TRIGONOMETRIA - Exercicios Resolvidos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, for mando um ângulo de 45º. Forma-se, porta rtanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comp compri rime ment ntoo da es esca cada da??

45°

 x 

 2m

45°  2m

2 1

Resposta: O comprimento aproximado da escada é de 2,83 m

 2m

 x 

A questão também poderia ser respondida através da aplicação do Teorema de Pitágoras.

 2m

Resposta: O comprimento aproximado da escada é de 2,83 m

2) Usando os triângulos retângulos a seguir, determine as razões trigonométricas para o ângulo x.

3) No exercício anterior, o que podemos concluir sobre o ângulo x? Quanto mede esse ângulo?

2)

3) O ângulo mede 45°

4) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos ϴ= 0,6 .

Hipotenusa

No caso, precisamos calcular a medida do cateto oposto ao ângulo ϴ , conhecendo a medida da hipotenusa, ou seja, o ideal seria termos o valor de sen ϴ e, para isso, aplicaremos a Relação Para ângulos agudos, asda Trigonometria: Fundamental razões trigonométricas são e, portanto, não hpositivas há necessidade de usar ± Cateto Oposto ao ângulo ϴ

ϴ

O problema informa o valor de cos ϴ, mas para utilizar a razão trigonométrica cosseno, deveríamos relacionar a medida do cateto adjacente ao ângulo ϴ com a medida da hipotenusa.

A partir daí, o cálculo da altura torna-se bastante simples:

Resposta: A altura do prédio é de 20 m

5) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60° em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será aproximadamente igual a: a) 10,2 m b) 8,5 m c) 5,9 m d) 4,2 m e) 3,4 m

Os raios do Sol Cateto oposto ao incidem sobre um local plano com uma ângulo de 60°inclinação de 60° em relação à horizontal. Calcular o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura. 6m  x 

60° Conhecemos a medida do cateto oposto ao ângulo de 60° e desejamos calcular a medida do cateto adjacente a esse mesmo ângulo. A melhor escolha é trabalhar com a tangente de 60°!

Resposta: Opção E

 x 

2

Cateto adjacente ao ângulo de 60° 1

6) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120 m, a distância percorrida pelo barco até o ponto C, é: a) 240 m b) 240 m c) 80 m d) 80 m e) 40 m

B

120m

Cateto adjacente ao ângulo de 60°

C

 x 

Hipotenusa A

Conhecemos a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60° e desejamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo ABC. Dessa vez é melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60°!

Resposta: Opção C

7) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30° com o solo, conforme a ilustração. O comprimento da rampa será igual a: a) /2 m b) m c) 2 m d) 4 m e) 4 m

Hipotenusa

Cateto oposto ao ângulo de 30°  x  2m

30° Conhecemos a medida do cateto oposto ao ângulo de 30° e desejamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo esboçado acima. Sem dúvida é um caso para aplicar o seno de 30°!

Resposta: Opção D

8) Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então qual é a altura do prédio, em metros?

Vamos trabalhar então no triângulo O ângulo AÔC, que retângulo BÔC onde Ô = 30°. mede 75° ficou dividido •

C



em duas partes: Desejamos calcular m(AÔB) = 45°a medida do cateto oposto am(BÔC) esse ângulo = 30° e conhecemos a

 x 

•



B

12

30°

75°

 



O

medida de seu cateto adjacente.

45°

Um caso claro de utilização da tangente!

•

Sendo o triângulo AOB isósceles e retângulo, temos  = Ô = 45°

12

45°

O triângulo AOB é 4 1 isósceles e, portanto, A o ângulo é igual é a medida do segmento AC, ou seja: Finalmente, a altura total AÔB do prédio ao ângulo OÂB 

Resposta: A altura aproximada do prédio é 18,93 m

9) Determine a área do triângulo abaixo de base igual a 6 cm:

O triângulo AHB é retângulo e tem um ângulo medindo 45°, logo é isósceles com AH = BH

A 

75°

h

c

45°

B



b







h

No triângulo ABC, se  = 75° e ^B = 45°, como  + ^B + C^ = 180°, então C^ = 60°

H

60°

6 –  h



C

a= 6

Sabendo que BH= h, como BC = 6, podemos escrever que HC = 6 – h

A 

h

b





H

60°

6 –  h



C

3

1

10) Um turista vê o topo de uma torre construída em um

terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se da torre mais 374 m, passa a vê-la sob um ângulo de 60°. Considerando que a base da torre está no mesmo nível do olho do turista, calcule a altura da torre. (Você imagina por onde anda esse turista?)

T 

30° 30° 60°

h

30°

60°





•

•

B

374m

A



C

^ = 30° ^ = 60 ° ⇒ CTB ∆ BCT é retângulo em C com CBT ^ = 60° ∆ ACT é retângulo em C com CÂT = 30 ° ⇒ CTA ^

^

^

Sendo CTA = 60° e CTB = 30° ⇒ BTA = 30° e ∆ ABT é isósceles com AB = BT = 374 m •

•

Aplicando agora o seno de 60° no ∆BCT, temos:

T 

30° 30°

h

30°

60°



A



374m

B



C

Resposta: 324 m de altura, e só pode ser a Torre Eiffel... O turista está em Paris!

Professora Telma Castro Silva

ISERJ – 2013