Trigonometria Sector y Trapecio Circular

 

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SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR

Un sector circular es la porción de un circulo delimitada por dos radios R y un arco de circunferencia L.

Poleas y engranajes

Longitud de arco

Número de vueltas

R L

θ

Engranajes en contacto

Para una rueda

R r 

L = θ⋅ R

 C 

Poleas unidas por una faja Área de un sector

n=

R θ

 

L

S

L1 = L2

R S=

θR 2

=

LR

2

=

2

L2 2θ

Poleas con un eje en común

Trapecio circular h L1

S

h  L1 + L2  h  2 

S=

L2

θ1 = θ2

 C 

2πr 

 

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EJERCICIOS PROPUESTOS / SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR PREGUNTA 1 UNAC 2002 En la siguiente �igura, todos los arcos correspon-

den a circunferencias de igual radio R. Calcular el perímetro de la región sombreada.

PREGUNTA 4 UNAC 2016 En la �igura mostrada, AOF, BOE y COD son sectores circulares, además:

BC = DE = a ;   AB = E F =  2a

Las longitudes de los arcos CD, BE y AF son res pectivamente X, Y, Z metros. Calcule:

A C

B

O

A) πR 2 D

B) πR C) 4πR  3

E F

D) 4πR

A) 4

E) 2πR PREGUNTA 2 UNAC 2002 Un cilindro de 12cm de diámetro es enrollado

fuertemente con 700 vueltas de papel. El nuevo diámetro del cilindro obtenido es de 40cm. 4 0cm. Calcular la longitud del papel. A) 18100π cm B) 16500π cm C) 18000π cm D) 18200π cm E) 18500π cm

B) 5 C) 1 D) 3 E) 2 PREGUNTA 5 UNMSM 1980 Si en la �igura, la esfera de 20cm de diámetro pasa de una posición a la otra dando vueltas completas, y el punto B se halla en la mitad del radio, la dis-

tancia recorrida por este punto es

UNAC 2015 PREGUNTA 3 En la �igura, el cuadrado de lado 2cm está en un

plano perpendicular al piso y gira sin resbalar hasta que el punto A vuelve a tocar el piso. Calcule la longitud recorrida por el punto A (en cm). B

C

A

D

B A) B) C) D) E)

B

20π cm 50π cm 40π  cm 60π cm 80π cm

A) (4 + 2 )π

PREGUNTA 6

B) (2 + 2 )π C) 2π

Dos esferas apoyadas sobre una horizontal son tangentes. Hallar la distancia de sus apoyos cuando ambos giran en diferentes sentidos con-

D) (2 + 3 )π E) (2 − 2 )π

trarios 2 vueltas y media, si sus radios son de 20 o

10cm.

UNMSM 1981

 

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A) (120π + 60) cm

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PREGUNTA 9 UNMSM 2010 En la �igura, el radio de una rueda es el triple del

B) (150π + 20 2 ) cm C) 150 cm

radio de la otra. Si la longitud de la correa de transmisión de ambas ruedas mide M, halle la

D) 120π cm

longitud del radio menor menor..

E) (150π + 60) cm PREGUNTA 7 UNMSM 2001 Si la circunferencia rueda hacia la derecha, desde la posición indicada en e n la �igura, ¿qué longitud recorrerá hasta que el punto B toque la super�icie

por tercera vez?

A)

B

3M 14π + 12 3

O

2π

B)

3

C)

3M 8π + 12 3 3M 12π + 8 3

A) 10π 3

D)

B) 40π C) 100π 3

E)

D) 20π E) 80π 3

3M 14π + 14   3 3M 8π + 14   3

PREGUNTA 10

UNMSM 2010

PREGUNTA 8 UNMSM 2008 En la �igura, haciendo centro en A y B se han tra   y  AT   , reszado los arcos de cincunferencia BC

Un poste se quiebra dejando en pie la tercera parte de su altura total. Si al caer, su extremo su perior describe un arco de 4   3π m de longitud, halle la distancia entre el pie del poste y el extre-

pectivamente. Si AB = AC = 2 2 cm , hale el perímetro de la región sombreada.

mo superior que está en el suelo.

A) 85 m B) 18 m C) 6 m D) 6.5 m E) 9 m

B

A A) 3(5π + 12) cm B) 2 2( π + 6) cm C) 2(5π + 10) 6  cm D) 2(5π + 12) cm E) 2 ((5 5π + 12) 3  cm

C

PREGUNTA 11 UNMSM 2011 La �igura muestra una esferita de acero suspendi da por la cuerda �lexible QH. Se impulsa la esferita

en el sentido indicado de tal forma que manteniéndose siempre tensa la cuerda, la esferita llega a MN. Calcule la longitud recorrida por la esferita, si MN  NP  PQ  9 cm. =

=

=

 

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A) 12 B) 10 C) 8 D) 9 E) 7

M Q 120°

150°

 

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PREGUNTA 14

N

UNMSM 2017

Los radios de las llantas de una bicicleta miden

P

0.5 m y por 0.39minuto, m. Si la¿qué primera de ellas recorre la5 vueltas distancia recorrerá segunda llanta durante 30 minutos? m

A) B) C) D) E)

10π cm 12π cm 6 π  cm 9 π cm 8 π cm

A) B) C) D) E)

195π m 300π m 150π m 125π m 250π  m

PREGUNTA 15

UNMSM 2018

El minutero de un reloj tiene una longitud de 6cm. Si la relación de esta longitud con la longitud del

UNMSM 2012 PREGUNTA 12 En la �igura, se muestra una rueda que gira sobre una super�icie circular. Determine el números de

vueltas que ha dado la rueda para ir desde P hasta Q si su radio es 1/6 de radio de la super�icie circular sobre la cual se desplaza.

horario es de 3 a 2, entonces la longitud en centímetros que el extremo del minutero recorre en 25

minutos es A) 5π cm B) 10π 3  cm C) 2π 3  cm D) 3π 2  cm E) 5π 3  cm

P

Q PREGUNTA 16 UNAC 2016 En los sectores circulares AOB y COD de la �igura.

108°

Si L   = a 3  cm y  BC

OC = b  cm

, calcule  m  AOB .  

O

A

A) 1.5 B) 1.8 C) 2.0 D) 2.3 E) 2.5

B O

PREGUNTA 13 UNMSM 2015 En la �igura, la rueda de radio R pasa de P a Q, dando cuatro vueltas completas. Si PQ = 80 π cm,

halle el valor de R. R P

Q

2S

S

E F

A) ab B) a C) b/a D) a/b E) b

 

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PREGUNTA 17 UNAC 2005 En la �igura, se tiene el sector circular POQ, cuya

área mide 8π cm2 .  Calcule el área de la región

sombreada. P

PREGUNTA 18

UNMSM 2018

Se tiene un pedazo de cartulina con forma de un sector circular de 40° de ángulo á ngulo central y que subtiende un arco de 6π cm. Si para obtener un sector circular más pequeño se reduce 9 cm el radio y se corta con tijera, eliminando el trapacio circular, ¿cuál es el área del nuevo sector circular? 2

A) 32π cm2 B) 42π cm C) 36π cm2 D) 72π cm2 E) 81π cm2

α α α

O

Q

A) 2(3π − 2 3 ) cm2 B) 2(4π − 3 3) cm2 C) 4(2π − 3 ) cm2 D) 3(3π − 2 ) cm2 E) 4(2π − 3 3 ) cm2

1 2 3 4

5

E D B D B

6 7 8 9 10

B B A A E

11 12 13 14

15

A A B C A

16 17 18

D E C

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