Trigonometria Semestral Uni 2015

60

 

Trigonometría

 

Cónicas I

 P(6;  m)

Y 

NIVEL BÁSICO

eje focal

 F 

 X  1.

Según el gráfico, G es baricentro de la región triangular  ABC ,  AB=18 y mS ACB=74º. Halle

Q(3;  n)

la ecuación de la parábola cuya directriz es paralela al eje X ; C  es  es foco de la parábola.

 A)  y2=8( x – 2) B)  y2=6( x – 3) C) 2 y2=3( x – 2) D) y2=4( x – 1) E)  y2=4( x – 2)

Y 

 

 A

B G

 X  4.

Si AM=MB, calcule la ecuación de la recta L .

C 

Y 

L  

 A

 A) ( x – 1)2=32( y – 4) B) ( x – 2)2= – 32( y+4) C) x2= – 32( y+4)

 M (1; (1; 5)

 B

D) ( x+3)2= – 16( y – 4)

 y=x2

E) ( x+2)2= – 12( y+4) 2.

Si el inradio del triángulo VMN   es 4 ( 5 − 2), V   el vértice y F  el  el foco de la parábola. Calcule la ecuación de la parábola.

 A) 2 x – y+3=0 B) 2 x+ y – 7=0 C) x – y+4=0 D) 3 x – y+2=0 E) 3 x – 2 y+7=0

Y   

F 

 M 

5.  N 

V 

Si L  es la recta directriz,  V  el  el vértice y F  el  el foco  D 2 de la parábola de ecuación y =–12 x, calcule el área de la región sombreada.

 X 

Según el gráfico, PQ es una cuerda focal de la parábola P . Si el eje Y  es   es la directriz, halle la ecuación de la parábola.

L  D

Y 

 A)  x2=4 y B) x2=16 y C) x2=8 y D) x2=2 y E)  x2=9 y 3.

 X 

2

 F

 A) 20 D) 19

V 

B) 15

 

X 

C) 17 E) 18

61

Trigonometría

 

6.

Si V  es   es el vértice y  F  el   el foco de la parábola de 2 ecuación ( y+1) = x+1, calcule el área de la región sombreada. Y 

Y  B(4;

 

 A

4)

V 

 B(8;  n)

 X 

O

 P  M 

 

C 

 X 

V   F 

 A) ( x – 3)2= – 20( y – 3) 2

     5    5 B)  x −    = −10  y −   2   2  2    3 C)  x −    = −20 ( y − 3)  2       3 2 D) ( x − 3)   = −8  y −   2       3 2 E) ( x − 3)   = −12  y −   2 

 A

 A) 14 D) 10

B) 16

C) 5,5 E) 12

NIVEL INTERMEDIO 7.

9.

Halle la ecuación de la parábola de vértice V  y  y foco F   si si VF =5. =5.

 A) ( y – 3)2=8( x – 5) B) ( y – 4)2=4( x – 4) C) ( y – 3)2=4( x – 5) D) ( y – 3)2=2( x – 5) E) ( y – 6)2=4( x – 2)

Y  V 

45º  F 

10.

45º 0

Si  ABCD es un rectángulo donde  A=(3; – 1) y  D=(3; 7), halle la ecuación de la parábola cuyo lado recto es BC  y  y su directriz contiene al lado  AD, además, la parábola no interseca al eje Y .

 X 

2

El foco de una parábola es el punto F  (3;  (3; 2) y la recta directriz es x+y – 10=0. Calcule el vértice de la parábola.

 A) ( x – 20) = – 20( y – 15) B) ( x – 25)2= – 20( y – 10) C) ( x – 20)2= – 20( y – 25) D) ( x – 10)2= – 20( y – 15) E) ( x – 15)2= – 20( y – 10) 8.

Según el gráfico, OABC   es un cuadrado. Si OM = MC =CP;  AV =VM   y  AM   contiene al foco de la parábola, halle la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje de las ordenadas.

 L D

Y 

V   F   X 

 17  5   A)  4 ; 4     17   13  D)  ;     4 4  

 17   11 B)  4 ; 4    

 19   13  C)  4 ; 4    15   13  E)  ;   4 4  

62

Trigonometría

 

11.

 A) 7,3 m D) 7,6 m

Si F  es  es el foco de la parábola, calcule AB. Y 

13

 F   B

B)

 X 

10

332

 y2=36 x

 

D) 222   12.

C) 6,9 m E) 6,6 m

 A 15.

 A) 333  

B) 7,5 m

C)

198

E)

433

Si F  es  es el foco de la parábola y la suma de abscisas del punto A y B es 2, calcule la pendiente de la recta L .

Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica. Cuando el nivel del agua alcanza una altura de 10 m, su ancho mide 20 m. Halle el nuevo ancho del nivel del agua cuando su nivel descienda hasta la mitad.  A) 5

2

 

D) 6

2

 

B) 8

2

 

C) 10

2

E) 12

2

NIVEL AVANZADO 16.

Y 

Si F  es  es el foco y L D la recta directriz de la parábola, calcule tan2q+cos2a.

 A

 M=( x0;  y0)

Y 

L     D

 F 

 X 

D)

13.

 P

1 − P 2 P

 P  + 1

 

B)

 

 

α

 F 

 B

 A)

θ

 X 

2

 y =4 px 2 P 1 −  P

 

C) E)

 y2=4 px

4 P

 P − 1

 A) 1/2 D) 7/2

 P  P  + 2

Determine la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un puente colgante cuando la luz es de 82 m y la depresión es 9 m. Considere que el punto más bajo del puente está a 1 m del nivel del terreno.

17.

B) 5/6

C) 1 E) 3/2

Por el punto Q de la parábola se trazan las rectas tangente y normal LT  y L N , respectivamente, que intersecan al eje Y  en  en los puntos M   yy N . Si F  es el foco de la parábola, calcule MN/MF . Y 

 A) 9 x2=1681( y –1) B) ( x – 1)2=120 y C) ( x – 1)2=80 y D) ( x – 1)2=100 y E) ( x – 1)2=160 y

 x2=4 py

 N   F 

L    T 

L     N 

 X   M 

14.

El arco dealtura un túnel esmdey forma parabólica tiene una de 10 un ancho de 20 m.y Calcule la altura del túnel a 5 m hacia la izquierda o derecha del centro del túnel.

 A) 2 D) 4

B) 1/2

C) 3 E) 1/4

63

 

Trigonometría

 

18.

Desde el punto  A(5; 9) se han trazado tangentes a la parábola y2=5 x. Calcule la ecuación de la cuerda que une los puntos de contacto.

20.

Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos donde se pueden trazar rectas tangentes a la parábola  y2=2 Px, que forman entre sí un ángulo constante q.

 A) 5 x – 18 y+25=0

Y 

B) 6 x – 11 y – 24=0 C) 5 x+18 y – 25=0 D) x – y+6=0

θ

E) 7 x – 14 y+36=0 19.

 M 1( x1;  y1)  N 2( x2;  y2)

Determine la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos en donde se cortan las parábolas  y

= 

1 2

x

2

+

2

∧

y

=

2x

2

−

 y por el punto A(2; –1).  A) 13 x2+2 y – 48=0 B) 13 x2+4 y – 40=0 C) 13 x2+4 y – 48=0 D) 12 x2+2 y – 45=0 E) 12 x2+3 y – 44=0

2

2

2

2

2

  y   4 P = tan2  θ 1 +    P   A)     −     x  2 x 2 x  2 2 2 P  y    P     2  B)     −   x  3 x = tan   θ 1 + 2 x  C)   y      − 4 P

= tan2  θ 1 +  2 P x  2 2  y    P  2 P    2  D)     −   x   x = tan   θ 1 + 4 x  2 2 3 P  P   y      2  E)     −   x  2 x = tan   θ 1 + 3 x   x

 x

 X 

64

Trigonometría

 

Cónicas II

 A) 5 D) 3

B) 6

C) 4 E) 7

NIVEL BÁSICO 4. 1.

elip se, calcule MN . Si F 1 y F 2 son los focos de la elipse, Y   

La excentricidad de una elipse es  e=2/3 y el radio focal de un punto  M  de  de la elipse es igual a 10. Calcule la distancia del punto  M   a la directriz unilateral de este foco.

