Trigonometria Repaso

2

R epaso Sa n   Marcos 2016 San  c o n ómi  E   s  e   e  a l  c i a Cienc ia s  S o

co

Humanidades

-

Empr e  es    a  s    r  a ri  i  a      a

ll e    s  e    s

Habilidad Verbal Habilidad Matemática Matemática Comunicación Ciencias Sociales Ciencias Naturales

Chullpas

Boletín 2 Repaso San Marcos 1ra. Revisión (26 noviembre, 2015 11:51 a.m.) Trigonometría

Identidades trigonométricas de ángulos múltiples 6.

NIVEL BÁSICO 1.

 

Reduzca la siguiente expresión.

 A) 1/2 D) 2

cos 10 º co cos 20 º co cos 80 º cos 50º

 A) 1 D) 2 2.

B) 1/2

C) 1/4 E) 4

7.

B) 1

(sen θ + cos θ)2 − (sen θ − cos θ )2

C) 3/2 E) 5/2

Si 2tan2 x – tan x – 2=0; calcule tan2 x.  A) – 2 D) – 1/2

Simplifique la siguiente expresión. 2

Si 3sen2 x+2cos2 x=2 calcule tan x.

B) 1/2

C) – 4 E) – 1/4

NIVEL INTERMEDIO

2

cos θ − sen θ

 A) tan q D) 2cot2q 3.

B) cotq

C) 2tan2 q E) 1

8.

1 + sen 40º

2 sen x csc csc 2 x 2

+

 A) sen20º D) 2sen10º

Simplifique 1 + tan

Calcule el equivalente de la expresión

 x

9.

B) sen10º

4.

B) cos x

C) 2sen x E) 1

2

(1 − cos 4 x ) csc x

D)

1 + cos 2 x

5.

 

C) 2sen2 x E) 1

Determine el equivalente de (tanq+cotq)(sen4q – cos4q+1)  A) senq D) 2cosq

B) 2secq

C) 2tanq E) 2cotq

2

cos 2θ − sen 2θ

 A)

B) 2cos x

3

sen θ cos θ − sen θ cos θ

Simplifique

 A) 4sen2 x D) cos2 x

C) 2sen20º E) cos10º

Simplifique 3

 A) sen x D) 2cos x

1 − sen 40º

10.

 

1 4 1 2

B)

tan 4q

1 2

tan 2q

C)

1 4

tan 2q

E) tan2q

tan 4q

Simplifique 2(sec2 x – 1)cot2 xcos x  A) sen x B) 2sen x C) cos x D) 2cos2 x E) tan x

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Trigonometría 11.

Si csc2α =

7 2

calcule (sen α

 

 A) 1

14.

 θ  − tan  θ  =     4  4

Si cot 

2

tan α

+

cos α cot α

B) 3

).

calcule el valor de

E) 9  A) −

1 + cos 2θ − sen 2θ

3 5

B) − 5

5

C) −

2 5 5

Simplifique la siguiente expresión. D) 5

tanq+2tan2q+4cot4q 15.

 A) cotq

−

cos α

sen α

C) cot4q D) 2cotq

−

−

sen α

cos α

π + α  8 2 

E) 2cot2q

 A) tan 

π + α  8 2 

B) − tan 

NIVEL AVANZADO

π − α  8 2 

C) − tan 

Simplifique la expresión.

(2tanq cot2q+sec2q) tanq cot2q+sec2q  A) – 2

E)

Simplifique 2

B) cot2q

13.

1 − cos 2θ − sen 2θ

C) 5

D) 7 12.

5

B) – 1

C) 0

D) 1

E) 2

π − α  8 2 

D) tan  E)

tan

π + α   4 2 

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4 5

Trigonometría Identidades trigonométricas de transformación 7.

NIVEL BÁSICO 1.

 

 A) 2sen8 x D) 2cos8 x

Simplifique la expresión sen 4 x

+

sen 2 x

cos 4 x

+

cos 2 x

Reduzca la siguiente expresión (tan3 x+tan5 x)(cos8 x+cos2 x) B) sen8 x

C) cos8 x E) 1

NIVEL INTERMEDIO  A) tan x D) tan4 x 2.

C) tan3 x E) 1

sen x

+

sen 2 x

+

sen 3 x

cos x

+

cos 2 x

+

cos 3 x

 x B) cot x

 

D)

1 2

B)

1

9.

2

2 2

 

C) E)

3

B) 6

10.

C) 8 E) 12

Reduzca cos( x+y)sen( x – y)+cos( y+z)sen( y – z)+ cos( z+x)sen( z – x)  A) 4 D) 0

2

2 2

Si la siguiente igualdad 4cos x cos2 x cos3 x –1=cos( Ax)+cos( Bx)+cos(Cx) es una identidad, calcule A+B+C  (  ( A > B > C > 0).  A) 4 D) 10

C) tan2 x E) tan3 x

Reduzca 2sen40º cos10º – cos40º  A) −

8.

 

Simplifique la expresión

 A) tan x D) cot2 x 3.

B) tan2 x

B) 3

C) 2 E) – 2

Simplifique cos 54º (1 + sen 18º )

4.

 

Reduzca sen6 x sen4 x – sen15 x sen13 x+sen19 x sen9 x  A) – 2 D) 1

5.

B) – 1

 A) sen36º B) cos36º C) tan18º D) cot18º E) tan36º

C) 0 E) 2

Simplifique cos θ sen ( 2θ +  x ) − sen 2θ cos (θ +

x)

cos θ

 A) sen x D) cosq 6.

cos18º

B) senq

11.

C) cos x E) 1

Reduzca la siguiente expresión. cos210º+cos250º+cos270º  A) 0,5 D) 2

B) 1

C) 1,5 E) 2,5

Simplifique 2 sen θ

12.

+ tan θ

cos 3θ + cos θ

 A) sen2q D) cot2q

B) cos2q

C) tan2q E) 1

Si cot5 x+sen7 x=sen5 x cos2 x, calcule cos7 x – cos3 x.  A) 0 D) 2

B) 1

C) – 1 E) – 2

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Trigonometría  A) 1

NIVEL AVANZADO 13.

 

C) 2

Si la igualdad sen6 x(3sen6 x – sen18 x)+sen212 x= Asen2( Bx) es una identidad, calcule A+B.  A) 2 D) 8

14.

B) 1/2

B) 4

C) 6 E) 10

D) 3/2 E) 3

15.

Si en la figura  AD=3 y  AB=sen2a+sen2b, calcule tana tanb.

Si en un triángulo  ABC se cumple que 2 sen  B sen C

 A = sen Aco c ot      2

indique cuál es tipo de triángulo.

 A 2α

 A) isósceles B) equilátero C) rectángulo D) obtusángulo

2β

 B

 D

C 

E) acutángulo

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Trigonometría Circunferencia trigonométrica NIVEL BÁSICO 1.

D) E)

Calcule el área de la región sombreada. Y 

3.

1 + cos θ − sen θ 2 cos θ − sen θ 2

Si  x  ∈

π

2

y

;π

sen x sen  x

=

k+1 3

calcule la suma de todos los valores enteros que toma k.  X 

 A) – 2 D) 1

θ

B) – 1

C) 0 E) 2

C.T.

4.

 A) D)

1 +  sen θ

B)

2

1 −  sen θ 2

1 −  cos θ

C) E)

2

π

3

;

10π

;

9

calcule la variación de 2cosq+3.

1 + cos θ 2

 A) 〈1; 4〉 D) [1; 4〉

sen θ − 1

B) 〈–1; 4〉

C) 〈2; 3〉 E) 〈2; 3]

2 5.

2.

Si θ ∈

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada.

Calcule la variación de 2 – 2sen x – sen2 x  A) [ – 1; 1] D) [ – 2; 1]

Y 

B) [ – 1; 3]

C) [ – 2; 3] E) [1; 3]

θ

6.

Si θ ∈

π

6

;

5π 6

,

calcule la variación de sen θ + 1

 X 

sen θ − 1

 A) 〈 – ∞ 1] D) 〈 – ∞; – 1〉  A) B) C)

2 − cos θ + sen θ 2 2 + cos θ − sen θ

7.

B) 〈 – ∞; – 1]

C) 〈 – ∞; 3〉 E) 〈 – 1; 1; 3〉

Si x ∈ IIC, calcule la variación de 2 cos

2

 x  + cos x − 1    2

2 1 − cos θ + sen θ 2

 A) 〈0; 2〉 D) 〈 – 2; 0〉

B) [0; 2]

C) [ – 2; 0] E) 〈 – 2; 2〉

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Trigonometría 10.

NIVEL INTERMEDIO

Según el gráfico, calcule OP. Y 

8.

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada.

 P

Y 

O

X 

θ C. T.

 X 

 A)

θ

B) sen θ

 A)

2 cos θ

B)

D)

2 cos θ

C)

E)

4

1 + sen θ cos θ 1 − sen θ sen θ 1 − cos θ sen θ 1 + cos θ cos θ se n θ

− cos θ

sen θ

D)

9.

C)

cos θ

E) senq cosq

 π π Si  x ∈ − ;  , calcule la variación de cos2 x.  3 2

Determine el área de la región sombreada.

1 3   A)  ;  2 2 

4

11.

D) 〈0; 1]

Y 

12.

θ

π

Si  x ∈

E) [–1; 1] ;

π

12 4

,

calcule la variación de  X 

 A) 〈0; 2〉 B)

C. T.

3 2

C) 0;  A) D)

1

B)

2

cos

2

1  C)  ; 1 2 

B) [0; 1]

q

C)

2

sen q

E)

2

sen

2

2 cos q 2

q

;2 3 2

D) 〈1; 2〉 E) 1;

3 2

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sen x

+

cos x

2

Trigonometría NIVEL AVANZADO

14.

Si  x ∈ −

π

π , 15 12  ;

calcule la variación de 13.

 

En la circunferencia trigonométrica mostrada,

2 sen 4  x

calcule el área de la región sombreada.

π +   + 1 6

 A)  3 + 1; 3

Y 

B) [2; 3]

E) 0; 3 

D) [1; 3] 15.  X 

C)  3; 2

Si q ∈ 〈0; p〉 y 1 ≤ 2sen2q ≤ 2; calcule la variación de 2 cos

 θ − π  + 3   12 

θ

 A) [3; 5]  A) D)

2 1 +  tan θ 1 2 + 2 tan θ

B)

2 1 −  tan θ

C) E)

1 2 − 2 tan θ

B) [1; 3] C) [1; 5]

1

D) [4; 5]

2 +  tan θ

E) [0; 3]

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Trigonometría Ecuaciones trigonométricas NIVEL BÁSICO

1.

 A)

−

1

=

4

0

π

3

π

2

si x ∈ 〈0; p〉.

π

 A)

{ C) { D) { E) { B)

2.

π

4 π

6 π

3

6

3π

;

4

5π

;

6 2π

;

3

E)

} }

4.

} }

{ B) { C) { D) {

3 π

3 2

3 2π

;

π

3

3 ;

4

} }

π

3

4 π 5π ; 3 3

E)

6

3π 2

5.

} }

3π 2

Calcule la suma de soluciones de la ecuación sen x

+

3 cos x

si x ∈ 〈0; p〉.  A)

π

E) p

;

;

5π

4

〈0; 2p〉.

3

;

3π

e indique las soluciones en el intervalo de

E)

;π

π

3 π B) 4 π C) 6 π D) 2

π

3

C) p D)

5π

2

2π

4 π B) 2

si x ∈ 〈0; 2p〉.

;

π

;

Calcule la suma de soluciones de la ecuación

 A)

cos x+cos60º=1

π

4

si x ∈ 〈0; p〉.

Resuelva la ecuación

 A)

3π

sen2 x=cos2 x

3π 5π ; 4 4 5π 7π ; 4 4

;

{ } C) { } D) { } B)

Resuelva la ecuación 2 sen x

π

4π 3

3.

Resuelva la ecuación

 

(sen x –  – 2sen30º)(sen x+tan45º)=0

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=

1

Trigonometría 6.

Resuelva la ecuación 2 cos

2

 x

2

−

=

D)  x =

3 cos x

si x ∈ 〈0; 2p〉.

{ B) { C) { D) { E) {

 A)

7.

 

π

4 π

4 π

4

;

; ;

E)  x =

} } } } }

3π 4

9.

5π 4 7π 4

5π 7π ; 4 7

 A)

3π 5π ; 4 4

B) C)

{

 

NIVEL INTERMEDIO

{

11.

 

y

π

0;

∈

,

2

π

3 sen2 x+sen2 y=1

B)

2π

C)

 A)  x

=

=

B)  x = C)  x =

3 π

;

π

y

=

;y=

2 5π

6

0

;

π

π

;

;

5π 6 π

6 2 π

3

;

;

;

2π 3

2π 3

}

;π 11π 6

}

}

;π

4π 3π 5π ; ; 3 2 3

3 π

6

;y=

π

2

}

B) 2

C) 3 E) 5

2

 x

−

sen

2

x

2 sen 2 x cos x =

−

1

2sen x

e indique la menor solución positiva.  A)

y

=

Resuelva

resuelva −

4

Si  x ∈ [0; p], determine el número de soluciones que tiene la ecuación sen4 x – cos3 x=sen2 x

cos

 x

π

 A) 1 D) 4

3

 

12

3 sen x

−

3 2

6

{ E) {

10.

π

π

D)

π

Si  x e

12

;y=

π

en el intervalo de 〈0; 2p〉.

3 π B) 4 π C) 6 π D) 2 2π E)

8.

12 7π

;y=

Resuelva la ecuación sen 2 x

Indique las soluciones de la ecuación (sen x+cos x)2=2 si x ∈ 〈0; p〉.  A)

5π

D)

π 12

π

6 π

3 π

4 π E) 5

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Trigonometría 12.

Resuelva la siguiente ecuación e indique la suma de soluciones en el intervalo 〈0; 2p〉. cosq · sec120º=sen150º sec120º=sen150º  A) B)

14.

3 sen x

4

{ B) { C) { D) { E) {

 A)

π

2

3π 2

E) 2p

NIVEL AVANZADO 13.

Resuelva en el intervalo de 〈0; 2p〉. tan x

{ B) { C) { D) { E) {

 A)

π + cos x = 2 sen  2 x +   3

en el intervalo de [0; 2p].

π

C) p D)

Resuelva la ecuación

+

π

4 π

4 π

4

;

;

;

cos x 1 + sen x

=

2

} } } } }

7π 4

6

 A) B)

5π 4

;

2π 4 π 5π ; ; 3 3 3 3

π

;

5 π 4 π 5π ; ; 6 6 3 3

π

;

5 π 3 π 11π ; ; 6 6 2 6

π

;

2π 7 π 11π ; ; 3 3 6 6

π

;

Si x ∈ 〈0; 2p〉, resuelva la ecuación

(

3π 4

15.

C)

5π 7π ; 4 4

D)

3π 5π ; 4 4

E)

−

)

2 sen x

π 12

5π 12 7π 12 11π 12

13 π 12

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} } } } }

5 π 7 π 11π ; ; 6 6 6 6

π

−

(

6

+

)

2 cos x

=

4

Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos NIVEL BÁSICO

4.

7

  1.

2

En el gráfico, cos α = . Calcule AC .

Del gráfico, calcule q.

 B α

C 

4

7 6

60º

 B

C 

A

3+1

 A) 15º

B) 30º

 A) 13 B) 15 C) 7 D) 9 E) 11

C) 45º

D) 60º 2.

 A

θ

E) 75º

Del gráfico, calcule sen2q.

5.

Del gráfico, calcule AC .

 B

secθ

 B 120º

3 2 –1

53º

2+1

θ

 A

C   A

 A) 4/5

B) 3/5

D) 12/13 3.

C) 8/15

fique sen  A − sen C  sen  A

 A) 0 B) 1 C) 1/2 D) 2 E) 1/4

 A) 2 2

E) 5/13

De un triángulo  ABC  de   de lados a, b y c, simpli-

+

a+c a

C 

D) 2 6.

B) 3

C) 5 E)

3

2 5

De un triángulo  ABC  de  de lados a, b y c, respecti vamente, simplifique

( a2 − b2 − c2 ) sec A ( b2 − a2 − c2 ) sec B  A) a/b B)  b/a C) b/c D) c/b E) a/c Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 12

Trigonometría 7.

Si 5( AD)=4( DC ), ), calcule

sen

α

sen

β

10.

.

En un triángulo  ABC , de lados a,  b y c, simplifique  b cos B + c cos C 

 B

cos

 A) a+b B) a+c C) b+c D) a E) c

30º 37º 30º  37º

β

α 4

 A

D

5

C  11.

 A) 12/13

B) 24/25

D) 5/13

 B

E) 7/25 α

 A

Del gráfico, calcule AC .

4

D

C 

5 12.

2θ

Según el gráfico,  AB=BC  y  BM=MC . Calcule sen(2a – q) · cscq.

θ

 A

 A) 2

θ

 A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3 E) 1/3

 B

C 

B) 5/2

D) 3 9.

Si AD=DC , calcule sen(a+2q) · csca.

C) 4/13

NIVEL INTERMEDIO

8.

( B − C )

 B

C) 9/4 E) 7/2

θ

 M 

En un triángulo ABC  de  de lados a, b y c, respectiα

 vamente, se cumple que  A

2a2+3 bc=2 b2+2c2 Calcule tan A.  A) 1/2  A) 7 D)

7 4

B)

7 2

C) E)

7 3

7 5

B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 13

C 

Trigonometría 14.

NIVEL AVANZADO

Si 3( AD)=2( DC ), ), calcule tanq.  B

13.

Si AM=BC , calcule 4sen(q – 50º).

30º 30º

 B θ θ

 A

 M 

 A) 20º

 A

10º

B) 12/13 C) 12/5 D) 2

3

E) –12/5

3

B)

2

1 2

D) 3

C  15.

 A) 2

D

C 

C) 2 E)

2 3 3

Si en un triángulo las longitudes de sus lados son tres números enteros consecutivos y la medida del mayor ángulo es el doble del menor ángulo; calcule el perímetro del triángulo.  A) 9 D) 18

B) 12

C) 15 E) 21

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Repaso San Marcos IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE TRANSFORMACIÓN

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS