Trigonometría UNI 5º
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Trigonometría UNI 5º...
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Índice Capítulo 1 Ángulo trigonométrico y sistemas de medición angular................................... 4 Capítulo 2 Fórmula general de conversión entre sistemas................................................. 9 Capítulo 3 Longitud de arco - Área de sector circular...................................................... 15 Capítulo 4 Número de vueltas y relaciones entre ruedas................................................. 21 Capítulo 5 Razones trigonométricas de un ángulo agudo I.............................................. 28 Capítulo 6 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II............................................. 34 Capítulo 7 Repaso........................................................................................................... 41 Capítulo 8 Ángulos verticales - Ángulos horizontales...................................................... 43 Capítulo 9 Sistema de coordenadas rectangulares .......................................................... 50 Capítulo 10 Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud....................... 54 Capítulo 11 Reducción al primer cuadrante...................................................................... 60 Capítulo 12 Circunferencia trigonométrica I...................................................................... 66 Capítulo 13 Circunferencia trigonométrica II..................................................................... 74 Capítulo 14 Identidades trigonométricas de un ángulo I y II.............................................. 78 Capítulo 15 Identidades trigonométricas para la suma o resta de dos ángulos y tres ángulos................................................................................................. 84 Capítulo 16 Repaso .......................................................................................................... 91 Capítulo 17 Identidades trigonométricas para el ángulo doble ......................................... 93
Trigonometría Capítulo 18 Identidades trigonométricas para el ángulo mitad - triple............................... 98 Capítulo 19 Trasformaciones trigonométricas I................................................................ 105 Capítulo 20 Trasformaciones trigonométricas II............................................................... 111 Capítulo 21 Funciones trigonométricas I......................................................................... 116 Capítulo 22 Funciones trigonométricas II........................................................................ 122 Capítulo 23 Teoría de períodos....................................................................................... 127 Capítulo 24 Funciones trigonométricas inversas I............................................................ 132 Capítulo 25 Funciones trigonométricas inversas II........................................................... 138 Capítulo 26 Ecuaciones trigonométricas.......................................................................... 143 Capítulo 27 Inecuaciones trigonométricas....................................................................... 148 Capítulo 28 Resolución de triángulos oblicuángulos....................................................... 154 Capítulo 29 Vectores I y II............................................................................................... 160 Capítulo 30 Repaso......................................................................................................... 165 Capítulo 31 Rectas I y II.................................................................................................. 167 Capítulo 32 Circunferencia y parábola............................................................................ 176 Capítulo 33 Elipse - Hipérbola........................................................................................ 182 Capítulo 34 Transformación de coordenadas.................................................................. 188
Problemas resueltos 1. Si se sabe que 25 grados de un sistema "N" equivalen a 30º, determine una fórmula de conversión entre el sistema "N" y el sistema radial. b) N = R a) N = R 150 π 180 25π c) N = R 30 π
d) N = R 150 π
e) N = R 180 2π
Entonces: g
27º27'=30g50m=3A 5B luego: A=0 ∧ B=0
∴ 2A+B=0
Clave: C
' '' 3. Si un ángulo mide c aºa' m c a'a" m y se puede a' a" expresar como xº y' z", entonces al transformar
Resolviendo Sea: 25N:25
a radianes (x+2y+z)º se obtiene.
grados del sistema "N"
Por condición: 25N=30º ⇒ 25N= π rad 6 14243 150N=πrad luego, para un ángulo no nulo "θ" tenemos: N NN=Rrad ⇒ N N = Rrad πrad 150
∴
N =R 150 π
Fórmula de conversión
g
m
c) 0
Resolviendo
Por condición: g m 27º27'=3A 5B Observación
Conocemos que: 9º=10g
⇒ 9×60'=10×100m ⇒27'=50m
Quinto UNI 4
b) π rad 60 e) π rad 35
c) 2π rad 35
Resolviendo c
aºa' ' a'a" ''= xº y' z" mc m a' a"
c
aºa' = aº + a' = ( 60a' + a' ) = 61a' m m c a' a' a' a'
⇒ ( aºa' ) = 61 a' Análogamente: ( a'a'' ) = 61 a''
2. Si 27º27'3A 5B , halle el valor de: 2A+B b) -1 e) 2
a) π rad 30 d) 2π rad 41
Reducimos separadamente
Clave: A
a) -2 d) 1
m
⇒ 14243 61'61"= xºy'z" 61'60"+1" = 62'1"= 60'+2'+1" luego: 1º 2' 1"=xº y 'z"
1º
(x+2y+z)º=6º π rad 30 Clave: A
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Trigonometría 4. ¿Para qué valor de "x" se verifica la igualdad:
;
g
(x - 3) º º (4x - 18) º E =; E ? 5g 15g
a) 12 d) 20
b) 17 e) 10
c) 24
5. Sabiendo que:
α=2º+4º+6º+8º+...+20º
g g g g β= c 10 m + c 20 m + c 30 m +...+ c 200 m 9 9 9 9
Resolviendo
a) - π 9 π d) 9
Por condición:
;
Halle la media de "α - β" en el sistema radial
(x - 3) º º (4x - 18) º g E =; E 5g 15g
c) π 3
b) - 5π 9 5π e) 9
Resolviendo
g Conocemos que: 9º=10
(x - 3) º º (4x - 18) º E =; E ; 5g 15g
(x - 3) º 9 (4x - 18) º = g 5 150g
g ×
9º 10g
α=2º+4º+6º+8º+...+20º
α= [10×11]º →
g g g g β= c 10 m + c 20 m + c 30 m +...+ c 200 m 9 9 9 9
α=110º
g Como: 10g = 9º → ;10 E = 1º 9
9 (4x - 18) → (x-3)= 30 → 30(x-3)=9(4x-18)
→ 30x - 90=36x-162
Asi: β=11 4 º+ º+ º +4..... 20º3 4 424 4432 4 4+ 4 44
→ 72= 6x ∴
Clave: A
x=12
º β=; 20×21E → β=210º 2
∴α - β= - 100º × πrad 180º α - β= - 5≠ rad 9 Clave: B
Problemas para clase BLOQUE I 1. A partir del gráfico, señale lo correcto:
2. Del gráfico, hallar "x", si: L1//L2. α
x
α β
θ a) α+θ=180º b) α - θ=270º c) α+θ=270º
Central: 619-8100
d) α+θ=450º e) α - θ=450º
L1
a) α - β b) α+β +180º c) α - β +360º
L2
d) α - β +180º e) α+β +360º
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10. Calcular:
3. Del gráfico, calcular: x/y.
K= g (x+y)º (y - 2x)
a) 8/3 d) 17/16
b) 9/8 e) 19/8
7
/
n=2
)^ - 1hn =
a) 23 d) 37
nº^n - 1h ' G3 ^n - 1h ' b) 33 e) 47
BLOQUE II
c) 17/3
11. Del gráfico, señale lo correcto:
4. En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos miden (2xx - 4)g y (4x2+n)°. Calcular (nx)° en el sistema circular. a) π rad 15 d) π rad 10
b) π rad 12 e) π rad 5
b) π rad 2 π e) rad 8
6. Sabiendo que: a+c. b a) 2 d) 6
c) 3π rad 20
c) π rad 5
π rad=aº 5b'5c"; calcular: 37
b) 3 e) 8
a) 10α - 9θ=4500 c) 10α+9θ=2700 e) 10α - 9θ=1800
C B
c) 4
αº
7. La suma de medidas de dos ángulos es 20° y su diferencia es 8g. ¿Cuál es la medida sexagesimal del mayor? b) 14°36' e) 16°36'
c) 13°36'
8. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 7π rad y 144g. ¿Cuál es la medida sexa108 gesimal del tercer ángulo? a) 28°32' d) 28°42'
b) 38°34' e) 38°44'
b) 10α - 9θ=2700 d) 10α+9θ=4500
t ; se12. Si en el gráfico OC y OD trisecan al BOE ñale el valor de: J= α θ - 60
A
a) 12°24' d) 15°48'
θg
αº
5. Si la medida centesimal de un ángulo es (x2-6x+17)g, siendo esta última la menor posible, exprese (x3+6x)° en el sistema circular. a) π rad 3 d) π rad 6
c) 27
c) 48°22'
a) 1 d) 4
D
5θg
0
E
b) 2 e) 2/3
c) 3
13. Del gráfico, calcular : x/y.
(x - 5y)g (x - y)'
a) 261 55 d) 261 65
b) 271 55 e) 271 65
c) 281 55
9. Se crea un nuevo sistema de medición angular, tal que su unidad (1*) resulta ser la 240 ava. parte del ángulo de una vuelta. Señale el equi14. En un triángulo isósceles, los ángulos congruenvalente de 6,6* en el sistema sexagesimal. 2 tes miden: ( x + 18x + 1) g cada uno. Si dicha a) 8°36' b) 9°36' c) 8°54' x d) 9°54' e) 10°24' medida es mínima (x∈ +), ¿cuál es la medida circular del ángulo desigual?
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Trigonometría a) 2π rad 5 d) 7π rad 20
b) 3π rad 5 e) 2π rad 3
c) 4π rad 5
15. Sabiendo que: 1rad= 5a º b7 ' 4c " (π=3,1416). Calcular : a + b . c a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
16. Señale un valor de "K" que verifique la siguiente desigualdad: s m 1" + 1s < K < 1' + 1m 1" - 1 1' - 1 a) 1,7 d) 1,86
b) 3,72 e) 2,07
c) 3,46
17. Se crea un nuevo sistema de medición angular cuya unidad (1*) resulta ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que le corresponde resulta ser la cuarta parte del radio de dicha circunferencia. Señale el equivalente de 12g50m en el nuevo sistema. a) π* d) π * 4
b) 2π* e) π * 8
c) π * 2
18. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados de a 2, las sumas de medidas de cada pareja resultan iguales a 21'; 50m y 11π rad. ¿Cuál es 900 la media aritmética de las medidas de los tres ángulos? a) π rad 60 d) π rad 360
π rad 120 e) π rad 720
c) π rad 180
b)
19. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores 2 ab + b2 ) º , siendo esta medida la mide: ( a + 28 a2 + b2 máxima posible. Señale la medida circular del mayor ángulo que forman las bisectrices interiores de los otros dos ángulos del triángulo. a) 7π rad 24
b) 11π rad 24
d) 5π rad 8
e) 5π rad 6
c) 13π rad 24
20. Sabiendo que: a=1'; b=1m; c=1s; d=1". Calcular: J= a) 1,2 d) 1,45
3ab - 10 5cd 30ad b) 1,3 e) 1,5
c) 1,25
Tarea domiciliaria 1. Señale el equivalente de: θ= π rad+18º 4 en el sistema centesimal. a) 60g d) 54g 2. Calcular:
b) 70g e) 72g
c) 80g
b) 2 e) 5
c) 3
3. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 20g. ¿Cuál es la medida circular del otro ángulo agudo? a) π rad 5 d) 2π rad 5 Central: 619-8100
b) π rad 3 e) π rad 9
a) 18º d) 32º
b) 20º e) 36º
c) 21º
5. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide π rad. ¿Cuánto mide cada uno de los 15 ángulos congruentes?
g J = 30º + 40 π rad π rad 12 5
a) 1 d) 4
4. La suma de las medidas de dos ángulos es 40g y su diferencia es π/30rad. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
c) 2π rad 3
a) 82º d) 76º
b) 84º e) 78º
c) 74º
6. Un ángulo mide (7n+3)º y también (8n+2)g. ¿Cuál es la medida radial de dicho ángulo? a) π rad 3 d) π 6
b) π 4 π e) 9
c) π 5
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a) 61 d) 68
7. Si: π rad=(3n+2º), calcular "n". 9 a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
b) 62 e) 186
c) 63
13. Del gráfico, calcular "x".
8. Un ángulo mide (x +1)° y también (x +2)g. ¿Cuál es la medida circular del ángulo? a) π rad 3 d) π 20
b) π 9 e) π 36
c) π 18
9. En un triángulo ABC: A=120g, B= π rad 4 ¿Cuál es la medida sexagesimal de "C"? a) 24° d) 36°
b) 27° e) 37°
c) 54°
10. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados de a dos, la suma de medidas de dichas parejas resultan ser iguales a π rad; 70g y 17°. 3 ¿Cuál es la suma de medidas de los tres ángulos? a) 60° d) 90° 11. Si:
b) 70° e) 100° π rad=ag b0 37
c) 80°
m
(3 - 9x)g (8x - 2)º
a) 1 d) 7
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c
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z-y-1 x
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
B
Y
s
5c .
α
β A
c) 3
nºn' º nº (2n) ' ' nº (3n) ' '' = aºb'c" mc m m c n' n' n'
Calcular : "a + b + c".
Calcular : J =
15. En el gráfico OX y OY son bisectrices del BCOB y B AOB, respectivamente. Señale lo correcto:
a) α - 2β =90º c) α - 2β =180º e) α + 2β =180º
12. Siendo:
c) 5
14. Si : xº y’ z" = 3º 42' 48" + 5º 29' 34"
Calcular: a + b - 1 c
b) 3 e) 9
0
X C
b) α - β =270º d) α - 2β =360º
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Problemas resueltos 1. Se mide un ángulo en los tres sistemas de medición angular convencional, tal que se cumple la siguiente ecuación: 2 3 3S + 3 100C + 3 π R = 26+0,1π , 400 halle: S+C
Resolviendo
2. Sean "S", "C" y "R" los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente, si se cumple: S C (C + S) 2 = S (C - S) 2 , halle E= 10 R 9 π c) π a) π b) 384 3840 3420 π d) π e) 3220 3110
Tenemos para el ángulo "θ"
Resolviendo
a) 144 d) 156
b) 148 e) 160
g
Rrad
S=9k C=10k R= π k 20
S. C . (C + S) =
3 # 9k + 3 100 # 10k + 3
π # πk =26+ π 400 20 10
3 3 k + 10 3 k + π 3 k = ( 260 + π ) 20 10
13 3 k + π 3 k = ( 260 + π ) 20 10
→
k ; 260 + π E = ; 260 + π E & 3 k = 2 20 10 ∴ k=8
Luego: ⇒
i) S=9k
ii) C=10k ⇒
∴ C+S=152
Clave: B
S (C - S) ..............(oc) Sº g C Rrad
S=9k
Reemplazamos en oc:
9k.
R= π k 20
C=10k
10k .(19k) = 9k . (k)
19×9 10 =3 ⇒ K= Se pide: E=
1 57 10
10 .R 9
S=72 C=80
E=
10 . π k ⇒ E= 9 20
10π k 60
E=
1 10π . 60 ; 57 10 E
∴ E=
Central: 619-8100
Sea el ángulo θ
S (C - S) 2
Donde:
C (C + S) 2 =
2
3
S
En la condición 3
123
C
donde
123
θ
123
Sº
c) 152
π 3420
Clave: C
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3. Si "S", "C" y "R" son los números que representan las medidas de un mismo ángulo, en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente, halle la medida del ángulo en radianes, si se cumple:
C2 - CS - 2S2 = 19R π 2S2 - CS - C2 2π c) 2π a) π b) 7 7 11 5π d) 4π e) 7 7 Resolviendo
2 2 Condición: C 2- CS - 2S2 = 19R π 2S - CS - C Sea: S=9k C=10k R= πk 20
Reemplazamos:
R= 15π 23
∴
Clave: B
5. La suma del número de minutos centesimales y el número de segundos sexagesimales de la medida de un ángulo es 33 400. Halle la medida de dicho ángulo en radianes. π c) π a) π b) 10 20 30 2π d) π e) 40 25 Resolviendo
Condición:
D minutos D segundos E+ = ; G = 33 400 centesimales sexagesimales
Finalmente, la medida del ángulo en radianes será:
→ 100C+3600S = 33 400
→ C+36S = 334
Conocemos que:
S=9k
Clave: B
15π c) 7π a) 15π b) 46 23 9 8π 17π e) d) 9 18 Resolviendo 2Sg
Tenemos: 3Cº -
3Cº - 2Sg × ; 9ºg E=180º 10 3Cº - 9Sº = 180º 5 3C - 9S = 180 5
Conocemos que:
S=9k
C=10k
C=10k
R= πk 20
Reemplazamos
10k+36×9k = 334 123 334k = 334
luego: R= πk 20
Clave: B
→
k=1 ∴
R= π 20
= πrad
30k - 9 ×9k=180 → 69k =180 5 5 Luego: R= πk = π × 900 20 20 69
100k2 - 90k2 - 162k2 = 19 × πk 20 π 162k2 - 90k2 - 100k2 - 152k2 = 19k & k = 40 G = 20 7 - 28k2
4. Si "S", "C" y "R" representan la medida de un mismo ángulo en los 3 sistemas de medición angular, y se cumple que: 3Cº - 2Sg = πrad Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.
R= π × ; 40 E & R = 2π 20 7 7
R= πk 20
Reemplazamos Quinto UNI 10
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Trigonometría Problemas para clase BLOQUE I 1. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, simplificar :
J=
3S + C - 1 + 3 S + 2 C - 2 + 3 S - 2 C C-S C-S C-S
a) 3 d) 4 2
b) 4 e) 5 2
c) 5
2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo, tales que: S = 3n+1 y 2C = 5n+2 ¿Cuál es el valor de "n"? a) 1/15 d) -2/15
b) -1/15 e) -1/5
c) 2/15
3. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, si su número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 4. a) 18° d) 72°
b) 27° e) 63°
c) 36°
4. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: S2 - C = S; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. a) 19π rad b) 17π rad c) 19π rad 1620 1620 1440 19π 17π rad e) rad d) 810 810 5. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, simplificar: J= πC - 20R πS - 40R a) 5/7 d) 8/7
b) 6/7 e) 9/7
c) 1
6. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 3S - C + 20R=20,1416; siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) π rad 10 d) π rad 18
b) π rad 20 e) π rad 17
c) π rad 40
7. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: S2 + C2 + 20R2 = S + C + R ; siendo "S", 9 10 π "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo no nulo. a) π rad 4 d) π rad 20 Central: 619-8100
b) π rad 5 e) π rad 40
8. Sabiendo que la diferencia entre el triple del número de grados sexagesimales de un ángulo con el doble de su número de grados centesimales, es igual al cuadrado de su número de grados centesimales, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? a) 40m d) 90m
b) 50m e) 1g
c) 70m
9. La diferencia entre los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es igual a: K2 - 2K + 5. ¿Cuál es el mínimo valor de la medida circular de dicho ángulo? a) π rad 4 d) π rad 8
b) π rad 5 π e) rad 9
c) π rad 6
10. La suma de los números de minutos sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo, es igual a 1540. ¿Cuál es la medida circular del ángulo? a) π rad 4 d) π rad 20
b) π rad 5 e) π rad 18
c) π rad 6
BLOQUE II 11. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda; si "S", "C" y "R" son lo conocido para un ángulo generado en sentido horario: I. S > C
II. 9S < 8C
a) VFV d) FVF
b) VVV e) VFF
III. R > S c) FVV
12. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: J=1-
(S + 2R) 2 + (2S - R) 2 (C + 2R) 2 + (2C - R) 2
a)
76 3800 b) 2 400 + π 400 + π2
c)
3800 760 d) 2 40 000 + π 40 000 + π2
e)
7600 40 000 + π2
c) π rad 10
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13. Señale la medida circular de un ángulo si sus números de grados sexagesimales y centesimales son múltiplos consecutivos de 6. a) π rad 5 d) 3π rad 5
b) 3π rad 10 e) 7π rad 10
c) 2π rad 5
14. Señale la medida circular de un ángulo si el número que representa su suplemento en el sistema centesimal excede al número que representa su complemento en el sistema sexagesimal, en 106. a) π rad 5 d) π rad 9
b) π rad 6 e) π rad 10
c) π rad 7
15. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: S2 (RC) - 1 + C2 (RS) - 1 = 1729 ; 3R siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) π rad 2 3π d) rad 2
b) πrad e) 2π rad 3
c) 3π rad 4
16. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 2LogSC+LogSR2=3;
18. Señale la medida circular del ángulo para el cual "S" y "C" son lo conocido, verificándose:
siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) 729 rad 4π
b) 729 rad 8π
c) 1458 rad 7π
d) 1458 rad 5π
9º - 3Cg Sº - 10g
a) π rad 9 d) π rad 10
b) 2π rad 9 e) 3π rad 20
c) π rad 20
19. Señale la medida centesimal de un ángulo que verifica: "R ,+S=109; siendo "S" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) 80g d) 120g
b) 90g e) 140g
c) 100g
20. La décima parte de la diferencia del número de segundos sexagesimales de un ángulo con 8 veces su número de minutos centesimales es igual a: 2 2 a 2+ b 2+ 16ab ; a, b ∈ + a + b + 4ab ¿Cuál es el máximo valor de la medida circular del ángulo? 3π rad 4880 b) 3π rad 48 800 c) π rad 4880 a)
π rad 48 800 e) 7π rad 4880 d)
e) 729 rad 5π 17. Se tienen dos ángulos complementarios, tales que el número de grados centesimales del mayor excede al número de grados sexagesimales del menor en 24. ¿Cuál es la medida circular del menor? a) π rad 5 d) π rad 10
Quinto UNI 12
b) π rad 6 e) π rad 12
c) π rad 9
Colegios
TRILCE
Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. Señale la medida radial de un ángulo que cumple: SR + C = 37 . 39 CR + S a) 1 rad d) 1,5 rad
b) 2 rad e) 3 rad π
c) 3 rad
2. Determine la medida en el sistema sexagesimal del ángulo, si se cumple 3S - 2C = 42 . a) 50º d) 54º
b) 52º e) 55º
c) 53º
3. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido para cierto ángulo no nulo, reducir : K= a) 1 d) 4
2C - S + 5 C-S
b) 2 e) 5
c) 3
4. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido tal que: C=n+2 ; S=n-2 Señale la medida circular del ángulo. a) π rad 3 d) π rad 10
b) π rad 4 e) π rad 20
c) π rad 5
5. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 2. a) π rad 4 π d) rad 8
b) π rad 6 e) π rad 20
c) π rad 10
6. Si la medida de un ángulo se expresa como ab º g y también como (a + 1) 0 , señale el mayor valor que toma su medida circular. a) π rad 5 d) π rad 2
b) 9π rad 20 e) 7π rad 20
c) π rad 4
7. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido, calcule : x - y + z 2C - S º =xºy'z" E ; 2S - C a) 3 d) 2 6
Central: 619-8100
b) 4 e) 2 5
c) 5
8. En un hexágono, los ángulos internos están en progresión aritmética y:
α1>α2>α3>α4>α5> α6
¿Cuánto medirá el cuarto ángulo dado en radianes, si el mayor es igual a 125º? a) 750π d) 2π
b) 115π 180 121π e) 180
c) 119π 180
9. Si el complemento del arco "x" es - 3π radia14 nes, hallar el valor de "x" en grados centesimales. a) 282g 85m b) 272g 85m c) 262g 85m d) 25g 108m e) 142g 85m
71s 71s 71s 71s
10. La diferencia de las inversas de las medidas de un arco en grados sexagesimales y en grados centesimales es igual a su medida en radianes dividido por 2π. Hallar la medida de dicho arco. a) π rad 15 c) π rad 12 e) 10º centesimales.
b) 6º d) 7ºcentesimales.
11. El número que representa el valor de un ángulo en el sistema centesimal es mayor en 11 unidades al número que representa al mismo ángulo en el sistema sexagesimal. Entonces, el valor del ángulo, en radianes, es: (π=3,14 ) a) 0,172 d) 1,727
b) 0,727 e) 3,172
c) 2,750
12. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimales y centesimales son números pares consecutivos, el valor del complemento del ángulo, expresado en radianes, es : π a) π b) 10 5 d) 7π e) 2π 40 5
c) 3π 20
Quinto UNI www.trilce.edu.pe 13
13. Hallar el ángulo en radianes que satisface la siguiente condición : La media geométrica de los números que representan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales, multiplicada por la suma de las inversas de los mismos es igual a 19/100 veces la semidiferencia de esos números. a) 10 π 3
b) 10 π
d) 10π
e) 11π
c) 10 π
15. Sean dos ángulos. El primero mide "p" grados sexagesimales y el segundo "q" grados centesimales. La diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal como estaban medidos originalmente, son:
a) 30 y 15 c) 60 y 45 e) 90 y 75
b) 45 y 30 d) 75 y 60
14. Las medidas de un ángulo, en el sistema sexagesimal y en el sistema centesimal, son: S=n2 - 1 y C=n2 + 1 19 19 El valor del ángulo en radianes es : π a) π b) 119 109 π d) π e) 190 1090
Quinto UNI 14
c) π 10
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TRILCE
Problemas resueltos 1. Si: "S", "C" y "R" son las medidas (en grados sexagesimales, grados centesimales y radianes) del ángulo central del sector circular AOB y COD donde LAB =C, LCD =S, y AC = BD=2R, entonces la medida de "θ", en radianes, es:
θ
d) B
r
3
O
1
S D 1
2
2R
Pero: C = S = R 200 180 π 1 4444 2 4444 3 C - S = R & C - S = 10 20 π 2R π
∴ en (1) : θ= 10 π
Clave: B
2. En la figura mostrada OC=OD=r, OA=OB=R, m+COD=1 radián, halle Perímetro del trapecio circular K= Perímetro del sector circular COD Central: 619-8100
4
3A
Como el ángulo central es de 1 rad ! ! ⇒ CD = r ∧ AB = R Luego:
Para el problema: θ= C - S ............. (1) 2R
C 4
3B
2 R
C
4
S
K=
Perímetro del trapecio circular Perímetro del sector circular COD
R + r + 2 (R - r) 3r k= 3R - r = R - 1 .................. (1) 3r r 3
K=
De acuerdo a la relación de áreas, tenemos:
2 S = 1×r 2 2 S AOB= 2S = 1×R 2
S
COD=
321
3
θ
A
B
D
1rad S
4
12
C
(3 2 - 1) e) 2 3
24
2R
c) 4 3
b) 1
Resolviendo
10 c) π a) 5 b) π π 5 d) π e) 1 10
O
A
a) 2 3
Resolviendo
S C
D
S
14
O
O
A
C
B
D
1 = r2 2 R2
⇒ R = 2 r Reemplazamos en (1):
K= 2 - 1 & k = 3 2 - 1 3 3
Clave: D www.trilce.edu.pe 15
3. De la figura mostrada, determine el valor de: ay + by M= ax + bz b
a
Tenemos i) 100s= ii) xs=
z
y
x
a) 1 2 d) 1 3
b) 1
c) 2
e) 3
Resolviendo b
123 123 a
θrad
z
y
32 a
x
(1) (r) :
(100θ) (100R) 2 ............... (1) 2
(120θ) (110R) 2 .................. (R) 2
2 (100) = 100×1002 x 120×110
145,2=x
∴ El área aumento en 45,2%
Clave: E
5. Las áreas de un sector circular y la región encerrada por un cuadrado son iguales y además de igual perímetro; determine el número de radianes del ángulo central de dicho sector. a) 0,5 d) 1,5
13
21
b) 0,75 e) 2
c) 1
b
y-z x-y ⇒ yb - bz=ax - ay = a b4 3 1 44 4 2 44
θ=
Luego:
ay + by =1 ax + bz 142 43
a) 15% d) 40%
∴ M=1
b) 20% e) 45,2%
c) 30%
Sector circular inicial 100θ
l
S l
R
i) Son isoperímetros: 2R+L=4l ................. (1)
ii) Áreas iguales:
RL = l2 ................. (2) 2 Reemplazamos (1) en (2)
2 R + L =l 4
→
RL = 2R + L 2 E ; 2 4
RL = 2R + L 2 SRL=[2R+L]2 E ; 2 4
8RL=4R2+4RL+L2 100S
100R
l
→
Resolviendo 100R
Nuevo sector 110R
0 = 144 R244- 2 4R4+44L23
0= [2R - L]2 → 2R=L
∴ 2= L =θ → R
Clave: E
θ=2
xs
120θ
16
→
Quinto UNI
L S
Clave: B
l R
4. Se tiene el sector circular AOC, donde OA=OC=r y mB AOC= θ. Si "r" crece 10% y el ángulo central crece 20%, ¿en qué porcentaje crece el área del sector círcular?
Resolviendo
ay+by=ax+bz
M
110R Colegios
TRILCE
Trigonometría Problemas para clase BLOQUE I
6. Del gráfico, calcular: LPO1Q 1. En un sector circular, el ángulo central mide x= L! PSQ 3 rad. y el radio 5 cm. ¿Cuál es el perímetro Si : O1P=O1Q del sector? a) 15 cm d) 30 cm
b) 20 cm e) 35 cm
b) 70 cm e) 100 cm
c) 80 cm
M
O
c) 36 cm
A L1
a) 120 m2 d) 150 m2
L2 B
0 r
O1
a) 2 3 3
b) 3 3 2
d) 5 3 2
e) 6 3 5
b) 2π cm2 e) 6π cm2
b) 130 m2 e) 160 m2
c) 140 m2
a) 7°9'43" b) 7°17'6" d) 6°17'34" e) 6°24'43"
c) 2 3 4
c) 8°16'32"
9. Del gráfico, calcular: θS.
c) 4π cm2
A
C O
θrad m
n
S
D
B
a) m2+n2 2 2 d) n - m 2
Central: 619-8100
-3 ArcCos 1 4 2π -4 e) ArcCos 1 4
8. El área de un sector circular es igual al cuádruple del área de un cuadrado cuyo lado es igual al arco del sector. ¿Cuánto mide el ángulo central del sector circular? (π=3,1416)
5. En un sector circular, el ángulo central mide ( xº ) g y el radio mide 2 5 cm. ¿Cuál es el área x' del sector circular? a) π cm2 d) 3π cm2
2π
d)
7. En un sector circular el área es igual a 100m2. Si el arco se reduce en 20% y el radio se duplica se obtiene un nuevo sector circular cuya área es igual a:
4. Del gráfico, calcular : L1 . L2 r 3
π
B
N
- 2 ArcCos 1 4 π - 1 b) ArcCos 1 4 2π -2 c) ArcCos 1 4 a)
b) 54 cm e) 48 cm
Q
S
3. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el radio se incrementa en su doble y el ángulo central se reduce en su cuarta parte, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) 27 cm d) 72 cm
P O1
2. En un sector circular donde el radio mide 10 cm, el número de radianes de su ángulo central es el mayor entero posible. ¿Cuál es el perímetro del sector? a) 60 cm d) 90 cm
A
c) 25 cm
2 2 b) m + n 2 2 2 e) n - m 4
c) n2 - m2
Quinto UNI www.trilce.edu.pe 17
14. En un sector circular, el ángulo central mide xrad y el radio (x+4x-1 - 2)cm. ¿Para qué valor de "x" la longitud del arco es mínima?
10. Del gráfico, calcular: "S". A C E
6u2
D
B
a) 2 u2 d) 2/3 u2
a) 1 d) 3
18u2
4u2 S
O
b) 3 u2 e) 4/3 u2
c) 1 u2
b) 2 e) 3/2
c) 1/2
15. Del gráfico mostrado, hallar: y-z J= 2π - x Si: BM = BP y AN = AP. P
z
x
BLOQUE II 11. Del gráfico, calcular:
L23 - L21 J= L3 L2 - L1L2
O
L1 F
a) 2 d) 4/3
A
C
E
L2 D
L3 B
b) 4 e) 2 2
c) 6
12. Del gráfico, calcular : J=(θ - 1)(θ2 - 2)
O
A
C
E θrad F
D
a) 1/2 d) 1/4
b) 2 e) 4
B
c) 1
O
2θ
A
L1 L 2 D
B
a) ( π - 1) Cotθ d) ( π - 1) Cosθ 2θ 2θ π b) ( - 1) Tanθ e) ( π - 1) Tanθ θ 2θ π c) ( - 1) Senθ 2θ
Quinto UNI 18
A
M
O
N
B
ArcCos 3 3 4) a) 0,25 - ( 4 ArcCos 2 3 ArcCos 2 3 3 ) b) 0,25 - ( 4 ArcCos 3 4 ArcCos 3 3 4 ) c) 0,75 - ( 4 ArcCos 2 3 ArcCos 2 3 3 ) d) 0,75 - ( 4 ArcCos 3 4 ArcCos 2 3 3) e) 0,75 - ( 8 ArcCos 3 4 16. En un sector circular se sabe que su perímetro es igual a "2p". Si su área es máxima, ¿cuánto mide el ángulo central de dicho sector?
13. Del gráfico, hallar: K= L1 . L2 C
y
a) 1 rad d) 4 rad
b) 2 rad e) 1/4 rad
c) 1/2 rad
17. En el gráfico mostrado, tomando a AB , BC y AC como diámetros, se dibujan tres semicircunferencias. Si el área del triángulo ABC es "S", calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas.
Colegios
TRILCE
Trigonometría 19. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada.
B
C M
A C a) S d) 1 S 2
A
c) 2 S 3
b) 2 S e) 1 S 3
a) 2π cm2 d) 6π cm2
18. Si el triángulo ABC es equilátero de lado 2cm, donde tomando AB y BC como diámetros se han ! dibujado semicircunferencias; además AC , tiene su centro en "B". Calcular el área de la región sombreada. (π= 3 + 2 ) B
A
3 5 cm
b) 3π cm2 e) 8π cm2
B
c) 4π cm2
20. En un tronco de cono circular recto, los radios de sus bases y su generatriz suman 8 cm. ¿Cuál es el máximo valor del área lateral del tronco de cono? a) 8π cm2 d) 32π cm2
b) 16π cm2 e) 64π cm2
c) 24π cm2
C
a) ( 3 + 2 2 ) cm2 c)
24º
3 5 cm O
2 cm2
b) (2 3 +
2 ) cm2
d) 2 3 cm2
e) 2 2 cm2
Tarea domiciliaria 1. En un sector circular el arco mide "L1", pero si triplicamos el radio y reducimos el ángulo central en 20% se genera un nuevo sector circular cuyo arco es "L2". Calcular : L1 L2 a) 5 b) 5 c) 6 9 12 13 2 3 d) e) 5 4 2. En un sector circular donde el radio mide 8cm, ¿cuál es el mayor valor entero que toma el arco? a) 60 d) 64
b) 40 e) 50
c) 48
3. El minutero de un reloj mide 35cm. Si contamos 12 minutos a partir de ahora, la punta del minutero barre un arco que mide: a) 5π cm d) 14π
Central: 619-8100
b) 15π e) 2π
c) 7π
4. En un sector circular, el ángulo central mide 30g y el radio mide 40cm. ¿Cuánto mide el arco correspondiente? a) 2π cm d) 9π
b) 4π e) 12π
c) 6π
5. En un sector circular, se sabe que el arco es la quinta parte del radio y que su perímetro es igual a 55cm. Calcular el producto del arco con el número de radianes del ángulo central. a) 25 d) 1
b) 15 e) 10
c) 5
6. El tramo de una carretera está compuesta por dos arcos correspondientes a ángulos centrales de 108º y 120º con radios de 10Km y 12Km, respectivamente. ¿Cuál es la longitud total del tramo? a) 6π km d) 12π
b) 8π e) 14π
c) 10π
Quinto UNI www.trilce.edu.pe 19
7. En un sector circular, el ángulo central mide "xg" y el radio (4 - x)cm. ¿Cuál es el máximo valor que podría tomar el arco? a) π cm 20 d) π cm 50
b) π cm 10 e) π cm 25
c) π cm 30
O
C
B
a) 64 µ2 b) 68 µ2 π π 58π µ2 d) 85 µ2 e) π 3
c) 51 µ2 2π
9. Un abanico tiene una longitud de 12cm y al ser abierto (extendido) barre un ángulo de 120º. Calcular el área de la superficie circular determinada. a) 12π cm2 d) 48π cm2
D a) 30 d) 90
A
60g
b) 24π cm2 c) 36π cm2 e) 96π cm2
10. En el gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada. (π = 3 + 2 )
O
30º
H
b) 15 e) 180
3π B c) 60
a) 12 pulg 5
π = 22 7 b) 11 5
d) 5 11
e) 12 7
c) 5 12
14. Se tiene un sector circular de radio "r" y ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior? a) 64º d) 100º
b) 36º e) 20º
c) 28º
15. Siendo "q" el ángulo central de un sector circular cuya longitud de arco es 2π metros. Calcular su radio en metros, si :
B
a) 2 2 - 3
b) 2 2 + 3
c) 2 3 - 2
d) 2 3 + 2
e)
6
S
13. Dos postulantes a la UNI observan un reloj electrónico cuyas agujas están detenidas. Uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 pulgadas cuadradas. Si el reloj tiene un radio de 6 pulgadas, ¿cuál será el arco entre las agujas? Tomar:
A 2 6
2π
θrad
A
6
C O
8. En la figura mostrada, hallar el área del trapecio circular ABCD. Si : AB=10µ y CD=7µ D
12. Del gráfico, calcular : S θ
3- 2
3
a) 1 d) 4
θ +7 π b) 2 e) 2,5
π = 10 θ c) 3
11. De acuerdo al gráfico, calcular : S2 S1 A 3 C 1 S2 O S1 D B
a) 6 d) 18
Quinto UNI 20
b) 12 e) 21
c) 15
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TRILCE
Problemas resueltos 1. Se tienen tres poleas de radio 1u, 2u y 3u, respectivamente, en un mismo plano cuyos centros forman un triángulo equilátero cuya longitud es 29u. Además, dichas poleas se encuentran conectadas por una faja. Si la polea de radio 3u da 3 vueltas, halle la suma de los ángulos girados por las otras poleas. a) 18πrad d) 24πrad
b) 9πrad e) 27πrad
2. Dos ruedas de radios "R" y "r" (R>r) recorren la misma longitud "L". La diferencia del número de vueltas de la menor y la menor es "L/8r". Calcule:
c) 12πrad
r2 + ` π - 1j Rr 4 M= Rr b) - π c) 0 4 e) 2
a) -1 d) 1 2
Resolviendo
A 1
Resolviendo r
R 14444244443 L
2
3
B
C
Sea: n : # de vueltas n R= L ⇒ n r= L 2πr 2πR
Por condición: nr - nR = L 8r
⇒ L = L = L & R-r = 1 2πr 2πR 8r 2πRr 8r
gira:3vueltas
Para C gira: 3 vueltas ⇒ θC =3(2π)=6π
Como están conectados por una faja de trasmisión, se tiene que:
θA×rA= θB ×rB= θC ×rC
⇒ θA= θC× rC = 6π×3 = 18π 1 TA
⇒ θB= θC× rC = 6π×3 = 9π 2 TB
∴ θA+ θB = 27πrad
Clave: E
Central: 619-8100
∴ R - r= π R 4 Pero, la expresión pedida es:
r2 + ` π - 1j Rr 4 = r + 8 π - 1B M= Rr R 4
∴ M= 81 - π B + 8 π - 1B = 0 4 4
Clave: C
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3. En la figura mostrada, mB ABC=80º. Halle aproximadamente la distancia (en metros) recorrida por el centro de la rueda en ir desde el punto "A" hasta el punto "C". El radio de la rueda mide 15 cm, y en el tramo AB la rueda da π seis vueltas y en el tramo BC da cuatro vueltas. B
4. De la figura mostrada, la rueda de radio "r" gira sin resbalar sobre la superficie circular de radio 5r. ¿Cuántos grados sexagesimales experimenta el giro de la rueda hasta que el punto "B" esté en contacto con la superficie curva? O1 r B r
O1
B C 5r A a) 3,08 d) 3,98
b) 3,24 e) 4,02
c) 3,66
Resolviendo
a) 18º d) 90º
r = 15 ≠
O
b) 80º e) 108º
Resolviendo O1 r B
B 80º
A C
Conocemos que:
Condición: l! = l! AB
de "A" a "B" da 6 vueltas de "B" a "C" da 4 vueltas
⇒ 10=
L
2π× c 15 m π
⇒ L = 300 cm ó L=3m
ó l=0,08 m
Finalmente, la longitud total será: [1+l]=3,08 m
AB'
→ = θ ∴ \central = π rad 10 \central = 18º
Clave: A
5. En el sistema mostrado, si la rueda "A" da 3 4 de vuelta, entonces la longitud recorrida por la
B 6
2
8
A
C
a) 3,6π b) 36π 9π d) 18π e) 4
c) 1,8π
Clave: A
Quinto UNI 22
→ 8 π B×r= θ×5r 2
rueda "C" es:
Analizaremos lo que ocurre en el vértice "B" l l=; 5π E× ;15 E π 9 r r l= 25 cm 3 80º
O
n= L 2πr
123
⇒ Como:
5r
θrad
Donde: n : # de vueltas L : longitud recorrida por el centro de la rueda r : radio de la rueda
B'
A
c) 84º
Colegios
TRILCE
Trigonometría
Resolviendo B
8
2
gira: 3 vuelta
4
C
6 A
Entre A ∧ C
3 V×6=Vc×8 4 ∴ VC = 9 vueltas 16
Entre C ∧ B (concéntricas) VC = VC →VB= 9 vueltas 16 Ahora: (por regla de 3 simple) Para la rueda "C".
1 vuelta
2π(R)
9 vueltas 16
L
→ 9 vueltas×(4π) = L(vueltas) 16
∴
L= 9π 4
Clave: E
Problemas para clase BLOQUE I 1. Una rueda de radio 2 cm da 14 vueltas al recorrer una distancia rectilínea igual a: (π = 22/7). a) 136 cm d) 166 cm
b) 146 cm e) 176 cm
4. Una rueda de radio "r" recorre el perímetro de otra de radio "R", dando 7 vueltas. Si las dos ruedas están ubicadas en el mismo plano, calcular r/R. a) 1/6 d) 2/3
c) 156 cm
2. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la rueda de radio 3 al ir desde "A" hasta "C"; si : AB = 12 y BC = 23 ( π = 22/7).
b) 1/7 e) 1/3
c) 1/8
5. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la ruedita de radio "r" al ir desde "A" hasta "B". C
O 3
A
7r
A
r
B 60º
B
a) 5 3 2
b) 5 3 4
d) 7 3 4
e) 3 3 4
C
a) 180 n θ π d) n θ Central: 619-8100
b) 360 n θ n e) 90 θ
a) 1 d) 1/2
c) 7 3 2
3. Un aro recorre el borde de una pista circular de radio "R", en un plano perpendicular al de la pista. Si da "n" vueltas al barrer en el centro de la pista un ángulo "θ°", hallar R/r, siendo "r" el radio del aro. c) 2n π θ
r
b) 2 e) 1/4
c) 4
6. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio "r" al recorrer la superficie mostrada desde "A" hasta "B"? r r
A a) 2/3 d) 3/4
r
r
r
B b) 3/2 e) 5/3
c) 4/3
Quinto UNI www.trilce.edu.pe 23
7. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 20°, ¿cuánto gira "B"?
4r
3r (A)
BLOQUE II 11. Dos ruedas de radios "r" y "R" dan "n1" y "n2" vueltas, respectivamente, al recorrer ambas una misma distancia. Una tercera rueda de radio "R+r" da "n3" vueltas al recorrer el doble de la distancia anterior. Calcular el mínimo valor de: N = n1 + n2 n3
(B)
a) 15° d) 12°
b) 16° e) 9°
8. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 60°, ¿cuánto gira "D"?
(A) 5
(D)
3
2
a) 2 d) 6
c) 18°
2
(C)
a) 100° d) 180°
b) 120° e) 210°
a) 2R R-r
c) 150°
d)
9. Si en el sistema mostrado, el bloque "P" desciende "L", ¿cuánto sube el bloque "Q"? R r
a) 2n d) 4n
Q
a) Lr R L (R + r) d) R
b) LR r L (R - r) e) r
c)
L (R - r) R
5
Quinto UNI 24
B
3
P
a) θ π b) θ π 30 50 π e) θ π d) θ 150 300
e)
2 (R + r) 2 R-r
c)
Rr 2 (R - r)
b) 3n e) 8n
c) 6n
14. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio 1 al desplazarse desde "A" hasta "C"? (AB = 9π).
O
A
Rr R-r
1
10. Si en el sistema mostrado, "A" gira "θ°", ¿cuánto se desplaza el bloque "P"?
2
2 (R - r) 2 R-r
b)
13. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 3 a 5. Después de recorrer una cierta distancia, el número de vueltas que dio la menor excede en "n" a las que dio la mayor. Calcular la suma de los números de vueltas que dieron las dos ruedas.
P
c) 4
12. Dos ruedas de radios "R" y "r" dan cierto número de vueltas al recorrer una misma distancia. Una tercera rueda, al recorrer el doble de esa distancia, da un número de vueltas igual a la diferencia de los números de vueltas que dieron las dos primeras. ¿Cuál es el radio de la tercera rueda? (R > r)
(B)
b) 3 e) 8
c) θ π 120
A
45º
B 7
a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
C
c) 7
15. En una bicicleta, sus ruedas tienen radios iguales a 50 cm y 40 cm. Si la mayor da 20 vueltas, ¿cuántas vueltas daría la menor, después de recorrer una cierta distancia? a) 40 d) 30
b) 32 e) 25
c) 36
Colegios
TRILCE
Trigonometría 16. Las ruedas de una locomotora tienen radios en progresión aritmética de razón r/3, siendo "r" el radio de la rueda intermedia. Después de avanzar una cierta distancia, el número de vueltas que da la intermedia es igual a "K" veces la suma de los números de vueltas que dieron las otras dos. ¿Cuál es el valor de "K"? a) 2/3 d) 4/9
b) 2/9 e) N.A.
b) 2,35 e) 3,35
A
c) 1,35
1
B
a) 1 ( 3 ArcSen 7 + 2 - 1) b)
18. En la figura mostrada, las ruedas se desplazan en los sentidos indicados dando "n" vueltas cada una, después de lo cual la distancia que los separa es igual a 444 cm. ¿Cuál es el valor de "n"? 4cm
4
O
c) 4/3
17. Dos poleas de radios "R" y "r" son tangentes exteriores. Si la primera gira 2θº, la segunda 3θg. Calcular: R/r. a) 2,25 d) 1,65
20. Si en el gráfico mostrado la rueda de radio 1u recorre todo el perímetro interior del cuadrante de radio 4u, ¿cuántas vueltas daría?
c) d) e)
9 π 2 1 ( 3 ArcSen 7 + 2 9 π 2 1 ( 2 ArcSen 7 + 2 9 π 3 1 (3ArcSen 7 + 2 9 π 1 ( 3 ArcSen 7 + 2 9 π 2
2 - 2) 2 - 1) 2 - 1) 2 - 1)
1cm
a) 7 d) 16
b) 14 e) 28
c) 8
19. Si el bloque "P" desciende 4 cm, ¿cuánto se desplaza el bloque "Q"? 3 1
6
5 2
P
a) 2,4 cm d) 2 cm
Central: 619-8100
3
Q
b) 1,2cm e) 3 cm
c) 4,8cm
www.trilce.edu.pe 25
Tarea domiciliaria 1. Los radios de las ruedas de una bicicleta son como 6. ¿Cuál es el arco, expresado en metros, de la circunferencia de 2m de radio que subtiende un 3 a 1. En hacer un cierto recorrido, la rueda maángulo central, tal que si sumamos su compleyor dio 25 vueltas menos que la menor. Hallar la mento y suplemento, expresados en grados sesuma de los ángulos girados por cada rueda. xagesimales, nos da 13 veces el valor del ángulo? a) 80πrad b) 100πrad c) 120πrad d) 150πrad e) 90πrad a) π b) 40 c) 9π 5 50 1 π 2. La distancia entre los centros de dos circunfed) e) 10 10 rencias de radio "R" es "R". Entonces, la longitud del menor arco que se forma con la intersec- 7. Una faja de 60 π cm de longitud es colocada alción de las dos circunferencias es : rededor de dos líneas circulares cuyo diámetro πR a) 2π R b) 3 3 π e) π R d) R 4 2
c) π R 6
es 10cm. ¿Cuál es la distancia entre los centros de las dos ruedas (OO')? a) 27,5 πcm d) 20 πcm
b) 25 πcm e) 17,5 πcm
c) 22,5 πcm
3. La figura representa una transmisión dentada de radios "r1" y "r2" como se indica. Si el punto "P" 8. Calcular el número de vueltas que da la rueda, sobre la rueda de mayor radio "r1" gira un ángude radio "a", para que las esferas se encuentren lo "q", entonces el punto "Q" correspondiente a la misma altura. sobre la otra rueda girará un ángulo igual a : c P a b
r2
Q
m
r1 a) θ b) c) ` r2 j θ ` r j θ r1 2 d) (r1r2)θ e) QP θ 4. Un molinete de riego tiene un alcance de 12m y un ángulo de giro de 135º. Calcular el área (en m2) del sector circular mojado por el molinete. (Usar π=3,14). a) 161,56 d) 167,56
b) 163,56 e) 169,56
c) 165,56
cm 2π (b + c) bm c) 2πa (b + c) am e) 2π (b + c)
123
r1
b) mb 4πa bm d) 2πc (b + c)
a)
9. En un sector circular, el arco mide: x2 - 6x+16 ; y el radio mide : (x - 1). Calcular el área del sector, si el arco tiene longitud mínima.
5. La figura muestra un montacarga con un tama) 7µ2 b) 14µ2 c) 21µ2 bor de 60 cm de diámetro. Si el montacarga d) 5µ2 e) 10µ2 7π gira radianes, entonces la carga se eleva, 4 10. Se tienen 3 ruedas de radio "r", "R" y " Rr " aproximadamente, a una altura de: las cuales recorren espacios rectilíneos "e", "ke" (Tomar: π=3,1416 ). y "2e", respectivamente. Calcular "k" de modo que el número de vueltas que da la tercera, sea la media geométrica de los números de vueltas que dieron las dos primeras. a) 1 d) 8
a) 1,68 m d) 1,65 m Quinto UNI 26
b) 1,67 m e) 1,63 m
b) 2 e) 1 2
c) 4
c) 1,66 m Colegios
TRILCE
Trigonometría 11. En el gráfico, determine el número de vueltas 13. En el gráfico se muestran las catalinas de una motocicleta. Si la cadena mide 1 metro y las que da la rueda de radio 3 al ir desde "A" catalinas tienen radios de 10cm y 5cm, calcule hasta "D". Si: AB=24 y BC=CD=45 . la suma de los ángulos girados por ambas cataB linas para que el nudo esté en la posición "P" por primera vez cuando giran las catalinas. 60º A
3
B
D
3
A
60º
Nudo
60º C
a) 107 + 1 3 π 3 c) 207 + 1 3 2π 3 e) 105 + 1 3 2π 5
b) 107 + 1 3 2π 3 d) 105 + 1 3 2π 3
P
a) 10 rad d) 40 rad
b) 20 rad e) 50 rad
c) 30 rad
14. Los radios de tres ruedas de una locomotora están en la relación 1 ; 3 ; 5. Cuando la menor gira 4320º, ¿cuál es la suma de los números de vueltas que dan las otras ruedas? a) 5,6 d) 6,4
b) 3,2 e) 8,4
c) 7,8
12. En el gráfico, la rueda de radio "r" al ir desde "A" hasta "B" da los 5 del número de vueltas 15. De acuerdo al gráfico, se sabe que : O1O2= 37 . 2 Cuando "A" se ubique en la posición de "B", que da al ir desde "C" hasta "D". ¿cuál será la suma de los números de vueltas R que darán las dos poleas? Calcule : . r B A r
A r C
r
2O
B
R
r
D a) 3 d) 8
Central: 619-8100
b) 4 e) 5
c) 6
D
1
3 a) 3 b) π 2π 7 d) 4 e) π 2π
O2
3
C c) 5 2π
Quinto UNI www.trilce.edu.pe 27
Problemas resueltos 1. Con ayuda de la figura mostrada calcule: sec x + tgx Q= ctgx - csc x 2n+1
n-1
x
c) 6
x
2n Aplicamos el teorema de Pitágoras
[2n+1]2=(n - 1)2+(2n)2
→
∴ n=6
Luego, el triángulo será: 13 x 12
La expresión pedida será:
Quinto UNI 28
b) 1 e) 4
c) 2
Resolviendo
De: cos(x+20º)=sen(3x+10º)
→ (x+20º)+ (3x+10º)=90º ∴ x = 15º
La expresión pedida será:
F=sec60º+4sen230º - tan45º
→ 4n2+4n+1=n2 - 2n+14n2 6n=n2
Clave: E
a) 0 d) 3 n-1
∴ Q= - 15 2
2. Si cos(x+20º)=sen(3x+10º); x∈ (x+2)g 9. Dada la siguiente figura, calcular "y" . Hallar el valor de (2x) a) 18 d) 46
b) 30 e) 54
B
c) 36 c
4. Hallar : P=
S : Número de grados sexagesimales C : Número de grados centesimales a) 2 d) 5
b) 3 e) 25
c) 4
5. Los ángulos de un triángulo son : (y+20)º; πy (10y) g ; ` j Rad . Hallar el mayor ángulo. 6 a) 90º d) 140º
b) 120º e) 150º
a) 2 d) 5
b) 22 e) 25
c) 4
10. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC de catetos 1m (ángulo recto en "B"). Por "B" se traza una perpendicular a AC, por "D" una perpendicular a BC, por "E" una perpendicular a AC, por "F" una perpendicular a BC y así sucesivamente. Calcular el límite de la suma : BD + DE + EF + FG + ... C
c) 135º
F D
c) 23 A
a) 1+ 2 d) 2 - 2 Central: 619-8100
A
b) 3 e) 6
6. Se sabe que : π Radxºy' 24 Hallar : C = y - x a) 21 d) 24
(27y)º O
C
C + S + 6 C-S
45 - 99y º m 10
G E B
b) 2 - 1 e) 2+2 2
c) 2+ 2
www.trilce.edu.pe 41
11. En la siguiente figura, hallar (x + y) si :
AB = 3 y AC= 27 16
A
y
θ
a) 5,14 d) 4,19
θ θ
x
θ
θ α
B
b) 5,19 e) 3,19
c) 5,29
b) 21 e) 0
c) 22
y
θ x
a) x=
h2 Tanθ - Tanα
; y=
h2 Tanα Tanθ - Tanα
b) x=
h Tanθ - Tanα
; y=
hTanα Tanθ - Tanα
c) x=
h2 h2 Tan2 α ; y= Tan2 θ - Tanα Tan2 θ - Tan2 α
d) x=
h2 h2 Tan2 α ; y= (Tanθ - Tanα) 2 (Tanθ - Tanα) 2
Calcular : f(2) a) 20 d) 23
e) x=hTanαTanθ ; y= h2TanαTanθ
13. En la figura, calcular el valor de "x", si se cumple la siguiente condición :
h
C
12. Si : f(n)= Csc π + Tan π + 2.Cos π 3n 2n n+1
14. En la figura mostrada, son conocidos : "α", "θ" y "h". Entonces los valores de "x" e "y" son dados por:
Tan(30º - θ ) - Ctg(30º+3θ)=0
15. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338m. La tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor? a) 13 m d) 56,33 m
θ
b) 33,8 m e) 55 m
c) 50 m
x
20m
a) 10 2 m d) 5 m
Quinto UNI 42
b) 10 m e) 10 3 m
θ
c) 5 3 m
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Desde el pie de un poste, se observa la parte más alta de un campanario con un ángulo de 45º; si desde la parte superior del poste, que tiene 9m de altura, el ángulo de elevación es de 30º, ¿cuál es la altura del campanario?
4pm
30º
14243
6pm
1.70
30º 144424443 x
Resolviendo
Longitud de la sombra: x Tenemos: h
14243
h
30º
B
3
9
9
6am
9 3 d) 9 3 e) 3 +1 3 -1 C
12m
2pm
7 3 c) 5 3 a) 9 3 b) 2 1+ 2 2
Resolviendo
45º
c a m p a n a r i o
P144424443Q h
3
PCQ : h=h 3 +9 ⇒ h =
9 3 -1
∴ x=2,94
Clave: E.
3. Una torre de 15m de altura está en el borde de un acantilado. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del acantilado, las elevaciones angulares de las partes superior e inferior de la torre, se observa que son "α" y "β", siendo tgα=1,26 y tgβ=1,185. Hállese la altura del acantilado.
Altura del campanario= h+9 = 9 +9 3 -1 Altura de campanario= 9 3 3 -1
Clave: E
a) 227m d) 257m
b) 237m e) 273m
Resolviendo
T 15m
M
2. Un hombre mide 1,70m de estatura y observa su sombra a las 4 de la tarde. Asumiendo que amanece a las 6.00 am y que el sol hace un semicírculo sobre el hombre, ¿cuánto mide su sombra? a) 1,54 m d) 2,55m Central: 619-8100
c) 247m
14243
x =cot30º= 3 =1,73 1, 70
b) 1,67m e) 2,94m
H
c) 2,00m
α
P
β Q
www.trilce.edu.pe 43
5. Una persona se dirige en la dirección N15º E y luego de caminar cierta distancia toma la dirección S75º E. Si en total recorrió 50 6 km y el punto de llegada está justo al Este del punto de partida, halle la distancia (en km) entre dichos puntos.
PTQ : PQ=(15+H)cot
PMQ : PQ=(15+H)cot ⇒ (15+H)cotα=Hcotβ
(15 + H) = H 1, 26 1, 185 Despejando: H=237m
Clave: B
a) 50 d) 150
4. Una persona parte de un cierto punto dirigiéndose 40km en la dirección N(53º) O, luego cambia de dirección y se dirige hacia al Sur Oeste, recorriendo esta vez 40 2 km. Finalmente, se dirige 60 km hacia el Este donde sufre un desmayo. ¿A qué distancia (en km) se encuentra la persona respecto a su punto de partida? a) 12 d) 20
b) 16 e) 24
32 s
En el
Clave: D
24 40
2
o d
N
123
40
53º
16
123 E 1442443 12 60
S
6 6 - 2 @a 15º
45º
N
E 75º
6 6 + 2 @a
75º
E 1444442444443 d=4a
40 o
c) 100
Resolviendo
c) 18
Resolviendo
40
b) 75 e) 200
Por condición:
^ 6+
2 h + ^ 6 - 2 h a = 50 6 1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3 2 6 a = 50 6 ⇒ a= 25
Luego, la distancia pedida es:
d = 4a ⇒ d=100m
Clave: C
sombreado: d=20
Problemas para clase ÁNGULOS VERTICALES BLOQUE I 1. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio de altura "h", con un ángulo de elevación "θ". Si nos acercamos una distancia "d" el ángulo de elevación es "90º - θ". Hallar "d". a) b) c) d) e)
hSenθCosθCos2θ hSecθCscθCos2θ hCotθCosθ hSenθSen2θ hTanθCos2θ
2. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación "α" ; (Tanα=1/6) y si nos acercamos 30m el ángulo de elevación es de 45°. ¿Cuál es la altura del poste?
Quinto UNI 44
a) 5 m d) 8 m
b) 6 m e) 12 m
c) 4 m
3. Un niño de estatura "h" ve los ojos y pies de su padre, que tiene estatura "H", con ángulos de elevación y depresión "α" y "β", respectivamente. Hallar: H/h. a) 1+TanαTan β b) 1+CotαCotβ c) 1+TanβCotα d) TanαCotβ e) 1+TanαCotβ 4. Desde lo alto de una antena de 4m de longitud, se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depresión "2β", notándose que la visual trazada mide 40m. Si desde lo alto del edificio en que se encuentra la antena, se observa el mismo objeto con un ángulo de depresión "β"; calcular: Tanβ. Colegios
TRILCE
Trigonometría a) 0,1 d) 0,02
b) 0,2 e) 0,4
c) 0,01
5. Desde lo alto de un edificio se ven, a un mismo lado, dos objetos "A" y "B" en tierra, con ángulos de depresión "α" y "β", respectivamente. (α∪ Sen260° a) VVF d) VFV
b) VFF e) FVV
c) VVV
I. Sen2 > Sen1 II. |Sen3 - Sen2| = Sen2 - Sen3 III. |Sen4 - Sen5|=Sen5 - Sen4 a) FVF d) VVF
b) VFV e) FVV
c) VVV
3. Sume el máximo valor de : C = 3Senθ - 2; con el mínimo valor de : L=3Sen2θ +1 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) [2Cos1+1;2] c) [2Cos2+1;3] e) [1;3]
a) VFV d) FVF
c) 3
5. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en :
I. Si : π e) [ 1 ;+∞> 0 ; < ; =
1 π a) c 3 + 1 m u2 b) c + m u2 4 4 4 3
2. Poner el signo en :
I. Sen20º ( II. Cos10º ( III. Sen200º (
) ) )
a) > ; > ; < c) > ; > ; > e) > ; < ; <
Sen80º Cos40º Sen300º b) < ; < ; < d) < ; > ; >
3. Sabiendo que α∈IIC. ¿Cuál es la variación de: L=3Senα - 1? a) 0; 2 b) - 1; 2 d) - 1; 1 e) [- 4;2]
b) 4 e) - 12
e) c π + 1 m u2 3 2 8. Siendo : x∈ π ; 5π . Señale la variación de : 8 24 L=
c) 0; 3
4. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de : f(α,β,θ)=2Sen2α - 3+Senθ Siendo "α","β" y "θ" independientes entre sí. a) 0 d) - 8
π 1 c) c π + 1 m u2 d) c + m u2 6 2 2 2
c) 8
a) 0; 1 d) - 1; 1
b) 60; 1 e) 6- 4; 2@
c) 61; 4
6. Sabiendo que : π d) ≤ α ≤ 4 4 4 4 9 21 e) 0 y n>A - B
O
5. ¿Cuál de las siguientes razones trigonométricas es negativa y creciente para los ángulos comprendidos entre 460º y 470º? a) Cosecante b) Tangente d) Cotangente e) Seno
c) Coseno
6. Determinar los cuadrantes donde es negativa la expresión: Senx - 1 Ctgx a) I y III d) Solo IV
b) II y IV e) Todos
c) Solo II Colegios
TRILCE
Trigonometría 11. En el círculo trigonométrico mostrado, halle el área de la región sombreada.
7. El mínimo valor de la función : f(x)=Tg2x ; x∈; π ; 5π E es : 3 6
b) 1 3 d) No existe mínimo "f "
a) 0
y C
c) 3 e) 1 O
8. Si : θ∈ 8 π ; π B para qué valores de "x" se cumple 6 3 que :
B
θ
D
x
A
(x - 1)Sen2θ =3x+2
a) ;- 14 ; - 9 E 9 14
b) ;- 13 ; - 9 E 9 13
c) ;- 16 ; - 9 E 9 16
d) ;- 11; - 9 E 9 11
2 a) Sen θ 2 c) TanθSenθ 2 Tan θ Sen2 θ e) 2
e) ;- 10 ; - 9 E 9 10
2 b) Tan θ 2 2 d) Tan θSenθ 2
12. Señale la variación de : 3 x π - m - 1 E=4Sen c 9. En la figura siguiente, calcular el área de la re2 3 gión sombreada. Si : x∈ ;- 8π ; - π ∪ π ; 8π E 3 9 9 3 y a) [-1 ; 2] d) [-1 ; 5]
y= x + 1 3 3
x2+y2=1
b) - 1 Cos(θ)u2 2 d) 1 Cos(θ)u2 2
a) - Cos(θ)u2 c) - 1 Cos(θ)u2 3 e) 1 Cos(θ)u2 3
10. En la figura mostrada, halle el área de la región triangular OQP. y (0;1) P QO
θ
(1;0) x
- SenθCosθ a) - SenθCosθ b) 4 8 c) - SenθCosθ 16 e) - SenθCosθ Central: 619-8100
d) - SenθCosθ 2
c) [-1 ; 4]
13. Señale la variación de : M=4Tan ` π Sen3 θj +1 4
x
θ
b) [-1 ; 3] e) [-2 ; 5]
a) [-5 ; 4] d) [-6 ; 4]
b) [-4 ; 5] e) [-3 ; 5]
c) [-3 ; 3]
14. Señale la variación de : 2 M= Sen2 x - Senx + 1 Sen x - Senx + 2 a) ; 3 ; 3 E 7 2
2 4 b) ; 3 ; 3 E c) ; ; E 7 4 7 7
d) ; 3 ; 1E 7
e) ; 1 ; 3 E 7 4
15. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en : I. ∀x1 ; x2∈ 0; π / x1 e) [25;+∞>
c) [6;+∞>
17. Sabiendo que : 4(Tan4x+Cos4x)=17Sen2x Calcular : Senx (x ε IC). a)
3 - 1 2
d)
3 - 1
b) 2 - 1 2 e) 2 + 1 3
c) 2 - 1
Colegios
TRILCE
Trigonometría 18. Eliminar "x", si : Sen3x=n+Sen5x Cos3x=m+Cos5x a)
m2+n2= 3
4. Si : Tanx + Cotx = 3. Calcular : M=Sen4xTanx+Cos4xCotx a) 3 d) 4/3
2 2
m n
b) m2+n2= 5 m2 n2 c) m2+n2= mn
a) Senx d) 2Cosx
d) m2+n2= 5 mn e) m2+n2= 5 m 4 n 4
a) 4/9 d) 2/3
a) a2+c2=bd c) a2+b2=c2+d2 d) a2+d2=b2+c2
a) 1/3 d) 3/2
e) a2+d2=c2d2 20. Eliminar "x" de : aSen2x+bCos2x=d (d - a)Tan2x - (b - d)Cot2x=c a) (b+a-2d) = c b) (b-a-2d) = c c) (b-a+2d) = -c d) (b+a+2d) = c e) (b-a+2d) = c DE
UN
1. Simplificar : J = (Secx Cscx+2Tanx)Cotx+(SecxCscx+2Cotx). Tanx - (Tanx-Cotx)2 b) 8 e) 11
b) 1/2 e) 4/3
c) 2/3
b) 0,4 e) 0,96
c) 0,6
b) 3 e) 6
c) 4
10. Eliminar "x" de : Sen4x+Cos4x=a Sen6x+Cos6x=b a) a - b = 1 c) 3a - 2b = 2 e) 3a - 2b = 1
b) 3a - b = 1 d) a - 2b = 1
BLOQUE II
b) 3 3 e) 6 3
c) 4 3
3. Simplificar :
b) 1/2 e) 3/2
11. Si : SecxCscx + Tanx = 3 4 SecxCscx + Cotx
Calcular : A=5Tan2x+2Cot2x a) 3 d) 7
b) 4 e) 9
c) 6
12. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que : (Secθ+Cotθ)2+(Cscθ+Tanθ)2 - 2(Secθ+Cscθ)=16 Calcular : B=Sen4θ+Cos4θ
4
3 (Sen x + Cos x) + 5 Sen6 x + Cos6 x + 3
Central: 619-8100
a) 0,3 d) 0,8
c) 9
2. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que : Tanθ+Cotθ = 6 Calcular : A = Secθ + Cscθ
a) 2 d) 2/3
c) 1/3
8. Si : Secx + Tanx = 3. Calcular : Cosx.
a) 2 d) 5
BLOQUE I
C=
b) 2/9 e) 4/3
9. Si : 3Senx+2Cosx= 13 Calcular : Q = 2Tanx + 3Cotx
TRIGONOMÉTRICAS
4
c) Cosx
7. Hallar "n" en la igualdad : (1 - Senx - Cosx)2=6nVersxCovx
b) a2+c2=b2+d2
a) 2 3 d) 5 3
b) 2Senx e) 2Tanx
6. Si : Senx+Cosx= 1 . 3 Calcular : Q = Versx Covx
19. Eliminar "x" de : aSecx + bTanx = c aTanx + bSecx = d
a) 7 d) 10
c) 4
5. Reducir : Q = (Senx+Cosx+1)(1+Cotx-Cscx)
3
IDENTIDADES ÁNGULO II
b) 2 e) 2/3
c) 3
a) 0,25 d) 0,95
b) 0,5 e) 0,725
c) 0,75
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13. Sabiendo que : αε< 7π ;2π>; reducir: 4 C= 3 1 + 2SenαCosα - 4 1 - 2SenαCosα a) 7Senα - Cosα c) 7Cosα - Senα e) 7(Senα+Cosα)
a) (b - a)=2b3 c) (b - a)=2b2 e) (b - a)=a3
b) 7Senα+Cosα d) 7Cosα+Senα
5 5 f(Tanx+Cotx)= Sen x - Cos x Senx - Cosx
1 + Senβ =n 1 - Cosβ
"β" es agudo.
a) 2 n -1 b) 2n - 1 d) 2 n +1 e) n +1
c) 2n +1
15. Simplificar : E= Cscx + Cotx + 1 Cscx - Cotx + 1 a) Cscx c) Cscx - Cotx e) Cscx + Cotx
Calcular : f(3). a) 1/3 d) 4/9
Hallar : D=Cscβ+Cotβ
2
aSenx + bCosx = a + b aCscx + bSecx = c
2
a) c= a2 + b2
b) c=2 a2 + b2
c) c= 1 a2 + b2 2
d) c= 2 (a2 + b2)
b) 2/3 e) 11/9
c) 2/9
19. Siendo : Tanx - Coty = a Tany - Cotx = b Hallar : S=Sec2xCsc2x+Sec2yCsc2y - 4 a) (a2+b2)(ab+1) c) (a2+b2)(ab+2) e) (a2+b2)(ab+4)
b) Cotx d) 2(Cscx + Cotx)
16. Eliminar "x" de :
b) (b - a)=b3 d) (b - a)=2a3
18. Si :
14. Siendo :
17. Eliminar "x" de : Sen5xCosx+SenxCos5x=a Sen3xCosx+SenxCos3x=b
b) (a2+b2)(ab - 1) d) (a2+b2)(ab - 2)
20. Eliminar "x", de : Sec4x+Tan4x=1+a Csc4x+Cot4x=1+b a) a1/3+b1/3 =2(ab)1/3 b) a1/3+b1/3 =2(ab)2/3 c) a1/3+b1/3 =(ab)2/3 d) 2(a1/3+b1/3)=(ab)2/3 e) 2(a1/3+b1/3) =(ab)1/3
e) c= 4 a2 + b2
Tarea domiciliaria 3. Simplificar : C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)
1. Simplificar : C= SenxTanx + Cosx CosxCotx + Senx a) 1 d) Tan2x
b) Tanx e) Cot2x
c) Cotx
2. Reducir : 4
Quinto UNI 82
b) Tan2x e) Secx Cscx
c) Cot2x
4. Dado : 1+ 2 Tanx= 2 Secy 1+ 2 Tany= 2 Secx
4
C= Sen x - Cos x Senx - Cosx a) 1 c) Cosx e) Senx - Cosx
a) 1 d) SenxCosx
b) Senx d) Senx + Cosx
Calcular : E = Secx + Secy a) 2 b) 2 -1 2 d) 2 e) 2 +1 3
c) 3 2 2
Colegios
TRILCE
Trigonometría 5. Si :
11. Transformar :
Tanx + Secx + 1 = A ; B≠0 ; A≠B B Cotx + Cscx + 1
Hallar : E= ASenx - BCosx Senx - Cosx a) A - B d) A + B
6. Reducir :
W= 3
a) Cotx 2 d) Tanx
b) A - B 2 A e) + B 2
e) Senx
e) - 1 ;0 2
Sec 4 α (1 - Sen 4 α) - 2Tan2 α Csc 4 α (1 - Cos 4 α) - 2Cot2 α
a) 1 d) 9 2
b) 2 e) 5
9. Si : Senx+Cosx=
c) 4
a b
e) ab
13. Hallar el valor numérico de la expresión :
T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º+1) (Cos35º + Cos55º - 1) a) 1
b) 2
d)
e) - 2
2
c) - 2
mSen`55 π - θj Cos`77 π + θj =1 2 2 Calcular : E=Tanθ+Cotθ, en términos de m. a) m2 d) - m
K=
Calcular : C = Senx Cosx
d) 1 12
c) ±
b) - m2 e) m
c) 2m
15. Simplificar la expresión :
7 6
1 a) 1 b) 7 6
b) b a
14. Sabiendo que :
8. Simplificar : C=
Si : aCos4θ+bSen4θ= ab ;a≠b a+b a) a b d) ± a b
c) Cscx
3 ;0 b) 1 ;1 c) 2 ;0 2 2 2
d) - 1 ; 1 2 2
b) Senβ - Cosβ d) Senβ - Cosβ+1
12. Calcular : Tanθ
7. Calcular el valor del Seno de un ángulo para el cual se verifica que su Secante es igual a la suma de su Seno y su Coseno. a)
Senβ (Senβ + Cosβ - 1) Secβ + Tanβ (Cosβ - 1) - 1
a) Senβ+Cosβ c) Senβ+Cosβ+1 e) Cosβ - Senβ
c) AB
Secx - Cosx Cscx - Senx b) Secx
C=
c) 1 14
e) 1 9
a) d)
1 - Cosx + 1 - Senx 2
b) -
1 + Cosx ; π
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