 

L : 2 x – 5 y+10=0

 M 

 A) 11 D) 14

 F 1

 F 2

 X 

5.

 N 

 A) D)

8

29

29

5

26

27

 

B)

8 27

29

 

C)

 

E)

4

B) 12

C) 13 E) 15

Halle la ecuación de la elipse si  F  es   es foco,  AB es el eje mayor, además,  FB=3( AF )=3( )=3( AC ) y  BC   =  2 17 . Y 

29

25 8

23

29

 F 

 A

 B  X 

2.

Si F  es  es un foco de la elipse, su excentricidad es 4/5 y el área de la región sombreada es 24 m2, calcule la ecuación de la elipse.

C 

Y 

 A) B)  F 

 X 

C)  x

 A) B) C) D) E) 3.

2

50  x

2

40  x

+

2

50  x

+

2

40  x

y +

+

2

50

+

2

16 y

=

1

=

1

=

1

E) 6.

2

20 y

1

2

18

Si la ecuación de la elipse es 2

 x

18 −  P

( x − 4 ) 4

( x − 4 ) 8

( x − 4 )

+

+

+

+

( x − 2)2 8

 

y

2

16

y

=

1

=

1

=

1

2

16 y

1

2

3 y

=

2

12   +

y

2

6

=

1

2

9 y

=

12

16

1

2

18 y

D) =

( x − 4 )2

La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica es de 300 000 km y la excentricidad es de 0,017 aproximadamente, calcule la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.  A) 152 550 y 146 450

2 +

 y

9 −  P

=

1

de modo que la distancia entre los directrices de la elipse es 8, calcule el valor de P.

B) 152 550 y 147 430 C) 152 550 y 147 450 D) 153 540 y 147 420 E) 152 530 y 147 410

65

 

Trigonometría

 

NIVEL INTERMEDIO 7.

D)

Si  AB=BC=CM , calcule el área de la región sombreada.

E)

10.

Y 

 A

( x − 4 )2 4

( x − 2)2  1

 

y

+

2

1

=

1

 

+

2

(  y − 2) 16

=

1

Si F  es  es un foco de la elipse, calcule la longitud del eje menor.

 B C 

Y   X 

 M   x2 9

 A) D) 8.

9 5 9 4

 

B)

5 2

 

+

 y2 4

C)

 

E)

 P(2; 1)

=1

 F   y2 +   =1 a2  b2

 x2

5 4 2 3

Si F 1 y F 2 son los focos de la elipse y tan θ =  calcule c+n.

  2 24

, 11.

 x2  y2 + =1 20 – n 4 – n

Y 

 

 X 

 

 

 A)

2+

66

 

D)

6+

63

 

B)

2+

65

  C)

2+

68

E)

4+

60

Si F  es  es un foco de la elipse, calcule la excentricidad de la elipse.

 

Y  θ

 F 1

 

F 2

 

X  60º

 A) 5 D) 7 9.

B) 6

 y2 +   =1 a2  b2

 x2

C) 8 E) 4

Halle la ecuación de la elipse, cuyo eje mayor 2

es el lado recto de la parábola  x  – 8 x+8 y=0 y la excentricidad de dicha elipse es

 A)

( x − 2)2  16

( x − 4 )2

B) C)

16

( x − 4 )2 1

 

+

  +

  +

1

.

B)

=

1

C)

2

1 y

4

2

(  y − 2) y

15

 A)

=

1

D)

=

1

E)

−

2

2

39

−

2

2 40

−

2

2

39

2

16

38

 

3

6 37

− 2

3

   

 F 

 

X 

66

Trigonometría

 

12.

Si C es el centro de la elipse y  P(2; 2), calcule la suma de los semiejes de la elipse. Considere que M  y  y N  son  son puntos de tangencia.

15.

Calcule la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de corte de las elipses  x

2

9

Y 

y

+

2 =

16

 x

1 y

2

25

+

y

2

16

=

1.

