Trigonometria Repaso
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aduni repaso...
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2
R epaso Sa n Marcos 2016 San c o n ómi E s e e a l c i a Cienc ia s S o
co
Humanidades
-
Empr e es a s r a ri i a a
ll e s e s
Habilidad Verbal Habilidad Matemática Matemática Comunicación Ciencias Sociales Ciencias Naturales
Chullpas
Boletín 2 Repaso San Marcos 1ra. Revisión (26 noviembre, 2015 11:51 a.m.) Trigonometría
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples 6.
NIVEL BÁSICO 1.
Reduzca la siguiente expresión.
A) 1/2 D) 2
cos 10 º co cos 20 º co cos 80 º cos 50º
A) 1 D) 2 2.
B) 1/2
C) 1/4 E) 4
7.
B) 1
(sen θ + cos θ)2 − (sen θ − cos θ )2
C) 3/2 E) 5/2
Si 2tan2 x – tan x – 2=0; calcule tan2 x. A) – 2 D) – 1/2
Simplifique la siguiente expresión. 2
Si 3sen2 x+2cos2 x=2 calcule tan x.
B) 1/2
C) – 4 E) – 1/4
NIVEL INTERMEDIO
2
cos θ − sen θ
A) tan q D) 2cot2q 3.
B) cotq
C) 2tan2 q E) 1
8.
1 + sen 40º
2 sen x csc csc 2 x 2
+
A) sen20º D) 2sen10º
Simplifique 1 + tan
Calcule el equivalente de la expresión
x
9.
B) sen10º
4.
B) cos x
C) 2sen x E) 1
2
(1 − cos 4 x ) csc x
D)
1 + cos 2 x
5.
C) 2sen2 x E) 1
Determine el equivalente de (tanq+cotq)(sen4q – cos4q+1) A) senq D) 2cosq
B) 2secq
C) 2tanq E) 2cotq
2
cos 2θ − sen 2θ
A)
B) 2cos x
3
sen θ cos θ − sen θ cos θ
Simplifique
A) 4sen2 x D) cos2 x
C) 2sen20º E) cos10º
Simplifique 3
A) sen x D) 2cos x
1 − sen 40º
10.
1 4 1 2
B)
tan 4q
1 2
tan 2q
C)
1 4
tan 2q
E) tan2q
tan 4q
Simplifique 2(sec2 x – 1)cot2 xcos x A) sen x B) 2sen x C) cos x D) 2cos2 x E) tan x
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 2
Trigonometría 11.
Si csc2α =
7 2
calcule (sen α
A) 1
14.
θ − tan θ = 4 4
Si cot
2
tan α
+
cos α cot α
B) 3
).
calcule el valor de
E) 9 A) −
1 + cos 2θ − sen 2θ
3 5
B) − 5
5
C) −
2 5 5
Simplifique la siguiente expresión. D) 5
tanq+2tan2q+4cot4q 15.
A) cotq
−
cos α
sen α
C) cot4q D) 2cotq
−
−
sen α
cos α
π + α 8 2
E) 2cot2q
A) tan
π + α 8 2
B) − tan
NIVEL AVANZADO
π − α 8 2
C) − tan
Simplifique la expresión.
(2tanq cot2q+sec2q) tanq cot2q+sec2q A) – 2
E)
Simplifique 2
B) cot2q
13.
1 − cos 2θ − sen 2θ
C) 5
D) 7 12.
5
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
π − α 8 2
D) tan E)
tan
π + α 4 2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 3
4 5
Trigonometría Identidades trigonométricas de transformación 7.
NIVEL BÁSICO 1.
A) 2sen8 x D) 2cos8 x
Simplifique la expresión sen 4 x
+
sen 2 x
cos 4 x
+
cos 2 x
Reduzca la siguiente expresión (tan3 x+tan5 x)(cos8 x+cos2 x) B) sen8 x
C) cos8 x E) 1
NIVEL INTERMEDIO A) tan x D) tan4 x 2.
C) tan3 x E) 1
sen x
+
sen 2 x
+
sen 3 x
cos x
+
cos 2 x
+
cos 3 x
x B) cot x
D)
1 2
B)
1
9.
2
2 2
C) E)
3
B) 6
10.
C) 8 E) 12
Reduzca cos( x+y)sen( x – y)+cos( y+z)sen( y – z)+ cos( z+x)sen( z – x) A) 4 D) 0
2
2 2
Si la siguiente igualdad 4cos x cos2 x cos3 x –1=cos( Ax)+cos( Bx)+cos(Cx) es una identidad, calcule A+B+C ( ( A > B > C > 0). A) 4 D) 10
C) tan2 x E) tan3 x
Reduzca 2sen40º cos10º – cos40º A) −
8.
