Trigonometriaa_0

Trigonometría

ING. RAÚL MARTÍNEZ

Trigonometría 1. Segmentos rectilíneos positivos y negativos: Por convención, en un sistema cartesiano octogonal convenimos. a) Todo segmento paralelo al eje será positivo cuando se encuentra a la derecha del eje , y será negativo cuando se encuentra a la izquierda.

െ െെ െ െ െ

+ +

+ + + +

b) Todo segmento segmento paralelo al eje , será positivo cuando cuando se encuentra en la parte superior al eje , y será negativo cuando se encuentra en la parte inferior.

+

+ +

+

+

+ +

- - -

-

+

-

-

-

c) Todo segmento de recta que no sea paralelo a ninguno de los ejes coordenadas será siempre positivo. +

+

+

+

+

+

+ +

+

OBS: Esta convención es válida para trigonometría. 2. Cuadrantes del plano: Si fijamos un sistema cartesiano en un plano, dicho plano queda dividido en cuatro partes o ángulos rectos. A cada uno de estos ángulos lo denominamos cuadrantes y también es convención individualizarlos de la siguiente manera.

II

y

I

Cuadrante

Cuadrante

III

Cuadrante

1

IV

Cuadrante

x

Trigonometría 1. Segmentos rectilíneos positivos y negativos: Por convención, en un sistema cartesiano octogonal convenimos. a) Todo segmento paralelo al eje será positivo cuando se encuentra a la derecha del eje , y será negativo cuando se encuentra a la izquierda.

െ െെ െ െ െ

+ +

+ + + +

b) Todo segmento segmento paralelo al eje , será positivo cuando cuando se encuentra en la parte superior al eje , y será negativo cuando se encuentra en la parte inferior.

+

+ +

+

+

+ +

- - -

-

+

-

-

-

c) Todo segmento de recta que no sea paralelo a ninguno de los ejes coordenadas será siempre positivo. +

+

+

+

+

+

+ +

+

OBS: Esta convención es válida para trigonometría. 2. Cuadrantes del plano: Si fijamos un sistema cartesiano en un plano, dicho plano queda dividido en cuatro partes o ángulos rectos. A cada uno de estos ángulos lo denominamos cuadrantes y también es convención individualizarlos de la siguiente manera.

II

y

I

Cuadrante

Cuadrante

III

Cuadrante

1

IV

Cuadrante

x

3. Arcos y ángulos positivos y negativos: OBS: En geometría es hecha la diferenciación entre arcos y ángulo, pero en trigonometría es usado individualmente queriendo significar ángulo. Esto es debido a que en el sistema circular o radian el arco es el mismo que el ángulo y este sistema radian es el más utilizado en trigonometría. Análogamente a los segmentos es convención en trigonometría que un ángulo positivo se genera girando uno de los lados en sentido anti horario (contrario a las manecillas del reloj) y

x

Cuando decimos que un ángulo es negativo, quiere decir que fue generado girando en el sentido de los punteros del reloj. y

െ

x

En trigonometría nosotros solo consideramos ángulos de 0° a 360°. Y solo nos interesa donde dond e o mejor en que cuadrante fue a parar el lado móvil, no importando si dio muchas vueltas antes, si giro en sentido contrario o igual que el reloj. Lo importante es, es, cual es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje . (Es decir el ángulo positivo). Entonces en trigonometría siempre podemos adicionar o substraer 1 giro (360°) o varios va rios giros a un ángulo sin que cambie nada en el aspecto trigonométrico. Esto no es verdad en física, pues si tenemos un cuerpo un movimiento circular el número de vueltas que el móvil hace en la ciudad de tiempo no puede ser manipulado o cambiado. Esta propiedad es utilizada para transformar un ángulo negativo en ángulo positivo. Ej.: …………………………….. Cuadrante ………………………..….. Cuadrante ………………………….. Cuadrante También es utilizado para transformar en ángulo mayor de un giro en un ángulo mayor de un giro en un ángulo menor de 1 giro (360°)

െ60°െൌ60°൅360°ൌ300°

െ28െ480° െ280° 0° ൌ െ280° െ2 80°൅ ൅ 360° 360 ° ൌ 80° 80 ° െ480° ൌ െ480° െ480°൅൅ 720°720° ൌ 240°240° 1.080520 3460 11520° 515220°0° ൌൌ1520° 152… …0°…െ…4…ൈ1520 360° 360 ° ൌ 1520 1 520° ° െ 1440° 144 0° ൌ 80° 1520° ൌ 80° 0° ൌ 360° Luego en trigonometría:

2

IIV II

4. Medidas de los arcos o ángulos: En trigonometría son utilidades tres sistemas de medidas. a) Sistema sexagesimal: (grado sexagesimal) Es el sistema que qu e divide un giro completo en 360 partes iguales y a cada uno de estas partes lo llama grado sexagesimal. 1 giro grados sexagesimales

ൌ 360°

1°1ᇱ ൌൌ60"60ᇱ

90°

360°

ൌ 60"

A su vez el grado sexagesimal es dividido en 60 minutos (partes iguales) subdivide nuevamente en 60 segundos sexagesimales En este sistema sistema cada cuadrante mide mide 90° b) Sistema centesimal: (grado centesimal) Es el sistema que divide el ángulo de 1 giro en 400 partes iguales y a cada uno lo llama grado centesimal . Los submúltiplos son:

400஼

11௠஼ ൌൌ100100seg

0°

180°

ൌ 60′

270°

. Y cada minuto se

100஼

200஼ 300஼

Este sistema posee la ventaja por ser centesimal de ser fácilmente transformado los minutos y segundos a grado centesimal. En este sistema cada cuadrante mide c) Sistema circular o Radian: Para ser instaurado este sistema de medida angular fue estilizado conceptos de geometría plana. Nosotros sabemos que cualquier cia tiene por perímetro.

100஼

ൌ 2 ൌ 6,6,2828

0400஼ ஼

y B 1 Radian 1 Radian

1 Radian Es decir que la longitud de una cia es 6,28…. Veces el radio. 0,14...Rad 0,28 Rad x En otras palabras si agarramos la medida longitudinal del 1 Radian radio de una cia, y lo medimos el arco de dicha cia, 1 Radian encontraremos que cabe 6,28 veces. Y esto ocurre con 1 Radian cualquier cia. Al ángulo central que subtiende un arco igual al radio se lo denomina ángulo de 1 Radian. Y la cia completa tendrá 6,28 Radianes, para ser más precisos decimos Radianes pues … Entonces podemos decir que el sistema radian divide 1 giro en Radianes.

π  Rad

஠ଶ

2 2

Rad

ൌ 3,1416

0 Rad 2 π  Rad

ൌ π2

1 Cuadrante

Rad

3/2 π  Rad

5. Relaciones entre los 3 sistemas de medida angulares: Las relaciones que rigen entre los 3 sistemas de medida angulares son:

180° ൌ 200஼ ൌ 

Cualquier transformación de un sistema a otro es echo por simple regla de tres utilizando la relación. 3

Funciones Trigonométrica: Las funciones trigonométricas son definidas en un triángulo rectángulo. Sea el triángulo rectángulo Definimos:

∆

sen ൌ . ൌ തത ത . cos ൌ ൌത ത . tg ൌ . ൌ ത

Notemos pues estas funciones son razones, cocientes o relaciones entre dos segmentos, es decir estamos nuevamente en las proporciones geométricas. Para poder visualizar y entender mejor vamos a ampliar más los conceptos.

ଷ

ଶ

ଵ ଵ

ଶ

∆ଵ ଵ , ∆ଶ ଶ , ∆ଷ ଷ ∆ସ ସ

ଷ

ସ

ସ

∆

Todos los triángulos y …………….son semejantes. Luego la relación entre los lados homólogos será siempre igual, por ejemplo:

sen ൌ tg ൌ

ଵ ଵൌ ଵ ଵ ଵൌ ଵ

ଶ ଶൌ ଶ ଶ ଶൌ ଶ

ଷଷ ଷ ଷଷ ଷ

Entonces la función trigonométrica de un ángulo es siempre la misma independiente de cuales segmentos homólogos sean considerados e independientes del tamaño del triángulo considerado. Para no tener que estar diciendo a menudo la función al revés de la tangente o del seno etc., fueron definidos más tres funciones.

cosec ൌ . sec ൌ . . cotg ൌ . .

ൌ തത ത ൌത ത ൌത

OBS.: Estos tres últimas funciones que fueron definidas son las inversas de las tres anteriores.

4

ൌ1

2. Cia Trigonométrica: llamamos cia trigonométrica a la que tiene (unidad) En trigonometría esta cia es muy útil pues simplifica los resultados de las funciones trigonométricas, y nosotros sabemos que las proporciones permanecen inmutables pues estamos lidiando con triángulos semejantes. Vamos a utilizar las definiciones de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo de la cia trigonométrica.

Esto quiere decir que en la cia trigonométrica el

tg α

1 H

B

está representado por el segmento

está representado por el segmento

Para poder saber cuál es el segmento que representa a la de geometría (triángulo semejantes)

T

A

ത ൌ ൌ1 sen ൌ . . ൌ തത ൌ ത1 ൌ ത α cos ൌ . . ൌ തത ൌ ത1 ൌ ത cos ത . . tg ൌ . ൌ ത ……………. ሺ 1ሻ tg ∆െെ∆ ൌ …………ሺ2ሻ tg ൌ തത ൌ തത ൌ ത1 ൌ ത

Esto quiere decir que en la cia trigonométrica el seno

Luego:

y

x

ത

ത

.

en la cia trigonométrica usamos el concepto

Es decir la en la cia trigonométrica está representada por el segmento de la tangente a la cia entre el origen y la prolongación del radio vector.

5

3. Signos en los 4 cuadrantes: Conociendo los segmentos que representan a las funciones trigonométricas en los 4 cuadrantes podemos, fácilmente saber cuál es el signo de cada función en cualquier cuadrante. a) PRIMER CUADRANTE: y

T A

1 H B

x

sen ൌ തത ൌ ൅൅ ൌ ൅ … ……………… →ത ൌ ൅ cos ൌ തത ൌ ൅൅ ൌ ൅………………… →ത ൌ ൅ tg ൌ ൌ ൌ ൅൅………………… → ത ൌ ൅

Todas las funciones en el primer cuadrante son positivas y tienen el mismo signo que sus segmentos representativos. Las funciones inversas mantienen el mismo signo de sus opuestos. b) SEGUNDO CUADRANTE:

A 1 H B

T

sen ൌ തത ൌ ൅൅ ൌ ൅ … ……………… →ത ൌ ൅ cos ൌ തത ൌ െ൅ ൌ െ ………………… → ത ൌ െ tg ൌ ൌ ൅െ ൌ െ⋯……………… → ത ൌ െ sen cos tg

Solamente el en el segundo cuadrante es positivo y coinciden con el signo de sus segmentos representativos. Las funciones opuestas tienen el mismo signo de sus respectivas

6

son negativas y nuevamente

c) TERCER CUADRANTE: T

H B

A

ത sen ൌ ത ൌ െ൅ ൌ െ … ……………… → ത ൌ െ cos ൌ തത ൌ െ൅ ൌ െ ………………… → ത ൌ െ tg ൌ ൌ െെ ൌ ൅ … ……………… →ത ൌ ൅

Nuevamente tenemos coincidencia de los signos de las funciones con sus segmentos representativos. d) CUARTO CUADRANTE:

B

H x

A T

ത sen ൌ ത ൌ െ൅ ൌ െ … ……………… → ത ൌ െ ത cos ൌ ത ൌ ൅൅ ൌ ൅ ………………… →ത ൌ െ tg ൌ ൌ െ൅ ൌ െ ………………… → ത ൌ െ

7

REDUCCION DE FUNCIONES DE ARCOS AL PRIMER CUADRANTE: a) Reducción de funciones de arcos del segundo cuadrante a funciones de arcos del primer cuadrante. Para conseguir estas reducciones utilizamos el teorema relativo a los arcos suplementarios.

……………………..……. ángulo del segundo cuadrante

y

son suplementarios

ൌെ sen ൌ senሺ െ ሻ ൌ sen cos ൌ cosሺ െ ሻ ൌ െcos tg ൌ tgሺ െ ሻ ൌ െtg

൅ൌ

Luego:

b) Reducción de funciones de arcos del tercer cuadrante a funciones de arcos del primer cuadrante. Para conseguir estas reducciones utilizamos el teorema relativo a los arcos que difieren en una semicircunferencia positiva. ……………… ángulo del tercer cuadrante

ൌ൅ sen ൌ senሺ ൅ ሻ ൌ െsen cos ൌ cosሺ ൅ ሻ ൌ െcos tg ൌ tgሺ ൅ ሻ ൌ െtg

c) Reducciones de funciones de arcos del cuadrante a funciones de arco del primer cuadrante Utilizamos el teorema relativo a ángulos simétricos. ángulo del cuarto cuadrante

………………… ൌ360°െ

sen ൌ senሺ2 െ ሻ ൌ െsen cos ൌ cosሺ2 െ ሻ ൌ cos tg ൌ tgሺ2 െ ሻ ൌ െtg

B

െ

8

x

1-

FORMULAS FUNDAMENTALES

III FORMULAS DEL PRIMER GRUPO:

Deducción de las cinco formulas fundamentales. En las funciones trigonométricas de un mismo ángulo se verifican algunas relaciones fundamentales. T P

R

A M

Vamos a demostrar las relaciones fundamentales de una forma general, para una cia de radio R. en el

∆ ത ଶ ൌത ଶ൅ത triángulo

tenemos: ………………………………….. Relación Pitagórica. Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por tendremos:

ଶ

ଶ ത ത ଶ ൌ ቆത ቇଶ ൅ቆത ቇଶ തଶ ത ത

……………. ሺ1ሻ ത sen ൌ ത ………. . …….ሺ2ሻ cos ൌ ………. .

Por definición de la función tangente tenemos:

También:

തതమమ ൌ 1

Llevando estas relaciones en (1) tendremos:

senଶ ൅cosଶ ൌ 1 ത tg ൌ ത …………………ሺ3ሻ ത ത tg ൌ തതത …………………ሺ4ሻ tg ൌ scosen ത t g ൌ ത ത tg ൌ ത ൌ തത1 …………………ሺ5ሻ cotg ൌ തത ………. ሺ6ሻ Por definición de la función tangente tenemos:

Dividiendo el numerador y el denominador del segundo miembro de (3) por podemos escribir…

, la fracción no varía y

Llevando (2) en (4) tendremos:

Nuevamente por definición de la función tangente

Por definición de la función cotangente tenemos:

9

que también podemos escribir:

tg ൌ cot1g sen ൌ ത ൌ തത1 ………………. ሺ 7ሻ

(6) en (5)

Análogamente tendremos:

ൌ തത ………ሺ8ሻ 1 sen ൌ cosec ത 1 1 cos ൌ ത ൌ തത ൌ sen cos ൌ sec1 senଶ ൅cosଶ ൌ1……………..ሺሻ tg ൌ sencos ………………………ሺ ሻ tg ൌ cot1g …………………..…ሺሻ sen ൌ cosec1 …………………ሺሻ cos ൌ sec1 ……………………ሺሻ sensenଶ ൌ√െ1cos ൌെ1cos ଶଶ senଶ ൅cosଶ ൌ1 cosଶ ൌെ1sen ଶ cos ൌ√െ1sen ଶ t g .cot g ൌ1 senα tg ൌ cosα1 1tgα cot g ൌ tg ൌ cotgα cosα cotg ൌ senα sen ൌ cosecα1 ቊ sencosec.cosecൌ senαൌ11 cos .sec ൌ1 1 cos ൌ secα …………… ቊ sec ൌ cosα1

Pero por definición 

(8) en (7)

IDEM:

Resumiendo tenemos las 5 formulas fundamentales:

Es bueno acostumbrarse a algunas fórmulas derivadas de estos:

a)

b)

c)

d)

……………………..

………………….

10

RELACION TRIGONOMETRICA ADICIONAL: Esta fórmula que vamos a deducir a continuación no está en el programa como una relación fundamental pero algunos autores lo consideran como tal debido a su importancia para resolver muchas cuestiones lo vamos a deducir con la resalva siguiente: “Cuando lo utilizamos debemos hacer la deducción rápida como calculo auxiliar” Partiendo de la relación fundamental.

senଶ ൅cosଶ ൌ1……ሺ1ሻ cosଶ sencosଶଶ ൅ coscosଶଶ ൌ cos1ଶ

Dividiendo ambos miembros de (1) por

tendremos:

O mejor:

tgଶ ൅1ൌsec ଶ Dividiendo la ecuación (1) por Tendremos:

O mejor:

senଶ

sensenଶଶ ൅ sencosଶଶ ൌ sen1ଶ 1൅cotgଶ ൌcosecଶ

11

DEDUCCION DE LASTANGENTE FORMULASYDELCOTANGENTE SENO E COSENO DE UN ARCO EN FUNCI O N DE LA DEL MISMO ARCO

a) Deducción del seno en función de la tangente y cotangente. Partimos de la relación fundamental: Dividiendo ambos miembros por

senଶ

cosecଶ ൌ1൅cotgଶ 1senଶ α ൌ1൅cotgଶ

1ൌsen ଶ ൅cosଶ

tendremos

O mejor:

Luego:

Pero

senଶ ൌ 1൅cotg1 ଶ sen ൌ ඥ 1൅cotg1 ଶ

cotg ൌ tg1 sen ൌ ට 1 ൅1 1ଶ ൌ tgଶ1 ൅1 ൌ ඥ tgtଶg ൅1 tg ඨ  tgଶ sen ൌ ඥ 1 ൅tgtg ଶ ଶ ൅cosଶ 1ൌsen cosଶ senଶ ൌtgଶ ൅1 1cosଶ ൌtgଶ ൅1 cosଶ ൌ 1൅tg1 ଶ cos ൌ ඥ 1 ൅tg1 ଶ tg ൌ cot1g cos ൌ ට 1 ൅ 1 1ଶ ൌ cotg1ଶ ൅1 cotg ඨ  cotgଶ cotgα ଶ α cosαൌ ඥ 1൅cotg

b) Deducción del coseno en función de la tangente y de la cotangente. Partimos de la relación fundamental. Dividimos ambos miembros por O mejor:

Luego:

Pero

y tendremos:

12

Calculo de los valores de las funciones trigonométricas de 30° y 60° B

C

A

60°

30° R

F

R

D

E

Sea el hexágono regular inscripto en la cia O cuyo radio es R.

∠∠ ൌ 1∠ ൌ∠ 121 2π2π6 ൌ ππ6 ൌ 30° ൌ 2 3 ൌ 3 ൌ 60° Uniendo los vértices

തത y

଺ൌ

tenemos formado el triángulo

∆

………………………….. por estar inscripto en una semicircunferencia. ………………….Medida de un ángulo inscripto. …………………… Ángulo inscripto

ത ത ൌൌ଺2ൌ ത ଶ ൌ ሺ2 ሻଶ െത ଶൌൌ 4√ 3ଶ െ ଶ ൌ√ 3 ଶ

Además por geometría sabemos que

Luego aplicando Pitágoras tendremos:

Por definición de las funciones trigonométricas tendremos:

sen30° തൌതത ൌ √ 23 ൌ √ 123 cos30°ത ൌത ൌ 2 ൌ1 2 √ 3 tg 30° ൌത ൌ . √ 3ൌ √ 3ൌ 3 ∆ ത sen60° ൌത ത ൌ 2√ 3ൌ √ 23 cos60° ൌ ത ൌ 2 ൌ 12 tg 60° ൌതത ൌ √ 3ൌ√ 3

Análogamente en el triángulo rectángulo

por definición:

13

Calculo de los valores de las funciones trigonométricas de 45° C D 45°

ସ 45°

ସ

A

B

∆ ∠ ത തത ൌൌ ସସ ൌൌ √ √ 22  ቑ ∆ladosesuignualtrieasngulseooponerectaangulnguloosisiogsualceleess.. ∠ ൌ ∠ ൌ 45° ത ൌ2 ത sen45° ൌത ൌ √ 22 ൌ √ 22 ത cos45° ൌത ൌ √ 22 ൌ √ 22 tg 45° ൌതത ൌ √ √ 22 ൌ 1 Sea el cuadrado ABCD inscripto en la cia O de radio R. Trazando la diagonal se forma el triángulo En este triángulo tenemos:

……………  _ ángulo inscripto en semicircunferencia.

14

TEOREMAS RELATIVOS A LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ARCOS COMPLEMENTARIOS.

a) La tangente de un ángulo agudo es igual a la cotangente de su complemento. La cotangente de un ángulo agudo es igual a la tangente de su complemento. Consideremos el triángulo rectángulo Por geometría sabemos:

∆

∠ ൅ ∠ ൌ90° ቐ ∠∠ ൌ90°െ ∠∠ ൌ90°tgെ cotg ∠tg ൌ തത …………………………………. … ……………. ሺ 1ሻ ∠ ത cotg ൌ ത ……………………………………………. . … ሺ2ሻ tg ∠ ൌcotg∠ ∠ ൌcotgቆ90°∠ െ ∠ቇ tg ൌcotgቆ90°െ ቇ cotg ∠ ൌtgቆ90°െ ∠ቇ ∆ ∠ ൅ ∠ ൌ90° ቐ∠∠ ൌ90°െ ∠∠ ൌ90°െ sen ∠ ൌ തത ………………………. ሺ 1ሻ cos ∠∠ൌ തത ………………………. ሺ 2ሻ ∠ ∠ sen ൌcos∠ ൌcosቆ90°െ∠ ቇ sen ൌcosቆ90° െ ቇ ∠ ∠ cos ൌsenቆ90°െ ቇ ∠ ∠ sec ∠ൌcosecቆ90°െ∠ ቇ cosec ൌsecቆ90°െ ቇ ……………

Por definición de las funciones

A

y

B

C

tenemos:

Los segundos miembros son iguales luego:

Análogamente podemos demostrar que:

b) El seno de cualquier ángulo es igual al coseno de su complemento y viceversa.

B

Consideremos el triángulo rectángulo ………………….

A

C

Por definición de las funciones trigonométricas seno y coseno podemos escribir:

Luego:

Análogamente

c) La secante de cualquier ángulo agudo es igual a la cosecante de un complemento y viceversa. OBS: El proceso demostrativo es análogo a los anteriores. Luego:

Resumiendo podemos escribir: “Cualquier función trigonométrica de un ángulo es igual a la cofunción de su complementario”

15

y a) Seno de la suma y diferencia de dos ángulos: Vamos a considerar dos ángulos y , uno consecutivo del otro, con vértice común coincidente con el origen O de coordenadas cartesianas ( ) tal como ilustramos en la figura.

ൌത ∠   ;  ൌ ∠    ; ൅ ൌ ∠ ത ത ത ത senሺ ൅ ሻൌ ത ……………. ሺ 1ሻ sen ൌ തതത …………………. . ሺ 2ሻ cos ൌ ത ……………………ሺ3ሻ ൌൌ ଵଶ………. A l t e rnos i n t e rnos …………………Lados  r espect i v ament e  p erpendi c ul a res . ൌ ଵൌ ଶ ത ത ത sen ൌ ത ൌ ത    y  cos ൌ ത തത ൌൌ തത scosen ത ത ത ൌ ത OT൅ തsenα൅ൌ തPTsencosα൅ ത cos …………….ሺ4ሻ ሺ4ሻ ሺ1ሻ senሺ ൅ ሻ ൌ OP

……….lado común a y . Por un punto cualquiera P de la semirecta trazamos las perpendiculares a y . Entonces por definición de la función seno tendremos:

De la misma forma para el ángulo

M

B P

ଶ

N

ଵ

A T

S

x

, por definición de las funciones seno y coseno tenemos:

Observando la figura tenemos:

Luego:

y podemos escribir.

De estas expresiones resultan:

Si sumamos los segmentos

en

O ……..

y

ത

………..

senሺ ൅ ሻ ൌ OT തOP sen ത

obtenemos:

ത

ത

തPT ൅ തOP cos

Llevando (2) y (3) en esta última expresión tenemos:

senሺ ൅ ሻ ൌ sen cos ൅ cos sen Para deducir la expresión correspondiente al seno de la diferencia entre dos ángulos empleamos un artificio algebraico. Por lo tanto:

െ ൌ ൅ ሺെ ሻ senሺ െ ሻ ൌ senሾ ൅ ሺെ ሻሿ

Aplicando la formula anterior para la suma tendremos:

senሺ െ ሻ ൌ sen .cosሺെ ሻ ൅ cos .senሺെ ሻ Por funciones de ángulos simétricos sabemos

cosሺെ ሻ ൌ cos ൜senሺെ ሻ ൌ െsen Llevando estas expresiones en la anterior tenemos: senሺ െ ሻ ൌ sen cos െ cos sen 16

y

∠ ൌ∠ ൌ ∠ ൅ത ൌ

b) Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos

ଵ

……….lado común

Consideremos los ángulos consecutivos y , son vértice común coincidente con el origen O de coordenadas cartesianas Por un punto cualquiera P de OA, tracemos:

തത തത ത ത ത ത ∆

Por el punto D tracemos Tracemos además por el punto P………

Consideremos los triángulos rectángulos

  ∆∆

∆ െ െ ∆ ………… ∠ ൌ ∠ଵ ……. ത cosሺ ൅ ሻ ൌ ത …….ሺ1ሻ ത ത ത ത ത ൌ െ ൌ െ ……………. . ሺ 2ሻ ሺ2ሻ ሺ1ሻ ത ത ത െ cosሺ ൅ ሻ ൌ ത ൌ ത െ തത ത തത ത ത ത cosሺ ൅ ሻ ൌ ത ∙ ത െ ത ∙ ത …………. . ሺ 3ሻ ത  ത ൌ cos …………………….… … തത ൌ cos തത ൌ sen ………….൬ ∠ଵ ൌ ∠൰…. . തത ൌ sen cosሺ ൅ ሻ ൌ cos . cos െsen . sen ሺ ሻ ሾ ሺ ሻ ሿ cos െ ൌ cos ൅ െ ൌ cosሺ െ ሻ ൌ cos . cosሺെ ሻെsen . senሺെ ሻ………..ሺ4ሻ ൜ senሺcosെሺെሻሻൌൌെsencos cosሺ െ ሻ ൌ cos . cos ൅sen . sen Lados perpendiculares.

Por definición de la función coseno

En la figura podemos ver en

Multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción por denominador de la segunda fracción por , tendremos:

y el numerador y

Pero:

Llevando estos valores en (3) tenemos:

Para calcular el coseno de la diferencia de dos ángulos, utilizamos el artificio algebraico.

Pero por ángulos simétricos……. Sustituyendo en (4) tendremos:

17

c) Tangente de la suma y diferencia de dos ángulos

. c os ൅c o s . s en sen tgሺ൅ሻൌ senሺ൅ሻ ൌ cosሺ ൅ ሻ cos cos െsen sen cos . cos sen . c os ൅cos . s en tgሺ ൅ ሻ ൌ cos .ccoscosos െsen.. ccosos .sen sen cos cos sen ൅ tgሺ ൅ ሻ ൌ coscoscos coscoscos െ coscossin sicoscosn s e n s e n ൅ tgሺ ൅ ሻ ൌ 1െcosscosen cos∙ scosen …………ሺ1ሻ s൞cosen ൌ tan ൢ…………enሺ1ሻ scosen ൌ tan tgሺ ൅ ሻ ൌ 1െttg g൅t.gtg tgሺ െ ሻ ൌ tgሾ ൅ሺെ ሻሿ tgሺ െ ሻ ൌ 1െttg g൅t.gtሺgെሺെሻሻ ………ሺ2ሻ tgሺെ ሻ ൌ െtg ………. . enሺ2ሻ tgሺ െ ሻ ൌ 1൅ttg gെt.gtg

Dividiendo numerador y denominador por

Pero:

tendremos:

Para calcular la tangente de la diferencia de dos arcos utilizamos el artificio algebraico:

Y aplicamos la fórmula de la suma:

Pero:

Y tendremos:

18

d) Cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos.

cosሺ ൅ ሻ ൌ cossen coscos െsen sen cotgሺ ൅ ሻൌ senሺ൅ሻ ൅cos sen sen sen cos cos sen sen െ cotgሺ ൅ ሻൌ sensensen sensencos ൅ sensencos sensensen cos cos ∙ cotgሺ ൅ ሻൌ sensencos sen൅ sencosെ1 …… .ሺ1ሻ

Dividiendo numerador y denominador por

Pero:

Tendremos:

Pero

Que multiplicando por

, tendremos:

cos s൞cosen ൌൌ cotcotgg ൢ enሺ1ሻ sen cotgሺ ൅ ሻ ൌ cotcotgg cot൅cotg gെ1 cotgሺ െ ሻ ൌ cotgሾ ൅ሺെ ሻሿ gሺെ ሻെ1g ………ሺ2ሻ cotgሺ െ ሻ ൌ cotcotggሺെcotሻ൅cot cotgሺെ ሻ ൌ െcotg ……. enሺ2ሻ cotgሺ െ ሻ ൌ െcotെcotgg cot൅cotg gെ1 ሺെ1ሻ cotgሺ െ ሻ ൌ cotcotgg cotെcotg g൅1 numerador y denominador tendremos:

19

DEDUCCI O N DE LAS FORMULAS DE LAS FUNCI O NES DEL ARCO DOBLE. aሻ sen2 senሺ ൅ ሻ ൌsen cos ൅cos sen ൌ senሺ ൅sen2ሻൌsenൌ2sencos cos൅cos sen cos2 cosሺ ൅ ሻൌcos cos െs e n sen ൌ cosሺ ൅cos2ሻൌcosൌcoscosଶ െsenെseଶn sen tg 2 t g ሺ ൅ ሻൌ െ1ttg g൅ttgg ൌ t g ሺ ൅ ሻൌ െ1ttg g൅ttgg tg 2 ൌ െ1tg2tg ଶ FUNCIONES DEL ARCO MITAD cos2 ൌcosଶ െsenଶ ଶ ………………. ሺ 1ሻ cos2 ൌെ12sen ଶ െ1………………. ሺ 2ሻ cos2 ൌ2cos 2 ൌ ………………. → ൌ α2 ଶ2 cos ൌെ12sen senଶ 2 ൌ െ1cos2 sen 2 ൌ ඨ െ1cos2 cos ൌ2cos1൅cosଶ 2 െ1 cosଶ 2 ൌ 2 cos 2 ൌ ඨ 1൅cos2 1cos tg 2 ൌ ඨ െ1൅cos Calculo de Si en la igualdad Hacemos:

resulta:

b) Calculo de Si en la igualdad: Hacemos:

tendremos:

c) Calculo de Si en la igualdad:

Hacemos

tendremos:

De la fórmula del arco doble:

Podemos obtener estos dos equivalentes:

Si hacemos:

Llevando estas dos relaciones en (1) Tendremos:

Llevando las mismas relaciones en (2) Tendremos:

20

FORMULAS DEL TERCER GRUPO

∠∠

a) Transformación en producto de la suma y diferencia de dos senos de dos arcos Si y son dos ángulos Y hacemos:

Resolviendo el sistema de ecuaciones Tendremos:

∠ቐ ൅ ∠ ൌ∠∠ ……… .ሺ1ሻ

∠ െ ∠ ൌ ………..ሺ2ሻ

∠ ∠ ∠ ൌ ൅2 … . … . ሺ 3ሻ ∠ ∠െ∠

ൌ 2 ………..ሺ4ሻ sen ൌ sen൬∠ ൅ ∠൰ ൌ sen∠ cos ∠ ൅sen ∠ cos ∠ sen ൌ sen൬∠ െ ∠൰ ൌ sen∠ cos ∠ െsen ∠ cos ∠ sen ൅sen ൌ sen൬∠ ൅ ∠൰൅sen൬∠ െ ∠൰ ൌ 2sen∠ cos ∠ ……….ሺ5ሻ ∠ ∠ sen ൅sen ൌ 2. sen ൅2 .cos െ2 sen ൌ sen൬∠ ൅ ∠൰ ൌ sen∠ cos ∠ ൅sen ∠ cos ∠

De las formulas: seno de la suma y diferencia de dos arcos tenemos:

Sumando

Sustituyendo (1) (2) (3) y (4) en (5) tendremos:

Para transformar en producto la diferencia de los senos de dos arcos, restamos las igualdades

Tendremos:

െsen ൌെsen൬∠ െ ∠൰െൌsen ∠ cos ∠ ൅sen ∠ cos ∠ sen െsen ൌsen൬∠ ൅ ∠൰െsen൬ ∠ െ ∠൰ൌ2sen ∠ cos ∠ ………… . ሺ6ሻ

Sustituyendo (1) (2) (3) y (4) en (6)

∠ ∠ sen െsen ൌ 2. sen െ2 .cos ൅2 21

∠ ∠

b) Transformaciones en producto de la suma y diferencia de dos cosenos de dos arcos. Si y son dos ángulos Y hacemos:

∠ቐ ∠ ൅ ∠∠ ൌ ∠∠ ………… ሺ1ሻ െ ൌ ………… ሺ2ሻ ∠ ∠ ∠ ൌ ൅2 …………. ሺ3ሻ ∠ ∠ ∠ ൌ െ2 …………. . ሺ4ሻ ∠ cos ∠ ൌ cos൬∠∠ ൅ ∠∠൰ ൌ cos∠∠ cos ∠∠ െsen ∠∠ sen ∠∠ cos ൌ c o s൬ െ ൰ ൌ cos cos ൅sen s e n cos ∠ ൅cos ∠ ൌ cos൬∠ ൅ ∠൰൅cos൬∠ െ ∠൰ ൌ 2cos∠ .cos ∠ ……….ሺ5ሻ

Resolviendo el sistema de ecuaciones Tendremos:

De las formulas: coseno de la suma y diferencia de dos arcos tenemos.

Sumando:

Sustituyendo (1) (2) (3) y (4) en (5) Tendremos:

∠ ∠ cos ൅cos ൌ 2. cos൬ ൅2 ൰cos൬ െ2 ൰

De la formulas: coseno de la suma y diferencia de dos arcos. Tendremos:

Restando:

∠ cos ൌ cos൬∠ ൅ ∠൰ ൌ cos∠ cos ∠ െsen ∠ sen ∠ െcos ∠ ൌ െcos൬∠ െ ∠൰ ൌ െcos∠ cos ∠ െsen ∠ sen ∠ ∠ ∠ cos െcos ൌ cos൬∠ ൅ ∠൰െcos൬ ∠ െ ∠൰ ൌ െ2cos∠.cos ∠ ……..ሺ6ሻ

Llevando (1) (2) (3) y (4) en (6) Tendremos:

∠ ∠ cos െcos ൌ െ2sen ൅2 sen െ2 22

TEOREMA 3: ∆ H) Sea

En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. B

un triángulo cualquiera, siendo sus lados a, b y c

T)

c

ൌ ൌ ∠ ∠ ∠ sen sen sen ത ത ∆ ∠ ത ……………………ሺ1ሻ sen ൌ ∆ ത sen ൌ ……………………ሺ2ሻ ∠ ∠ sen ൌsenቆ180°െ ቇൌsen ……………… . ሺ3ሻ ∠ ത sen ൌ …………… . ሺ4ሻ A

D) Por el vértice En el triángulo

En el triángulo

Pero:

se traza la recta

b

C

que es

rectángulo, tenemos por definición de la función seno.

también rectángulo tenemos:

Porque el seno de un ángulo obtuso es igual al seno de su suplementario. Sustituyendo (3) en (2) tendremos:

∠ ത sen ∠ ൌ ത ൌ sen sen ∠∠ ൌ ………….queutilizandolaspropiedades de las proporciones. sen ൌ …………………………………………. . ሺ 5ሻ ∠ ∠ sen sen

Dividiendo miembro a miembro las igualdades (1) y (4) tendremos:

O mejor:

Tendremos:

∆ ത ∠ sen ∠ ൌ que tambien podemos escribir en la forma: sen

Análogamente trazando por el vértice C del triángulo

De (5) y (6) tendremos:

una

, podemos demostrar.

ൌ …………………………………………. ሺ 6ሻ ∠ ∠ sen sen ൌ ൌ ∠ ∠ ∠ sen sen sen 23

D

TEOREMA 4:

En todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la semidiferencia de los mismos. B c

A

H) T)

∆

triángulo cualquiera siendo

D) En el triángulo

∆

C

b

,

y

sus lados.

∠ ∠ ൅െ ൌ tg ቆ∠ ൅2 ∠ቇ tg ቆ െ2 ቇ ∠ sen ൌ ൌ ∠ ∠ ∠ sen sen sen ൅െ ൌ sen ∠∠ ൅sen ∠∠ sen െsen ∠ ∠ ∠ ∠ ൅ െ ൅െ ൌ 2sen ቆ∠ 2 ∠ቇ cos ቆ∠ 2 ∠ቇ 2cos ቆ ൅2 ቇ sen ቆ െ2 ቇ ∠ ∠ ∠ ∠ ൅െ ൌtg ൭ ൅2 ൱ .cotg ൭ െ2 ൱ ∠∠

, aplicamos la ley de los senos tendremos:

Aplicando la propiedad de las proposiciones tendremos:

Empleando las formulas trigonométricas de transformación de sumas y diferencias de los senos en productos tendremos:

൅െ ൌ tg ቆ∠ ൅2 ∠ቇ tg ቆ െ2 ቇ ∠ ∠ ൅ ቆ ൅െ ൌ tg ∠ 2 ∠ቇ tg ቆ െ2 ቇ

Análogamente también podríamos demostrar:

24

TEOREMA 5: En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre los mismos. B

c C

H) Sea

∆

b

A

D) Por el vértice

trazamos una

En el triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo

ଶ ൌ ଶെሺ

D

 ,  ଶ ൌ ଶ ൅ ଶ െ2 . cos ∠ ∆ ଶ ൌ ଶ െ ത ଶ …………… Teoremadepitagoras ∆

un triángulo cualquiera, siendo

T)

h

y

sus lados.

al lado AC y sea D el pie de la

.

tendremos:

tendremos:

൅ ത ሻଶ …………….. ሺ2ሻ …………….TeoremadePitagoras

Los primeros miembros de (1) y (2) son iguales.

ଶെሺ

Luego:

൅ ത ሻଶ ൌ ଶ െ ത ଶ ………….. ሺ3ሻ

Que desarrollando las operaciones indicadas y transponiendo términos, tendremos:

ത െത ଶ ൌ ଶെത ଶ ଶ ൌ ଶ ൅ ଶ ൅ 2 ത ………….ሺ4ሻ

ଶെ ଶെ2 En el triángulo

∆

rectángulo tenemos:

ത cos ൌ ………………..…ሺ5ሻ

∠ ∠ son suplementarios. Pero los ángulos y Luego:

∠ cos ൌ െcosሺ180° െ ሻ ൌ െcos ………….ሺ6ሻ

Los primeros miembros de (5) y (6) son iguales.

∠ ത ୅ୈ Luego: ୡ ൌ െ cos ∠ ത ൌ െ .cos ……………..ሺ7ሻ O también: (7) en (4) ଶ ൌ ଶ ൅ ଶ െ 2 cos ∠ Análogamente podemos demostrar que: ଶ ൌ ଶ ൅ ଶ െ 2 cos ∠ ଶ ൌ ଶ ൅ ଶ െ 2 cos ∠ 25

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRIA

1) Expresar los siguientes ángulos en el sistema circular o radian. a) 225° d) 270° b) 300° e) 120° c) 140° f) 225° 2) Expresar los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal. a) d) b) c)

5஠ ଵଶ଼஠ ହ

e) f)

g) h) i)

஠ଽ ଵଶ஠ଵଽ ଷ஠ଶ

g) h) i)

ଵସଷହ െ20°

3) Transformar los siguientes ángulos en un ángulo positivo menor que 360° a) 15.850° e) b) f) c) 85 g) 185.428° d)

െ7.െ 453° 25.500

h)

െ

i)

300150 70௠ 220 1208540௠ 50 20௠ 30௦௘௚ െെ ଷ஠360°ଶ

4) Haciendo un gráfico a escala, usando regla y transferidor. Calcular las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos. a) 43° d) 28° b) 15° e) 56° c) 37° f) 80° 5) Un aeroplano que precisamente está sobrevolando un puerto de observación que se halla a 3.000 de una batería antiaérea. Desde la batería, el ángulo de elevación del avión es de 27°. Determinar la altura del avión. 6) Una torre de de altura proyectora una sombra de . Determinar el ángulo de elevación del sol en ese instante. 7) El altímetro (instrumento para medir alturas) de un aeroplano de reconocimiento indica 2.000 sobre el nivel del mar cuando pasa sobre su portaaviones. En el mismo instante se detecta la presencia de un submarino, cuyo ángulo de depresión desde el aeroplano, es de 25° ¿Cuál será la distancia entre el submarino y el barco? 8) El vigía de un barco determina que la cima de un risco, señalado en su carta con una altura de 130 por encima del nivel del mar, forma un ángulo de 6° con la horizontal al nivel de su ojo. Si el vigía está a sobre el nivel del mar. ¿A qué distancia está el barco de la costa? 9) Una escalera se apoya contra un muro de tal modo que su extremo está a del suelo y su base a del muro. ¿Qué ángulo forma la escalera con el muro? 10) ¿Crece el valor numérico del seno de un ángulo en la misma proporción que crece el ángulo? ¿Es igual al doble de ? 11) Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno y el ángulo del vértice es de 28°. Determinar, la base, la altura, los otros ángulos y el área del triángulo. 12) Si una carretera tiene una pendiente de 8° 45’ y una señal se halla sobre la carretera a 150 del pie de la pendiente, determinar la distancia horizontal entre el pie de la pendiente y el pie de la señal. 13) La altura de un rectángulo es 17 y su diagonal 30 . Determinar el ángulo que forma la diagonal con la base. 14) En un triángulo rectángulo , con ángulo recto en , el lado es cinco veces mayor que el lado . ¿Cuánto mide el ángulo en ?

40

2,50 sen 84°

70

10

sen42°

3,25

26

7

15) Mientras vuela a una altura de 1.000 , un piloto observa que el ángulo de depresión de un aeropuerto es de 10° 40’ ¿A qué distancia está el, en ese instante de un punto del aeropuerto? 16) Un camino tiene una pendiente de 12° 30’ respecto de la horizontal ¿Cuánto asciende el camino por cada 25 horizontales? 17) Teniendo en cuenta el triángulo de la figura. Resolver completamente los siguientes triángulos rectángulos. a) y b) y c) d) e) f)

cosൌ60ൌ0,8 cosecൌ15 ൌ 1,88 ൌൌ 8260 senൌ 30ൌ 0,33

ൌൌ 2496 cottg gൌ ൌ2 0,7 tcos71° g83° sec60°30′ 1 sen17° ൌ cosec73° tsec47°. g ൌ cotcos47° gሺ90°൅ൌ 1ሻ cos38°  1 4′ ൌ sen51°  4 6′ coscosecൌ83°senB1 ൌ sec7° t√ g245°cos60°senଶc60°otgଶ 45° ଶ 30° െcosଶ 45°൅tg60° s5esnen30° ଵଶcotg45° െ3 2  s en45° ൅ √  tሺtgg60°45°൅cotെtgg60°45°ሻଶሻሺtg 60° െcotg 45°ሻ cot6sen45° g30° cos3cosec22 45°30° cos45°cosec45° ൅sen45° 2 s en60° cotg30°െ4sen45° ൌൌ 30°60°;; sen2 ൌ 2sen cos ଶ 2x ൌ 1൅cosx cos 2 ൌ 60°; tgଶ 2x ൌ െ1cosx 1൅cosx

18) Expresar cada uno como función de un ángulo menor de 45° a) d) b) e) c) f) 19) Clasificar las siguientes expresiones como verdadero o falso. a) b) c) d) e)

g) h) i)  j)

f) 20) Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones. a) k) b) c) d)

e) ( f) g) h) i)  j)

21)

a) Si

demostrar que

b) Si

demostrar que

c) Si

demostrar que

27

l) m) n) o) p) q) r)

ᇱ sen48°  4 8 cotcosecg51°89°43′ ଵ୲୥େ ൌ tg sen1 ൌ tgൌ .coscotegcሺ190െBሻ cotg 18°18′ ൌ tg 71°42′ sen90°tg0°െcos0° ൅2t g 45° t g 45° ൅ cos0° cos90° െ t g 0° ൅ sen90° ሺ4sen30° tsec45° g60° െttg30°g30°ଶሻcotg30° 3ቀଷ cos60° 2 ቁ െsen90°ଵ 2 45° ൅ 4cosଶ30° ൅ ୱୣୡ଺଴°ସ െ cotg 30° ସtgtଶg60°൅3sec 30° െ4cos 45° ሺcos30° െ cos45°ሻሺ2cos30°൅3cos45°ሻ ଵ sen45° ൅ cos45° ൅ sec60°cosec90° ଶ sec45° ൅tg 60°

50

25

22) Un avión despega de un aeropuerto y después de volar se encuentra al sur de un punto que se halla a al este del aeropuerto. Determinar el rumbo del aeropuerto desde el avión en el momento de la observación. 23) Volando a una altura de 3.000 , un observador, mide los ángulos de depresión de las orillas opuestas del amazonas y resultan ser de 48° y 25°, respectivamente ¿Qué anchura tiene el rio en el lugar de la observación? 24) Un avión está a 2.000 de altura y a 5 km de la costa. Asciende entonces con un ángulo de 30° respecto de la horizontal y vuela en dirección a la costa ¿Qué altura lleva el avión cuando pasa sobre la costa? 25) Un asta de bandera está colocada verticalmente en el remate de una torre. Desde un punto situado a del pie de la torre y frente al asta; los ángulos de elevación al extremo superior y a la base del asta son de 51° y 47°, respectivamente. Si el ojo del observación está a 1,60 m del suelo, determinar. a) La altura de la torre. b) La altura del asta. 26) Un poste se ha partido en un punto situado a 4 del suelo, pero no se encuentra completamente roto. El extremo descansa sobre el suelo formando con él un ángulo de 20° ¿Qué altura tenía el poste? 27) Determinar las demás funciones en los siguientes casos:

30 a) b) c)

28)

tcos2g ൌ 12ൌ54 5 7 sec ൌ 5 sen ൌ 29 cotg ൌ ൅ට 23 cos ൌ 35, 270° ൏ ൏ 360°. cos425° sen235° sen340°

a) Siendo

d) e) f)

, averiguar las demás funciones de

sencotg ൌൌ498 15 cosec ൌ 32

, sabiendo que

pertenece al segundo

cuadrante. b) Dado que

encontrar los valores de las demás funciones trigonométricas de , sabiendo

es del tercer cuadrante.

c) Siendo

y

Hallar los demás funciones de .

29) Encontrar la función equivalente del primer cuadrante. a) b) c)

d) e) f)

sec118° tcotg3581° g330°

30) Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, expresando el resultado como una función de un ángulo perteneciente al primer cuadrante. a) 390° c)  – 2345° e) 8523° b) 225° d)  – 145° f) 720° 31) Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, expresando el resultado como una función de un ángulo del segundo cuadrante. a) 230° c) 1371° e)  – 5840° b) 330° d)  – 170° f) 20° 32) Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos expresando el resultado como una función de un ángulo del tercer cuadrante. a) 135° b) 585° c)  – 1342°

28

d) 3758° 30’ e) 56° f) 315° 33) Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, expresando el resultado en función de un ángulo del cuarto cuadrante. a) 140° c)  – 591° e) 350° b) 210° d) 4158° f) -15° 34) Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones matemáticas. a) b) c) d) e) f) g) h) i)  j)

330° tcosgଶ ଶ120°300°െ2cotg225°൅cosec െsen270° ൅ሺcotg210°െsen120°ሻଶ

ୱୣ୬ଵଶ଴° 2 െ cos e c 210° െ√ 2 sec315° ൅ cos300° ୲ଵ ୥ሺଵହ଴° cଷ୲୥ଷଵହ°osec120°ଷ െ2 tg 150°ሻ2 െ sen240° cotg 210° ൅ ଶ sec 150°cosec2െ300°6ሺcotg 30° െ 1sen60°ሻ ൅ 3tg 240° ୡ୭ୱଶସ଴° 0,75cosec225° tg 225° ൅sen315° cos2 135°cotg2 240° ൅ sec2 300° cot଴,ସgୡ୭ୱଵଶ଴° 765°cos210° s ec300° ା ଴, ହ ୱୣୡଷ଴଴° ଵ ൅ మ୲୥ ଵହ଴° ହ cotg4 210° ଶሺୱୱୣୡ଺଴° ୣ୬ଵଷହ°ୡି୭ୱୣୡଽ଴° ୡ୭ୱଵଷହ°ሻమ ൅ tg2 120° െ 3cotg 240° െ 2cos210° ൫ୡ୭ୱୣୡమ ୱୣ୬ଷଽ଴° ଷଵହ°ା୲୥మ ଺଴଴°൯మ െ ଺ୡ୭ୱ଺ଽ଴° ୱ ୣୡ଻ହ଴° ୱୣ୬య ହଵ଴° ൅ cosec210° scosen scosecec tg cotg cossen scotec g ∞ cos e c ∞ tg ∞

35) Escribir cada una de las funciones de . a) En términos de . b) En términos de . c) En términos de .

d) En términos de e) En términos de f) En términos de

36) Decir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Si crece de 90° a 180°; decrece de 0 a – 1. b) Si decrece de 90° a 0°; crece de 0 a 1. c) Si crece de 270° a 360°; decrece de a 1. d) Si crece de 180° a 270°; decrece de 1 a 0. e) Si decrece de 180° a 90°; decrece de a 1. f) Si crece de 0° a 90°; crece de 1 a . 37) ¿En qué cuadrante o cuadrantes ocurren los siguientes cambios? a) El seno y la tangente crecen. b) El coseno decrece y la tangente crece. c) La cotangente y el seno decrecen. d) La tangente y la secante crecen. e) El seno crece y la cotangente decrece. 38) Calcular por trigonometría el área de la figura abajo:

39) Hallar el valor de

, sabiendo

29

. . .

a) b) c) d) 40) Si

sen5 ൌcos 4 secሺ ൅5°ሻ ൌ cosec4

ttggሺ35 t൅2°g7 ሻൌൌ1cotg 3 cos ൌ 2 …………….0° ൏ ൏ 90° 56 42 2 34 332 3 ∠ ∠ ൌ angulosen ඥ 22 ∠ ൌ angulotgെ൫√ 3൯ ∠ ൌ angulocosec2 1seൌcଶ2cosൌ cosecsec െtseng ൅cotg12 cot g ଶ ଶ ଶ ଶ sseecn ሺെsen ൌ cos ൅t g ሻ c osec െsec ൌ 1െt a n ୱୣ୬ఏା୲୥ఏ ൌ s e n ଵାୱୣୡఏ ୱୣ୬஻ ୡ୭୲୥஻ ൌ మ ୱୣୡ஻ ୡ୭ୱୣୡ ஻ ୡ୭୲୥஺ ଵ ൌ െ s e n ୱୣୡ஺ ୱୣ୬஺ cosୡ୭ୱୣୡఏsen ሺcሺotg ൅t2g ሻሻൌ secଶ െtgଶ ൌ1 1tg൅2 tg cotg ୡ୭ୱఏ 1൅ cos ൌ sec െ1 ୱୣ୬ୡ୭ୱఈమ ఈ ൌ sec െ cos ଶ scotecଶg ሺ൅cosec cosecଶ െ1ሻൌ cos e c ൌ 1sseenn ൅ttgg sen cos ൌ tg ൅cotg

. Hallar el valor de

sen tg y

en función de

.

76 54

41) Hallar el valor de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos. a) b) c) d)

e)

i)

f)

 j)

g)

h)

42) Hallar el valor del ángulo , sabiendo: a) b) c)

d) e) f)

43) Comprobar cada una de las siguientes identidades: a) b) c) d) e) f) g) h) i)  j)

k) l) m) n) o) p) q) r) s)

44) Verificar las siguientes identidades: a) b) c) d)

e) f) g)

∠∠ ൌ angulocotgሺെ1ሻ ൌ∠ angulosen൤angulo cosඥ 23൨ ൌ angulo tgൣangulo sec √ 2൧ ሺଵାୡ୭୲ sen ୥൅cosమ ఏ ሻଶ ൌ22sen cos ൅1 ൌ cot g మ ଵା୲ ୥ ఏ ସ ൌ senଶ െcosଶ seୱୣ୬ఏnସ െcos൅ ଵାୡ୭ୱఏ ൌ 2cosec ଵାୡ୭ୱఏ ୱୣ୬ఏ cosୱୣ୬ఏଶ ሺ1ୡ୭ୱఏ ൅cotgଶ ୱୣୡఏሻ ൌ ୲୥ଵమ ௬ ൅ ൌ ୡ୭ୱఏ ୱୣ୬ఏ ୱୣ୬ఏ ସ ଶ ସ െ1tg ൌ 2sec െsec ሻൌ coscosെcosec cotcotggሺ9ሺ0െsen ሻൌെsec 2sen 1൅cos2 െsen2 cos1൅sen ൅ ሺ1 ൅ sen ሻ sec ൌ senሺ9ଶ0െ ሻ cotଵାୡ୭ୱ஺ g sec ൌ cosଵ ሺ910െ ଵሻ 2 ൌ ቀ ൅ ቁ ଵିୡ୭ୱ஺ ୱୣ୬஺ ୲ ୥ ஺ tg senሺ180െ ሻ൅senሺ90െ ሻ ൌ sec

h) 45) Una asta de bandera que tiene metros de altura está colocada sobre una torre. Desde el extremo superior del asta el ángulo de depresión de un punto sobre el suelo y situado a metros de la torre es y desde el pie del asta el ángulo de depresión al mismo punto es . Determinar que:

ൌ tg െtg 30

56 cos ൌ 23 sen ൌ senሺ ൅ ሻ

ሺ ሻ t g ሺ ൅ ሻ cos െ 52 cos ൌ 12 sec ൌ cosecሺ െ ሻ senሺ ൅ sሻen 12 cos ൌ 3 cotgሺ ൅ ሻ 13 5 ssen2enሺ ൅ ሻ tcosec g2 2 cossen2 ൌ 2 cos ൌ 5 5 6 ttggሺ2 െ ሻ sen2 cot g 2 coscotgec2ሺ ൅ ሻ seccosec2 2 sectg 2 cot g ሺ ൅ ሻ 2 2 ଶ െ1 ൌ cos 2sen s2seceଶn ൌ൅143 ൌ 0 3cos4senଶ െ5െ2ൌ െ6ൌ 3cos ሺ2sensen ൅1cosሻሺcൌossenെ1ሻ ൌ 0 ୱୣ୬௫ାଵ ൌ 1 ଶୱୣ୬௫ିଷ sen2senଶൌ tെsg en െ3 ൌ 0 sseecnଶଶ െ3sൌ senec cosൌ 0 cos√ 3tgെ2sൌ െ1enଶ ൅2 ൌ 0 ssenenଶ ൌൌsen80° sen cos ଶ ൅cos ൌ 1 2sen ሻൌ cosሺ 4 0െ cos sሺ2entgଶ െ3ൌ seሻncos ൌ 0 tcosg ൌ൅2sen tgቀగଶ െ2ൌቁ2 t3cosgሺ18െ0tg ሻൌൌ tg2 cosec ൌ sec 2cos4cosଶ tgൌ 3െ4cos െ1 ൌ 0 ଶ െ √ 3sen ൌ 0 3sen 2t3cosg3ଶ ൌ൅cosെ1 െ2 ൌ 0 cos3cosଶ ଶ ൌ൅sen3൫െ1s2ଶenൌ൯3 cos2secଶെ2ൌൌ7െtsec g ଶ ൅sen ൌ 0 2sen 2cosଶ ൅5sen ൌ െ1 0° ൑ ൑ 360° ଶ coscos ൌ√  ൅2s3esenn ൌ 1 √ tg3ଶsen൅3ൌൌcos2seଶc

46) Siendo a)

47) Siendo a)

y

y

48) Sabiendo que a) b) c)

49) Dados a) b) c) d) e) f)

. Calcular:

b)

c)

b)

c)

. Hallar:

y

. Hallar:

d) e)

y

, y siendo

y

del primer cuadrante. Calcular: g) h) i)

 j)

k)

50) Hallar todos los valores de los ángulos comprendidos entre 0 y a) a) b) c) d) e) f) g) h) i)  j) k) l) m) n) o) p) q) r) s)

b) c)

d) e) f)

g)

h) i)

 j)

k) l)

m) n)

o) p) q)

51) Resolver las ecuaciones para a) b)

c) d)

31

Radianes.

e) f) g)

ଶ ൌ2cotg ଶ cosec sencos2 െൌൌcosଵଶ sen2ଶ cotg .sec2senൌ cos൅1൫90°ൌ1 cosെ ൯

h) i)

t3tg g ൌsen2 ൌ െtg 2

52) Demostrar:

sen ൌ 4 cos 2 ሺ ሻ ൅ 1 ൅sen sec ൌ ሻ 1൅sen s e nሺ 9 0° െ ൏ 360° ሺ2 cos ൅1ሻሺtg ൅1ሻ ൌ 0 ଶ 1൅cos 1 1 ൌ ൬ ൅ ൰ െ1cos s e n t g ൌ arcቀ1െtgሺെ1ሻ1 ቁ.tgଶ ሺs e n ൅sec ሻ s e n cos e c tg senሺ180° െ ሻ൅senሺ90°െ ሻ ൌ sec ୡ୭ୱୣୡమୱୣୡଵଶ଴° ଷ଴଴°ି୲୥ଶଶହ°ୱୣୡଵ଼଴°ୱୣ୬ଶ଻଴° sen37°cos22° ൅cos37°sen22° cos37°cos22°െsen37°sen22° scosenሺሺ ൅൅ ሻሻ ൅cos ൅senሺሺ െെ ሻሻ ൌൌ2cos2sen coscos sen75° ൌඥ ඥ െ6൅46ඥ ඥ 22 cos75° ൌ 4 ඥ 2ሺsen ൅cos ሻ senሺ ൅45°ሻ ൌ ඥ 2ሺcos 2െsen ሻ cossenሺሺ ൅45° ሻ ൌ 2 ଶ െsenଶ ൅ ሻsenሺ െ ሻ ൌ sen ሻ ൌ senሺെ45°൅ሻ ൌ ሺcosሻ ൅sen ሻሺcos െsen ሻ coscosሺሺ45°൅െሻ൅senሺ ୱୣ୬ሺ ఈ ାఉሻ ൌ tg ൅ tg ୡ୭ୱఈୡ୭ୱఉ ୡ୭ୱሺ ఈ ିఉሻ ୡ୭ୱఈୱୣ୬ఉ ൌ tg ൅ cotg cotcotgg cot൅cotg gെ1 cotcotgg cotെcotg g൅1 tെ1tg g൅tgtgሺሺ െെ ሻሻ

53) Resolver la ecuación: 54) Si

es un ángulo obtuso tal que

. Calcular las demás funciones de .

55) Demostrar:

56) Resolver la ecuación para 57) Demostrar:

58) Si

59) Expresar:

, determinar el valor principal de

y calcular:

en función de

60) Demostrar

61) Hallar el valor de

62) Escribir en otra forma las expresiones: a) b)

63) Demostrar: a)

b) c)

d) e) f)

g)

h) i)

 j)

k)

64) Escribir las expresiones en forma equivalente: a)

b)

c)

32

tgሺ45°െ ሻൌ െ1t1൅tcotggg െ1

65) Demostrar: a) b) c) d)

cottg15°gሺ45°൅ൌ 2െ√ ሻ 3ൌ cotg൅1 cotg15° ൌ 2൅√ 3 sen3 cos tgsen3 ൌ 2senቀଵ ቁ.tgcosቀଵ ቁ ଶ ଶ tcos75° g105° tg15° sen4 cos4 ሺ sen2 2 cos ൅1ሻൌ 0 cos2sen2 െsen ൌ 1 ൌ t g ଵୱୣୡଶఏ ൅ ଷଶ ൌ ୱୣୡఏଶ tsen2g 2 ൅tൌg2senൌ cot5g cos2sen2 ൌ൅cossen ൌ 1൅2sen cottg 2g ൌtgെ2 ൌ23 cosec ଵୱୣୡଶఏ ൌ cos4 െ sen4 ሺsen ଶെcos ሻଶ ൌ 1െs2 en2 ൌ 1 െ tg ୡ୭୲୥௬୲୥ଶ௬ మమ ఏ ൌ ଵ ଶିୱୣୡ ୱୣୡ ఏ ୱୣୡଶఏ cotଶ୲୥ఏg െtg ൌ 2cotg2 ଵା୲1൅cot୥మ ఏg ൌcotsegn2ൌ cos൫ െ ൯ sen . s en ୱୣ୬஺ାୡ୭ୱ஺ ୱୣ୬஺ି ୡ ୭ୱ஺ ൅ ୡ୭ୱ஺ିୱୣ୬஺ ୱୣ୬஺ାୡ୭ୱ஺ ൌ 2tg 2

66) Determinar el valor de 67) Determinar el valor de

en términos de en términos de

.

.

68) ¿Qué formula conduce a

69) Sin emplear maquinita, calcular el valor de: a) b) c)

d) e) f)

sen105° sen15° cos22, 5 ° ሺ2 ሻ ሺ tgሻ 4 0° 360°

70) Deducir las fórmulas de las siguientes expresiones en función de a) b)

y después c)

71) Resolver las ecuaciones para todos los valores comprendidos entre a) b) c)

y

d) e) f) g) h) i)  j)

72) Verificar las siguientes identidades: a) b) c) d) e) f) g) h)

73) Demostrar:

33

i)  j) k) l) m) n) o)

.

ୱୣ୬ଶఏାୡ୭ୱఏ ൌ 1 ൅ 2sen ୡ୭ୱఏ cotg tg 2 ൌ23 tଵାୡ୭ୱଶఏ g 2 ൌ െ cosec ୱୣ୬ଶఏୱୣ୬ଶ௫ൌ cotg ଵିୱୣ୬ଶ௫୲୥௫ ൌ costg 2 ൅sen tୱୣ୬ଷ௫ g 2 ൅sec2ୡ୭ୱଷ௫ൌ cos െsen ୱୣ୬௫ െ ୡ୭ୱ௫ ൌ 2

a) b) c)

య ఏିୱୣ୬య ఏ ൌ ଶାୱୣ୬ଶఏ ୡ୭ୱୡ୭ୱఏିୱୣ୬ఏ ଶ ୱୣ୬ଶ஺ ൌt g ଵାୡ୭ୱଶ஺ ୗୣ୬ଶ஺ ଵିୡ୭ୱଶ஺ ൌcotg

d) e) f)

c)

ଶ ఏ ቀsen2 ൅cos ଶቁ ଶൌ 1൅sen

ቀsen2 െcos2ቁ ൌ 1െsen

cos2ଵିୡ୭ୱఏ tgଶ ఏ ଵାୡ୭ୱఏ ଶ cos4 2 cos55° െ cos18° sen62° ൅cos149° sen84° െsen76° sen38° െcos168° sen47° ൅cos60° cos41° െ sen146° cos48°൅cos172° cos3sen5 ൅sen2 െ ሺsen4 െsenെsen2ൌሻsen2ൌ cos3ሺ2cos3ሺെ12sen൅1ሻ ሻ cosୱୣ୬ఏାୱୣ୬ఈ ൅cos2 ൅cos5ఏିఈൌ cos2 ሺ1൅2cos3 ሻ ൌ tg ቀ ଶ ቁ ୱୣ୬ఏିୱୣ୬ఈ ୡ୭ୱఏିୡ୭ୱఈ ఏିఈ ൌ െt g ቀ ୱୣ୬ఏାୱୣ୬ఈ ଶ ቁ sen32° ൅sen28° ൌ cos2° cos40°െcos80° ൌ 3 sen20° √  sen72° െsen18° ൌ 2 cos27° √   cosሺୱୣ୬ఏାୱୣ୬ଷఏ 30°൅ ሻെcosሺൌ ଶୡ୭୲୥ఏ 30°െ ሻൌ െsen మ ୡ୭ୱఏାୡ୭ୱଷఏ ଵିୡ୭୲ ୥ ఏ cos40°൅cos80° ൅cos160° ൌ 0 cosሺ60°െ ሻ ൅cosሺ60°൅ ሻ ൌ cos ୱୣ୬௫ାୱୣ୬ଶ௫ାୱୣ୬ଷ௫ ൌ tg 2 ୡ୭ୱ௫ାୡ୭ୱଶ௫ାୡ୭ୱଷ௫ cotg െcot5,1g2 ൌ cosec2 2 34 ሺ ሻൌ sen ሺ1 ൅tg ሻ൅cos 1 ൅cot g sec ൅cosec senሺ2 ൅20°ሻ ൅sen40° cos ൌ 1െ2senଶ

74) Expresar: a) en términos de b)

ୱୣ୬ఏଶ.୲୥ഇమ ൌ sen2 ఏଶ

en términos de una función de

en términos de funciones de

( 3 resultados diferentes)

75) Convertir las siguientes sumas o diferencias en productos. a) e) b) c) d)

f)

g)

76) Demostrar: a) b) c) d) e)

77) Verificar si es cierta o falsa las igualdades: a) b) c) d) e) f) g)

78) Demostrar: a) b)

79) En una cia de

ángulo central de

de radio, calcular con aproximación al

, la longitud del arco interceptado por un

Radianes.

80) Demostrar:

81) Determinar el valor máximo posible de la expresión dada tome dicho valor máximo. 82) Obtener dos valores mínimos de que satisfacen la ecuación:

34

y el valor mínimo de

que hace que

ଶ ሻሺെ1sen ଶ ሻൌcos2 . ሺെ1tg sen ൌ െ൅ cos tg

83) Demostrar 84) Si

determinar los valores de

y de

tgଶ

85) Hallar los dos valores positivos mínimos de

en términos de

e .

൅3sec ൅3 ൌ 0

que satisfacen la ecuación.

cotଵାୱୣ୬஺ gଶ െtgଶଵା୲୥ൌ cosಲ ecଶ െsecଶ మ ൌ ಲ ୡ୭ୱ஺ ଵି୲୥మ ∠ ൏ 360° cossenሺ90°െ ൌ െsen ሻ ൌ tg tgሺ90°െ ሻ tg senሺ90°െ ሻ ൌ cos cosሺ90°െ ሻ sen ∠ ത ∠ ଶ ଶ ሺ c os െsen ሻ ൌ cos tg2 ൌ ୡ୭ୱଶ஻ െ 247 2 sen cos ୲୥ሺସହ°ା஻ሻ ൌ 1 െ sen2 െ1cos2 sen2 tsen120° g ൌ െ1cos െcos120°sen tgcosሺൌ 34െ150°ሻ sen4 ሻ sen2 s e nሺ 1 35° െ tg 12 2 2tsecgଶ tg ሺ1൅cos2 ሻ ൌ cosec21 sen cos 2 ሺcosectgଶ ൅1ሻcot g s e c 2 ଶ cot g ൅1 t g cos ሺcossecec ൅1ሺെ1tgሻሺെ1secሻ ሻ 1൅cottg2 g2 tg3se൅tc g 2cosectg22 െ2

86) Demostrar: a) b)

87) Resolver la ecuación para

88) Si , expresar evitando un resultado fraccionario. 89) Si , expresa dando el resultado en forma fraccionaria. 90) En el triángulo

, rectángulo en ,

de las mitades de

91) Dada

se denota por

, siendo

en términos de funciones trigonométricas de

y ,

en términos funciones trigonométricas de

y ,

es la bisectriz del ángulo

y corta a

en . Si cada una

demostrar.

un ángulo del segundo cuadrante, determinar

92) Demostrar

y

.

.

93) Reducir a una sola función de .

94) Si 95) Si

y

y

es un ángulo del cuarto cuadrante. Calcular el valor de:

es del tercer cuadrante. Calcular:

a) b)

d) e)

c)

96) Reducir a una sola función de

97) Demostrar

98) Escribir las expresiones en términos de a) b)

y/o

e)

c)

f) g)

d)

h)

ଽଵ଴

99) Se traza un paralelogramo sobre la misma base que la de un rectángulo. El otro lado del paralelogramo es igual a la altura del rectángulo. Si el área del paralelogramo es ángulos del paralelogramo. 35

del rectángulo. Determinar los

ୡ୭୲୥஺ ଵ ൌ െsen ୱୣୡ஺ ୱୣ୬஺ ୲୥௫ୱୣ୬௫ ൌsec െ1 ଵାୡ୭ୱ௫ ଵୱୣୡయ ఏ െsen3 ൌ ሺcos െ sen ሻ ቀ1 ൅ ୱୣ୬ఏ ୱୣୡఏ ቁ

100) Demostrar: a) b) c)

cos1൅ sen1 ൌሺcottgg2 ൅tg ሻൌ secଶ െtgଶ cos sec െ1 ୡ୭ୱୣୡ ఏ 2 ሺ ሻ cotg൑ 360° ൌ 1 ൅ t g ୡ୭ୱఏ ሺs2encoscos൅1ሻሺെሺ12sen tg ൅1ሻൌሻ ൌ00 sen105° െ sen15° cos75° ൅ cos15° ሺ sen45°1 ඥ ൅ cos45°ሻሺ sen135° ൅ sen315°ሻ sentg ൌൌ 2 2 െ √ 2 tg 2 cot g ൌ 1൅√  2 cotseng ൌൌ 0,1 ൏ 4 cotg2cos2 ఈ ൏ గ 2 ଶଶ cos70°൅cos36° ൌ 1, 5 1  ;  c os53° ൌ 0, 6 018 cos17° cosec െcotg tg 2 d) e) f)

101) Resolver las ecuaciones para a) b) 102) Determinar el valor de las expresiones: a)

b) 103) 104)

. Calcular el valor de

. Hallar en función de

105) Sabiendo que

.

, los valores de las demás funciones trigonométricas.

, calcular el ángulo

106)

y

. Hallar

107)

. calcular

en función de

, sin usar maquinita.

.

, siendo

108) Verificándose las siguientes igualdades: Calcular

109) Expresar

en función de

110) ¿Qué ángulos comprendidos entre 0° y 435° tienen por seno 0,324? 111) Calcular el valor del seno de un ángulo para el cual se verifica que su secante es igual a la suma de su seno y coseno. 112) Hallar el verdadero valor de la expresión siguiente para

ൌ 90°

ሺെ1sen ሻଶ

cos ൌ 45° t1൅sec2 g 2 െ scosenሺ cosെ ሻ ൌ 45° cos2 cos െcos45° ൌ 90° sen2 െ1sen ଶ sen45° ൌඥ 2 ᇱ t g 67° 3 0 2 sec ൌ ට m2mെn2 sen

113) ¿Qué ángulo comprendidos entre 0° y 652° tiene por coseno – 0,718? 114) Hallar el valor de la expresión siguiente para

115) Hallar el verdadero valor de la expresión siguiente para

116) Hallar el verdadero valor de la expresión para

117) Conocido 118) Siendo

, calcular el valor ; hallar

36

log√ െ2logsen 45°

119) Hallar el valor de la siguiente expresión.

tୱୣ୬௔ାୱୣ୬௕ g 2 ൅2senଶ 2 cotୱୣ୬௔ିൌୱୣ୬௕sen 2 ௔ା௕ ൊ ൌ െt g ቀ ቁ ୡ୭ୱ௔ାୡ୭ୱ௕ ୡ୭ୱ௕ି ୡ ୭ୱ௔ ଶ ଶ୲୥௔ ଵା୲୥మ ௔ ൌ 2sen cos sen2 1൅cos ൊ 1൅cos2൅ ൌ 90cos ሺsen ൅sen ሻሺcos ൅cos ሻ ൌ 1൅sen2 ᇱ2 sen31° െsen47° 1 cos√ െሺ3tെg16°34°ሻ7െsen51° ′ 5 6" sen46° െ cos52° cos38° ൅ sen96° tg ൅2senଶ tgሺ45൅tg 2 ሻ െ1 s e nሺ ൅ ሻ ൌ t g ሺ െ ሻ senሺ െ ሻ ൌ 12 ሺsen2 ൅sen2 ሻ senሺcosሺ ൅െ ሻ൅senሺ െ ሻ ሻെcosሺ ൅ ሻ ଵଶ ሺcosec2 ൅cotg 2 ሻ sen . cos . tሺg√ 2. ൅cot√ g3ሻ. sec . cosec ൌ 1 గଶ ൑ tg୲୥ሺ4௫5°൅ ሻെ3tg ൌ 2 2 senሺsen൅10°5ሻ ൅senሺ ൅8°ሻ ൌ sen78° ሺ 1ሻ ൝ 4ሺcossenଶ ൌ൅sen3 ………………. ୱୣ୬௫ ൅ sen2 െ √ 11 െ sen ൌ 0 ଶ ሻ ൌ 5……. ሺ2ሻ senଵ tg ଶെcosሺ ൌ 2 ሻൌ ଶ ൏ 180° t g ൅t g ൌ 4………. ሺ 1 ሻ ଶ sen cos െ92sen 9sen െ8sen െ1 ൜  t൅ gሺൌ ൅58°ሻ2ൌ0ᇱ2………. . ሺ 2 ሻ tsgen48°ሺ െ12° tgሺ52°െሻ ൌ senሻ ൌ 1െsen12° …………ሺ1ሻ t g ൝  sen27° tg ൌ 0,237……………. ሺ2ሻ cosଵିୡ୭ୱ௫ൌ √ sen27° ൌ 0,26 ଵାୡ୭ୱ௫ 3cos ൌ 5senሺ30െ ሻ

120) Verificar las siguientes identidades: a)

b) c)

121) Simplificar la expresión

122) Si

demostrar que se verifica la igualdad

123) Transformar las expresiones siguientes en otras calculables por logaritmos. a) b) c) d)

e) 124) Simplificar la expresión siguiente:

125) Demostrar que si se verifica

, se verificara también:

126) Reducir la siguiente expresión a una sola línea trigonométrica.

127) ¿A qué línea trigonométrica equivale la expresión

?

128) Demostrar la siguiente igualdad 129) Transformar

en una expresión trigonométrica calculable por logaritmos

130) Resolver las siguientes ecuaciones para a) b) c) d) e) f) g) h) i)

 j)

k)

l) Siendo

m)

37

e

131) Determinar el valor angular de , un arco positivo menor que un cuadrante, cuya secante sea igual a la cotangente. 132) Dividir el ángulo de en dos partes, de manera que la relación de sus senos sea igual a 0,5. 133) Hallar dos ángulos menores que 90°, que sumen 60° y que la suma de sus senos sea igual a 0,9. 134) Hallar el ángulo correspondiente a un arco cuya tangente es doble de la cuerda. 135) Resolver la ecuación:

45° tgሺ ൅45°ሻ൅tgሺ െ45°ሻെ2cotg ൌ 0 sseenn ൌ√ 2…………………. . ሺ 1ሻ sseenሺnሺ ൅െ ሻሻ ൌ 2൅√ 3………..ሺ2ሻ ሺ ሻ . 1 ൜sceosሺnሺ ൅െ ሻൌሻ ൌ൏െ1………………. 0,90°5………………. . ሺ2ሻ scosen ൌ costg ൌ 0,2 s e n cos sቐ sen2en ൅cossen ൌൌ 0,0,712cos………………………. ሺ 1 ሻ ଶ ………………ሺ2ሻ sen2 cos ඥ 2 2 ……………. . ሺ 1ሻ 1൅ sen ൅sen ൌ ൞ cos ൅cos ൌ ඥ 2൅2ඥ 3 ……………ሺ2ሻ ሺ 1 ሻ ൜ tgെ ൌൌcot45°………….. g …………. ሺ2ሻ ∆ ൌ 2൅√  2  ቐ ൌ ൬√ 3൅ ඥ 26൰ 5 ൌ ൝ ∠ ൌ 7°√ 3133333 ᇱ5"    7 ൌ 282, 4 19     ቊ∠ ൌ 0,09 ∠ ൌ 233,25 ; ∠ ൌ 115 ∠ ൌ 0,248 ;  ൌ sen ∠ ∠

136) Hallar los valores angulares de

e , menores que 90°, deducidos del sistema de ecuaciones.

137) Resolver el sistema:

138) Siendo

e

Resolver el sistema:

139) Deducir los valores de

y

del sistema de ecuaciones.

140)

141) Siendo

e

menores que 90°, resolver:

142) Resolver los siguientes triángulos rectángulos. Siendo

rectángulo en

∠

a)

b)

c)

143) 144)

en metros.

145) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 87,545 71,410 . Resolver el triángulo. 146) Los vértices

y

de un triángulo rectángulo distan de

38

y la proyección sobre ella del cateto

386

y 578

, respectivamente.

,

147) Resolver un triángulo cuyo cateto hipotenusa mide 2,513 km.

, es igual al valor del coseno , expresado en kilogramos, y cuya

148) Las proyecciones de los catetos y , sobre la bisectriz del ángulo que forman, miden 758 respectivamente. Resolver el triángulo.

ൌ 10000 8693       ;      ൌ 418

y 62

,

149) Resolver un triángulo rectángulo con los siguientes datos:

150)

  . ൌ 1811,37 ଶ  ; ∠ ൌ 74°52,6ᇱ െ ൌ 32.085,11   ;  ∠ ൌ 48°34ᇱ23,8" ൅ ൌ 4280,16  ; ∠ ൌ 38°29ᇱ23,8" ൌ 225 ௕௖ ൌ ସଷ

con estos datos, resolver el triángulo.

151) Siendo

152) Siendo 153) Siendo

resolver

. Resolver el triángulo.

y

resolver

154) Resolver un triángulo rectángulo cuyo perímetro igual a 72

48764 ଶ

155) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1915 . Determinar los ángulos agudos. 156) Resolver un triángulo rectángulo de área igual a cateto y la hipotenusa

௕௔ ൌ ଷହ

, conociendo además la relación de un

y la altura que parte del vértice del ángulo recto

. Hallar los valores de los ángulos agudos, siendo

.

158) Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que se verifica ángulo recto a la hipotenusa es de 240

ൌ 598

.

159) La hipotenusa correspondiente al ángulo . Resolver el triángulo.

161) Se conoce un cateto triángulo rectángulo.

ൌ 362,77

y que la distancia del vértice del

de un triángulo rectángulo, mide

160) Calcular los elementos de un triángulo rectángulo de circulo inscripto.

௕௖ ൌ ଶଷ

, y el producto de los catetos es igual a

73926 ଶ ∠൐∠ ௕௖ ൌ ଷସ

157) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 104

40

, sabiendo que

24 ଶ

341

2 ൌ 289,125

de superficie, midiendo

y el radio del círculo circunscripto

, y la hipotenusa

el radio del

. Resolver el

ൌ 3 ൌ 9

162) Resolver un triángulo rectángulo, conociendo los radios de los círculos inscripto y circunscripto y . 163) Calcular los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que forman progresiones geométricas, los números representativos de las longitudes de sus lados.

39

∠ ∠ ᇱ  5 2'  1 1, 7 " ൌ 30           ∠ ൌ 36°52 11,6"           Bൌ126° ∠ ᇱ ൌ 1096,60       ∠ ൌ 47°54ᇱ29,4"          ∠Cൌ84°55'40,6" ൌ 5,394         ∠ ൌ 25°17 38"ᇱ             Cൌ26°  3 8'  3 , 1 " ൌ 2854,031       ∠ ൌ 57°32,ᇱ7              ∠∠ൌ 48°45ᇱᇱ ൌ 625,9          ൌ 60°57                ∠ ൌ 66°18ᇱ ൌ 4750,47          ൌ 7364,25             ∠ ൌ 17°42ᇱ 56" ൌ 96                ൌ 76,58               ∠ൌ 10°4 5ᇱ1,6" ൌ 157,82            ൌ 2204,56            ∠ ൌ 87°14 ᇱ32,6" ൌൌ 35,83,941545            ൌൌ 82,109,675865   ൌൌ79,103°30518 7,2" ൌൌ 232,11125  ൌൌ184,ൌ6856               ൌ 201,8 ௔௕ ൌ ସଷ ௕௖ ൌ ଷହ ௔௕ ൌ ଻ଷ             ;      ௕௖ ൌ ଷହ             ; ൌ 7 ∠஺∠ ൌ ଵଵ            ;     ஻∠∠ ൌ ଶ଻            ;   ൌ 2826,24 ଶ଺ ஻ ଶ଻ ஼ ∠ ൌ 567,37        ൌ 47°35ᇱ25,8"        ∠ ൅ ൌ 774,ᇱ 48 ൌ 75               ൅ ൅ ൌ 274         ∠ ൌ∠43°28 16"     ;   ൐ ൌ 5467,48         ൌ 3677,88             െ ൌ 28°17′12" ൌ 75 ൌ 40 ∠ ൌ 35°12′ ∠ ൌ 47°13ᇱ22" 3857 ∠ ൌ 2∠ ൌ 275 ൌ 196 ∠, ∠, ∠ ൌ 354 ൌ 57,7 ; ∠ ൌ 119°23′17"   ;  ൌ 42,5

164) Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: a)

b) c)

d) e) f)

g)

h) i)

 j)

k) l)

m)

y

………………………………..…Hallar los ángulos.

n)

o)

p) q) r)

165) Calcular el lado de un triángulo, sabiendo que los otros dos lados miden y ,y que la suma de los ángulos opuestas es 112°. 166) Resolver un triángulo, de perímetro 8740 , y cuyos ángulos y valen 71° 14’ 5” y 92° 16’ 12”. 167) Calcular las longitudes de los tres lados de un triángulo, del cual se conoce su perímetro, igual a , y dos ángulos

y

.

168) En un triángulo, sabiendo que

y

.

169) Los tres ángulos de un triángulo, están en la relación de los números 3, 5 y 7, respectivamente y . Calcular los demás elementos. 170) Resolver un triángulo con los siguientes datos:

40

∠ ∠ ∠ ᇱ ൌ1000 ; െ ൌ8° 8 ; ൌ52° 45′

171) Resolver un triángulo con los siguientes datos:

∠ ∠ ∠ ൌ 52° 11ᇱ17,2" ∠ ൐ ∠∠ 32°40′ ൌ ; ௔ ൌ852

172) La altura que parte del vértice y 780 m. Calcular los ángulos

de un triángulo divide a la base en dos segmentos que miden 350 m

y

, siendo

y

.

173) Resolver un triángulo isósceles, conociendo el ángulo opuesto a la base, y la bisectriz respecto al lado . 174) El ángulo que forman las diagonales de un triángulo es de 112° 24’ 8” y una de ellas mide . Calcular las dos dimensiones del rectángulo. 175) Hallar el ángulo que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de estas de 94,72 , y la base de 92,95 . 176) Una de las diagonales de un rombo mide 24,16 y su perímetro 192,36 . Calcular los ángulos. 177) Uno de los ángulos de un paralelogramo es de 67° 22’ 48,5” , y las diagonales miden 465,726 y . Calcular los lados. 178) Los dos diagonales de un paralelogramo, cuya superficie es de 3060 , miden 109 y 61 . Calcular los lados. 179) Calcular los ángulos de un trapecio isósceles, conociendo sus bases, 38 y 24 , y una de sus diagonales 35,791 . 180) Las bases y de un trapecio miden 40 y 20 , la diagonal y el ángulo que forman las diagonales es de 103° 17’ . Calcular y 181) Calcular los ángulos de un trapecio, conociendo sus bases y los otros dos lados

370

45,25

ଶ

ത ത ത 30 ൌ ത ത ത ൌ90 , ത ൌ66 ത ൌ 48 ത ൌ 40 ∠ ൌ72° 36′ ത ത ത 384 ൌ ൌ256 ; ൌ198 ; ∠ ൌ 94° 17′ ത ത ൌ66, 1 55 ത ൌ 46,855 ത ൌ 39,435 ത ൌ 49,145 ൌ2, ; ൌ 4 25 3, 5 12 ∠ ൌ 42°31ᇱ25,4" ଵଷ ൌ 2354 ൌ 23°14′ ൌ 8°32′ 48,25 , 451, 3 6 290,72 352

182) En un cuadrilátero

se conoce

. Calcular la longitud del lado 183) Siendo la longitud del lado

;

y

. . Calcular la longitud de los demás lados del paralelogramo.

184) Calcular el área de un triángulo semejante a otro, conociendo de este: y

. La razón de semejanza es de

.

185) Calcular el área de un triángulo, conociendo su altura, y los ángulos que ella forma con los lados y , y 186) Calcular el área de un triángulo isósceles, conociendo el radio del circulo inscripto, y uno de los ángulos adyacentes a la base 74° 8’ 6,2” 187) Calcular el área de un triángulo isósceles, conociendo su base, y el radio del circulo circunscripto, 188) Calcular el área de un rectángulo, conociendo su diagonal y el ángulo que la recta determinada por uno de los extremos forma con esta base 57° 18’ 33” 189) Calcular el área de un rombo, sabiendo que los extremos de la diagonal menor distan de la cia que tiene por diámetro la otra diagonal, y que uno de los ángulos del rombo es de 47° 2’ 1” 190) Calcular el área de la superficie del cuadrado que no es común con la del círculo . 191) Halla el área de un sector circular de de radio, siendo la trigonométrica de su arco igual a 5. 192) Un triángulo isósceles, de base y ángulo opuesto de 32°, está inscripto en un círculo. Calcular el área del segmento circular que tiene por cuerda la citada base.

3 40

tg

41

14

193) Calcular el área de la figura rayada. …....Centro del arco …….Centro de la semicircunferencia . . 194) ¿Cuántas baldosas de forma octogonal regular de de apotema se necesitan para embaldosar un pasaje peatonal de 55,3 de largo por de ancho? 195) Hallar el área de un rectángulo cuya base y altura son respectivamente el lado y la apotema de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de radio . 196) La sombra que proyecta un árbol de sobre el piso horizontal mide . Calcular la medida del ángulo formado por la línea que une los extremos del árbol y de la sombra con la horizontal. 197) La altura de un triángulo isósceles tiene una longitud de y uno de los ángulos iguales mide . Calcular las medidas los tres lados del triángulo y los ángulos. 198) Una escalera de está recostada sobre una pared vertical y sobre el piso horizontal, forma un ángulo de 63° 18’ con la horizontal. ¿Qué estatura alcanza la escalera sobre la pared? 199) Desde un punto situado a sobre el nivel del piso, un hombre de observa la torre de un edificio situado a sobre la horizontal. Si el que forma la visual con la horizontal es de 45° ¿Cuál es la altura del edificio? 200) La base de un triángulo isósceles mide y el ángulo opuesto a la base es de 30°. Determina las tres alturas del triángulo. 201) Un avión sale del aeropuerto El Dorado y se eleva mantenido un ángulo constante de 8° hasta que adquiere una altura de 6 km. Determina la distancia del aeropuerto en ese momento.

′ൌ 3,1416

30°20ᇱ10" 3 2 20

37 8 3,4

4,3

10

1,7

8 ത ൌ 18,2 ത ൌ 12,1 ∠ ൌ 30°30ᇱ30" 30 26 4 2 1,7 60 300 / 60 8/ 10 50

202) El paralelogramo es tal que y ángulo . Calcula su área. 203) Una de las diagonales de un rombo es de y forma con uno de los lados del mismo un ángulo de 25° 42’ 11”. Calcula la otra diagonal y el perímetro del rombo. 204) Calcula el volumen de un paralelepípedo de base cuadrada, sabiendo que la diagonal del paralelepípedo es de y forma con el plano de la base un ángulo de 53° 16’ 20”. 205) Un poste de alambrado tiene una altura de . Un observador está parado frente al poste a una distancia de del mismo. Si la estatura del observador es de ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta el observador sobre el piso? 206) Desde la parte superior de un faro de de altura sobre el nivel del mar, se observa un buque con un ángulo de depresión de 28° 30’ ¿Cuál es la distancia del buque al faro? 207) Un avión vuela rumbo al este con una velocidad de , se encuentra con un viento que viene del norte, con una velocidad de . Hallar la velocidad resultante y el rumbo verdadero del avión. 208) Para alcanzar la cima de un muro de de altura se utiliza una escalera de . Si la escalera se extiende más allá del muro, determina su inclinación respecto a la horizontal. 209) Encuentra la longitud del lado de un polígono regular de nueve lados inscripto en un círculo de de radio. 210) Una nube ubicada sobre un aeropuerto representa su límite de visibilidad vertical. Para medir la altura de esta nube se dirige un reflector sobre ella para producir una mancha luminosa en la nube. A quinientos pies un observador reporto que el ángulo de la mancha respecto a la horizontal es de 32° 10’ ¿A qué altura se encuentra la nube sobre el aeropuerto? 211) Si un jet sube en un ángulo de 15° con una velocidad constante de 900 millas por hora ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a una altura de 8 millas?

4,06

42