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Trigonometría para Dummies Guía de trabajo N°1 Colegio José María Carbonell.

Profesor: Alejandro Quimbay B.

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Sea el triángulo ∆ ABC rectángulo en B y ángulo agudo en A como se muestra en la figura 1.

Figura 1 Tenemos que las relaciones trigonométricas del ángulo agudo â están dadas por:
= 

 
     =   ℎ  


Seno de A=

Sen A

= 

 
 

  =   ℎ  


Coseno de A=

Cos A


=

 
     =  
 

 

Tangente de A=

Tan A

=


 
 

  =  
    

Cotangente de A=

Cot A

 =

  ℎ  
=  
 

 

Secante de A=

Sec A

 =


  ℎ  
=  
    

Cosecante de A=

Csc A

Teniendo una función como y= f(x), y sabiendo que es una función biyectiva, tenemos entonces que tiene una función inversa tal que f-1(y)=x así entonces nuestras funciones trigonométricas tienen funciones inversas que partiendo de un valor nos entregan el angulo correspondiente. Ej. Sea sen(30°)=0.5, entonces su función inversa denominada arcsen(0.5)=30° La función inversa es denotada por arcsen x, arccos x, arctan x, etc. o por sen-1 x, cos-1 x, tan-1 x, etc.

Ejemplo 1. Para el triángulo de la figura 2. con ángulo A de 60°.

Figura 2

 60° =

8.7 = 0.87 10

 60° =

5 = 0.5 10


 60° =

8.7 = 1,74 5

 60° =

5 = 0.575 8.7

 60° =

10 =2 5

 60° =

10 = 1.15 8.7

Ejemplo 2 Hallar las funciones trigonométricas para el ángulo θ de la figura 3.

Por Pitágoras calculamos la hipotenusa del triángulo, ℎ = √4 + 3 = √25 = 5 Entonces las relaciones trigonométricas de θ son: # %  " = = 0.6 ,  " = = 0.8, $

$

#

%

%

#

$

$

%

#


 " = = 0.75,  " = = 1.33,  " = = 1.25,  " = = 1.67

Figura 3

Resolución de triángulos rectángulos Se denomina resolución de un triángulo rectángulo conocer las medidas de todos sus ángulos y todos sus lados, se presentan diferentes casos según la información inicial que tenemos. Caso 1: conocemos un ángulo y la hipotenusa. De la figura 4 siguiente vemos que debemos hallar el valor de &' , a y c

&' = 180° − 90° − 35° = 55° Ahora tenemos que la proporción trigonométrica que nos relaciona a con la hipotenusa es el seno de 35°, así que: sen 35° =

Figura 4 Témenos que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a 180°, así que:


50 -

→
= 50 - ∗  35° = 50 - ∗ 0.57 = 28.68 -

Por último tenemos que la proporción trigonométrica que nos relaciona c con la hipotenusa es el coseno de 35°, así que: cos 35° =

50 -

→
= 50 - ∗  35° = 50 - ∗ 0.82 = 40.96 -

Caso 2: se conoce un cateto y un ángulo. De la figura 5 siguiente vemos que debemos hallar el valor de 2', b y c

&' = 180° − 90° − 38° = 52° Ahora tenemos que la proporción trigonométrica que nos relaciona b con el cateto conocido es el coseno de 38°, así que: cos 38° =

25 

25 25 =

 38° 0.79 = 31.72 →=

Por último tenemos que la proporción trigonométrica que nos relaciona c con la el cateto conocido es la tangente de 38°, así que: tan 38° = Figura 5

25 -

→ = 25 - ∗
 38° = 25 - ∗ 0.78 = 19.53 -

Témenos que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a 180°, así que: Caso 3: es conocido la hipotenusa y un cateto

Témenos por Pitágoras que: 25 =
 + 15

Figura 6

→
= 525 − 15 = √625 − 225 = √400 = 20 -

Ahora tenemos que la proporción trigonométrica que nos relaciona a con la hipotenusa es el seno A, así que:

sen 2 =

20 = 0.8 → &' =
6 70.88 25 = 36.87°

Por ultimo tenemos que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a 180°, así que: &' = 180° − 90° − 36.87° = 53.13°

Caso 4: se conocen los dos catetos Ahora tenemos que la proporción trigonométrica que nos relaciona los dos catetos es tan A, así que: tan 2 =

20 = 0.8 → &' =
6
70.88 25 = 38.66°

Por ultimo tenemos que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a 180°, así que: &' = 180° − 90° − 38.66° = 51.34°

Figura 7 Témenos por Pitágoras que: ℎ = 25 + 20

→ ℎ = 525 + 20 = √625 + 400 = √1025 = 32.01 -

Ejemplo 3. Calcular el área del triángulo de la figura 8 Entonces la base es: 2: = 29 + 9: = 59.58 + 41.95 = 101.54 Entonces tenemos que el área de un triángulo es: ;∗