Simplifique la expresión
A) tan x D) cot2 x 3.
B) tan2 x
B) 3
C) 2 E) – 2
Simplifique cos 54º (1 + sen 18º )
4.
Reduzca sen6 x sen4 x – sen15 x sen13 x+sen19 x sen9 x A) – 2 D) 1
5.
B) – 1
A) sen36º B) cos36º C) tan18º D) cot18º E) tan36º
C) 0 E) 2
Simplifique cos θ sen ( 2θ + x ) − sen 2θ cos (θ +
x)
cos θ
A) sen x D) cosq 6.
cos18º
B) senq
11.
C) cos x E) 1
Reduzca la siguiente expresión. cos210º+cos250º+cos270º A) 0,5 D) 2
B) 1
C) 1,5 E) 2,5
Simplifique 2 sen θ
12.
+ tan θ
cos 3θ + cos θ
A) sen2q D) cot2q
B) cos2q
C) tan2q E) 1
Si cot5 x+sen7 x=sen5 x cos2 x, calcule cos7 x – cos3 x. A) 0 D) 2
B) 1
C) – 1 E) – 2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 4
Trigonometría A) 1
NIVEL AVANZADO 13.
C) 2
Si la igualdad sen6 x(3sen6 x – sen18 x)+sen212 x= Asen2( Bx) es una identidad, calcule A+B. A) 2 D) 8
14.
B) 1/2
B) 4
C) 6 E) 10
D) 3/2 E) 3
15.
Si en la figura AD=3 y AB=sen2a+sen2b, calcule tana tanb.
Si en un triángulo ABC se cumple que 2 sen B sen C
A = sen Aco c ot 2
indique cuál es tipo de triángulo.
A 2α
A) isósceles B) equilátero C) rectángulo D) obtusángulo
2β
B
D
C
E) acutángulo
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 5
Trigonometría Circunferencia trigonométrica NIVEL BÁSICO 1.
D) E)
Calcule el área de la región sombreada. Y
3.
1 + cos θ − sen θ 2 cos θ − sen θ 2
Si x ∈
π
2
y
;π
sen x sen x
=
k+1 3
calcule la suma de todos los valores enteros que toma k. X
A) – 2 D) 1
θ
B) – 1
C) 0 E) 2
C.T.
4.
A) D)
1 + sen θ
B)
2
1 − sen θ 2
1 − cos θ
C) E)
2
π
3
;
10π
;
9
calcule la variación de 2cosq+3.
1 + cos θ 2
A) 〈1; 4〉 D) [1; 4〉
sen θ − 1
B) 〈–1; 4〉
C) 〈2; 3〉 E) 〈2; 3]
2 5.
2.
Si θ ∈
En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada.
Calcule la variación de 2 – 2sen x – sen2 x A) [ – 1; 1] D) [ – 2; 1]
Y
B) [ – 1; 3]
C) [ – 2; 3] E) [1; 3]
θ
6.
Si θ ∈
π
6
;
5π 6
,
calcule la variación de sen θ + 1
X
sen θ − 1
A) 〈 – ∞ 1] D) 〈 – ∞; – 1〉 A) B) C)
2 − cos θ + sen θ 2 2 + cos θ − sen θ
7.
B) 〈 – ∞; – 1]
C) 〈 – ∞; 3〉 E) 〈 – 1; 1; 3〉
Si x ∈ IIC, calcule la variación de 2 cos
2
x + cos x − 1 2
2 1 − cos θ + sen θ 2
A) 〈0; 2〉 D) 〈 – 2; 0〉
B) [0; 2]
C) [ – 2; 0] E) 〈 – 2; 2〉
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6
Trigonometría 10.
NIVEL INTERMEDIO
Según el gráfico, calcule OP. Y
8.
En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule el área de la región sombreada.
P
Y
O
X
θ C. T.
X
A)
θ
B) sen θ
A)
2 cos θ
B)
D)
2 cos θ
C)
E)
4
1 + sen θ cos θ 1 − sen θ sen θ 1 − cos θ sen θ 1 + cos θ cos θ se n θ
− cos θ
sen θ
D)
9.
C)
cos θ
E) senq cosq
π π Si x ∈ − ; , calcule la variación de cos2 x. 3 2
Determine el área de la región sombreada.
1 3 A) ; 2 2
4
11.