 A)  x2+ y2=16

L   : 2 x – y   =0

B)  x2+ y2=9 C) x2+ y2=25

 M 

C 

D) x2+ y2=12 E)  x2+ y2=4

 P  N 

 X 

NIVEL AVANZADO  A) 3 o 16 B) 3 o 18 C) 3 o 15

16.

Del gráfico, calcule la ecuación de la elipse si T  2

es punto de tangencia y tan α =

.

3

D) 4 o 15 E) 5 o 13 Y  13.

14.

 B(0;

El arco de un túnel es de forma semielíptica y tiene un ancho en la parte más baja de 16 m  y una altura en el centro de 6 m. ¿Qué ancho tiene el túnel a la mitad de su altura?  A) 5

3

 

B) 6

3

 

C) 8

2

D) 8 E) 9

3

T   A(2;

 X 

2

 A)  x +3 y =1

 

2

 A) 13,6 m B) 12,7 m C) 13,5 m D) 12,8 m E) 13,2 m

0)

α

2

El techo de 14 m de altura en el centro de un pasillo de 10 m de ancho tiene la forma de una semielipse y las paredes laterales tienen una altura de 10 m. Calcule la altura del techo a 2 m de cualquier pared.

2 2)

B)

 x

2

2

y

+

2

3

=

1

C) 2 x2+3 y2=1 D) 2 x2+3 y2=6 E) 6 x2+15 y2=20 17.

Se tiene la ecuación de la elipse ax2+ y2=1. Si la recta tangente a la elipse  es y=mx+ b, además a y b son constantes, calcule el valor de m.

(

2

(

2

 A)

a b

D)

a b

− 4 )   B) +

4

) 

(

2

a b

− 1)   C)

(

2

 b a

− 1)

E)  b ( b2 − 2)

67

Trigonometría

 

18.

Una elipse, cuyos ejes son paralelos a los ejes

Y 

L   D  

coordenados, tiene sus dos vértices sobre las rectas x=1 y x=9. Su centro está sobre la recta L : y=x +2

θ

y pasa por el punto P(2; 6). Calcule

 F 

la ecuación de la elipse.

 A) B) C) D) E)

19.

( x − 5)2  16

( x − 5) 2 16

( x − 3)2  16

( x − 3) 2 16

( x − 4) 2 12

+

+

(  y  − 7)2 16 / 7

(  y  − 7)2 7  

+

+

+

2

=

1

=

1

=

1

=

1

=

1

 X 

2

 x +  y  =1 a2  b2

 A) 0 D) a2+ b2 

B) 2ab

C) c2 ab b E) c2 / a

2

(  y − 5) 16 / 7

(  y  − 5)2 4

(  y  − 6)2 12 / 5

Si F  es  es el foco y L D la recta directriz de la elipse, calcule a2senq+ b2cos2q.

20.

El punto medio de la cuerda de una elipse es (5; 2). Halle la ecuación de la cuerda si la elipse tiene por ecuación x2+4 y2 – 6 x – 8 y – 3=0.  A)  x+2 y – 3=0  x  y+9=0 B) C) x+2 +2 y – 9=0 D) 2 x+ y – 9=0 E) 3 x+2 y+2=0

68

Trigonometría

 

Transformación Transf ormación de coordenadas

Y 

NIVEL BÁSICO 1.

 F 

Por medio de una traslación de ejes, la ecuación 3 y2 – 6 y+6 x – 4=0 se transforma en ( y')2=4 px'. Calcule p.

¿A qué punto debe trasladarse el origen de coordenadas para eliminar el término constante y el término lineal en  y  de la ecuación 8 y2 – 6 x – 24 y+15=0?

 

1 

2

 

3 

1   3  2 2 

6.

 − 1 ; 3    

4.

Halle la ecuación de la parábola en el nuevo sistema X 'Y ' cuando el origen de coordenadas (0; 0) se traslade al punto   P( h; k), si el punto  F (0; (0; 4) es el foco de dicha parábola.

5y

+

9

=

0

 A)  y' – 3=0 B)  y’+3=0 C) y’ ± 3=0 D) 2 y’ – 1=0 E) 2 y’ ± 1=0

Por una traslación de d e ejes, transforme la ecua2 ción 2 x  – 3 xy+5 x+3 y – 8=0 en otra que no contenga términos lineales.  'y' – 1=0  A) 2( x')2 – 3 x y 2  'y' – 1=0 B) ( x')  – 3 x y 2 C) ( x')  – 3 x y  'y'+1=0 2  'y'+2=0 D) 2( x') + x y  'y'+1=0 E) 3( x')2 – 2 x y

−

en otra que carezca del término en x.

2 2 3.

Por una rotación de ejes, transforme transfor me la ecuación 2 x

1   3 D)  ;     2 2  E)

2

 A) 3 x2 – 26 xy+3 y2+70=0 B) 5 x  – 26 xy+5 y +72=0 C) 5 x2 – 13 xy+5 y2+72=0 D) 2 x2 – 26 xy+2 y2 – 70=0 E) 4 x2 – 15 xy+4 y2 – 35=0

2

C)  ; −

Por una rotación de 45º de los ejes coordenados, cierta ecuación se transformó en 4( x')2 – 9( y')2=36. Calcule la ecuación original. 2

 − 1 ;  − 3     2 2 

B)  − ; −

 X  '

 A) ( x'+1)2=8( y'+2) B) ( x’+1)2=4( y’+1) C) ( x’+8)2=16( y’+4) D) ( x’+2)2=16( x’+1) E) ( x’ – 8)2=16( y’ – 4) 5.

 A)

 P

 X 

 A) – 3 B) – 1/2 C) 2 D) 1/2 E) – 2 2.

Y  '

7.

Halle la medida del ángulo de rotación necesario para transformar la ecuación  x + 3 y − 2 = 0  en otra cuya pendiente en el nuevo sistema sea – 1.  A) 15º B) 30º C) 45º D) 37º E) 53º

69

Trigonometría

 

8.

Respecto a las ecuaciones  x2+4 xy+ y2 – 3=0 2

2

10.

(I)

(II)  x2 – 2 xy+ y2+4 x – 4 y+3=0 (III) determine la relación correcta. 13 x

−

6 3 xy + 7 y

− 16 =

0 

Las coordenadas de un punto son (3; 6). ¿Cuáles son las coordenadas del mismo punto cuando los ejes giren 30º y el origen se traslade al punto (2; – 6)?

    3 B) 1 −  2   3 C) 1 −  2   3 D) 1 +  2   3 E) 1 +  2

   9

 A) 1 + 3 3;  A) I. II. hipérbola p ar áb o l a III. II I. pará parábo bola la B) I. parábola II. elipse III. II I. pará parábo bola la C) II.. hipérbola II. elipse III.. dos rect III rectas as para paralel lelas as

11.

3

2

−3 +3 −3 +3

Por una rotación de ejes, la ecuación 2

se  N

2

 A( x') + M ( y') = N . Calcule

 A) 5 D) 2

E) I. elipse II. parábola III. II I. hipé hipérb rbol ola a

12.

13.

A

 M  + 1 .

C) 3 E) 4

2

C) 24 2

B) 2 2

 

E)

4

2

De la ecuación  x2+ xy+y2=8, elimine el término  xy usando rotación de ejes e identifique la gráfica.

Y 

 X  '  A

 B

 A) Y '

Y 

 

 X  '

 X   B '

 

B) Y '

Y   X  '

 

 X 

45º O

−

en

Calcule la distancia focal de la cónica de ecuación x2 – xy=1.

D) 4

Según el gráfico, determine la ecuación de la elipse en el sistema xy si OA = 2 y OB=1.

transforma

B) 1/2

 A) 4 4 2  

NIVEL INTERMEDIO

Y  '

 9 3 ;  2    9 3; 2    9 3; 2    9 3; 2

   3     3    3    3  

3

8 x2 – 12 xy+17 y2 – 80=0

D) I. hipérbola II. elipse III. II I. pará parábo bola la

9.

2

−

C) Y '

 X 

Y 

 

 X  '

 A '  X 

 A) 3 x2 – 4 xy+3 y2 – 4=0 B) 2 x2 – 3 xy+2 y2 – 3=0 C) 3 x2 – 2 xy+3 y2 – 4=0 D) 3 x2 – 2 xy – 3 y2+4=0 E) 3 x2 – 4 xy+2 y2 – 3=0

D) Y '

Y 

 

 

 

 X '  X 

E)

Y  '

Y   

 X '  X 

70

Trigonometría

 

14.

Calcule la ecuación de la parábola con co n respec-

NIVEL AVANZADO

to a los ejes x e y, que pasa por los puntos (0; 0)

    80  y cuyo eje focal es la recta  y = 4 x.  9   3

 y  0;

16.

Del gráfico, halle las coordenadas de O' en el sistema  XY , si la menor distancia de O  hacia L   es 2.

 A) (3 y – 4 x)2=4(3 x – 4 y)

Y 

Y' L  

B) (3 y – 4 x)2=4(3 x+4 y) C) (3 y+4 x)2=4(3 x+4 y)

L  1: 8Y  '=X  '

D) (3 y+4 x)2=4(3 x – 4 y)

O '

2

 X  '

E) (3 y – 2 x) =4(3 x+2 y) O 15.

Calcule la ecuación de la elipse en el sistema  xy, cuyos vértices son los puntos V 1( – 2; – 2)  y V 2(4; 4), la excentricidad es igual a 0,5 y su centro es el punto C .

  −4  B)  −2

 A)

130 ;

C)  −4 130 ;

Y  ''

Y  '

 X  ''

    130  2 2

  130 

 

3

D) ( −2 13 130 ; 130 )

V 1  C  

  130 

130 130 ;  

 

Y  

 X 

E)

 X  '

  −3

130 ;

  130  4

 

 X 

17.

V 2 

Del gráfico mostrado, halle la ecuación de la  'y'. recta L en el sistema x y Y 

2

 A)

( x + y + 2) 36

 y '

2

+

( y − x) 27

=

 x '

1 3

2

B)

( x + y + 2) 36

+

2

C)

( x + y − 2) 36

D)

+

1  X 

( y − x) 27

=

1

+

( y + x)

=

2 +

27

2

=

0

B) 7 x ' + 7 y '+ 30

2

=

0

C) 17 x '+ 7 y ' − 60 2 = 0 D) 17 x ' + y ' − 60 2 = 0

2

( y − x)

 A) 7 x '+ 7 y ' + 60 1

27

( x − y + 2) 36

27

2 =

2

36

E)

( y + x)

2

2

( x + y − 2)

L  

2

=

1

E) 13 x ' + 5 y '− 30

2

=

0

71

Trigonometría

 

18.

 A) 6 x+6 y – 5=0 B) 6 x+3 y – 1=0 C) 3 x+6 y – 1=0 D) 6 x+6 y – 1=0 E) 3 x+2 y – 1=0

Del gráfico, calcule si se sabe que  P'(4; 3) son coordenadas en el sistema rectangular  x'O  y 'y', además tana=2 y O'=(4; 3). Y 

 P '(4;

3)  x '

 y ' 20. θ

4 x  X 

5+2 

B)

2 + 1 

2

−

4 xy + y

 A) Y '

5 5x

 X  '

 

 X 

B) Y '

Y   X  '

 

D) 2

19.

+

Y 

 

C) 4

E)

2

0'

α

 A)

Grafique la siguiente cónica de ecuación

 X 

5 +4

Calcule la ecuación de la recta directriz  L D de la parábola de vértice V . 3 2 ( y ')2– 2 y ' – 3  x '+ =0 2 2 2  

L   D

Y 

 

 

C) Y '

Y   X  '

 

 X 

D) Y '

Y 

 

 

 X  '

 

V 

 X 

 X  ' 11 2 24

Y  '

2 4

E)

45º  X 

Y  '

Y   X  '  X 

+

5

=

0

72

 

Semestral UNI LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS II

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MÚLTIPLE I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MÚLTIPLE II

 

Semestral UNI IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN TRIGONOMÉTRICA

INTRODUCCIÓN A LA GEOMÉTRICA ANALÍTICA I

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA II

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II

 

Semestral UNI

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS I

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS II

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS III

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS II

 

Semestral UNI

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

CÓNICAS I

CÓNICAS II

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS