Trigonometria_7

UNIDAD VII

LA IMPORTANCIA DE LA IDENTIDAD

C

omo siempre digo, la mayoría de blogs están hechos por personas y para personas, esto nos da la posibilidad de imprimir mucho más que textos e imágenes en cada uno de nuestros posts y generar así una identidad. Pero ¿para qué queremos tener una identidad? Básicamente nuestra identidad nos va a servir para separarnos de los demás en un mercado bastante saturado, es decir, para que nuestros lectores o quienes lleguen al sitio rápidamente se den cuenta que no somos un blog más del montón. Entre las principales ventajas que presenta esto podemos enumerar, tal como lo hacen en Daily Blog Tips, la posibilidad de crear lectores eles que nos reconozcan fácilmente y tal vez se identiquen con nosotros produciéndole ganas de leer nuestras entradas y no solo escanearlas, generar una marca con su nombre e imagen y en muchos casos poder tratar temas alejados del blog mostrándose usted como “persona”. Dicha identidad no se va a crear de la noche a la mañana sino que requiere tiempo, mucha actividad en el blog susodicho y una visión clara de lo que se busca y en que parte del proceso se está. Algunos puntos que ayudarán a realizar esta tarea, será pensar en qué cosas son las que lo diferencian de los demás y explotarlas, además de ver qué es lo que están diciendo los demás sobre ti. Hay que pensar muy bien qué tipo de identidad se quiere crear, una vez que lo hayas conseguido no vas a poder arrepentirse, o mejor dicho, va a ser muy difícil revertirla. APRENDIZAJES ESPERADOS

Comunicación matemática

•

Discriminar identidades trigonométricas por ser pitagóricas, recíprocas recíprocas y por cociente al ser despejadas algebraicamente. Análisis y demostración • Demostrar identidades trigonométricas. Resolución de problemas • Resolver problemas aplicando las identidades trigonométricas básicas.

1

Identidades trigonométricas de un ángulo simple

Identidades trigonométricas trigonométricas de un ángulo simple Conceptos básicos Definición Es una ecuación que involucra expresiones trigonométricas, las cuales son válidas para todos los valores de la variable donde la expresión se encuentra correctamente definida.

Identidades recíprocas Las identidades recíprocas se obtienen directamente de las definiciones de las razones trigonométricas de un arco en la circunferencia trigonométrica. t (x;y)=(cost; sent) Q

(1;0) x2 + y2 = 1

Consideremos un arco en el segundo cuadrante, entonces las coordenadas del extremo "Q" de dicho arco son respectivamente: (cost; sent) I. csc(t)= r 

csc(t)=

1 sen (t)

III. cot(t)= x

cot(t)=

1 tan(t)

y

y

II. sec(t)= r 

sec(t)=

x

1 cos (t)

Identidades por cociente y

I. tan(t)=

y x

&

 tan(t) =

Por lo tanto:

r  x r 

II.

cot(t)= x y

&

 cot (t) =

x r  y r 

Por lo tanto:

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Trigonometría

Identidades pitagóricas Partimos de la condición de un punto cualquiera de la circunferencia trigonométrica. .....(*) Pero como ya hemos visto anteriormente "x" representa al cos(t) e "y" representa al sen(t). Entonces:

cos2 (t) + sen2 (t) = 1

Para deducir las siguientes, dividimos (*) entre x2. Entonces (*) queda: 2

2

` xx j2 ` yx j ` x1 j +

=

Efectuando operaciones: 1+tan2(t)=sec2(t) Ahora dividimos (*) entre y2: 2 x 2+ y = 1 2 y y y

` j

c m c m

Efectuando operaciones: 1+cot2(t)=csc2(t) Los problemas frecuentes en este capítulo se pueden clasificar en: •

Demost Demostrac racion iones es

•

De simplicac simplicación ión o reducción reducción de expresiones. expresiones.

•

Con Con cond condic ició ión n

•

Eliminació Eliminación n de una variable variable angular. angular.

Central: 619-8100

 Unidad VII

223

Identidades trigonométricas de un ángulo simple

Síntesis teórica

Se pueden clasificar en

Producto uno

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Trigonometría Razonamiento Matemático

1

Problemas resueltos 2. Verique la siguiente identidad :

Problemas sobre demostraciones

Recomendaciones: • Aquí se muestran dos expresiones: expresión 1 = expresión 2 Se elige una de ellas de preferencia en la cual se pueden efectuar operaciones. • A partir de esta se debe llegar a la otra expresión, trabajando independientemente sin realizar ninguna operación en la otra expresión. • •

senθ 1 + cos θ + = 2 csc θ 1 + cos θ senθ

Resolución: Paso 1: Elegimos el miembro en el cual vamos a

trabajar:

2

A=

Si a pesar de esto no se llegase a demostrar la identidad se debe recurrir a algún articio del ejercicio.

A=

1 + tgθ 1 + ctgθ

=

tgθ S

1  4 424 4  3

E1

Resolución:

E2

sen 2 θ + ^1 + cos θh

^1 + cos θh senθ sen 2 θ + 1 + 2 cos θ + cos2 θ ^1 + cos θh senθ

Paso 3: Reconocemos las identidades funda-

mentales: sen2 θ + cos2 θ = 1 1 + 1 + 2 cos θ

A=

Paso 1: Elegimos el miembro en el cual se va

a efectuar las transformaciones básicas de preferencia al que posee más términos.  

Sea: E1 =

1 + tgθ 1 + ctgθ

Paso 2: Pasemos toda la expresión a senos y co-

senθ 1 + cos θ + 1 + cos θ senθ

Paso 2: Efectuar operaciones:

Para comenzar a reducir la expresión elegida se debe llevar todo a senos y cosenos.

1. Verique la siguiente identidad:

A=

^1 + cos θh senθ 2 + 2 cos θ ^1 + cos θh senθ

A=

"

A=

2^1 + cos θh

^1 + cos θh senθ

Paso 4: Simplicando y usando la identidad

recíproca de la cosecante. 2 senθ

A=

"

A = 2 csc θ

senos, entonces tendremos: senθ cos θ E1 = cos θ 1+ senθ

3. Verique la siguiente identidad:

1+

 Minimo común a las fracciones

Paso 3: Realizamos las operaciones inmediatas cos θ + senθ cos θ E1 = senθ + cos θ senθ

Efectuando extremos y medios Paso 4: Simplificamos la expresión. E1 =

senθ (cos θ + senθ) cos θ (senθ + cos θ)

1 cos θ − = tan θ cos θ 1 + senθ

Resolución Paso 1:Elegimos el miembro en el cual vamos a

trabajar. E=

1 cos θ − cos θ 1 + senθ

Paso 2: Efectuemos las operaciones inmediatas. E

=

Paso 3: Reconocemos las identidades fun-

damentales: sen2 θ = 1 − cos2 θ

Paso 5: Reconocemos las identidades

fundamentales E1 = senθ cos θ

&

1 + senθ − cos2 θ (1 + senθ) cos θ

E

=

sen2 θ + senθ  Factor (1 + senθ) cos θ

común: senθ

E1 = tgθ lo que queríamos demostrar

Paso 4: Simplicando E

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=

senθ^senθ + 1h (1 + senθ) cos θ

"

E

=

tan θ

 Unidad VII

225

Identidades trigonométricas de un ángulo simple

Problemas sobre simplificación o reducción de 5. Reducir: expresiones

Simplificar o reducir una expresión trigonométrica se debe entender que al realizar ciertos procesos la expresión debe quedar siempre comparada con la original y para esto se procederá en forma similar a los problemas de demostración.

K

=

1 cos x 1+

1 senx senx cos x

K

=

=

tgx ctgx

=

senx 1 senx

+

cos x 1 cos x

+

senx cos x cos x senx

Paso 2

Efectuamos las operaciones básicas. E

=

E

=

senx 1 1 senx

+

cos x 1 1 cos x

+

senx cos x cos x senx

Extremos y medios.

+

Paso 2: Efectuamos las operaciones básicas.

K

+

Toda la expresión a senos y cosenos

1 + tgx

Paso 1: Toda la expresión a senos y cosenos.

cos x sec x

Paso 1:

E

Como se puede notar ya no hay que elegir la expresión o transformar porque nos la dan, entonces seguimos las secuencias anteriores.

+

Resolución:

4. Reducir la siguiente expresión: K = sec x + csc x Resolución:

E = senx csc x

senx + cos x cos x.senx cos x + senx cos x

2

2

2

sen x + cos x +

sen x cos2 x

Paso 3:

Reconociendo las identidades como: Mínimo común

sen2x + cos2x

=

1 ; tgx

=

senx cos x

E = 1 + tg2x , ahora la identidad pitagórica.

^senx + cos xh cos x ^cos x + senxh cos x.senx

E= sec2x

Paso 3: Reconociendo las identidades funda-

mentales. E

=

1 senx

"

E

= csc x

10 x 5 50

 Aplica lo  á comprendido   s   o   c  i  s   b   s   o   t   p   e   c   n   o   C 1. Establece una correspondencia mediante echas entre ambas columnas. cscx

 

1 senx senx

tanx

 

cos x

secx

 

1 cos x

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2. Completa los espacios en blanco:

1

I. sen2x + cos2x = = sec2x

II. 1+ III. cotx=

  cos x

3. Demostrar:   senx.cotx+2cosx=3cosx 4. Simplicar: M=sen2x.cotx.secx 5. Reducir: P=(1 – sen2x)secx

 Aprende Conceptosmás... básicos 1. Demostrar la siguiente identidad:

8. Simplicar:

tanx.secx.cot2x=cscx

A=senx(cscx+senx)+cosx(secx+cosx)+1

2. Demostrar la siguiente identidad: 4

sen

x.csc2x+cos4x.sec2x=1

1]cscx=2cosx

(tanx+cotx)sen2x=tanx

b) 2 e) 2senx

Central: 619-8100

b) 2tanx e) senx

b) cosx e) cscx

c) senx

c) tanx

(sec2x - 1) . cotx (csc2x - 1) . tanx b) tan2x e) 1

a) tanx d) cot2x

c) cotx

11. Reducir: c) 0

7. Simplicar: M=tanx(1+cosx) - sen2x.cscx a) tanx d) 2cosx

sec x - cos x csc x - sen x

E=

6. Simplicar la expresión: P=senx(1+cotx)+cosx(1 - tanx) a) 1 d) 2cosx

c) 5

10. Simplicar:

5. Reducir: M=(secx - cosx)(cscx - senx) b) secx.cscx e) cosx

G= 3

a) senx d) cotx

4. Demostrar la siguiente identidad:

a) 1 d) senx.cosx

b) 3 e) 4

9. Simplicar:

3. Demostrar la siguiente identidad: [(senx+cosx)2 -

a) 1 d) 2

A= a) tan2x d) sec2x

sen2x–sen4x cos2x–cos4x b) cot2x e) csc2x

c) 1

c) cosx

 Unidad VII

227

Identidades trigonométricas de un ángulo simple

12. Reducir: B=(3senx+2cosx)2+(2senx – 3cosx)2 a) 7 d) 13

b) 5 e) 15

15. Si: x ∈ , reducir: 3

H = cos x +

c) 12

a) 2secx d) 3tanx

13. Reducir: A=

1 csc x + cot x

a) senx d) cotx

2

4

1 + sen x - sen x

b) 4cotx e) 4senx

- sen6 x

c) 2cosx

16. Reducir: P=(sen2x–cos2x)(sen4x+cos4x)(sen8x+cos8x)+cos16x

+ cot x

b) cosx e) cscx

a) sen16x d) 0

c) tanx

b) 1 e) 1+sen16x

c) –1

14. Simplicar: P=csc4x–cot4x–2csc2x a) 1 d) –csc2x

c) csc2x

b) –1 e) 2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. La siguiente ecuación se produce en el estudio de la mecánica: senθ

=

I1cos φ 2 2 ^I1cos φh + ^I2senφh

Puede ser que I1 = I2 suponiendo que esto sucede, simplifica la ecuación e indica que se deduce de los ángulos "θ" y "f". 18. Muchas gafas de sol han polarizado las lentillas que reduce la intensidad de luz. Cuando la luz pasa por una lente polarizada, la intensidad de la luz es cortada en la mitad. Si la luz entonces pasa por otra lente polarizada con su eje en un ángulo de "θ" al primero, la intensidad de la luz otra vez es disminuida.

Eje 1 Lente 2 Luz Lente 1

Eje 2

La intensidad de la luz emergente puede ser encontrada usando la fórmula

I = I0 −

I0 2 csc θ

, donde

I0   es

la

intensidad de la luz emergente y “θ” es el ángulo entre los ejes de polarización. Simplifique esta expresión y determine la intensidad de luz que surge de una lente polarizada con su eje en los 30º respecto al eje original.

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¡Tú puedes!   s   o   c  i  s   á   b   s   o   t   p   e   c   n   o   C 1. Si: 0