D) 〈0; 1]
Y
12.
θ
π
Si x ∈
E) [–1; 1] ;
π
12 4
,
calcule la variación de X
A) 〈0; 2〉 B)
C. T.
3 2
C) 0; A) D)
1
B)
2
cos
2
1 C) ; 1 2
B) [0; 1]
q
C)
2
sen q
E)
2
sen
2
2 cos q 2
q
;2 3 2
D) 〈1; 2〉 E) 1;
3 2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7
sen x
+
cos x
2
Trigonometría NIVEL AVANZADO
14.
Si x ∈ −
π
π , 15 12 ;
calcule la variación de 13.
En la circunferencia trigonométrica mostrada,
2 sen 4 x
calcule el área de la región sombreada.
π + + 1 6
A) 3 + 1; 3
Y
B) [2; 3]
E) 0; 3
D) [1; 3] 15. X
C) 3; 2
Si q ∈ 〈0; p〉 y 1 ≤ 2sen2q ≤ 2; calcule la variación de 2 cos
θ − π + 3 12
θ
A) [3; 5] A) D)
2 1 + tan θ 1 2 + 2 tan θ
B)
2 1 − tan θ
C) E)
1 2 − 2 tan θ
B) [1; 3] C) [1; 5]
1
D) [4; 5]
2 + tan θ
E) [0; 3]
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8
Trigonometría Ecuaciones trigonométricas NIVEL BÁSICO
1.
A)
−
1
=
4
0
π
3
π
2
si x ∈ 〈0; p〉.
π
A)
{ C) { D) { E) { B)
2.
π
4 π
6 π
3
6
3π
;
4
5π
;
6 2π
;
3
E)
} }
4.
} }
{ B) { C) { D) {
3 π
3 2
3 2π
;
π
3
3 ;
4
} }
π
3
4 π 5π ; 3 3
E)
6
3π 2
5.
} }
3π 2
Calcule la suma de soluciones de la ecuación sen x
+
3 cos x
si x ∈ 〈0; p〉. A)
π
E) p
;
;
5π
4
〈0; 2p〉.
3
;
3π
e indique las soluciones en el intervalo de
E)
;π
π
3 π B) 4 π C) 6 π D) 2
π
3
C) p D)
5π
2
2π
4 π B) 2
si x ∈ 〈0; 2p〉.
;
π
;
Calcule la suma de soluciones de la ecuación
A)
cos x+cos60º=1
π
4
si x ∈ 〈0; p〉.
Resuelva la ecuación
A)
3π
sen2 x=cos2 x
3π 5π ; 4 4 5π 7π ; 4 4
;
{ } C) { } D) { } B)
Resuelva la ecuación 2 sen x
π
4π 3
3.
Resuelva la ecuación
(sen x – – 2sen30º)(sen x+tan45º)=0
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 9
=
1
Trigonometría 6.
Resuelva la ecuación 2 cos
2
x
2
−
=
D) x =
3 cos x
si x ∈ 〈0; 2p〉.
{ B) { C) { D) { E) {
A)
7.
π
4 π
4 π
4
;
; ;
E) x =
} } } } }
3π 4
9.
5π 4 7π 4
5π 7π ; 4 7
A)
3π 5π ; 4 4
B) C)
{
NIVEL INTERMEDIO
{
11.
y
π
0;
∈
,
2
π
3 sen2 x+sen2 y=1
B)
2π
C)
A) x
=
=
B) x = C) x =
3 π
;
π
y
=
;y=
2 5π
6
0
;
π
π
;
;
5π 6 π
6 2 π
3
;
;
;
2π 3
2π 3
}
;π 11π 6
}
}
;π
4π 3π 5π ; ; 3 2 3
3 π
6
;y=
π
2
}
B) 2
C) 3 E) 5
2
x
−
sen
2
x
2 sen 2 x cos x =
−
1
2sen x
e indique la menor solución positiva. A)
y
=
Resuelva
resuelva −
4
Si x ∈ [0; p], determine el número de soluciones que tiene la ecuación sen4 x – cos3 x=sen2 x
cos
x
π
A) 1 D) 4
3
12
3 sen x
−
3 2
6
{ E) {
10.
π
π
D)
π
Si x e
12
;y=
π
en el intervalo de 〈0; 2p〉.
3 π B) 4 π C) 6 π D) 2 2π E)
8.
12 7π
;y=
Resuelva la ecuación sen 2 x
Indique las soluciones de la ecuación (sen x+cos x)2=2 si x ∈ 〈0; p〉. A)
5π
D)
π 12
π
6 π
3 π
4 π E) 5
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10
Trigonometría 12.
Resuelva la siguiente ecuación e indique la suma de soluciones en el intervalo 〈0; 2p〉. cosq · sec120º=sen150º sec120º=sen150º A) B)
14.
3 sen x
4
{ B) { C) { D) { E) {
A)
π
2
3π 2
E) 2p
NIVEL AVANZADO 13.
Resuelva en el intervalo de 〈0; 2p〉. tan x
{ B) { C) { D) { E) {
A)
π + cos x = 2 sen 2 x + 3
en el intervalo de [0; 2p].
π
C) p D)
Resuelva la ecuación
+
π
4 π
4 π
4
;
;
;
cos x 1 + sen x
=
2
} } } } }
7π 4
6
A) B)
5π 4
;
2π 4 π 5π ; ; 3 3 3 3
π
;
5 π 4 π 5π ; ; 6 6 3 3
π
;
5 π 3 π 11π ; ; 6 6 2 6
π
;
2π 7 π 11π ; ; 3 3 6 6
π
;
Si x ∈ 〈0; 2p〉, resuelva la ecuación
(
3π 4
15.
C)
5π 7π ; 4 4
D)
3π 5π ; 4 4
E)
−
)
2 sen x
π 12
5π 12 7π 12 11π 12
13 π 12
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11
} } } } }
5 π 7 π 11π ; ; 6 6 6 6
π
−
(
6
+
)
2 cos x
=
4
Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos NIVEL BÁSICO
4.
7
1.
2
En el gráfico, cos α = . Calcule AC .
Del gráfico, calcule q.
B α
C
4
7 6
60º
B
C
A
3+1
A) 15º
B) 30º
A) 13 B) 15 C) 7 D) 9 E) 11
C) 45º
D) 60º 2.
A
θ
E) 75º
Del gráfico, calcule sen2q.
5.
Del gráfico, calcule AC .
B
secθ
B 120º
3 2 –1
53º
2+1
θ
A
C A
A) 4/5
B) 3/5
D) 12/13 3.
C) 8/15
fique sen A − sen C sen A
A) 0 B) 1 C) 1/2 D) 2 E) 1/4
A) 2 2
E) 5/13
De un triángulo ABC de de lados a, b y c, simpli-
+
a+c a
C
D) 2 6.
B) 3
C) 5 E)
3
2 5
De un triángulo ABC de de lados a, b y c, respecti vamente, simplifique
( a2 − b2 − c2 ) sec A ( b2 − a2 − c2 ) sec B A) a/b B) b/a C) b/c D) c/b E) a/c Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 12
Trigonometría 7.
Si 5( AD)=4( DC ), ), calcule
sen
α
sen
β
10.
.
En un triángulo ABC , de lados a, b y c, simplifique b cos B + c cos C
B
cos
A) a+b B) a+c C) b+c D) a E) c
30º 37º 30º 37º
β
α 4
A
D
5
C 11.
A) 12/13
B) 24/25
D) 5/13
B
E) 7/25 α
A
Del gráfico, calcule AC .
4
D
C
5 12.
2θ
Según el gráfico, AB=BC y BM=MC . Calcule sen(2a – q) · cscq.
θ
A
A) 2
θ
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3 E) 1/3
B
C
B) 5/2
D) 3 9.
Si AD=DC , calcule sen(a+2q) · csca.
C) 4/13
NIVEL INTERMEDIO
8.
( B − C )
B
C) 9/4 E) 7/2
θ
M
En un triángulo ABC de de lados a, b y c, respectiα
vamente, se cumple que A
2a2+3 bc=2 b2+2c2 Calcule tan A. A) 1/2 A) 7 D)
7 4
B)
7 2
C) E)
7 3
7 5
B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 13
C
Trigonometría 14.
NIVEL AVANZADO
Si 3( AD)=2( DC ), ), calcule tanq. B
13.
Si AM=BC , calcule 4sen(q – 50º).
30º 30º
B θ θ
A
M
A) 20º
A
10º
B) 12/13 C) 12/5 D) 2
3
E) –12/5
3
B)
2
1 2
D) 3
C 15.
A) 2
D
C
C) 2 E)
2 3 3
Si en un triángulo las longitudes de sus lados son tres números enteros consecutivos y la medida del mayor ángulo es el doble del menor ángulo; calcule el perímetro del triángulo. A) 9 D) 18
B) 12
C) 15 E) 21
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 14
Repaso San Marcos IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE TRANSFORMACIÓN
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
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