio riorr  AD . En el triá triáng ngul ulo o AC ACD D  DE   y tra raza zamo moss la lass bi bise secctric trices es;; inte nterio rior exterior  DF  . Si: AD=5 m. Calcula: EF.  A) 5 m B) 8 m C) 10 m D) 12 m E) 15 m 46. Se tiene un triángul triángulo o rectángu rectángulo lo ABC en el cual se traz traza a la altu altura ra BH    y las perpendiculares BC  .  HN    a  HM    y  AB   y La  MN  perpendicular trazada desde B a , inte inters rsec ecta ta al pr prol olon onga gars rse e a  HN    e n F y a  AC   en E. Si: AH=4 m y HC=10 m. Calcula: FE.  A) 1 m B) 2 m C) 3m D) 4 m E) 5 m 47. En un triángulo rectán rectángulo gulo ABC, recto en B, por un punto punto E cualq cualquie uiera ra de  AC    se traza una paralela paral ela a la mediana BM   intersectando en F a BC   y en G a la prolongación de  AB . Si: GF 3=m12 m. Calcula:  A) B) 4ME. m D) 6 m E) 8 m

C) 5,5 m

48. En un triángu triángulo lo ABC, se traza la mediana BM  y CN   perpendicular a la bisectriz exterior que parte de B. Si: AB + BC = 16 m. Calcula: MN.  A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 10 m E) 12 m 49. En un triángu triángulo lo ABC, se cumple: m   ∠ BAC=2 m   ∠ BCA, Se traza BR  (“R” en AC) tal que:  AB=RC, si: m   ∠  ABC=96º. Calcula la m   ∠ RBC.  A) 25º D) 15º

B) 28º E) 24º

C) 30º

53. En un triángulo ABC acután acutángulo, gulo, m   ∠  ABC = 60° (BC > AB) y la longitud del lado  AB   es 14 m, el punto E   BC    con con la con condic dición ión  AB=EC. Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de los segmentos  AE y BC  .  A) 8 m B) 6 m C) 7 m D) 4 m E) F.D. 54. En un triángulo ABC se traza la mediana  AM  , adem además ás se cons consid ider era a el pu punt nto o me medi dio o N de BM  , lueg luego o se traza raza la cev evia ian na BD   que interseca a  AN   en P y a  AM   en su punto medio Q. Calcula PQ. Si: BD = 4m.  A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m 55. En un triáng triángulo ulo ABC, traza la cevia ceviana na BE , en BE   se considera el punto D de modo que: CB=CD=DA y m   ∠ BCD=2m   ∠ BAD. Calcular la m   ∠ BEC.  A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 75° 56. En un triángulo ABC se trazan las alturas  AM  , CF    y BC   determinándose en el ortocentro H. Por H se traza una paralela a  FM   la cual interseca en P, L, R y Q a  AB ,  FG ,  MG y BC   respectivamente, si: FL= 4 m y MR=7 m. Calcula: PQ.  A) 11 m B) 15 m D) 22 m E) 27 m

BCA=20º y m   ∠ BAC=30º. En la prolongación de BC   se ubica el pu pun nto “N” ta tall qu que: e: AB AB=C =CN N, lueg luego o las las mediatrices de AC y BN se intersecan en “O”. Calcular la medida del ángu ángulo lo determinado por OB  y la mediatriz de AC.  A) 5º B) 8º C) 9º D) 10º E) 15º

50. En un triángu triángulo lo ABC, m

52. En un trian triangulo gulo rectán rectángulo gulo ABC (recto en “B”), la altu altura ra “B “BH” H” y la bise bisect ctri rizz inte interi rior or AS AS,, se inte inters rsec ecan an en el pu punt nto o “M “M”, ”, si: si: MH MH=3 =3 cm cm.. Calcular la longitud del segmento perpendicular trazado del punto “S” a la recta trazado por “B”  paralelo al lado AC.  A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 0,5

C) 19 m

  ∠

51. En un triángulo ABC, se traza la median mediana a

BP

,

tal que: AP=BP, m   ∠  ABP=37º. Calcular la: m ∠ BCA.  A) 30º B) 45º C) 37º D) 53º E) 60º

57.En 57. En un tri triáng ángulo ulo ABC, m   ∠  A=m   ∠ C =40°; sobre  AB  y  AC   se considera los puntos R y Q respec respectiv tivame amente nte.. Si: m   ∠ RC RCA= A=10 10°° y m ∠ QBA=30°. Calcular m   ∠ CRQ.  A) 30° B) 10° C) 25° D) 20° E) 15° 58. (UNI 2010 - I)  En un triángulo ABC denote por I al incentro y por O la intersección de la bisectriz interior de ángulo BAC y la bisectriz exterior del ángulo BCA. Si la m   ∠  AIC + m ∠ COA=150º. Calcula la m   ∠ COA.  A) 20° B) 25° C) 30° D) 35° E) 40°

 

59. (UNI 2010 - I) En un cuadrilátero ABCD, las prolongaci prolo ngaciones ones de los lados BA   y CD   se inte inters rsec ecta tan n en “M “M”” y la prol prolon onga gaci cion ones es de BC    y  AD  se intersectan en “N”, m   ∠ BAD=70º y m   ∠ BCD=80º. Calcula la medida del ángulo formado por las intersecciones de las bisectrices de los ángulos AMD y CND.  A) 120° B) 125° C) 105° D) 135° E) 140° 60. En un triángu triángulo lo ABC se traza la cevian ceviana a BF  tal que AB=FC. Si la m   ∠  ABF=m   ∠ BCF= α   y la m   ∠ FBC=2   α  . calcul calcula a la m   ∠ BCF.  A) 30º B) 23º C) 36º D) 45º E) 60º 61. En un triángulo ABC recto en “B”, por un punto  “E” cualquiera de a la mediana

 AC  , se traza una paralela BM    int inters ersec ecand ando o en “F” a

BC   y en “G” a la prolongación de  AB , si GF=12 m. Calcula ME.  A) 4 cm B) 3 cm D) 8 cm E) 5,5 cm

C) 6 cm

64. En  A) B) C) D) E)

  ∠

. Si AB=CP, BAC=21 BAC =21ºº y la m  ACB=10,5º. calculemla m   ∠ PBC.  A) 10º B) 10,5º C) 12º D) 14º E) 21º

67. En un triángul triángulo o ABC isósc isósceles: eles: AB=BC AB=BC,, se traza la bisectriz interior  AE  de modo que AE=AC. Calcule la m ∠  AEC.  A) 36 B) 72 C) 30 D) 64 68. De  A) B) C) D) E)

E) 50

la figura mostrada. Calcu Calcule: le: “x” si PQ=2BH. 15 20 30 40 50

CN  69. E En n un triángulo ABC, se traza perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo  “B” y la mediana BM (M cm; BC=8 cm. Calcula: MN. B) 2 cm E) 6 cm

∈

  AC  ) si AB=4 C) 3 cm

70. En un triángul triángulo o rectángu rectángulo lo ABC recto en B, se tiene que m   ∠ BAC=15. En  AB  se ubica el punto P el cual dista de  AC   el doble de lo que dista B de  PC  . La medida del ángulo PCB es:  A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 71. Del gráfico, calcular “x”   A) 10º B) 15º C) 20º

72. En la región exterior al triángu triángulo lo ABC y relat relativo ivo a  AC  , se ubica el punto P tal que PB=AB=BC y  PB    AB . Calcule AB, si las distancias de B  AC     PC    3 √ 2   u   a y son so y 7u  respectivamente.  A) 5 u B) 6 u C) 8 u D) 4 √ 2  u E) 5 √ 2  u

65. 65. Da Dado do el triá triáng ngul ulo o ABC, ABC, se traz traza a la ce cevi vian ana a   ∠

  ∠

D) 30º E) 36º

la figura BC=AH, Calcula el vvalor alor de “x”  37 32 50 41 31

BP

la ceviana ceviana  AF   tal que BF=AC. Si la m  ABC=20º entonces ¿cuál ¿cuál es la m   ∠ BAF?  A) 5º B) 10º C) 15º D) 20º E) 30º

 A) 1 cm D) 4 cm

62.. En la fi 62 figu gura ra BM  : med median iana a ade además más AB= AB=3 3 cm; BM=2 cm; BC=5 cm, Calcular m   ∠ MBC.  A) 10 B) 53 C) 37 D) 45 E) 12 63.De 63. De la fig figura ura,, cal calcul cula: a: “x” si BC=2A BC=2AM M y m BRA=90º  A) 30 B) 40 C) 20 D) 84 E) 45

66. En un triángulo A ABC BC isósceles (AB=BC) se traza

  ∠

73. En la región interio interiorr a un triángulo ABC se u ubica bica   ∠   el punto P, tal que m BAP=70, m ∠ CAP=10, m   ∠  ABP=30  y m   ∠ PBC=20. Calcular m   ∠ PCA.  A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 30

 

74. 74. En un triá triáng ngul ulo o isós isósce cele less AB ABC C (A (AB= B=BC BC), ), de incentro I, se ubica el punto P en BC   tal que  IP  //   AC   y BP=2(IA). Calcular: m

 A) 15 D) 30

B) 18 E) 36

  ∠

IAC.

C) 24

81. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interio interiorr

 AM  , las cuales son BP   y la mediana congr congruen uentes tes y per perpen pendic dicula ulares res.. Cal Calcul cule e la m ∠ MAC.  A) 18,5 B) 22,5 C) 26,5  D) 45 E) 30

75.En un triángulo ABC se ubica el punto P en  y se traza  PQ    BC   (Q en BC  ). Si  AP=PQ=QC y m   ∠  ABC=60, calcule: m   ∠ BAC.  AB

 A) 30 D) 60

B) 45 E) 90

C) 75

76.En 76. En un triá triángu ngulo lo rectá rectángu ngulo lo ABC rec recto to en B se traza la ceviana ceviana interio interiorr BM    tal que m   ∠ MBC= 2m   ∠ BAC. Calcule la m   ∠ BAC, si la  AM    sobr pr pro oyecc yecció ión n orto rtogo gon nal de sobre e la bisectriz del ángulo BAC tiene una longitud igual a la mitad de BC.  A) 15 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36 77.Dad 77. Dado o un tri triáng ángulo ulo rec rectán tángul gulo o isó isósce sceles les ABC recto ubica el punto exteriorde y relativoena B. AC Se , que pertenece a laP,mediatriz  AB . Si M es el pun punto to med medio io de  AB   y m ∠ MPC = 2m   ∠ MPA, entonces la m   ∠  ACP es:  A) 60 B) 75 C) 90 D) 105 E) 120 78. En un triángulo equ equilátero ilátero ABC se traza la altura BH y la ceviana AD, que se intersecan en P. Si m   ∠ DAC =45 y PB= 6u , calcule DC.  A) 3 u B) 6 u C) 8 u D) 9 u E) 12 u 79. 79. En un triá triáng ngul ulo o AB ABC C se traz trazan an las las ce cevi vian anas as BQ inte interi rior ores es BP   y , tal que PC=BC y   ∠  AQ=AB. Calcular m PBQ, siendo m   ∠  ABC =100.  A) 25 B) 40 C) 50  D) 70 E) 80 80. En un triángulo ABC se ubican los puntos F y E, en

 AC 

  y en

BC    respe respectiva ctivamente mente.. Las

prolongaciones prolongaci ones de  AB   y  FE   se intersecan en M. Si AB=EC=FC y m   ∠ BMF=3m   ∠ BAC. Halle la suma del mínimo y máximo (valores   ∠

enteros)  A) 42 de la m B) 43BAC.  D) 46 E) 47

C) 44 

82. Dado un trián triángulo gulo A ABC, BC, en e ell cua cuall m  ACB=53º. Se ubican los puntos P en

  ∠

BC  , y

 AC  Q en la prolongación de , tal tal que: que: PQ=AB y m   ∠ CPQ = m   ∠ BAC. Si PC=2u   yy PQ=AB PB=3u , calcule AQ.  A) 9 u B) 11 u C) 12 u D) 13 u E) 14u 83. En un triángu triángulo lo ABC, la medida del ángulo ABC es 36. Se traza la bis bisec ectriz triz inte interio riorr

 AD , la

mediatriz de  AD  corta a la prolongación del lado BC   en Q. Calcula la m   ∠ CAQ.  A) 12º B) 13º C) 22º D) 36º E) 25º 84.En 84. En un tri triáng ángulo ulo rectá rectángu ngulo lo ABC (rect (recto o en B), sobre el lado BC se construye exteriormente el triángulo trián gulo BCQ equil equilátero átero,, los punto puntoss M y N son los los pu punt ntos os me medi dios os de BQ   y  AC  . SI  AQ=14 cm. Calcula MN. MN.  A) 8 cm B) 7 cm C) 10 cm D) 5 cm E) 3 cm 85. De la figura Calcula: “x”   A) 16 B) 37 C) 30 D) 53 E) NA. 86. El ángulo exterior ““B” B” de un triángulo ABC mide el triple del ángulo interior “C”, la mediatriz de BC intercepta a  AC   en L. Hallar AB si LC=18 cm.  A) 9cm B) 18cm C) 24cm D) 36cm E) NA. 87. Del gráfico BC=PC. Calcula: “X”  A) 6º B) 8º C) 9º D) 10º E) 12º 88.En un triángulo ABC (m

  ∠

B=90) se traza

BH    altura altura,, las bis bisect ectric rices es de los ángul ángulos os

 

BAC y HBC se cortan en “E”. Calcula la m  AEB.  A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120 89. De  A) B) C) D) E)

  ∠

la figura, ccalcula: alcula: “x”  10 9 11 12 15

90. Del gráfico, calcula: ““x”, x”, si AD=DE=EC.  A) 10 B) 20 C) 40 D) 60 E) 70

D) 40 E) 50 97. En un triángulo isós isósceles celes ABC (AB=AC) (AB=AC),, la m   A=80º. En el interior del triángulo se ubica el punto M, tal que m  MBC=30º y m  MCB=10º. Calcula la m  AMC:  A) 30º B) 45º C) 60º D) 70º E) 75º 98.En 98. En un tri triáng ángulo ulo re rectá ctángu ngulo lo ABC, re recto cto en B, dond nde e P  BC   y E  AC , se tiene que la mAPE  mC , mPAC  2mPAB.   y BP = 4 cm. Calcula: PE.( en cm)  A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 12 cm 99.En

91. Del gráfico, calcular: x  A) 60 B) 70 C) 80 D) 50 E) 65 92. De  A) B) C) D) E)

la figura mostrada, calcu calcula: la: “x”. 10 12 15 18 30

93.Dado el triángulo ABC, se toma el punto “D”  (dentro de ABC) tal que AB=BC=AD. Calcula la m   ∠ DAB si m   ∠ DAC=10  y m   ∠ DCA=30  A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50º 94. Del gráfico mo mostrado, strado, Calcula: ““x”  x”   A) 30 B) 15 C) 2230’  D) 2630’  E) 1830’  95. Calcular el valo valorr de “x” si BD=AC.  A) 10 B) 14 C) 25 D) 34 E) 18 96. Calcula: ““x”, x”, si BC=AD  A) 10 B) 20 C) 30

un

tr triá iáng ngu ulo

isó isóscel sceles es

AB ABC, C,

AB= B=BC BC,,

mB=20º, se traza la mediatriz L  de  AB  y F un punto exterior al triángulo tal que F    L . Si m  FCB=30º. Calcule la mCBF  A) 20º B) 25º C) 30º D) 32º

E) 36º

100.En un triángulo rectángulo ABC, en AC y BC se ubican los puntos D y E respectivamente, de 1

manera que la mEAB = 2 mEAC, además que que la mAED  mBCA.   Si EB=10 cm. Calcule: DE (en cm)  A) 15 cm B) 17 cm C) 18 cm D) 20 cm E) 22 cm 101.En un triángulo ABC recto en A, donde AB=8u, BD

se traza traza la med media iana na 1 m  AB ABD



 A) 16 u D) 24 u

45 

2

  de manera que la

m BC BCA.

B) 18 u E) 36 u

 Calcule BC.(en u) C) 20 u

102.En el triángulo ABC (AB=BC), D  AB y DE es

perpendicular

a



 AC E en AC

.

La

prolongación prolongac ión de DE   intercepta a un rayo CX que forma con CA un ángulo congruente con el ángulo BCA, en el punto F. Si AD=a y CF=b, calcule BD. ab  A) 2   ba

D)

2

 

2b  a 2   B) E) b  2a

2a  b 2 C)

 

103.En 103 .En el tri triáng ángulo ulo ABC (re (recto cto en B B), ), R R,, S y T son puntos de respectivamente,

 AC , tales

 AB y BC

que: mSTB  mACB   y mSRA  2m ACB . Si RS=3 cm y ST=4 cm, Calcula: “AC”.  A) 10 cm B) 11 cm C) 9 cm D) 8 cm E) 12 cm 104.En un triángulo PQR se trazan las bisectrices interi int eriore oress exterior m QFS mRES

QE,, RF QE RF,,   se ubi ubicca el pun punto S y relativo a QR   tal que la 3mSFR,  3m QES,  Calcule la m  QPR. Si



además mQPR  mFSE  180  A) 100º B) 110º C) 90º D) 80º E) 60º 105.En el triángulo ABC: m  A= 2m  C, si AB= 4 u. Calcular el menor y mayor valor entero del lado BC.  A) 1u y 7u B) 5u y 7u C) 2u y 6u D) 1u y 6u

E) 6 6u u y 7u

106.En un triángulo rectángulo ABC, se ubica un punt punto o F inte interio riorr ta tall que: que: AB AB=B =BC= C=FC FC y m  BAF=15°. Calcula: mFCA  A) 7,5º B) 15º C) 22,5º D) 30º E) 36º 107.En 107.En un triá triáng ngul ulo o AB ABC, C, m  BAC=3m  BCA y BC=15 cm. Halle el menor valor entero que puede asumir  AB  A) 9 cm B) 5 cm C) 8 cm D) 6 cm E) 7 cm