Trigonometria Esferica

 

Trigonometría esférica

Distancia ortodrómica entre dos puntos a lo largo de un círculo máximo sobre la superficie de una esfera. La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros. La esfera

Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por todos aquellos puntos en el espacio tridimensional que cumplen con la siguiente definición:

Círculo máximo

esfera con  con un plano que contenga su centro genera un círculo La intersección de una esfera máximo y una circunferencia máxima sobre la superficie de la esfera. Un círculo máximo divide a la esfera enpor dosun hemisferios iguales. La distancia entre dos superficie de la esfera, unidos arco de círculo máximo, es la menor entrepuntos ellos ydeseladenomina distancia ortodrómica. ortodrómica. Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Tierra tenemos los meridianos o meridianos o la línea del ecuador . Volumen y superficie de la esfera

El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que gira alrededor del diámetro. Según esta definición, si su radio es r, su volumen será:

 

La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución y vendrá dada por:

Dominio sobre la superficie esferica

Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie. Triángulo esférico

Triángulo esférico. Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por radianes y  y multiplicado por el radio de la esfera es la su longitud. Este arco medido en radianes longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que:P 180° < + + < 540° Fórmulas fundamentales

:ángulo formado entre los arcos AC y AB :ángulo formado entre los arcos AB y BC :ángulo formado entre los arcos AC y BC Fórmula del coseno

 El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado. Fórmula del seno

 

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Fórmula de la cotangente

La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos: ángulo ; lado AB; ángulo ; lado BC .

Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, menos seno del lado medio por la cotangente del otro lado. Fórmula de Bessel

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel, o tercera fómula de Bessel. Fueron Bessel (  (Westfalia Westfalia,, deducidas por primera vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel Alemania, 1784-Kaliningrado 1784-Kaliningrado,, Rusia, 1846). cos a / k = cos b / k · cos c / k + sen b / k · sen c / k · cos A cos b / k = cos c / k · cosa / k + sen c / k · sen a / k · cos B cos c / k = cos a / k · cosb / k + sen a / k · sen b / k · cos C El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigonométrica, de la forma: sen c · cos B = cos b · sen a - cos a · sen b · cos C sen c · cos A = cos a · sen b - cos b · sen a · cos C sen b · cos A = cos a · sen c - cos c · sen a · cos B sen b · cos C = cos c · sen a - cos a · sen c · cos B sen a · cos B = cos b · sen c - cos c · sen b · cos A sen a · cos C = cos c · sen b - cos b · sen c · cos A

 

Presentación matricial de las Fórmulas del triángulo esférico

El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno (llamadas por algunos segunda y primera fórmila de Bessel), y la (tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de forma matricial:

[siendo a, b, y c los lados y A, B, y C los ángulos del triángulo esférico] Triángulo esférico rectángulo

Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = + + − 180°. Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos. Pentágono de Neper

Pentágono de Neper. El pentágono de Neper es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre en memoria del científico inglés John Napier , y se construye de la siguiente forma: Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C.

 

hipotenusa  a por sus complementarios: Se remplazan los ángulos B, C, y la hipotenusa B por (90° - B) C por (90° - C) a por (90° - a) Se establecen dos reglas: 



el seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes: seno(a) = tg(b) tg(90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B) el seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos: seno(a) = coseno(90° - A) coseno(90° - c), o su equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)

Computus

Exiguo inventó la era Anno Domini para calcular la fecha de Pascua. Dionisio el Exiguo inventó

 

Tabla hallada en Suecia Suecia con  con las fechas de las Pascuas del años 1140 al 1671 usando el calendario juliano juliano,, escritas en rúnico rúnico.. El Computus es el cálculo de la fecha de Pascua. A principios del siglo IV había IV había en la cristiandad una  una gran confusión sobre cuándo había de celebrarse la Pascua cristiana cristiana o  o de cristiandad Nazaret. Pascua de Resurrección, Resurrección, con motivo del aniversario de la resurrección de Jesús de Nazaret. Habían surgido en aquel momento numerosas tendencias o grupos de practicantes que utilizaban cálculos propios. Antecedentes

Ya en el Concilio de Arlés Arlés (en  (en el año 314), 314), se obligó a toda la Cristiandad Cristiandad a  a celebrar la queembargo, enviaría no Pascua día,iglesias y que esta fechacon habría de ser fijada por el  papa,, Sin el papa epístolaselamismo todas las del orbe las instrucciones necesarias. todas las congregaciones siguieron estos preceptos. Concilio de Nicea

Es en el Concilio de Nicea (en Nicea (en el año 325) 325) donde se llega finalmente a una solución para este asunto. En él se estableció que la Pascua de Resurrección había de ser celebrada cumpliendo unas determinadas normas: 

Que la Pascua se celebrase en domingo.

 





Que no coincidiese nunca con la Pascua judía, judía, que se celebraba independientemente del día de la semana. (De esta manera se evitarían paralelismos o confusiones entre ambas religiones). Que los cristianos no celebrasen nunca la Pascua dos veces en el mismo año. Esto tiene su explicación porque el año nuevo empezaba en el equinoccio primaveral, equinoccio primaveral, por  lo que se prohibía la celebración de la Pascua antes del equinoccio real equinoccio real (antes de la

entrada del Sol en Aries Aries). ). Roma y  y la Iglesia de Alejandría, Alejandría,  No obstante, siguió habiendo diferencias entre la Iglesia de Roma si bien el Concilio de Nicea dio la razón a los alejandrinos, estableciéndose la costumbre de que la fecha de la Pascua se calculaba en Alejandría, que lo comunicaba a Roma, la cual difundía el cálculo al resto de la cristiandad cristiandad.. Pese a este acuerdo formal, las discrepancias continuaron por razones astronómicas. La equinoccio de  de primavera era el 18 de marzo y para Iglesia romana consideraba que el equinoccio calcular la edad de la Luna (epacta ( epacta)) utilizaban un ciclo de 84 años. Los alejandrinos para el cálculo de la edad de la Luna usaban el famoso ciclo metónico de metónico de 19 años. Estas diferencias, y otras menores, hacían que en la Iglesia romana nunca cayera con  posterioridad al 21 de abril, mientras que el alejandrina podía po día llegar a ser el 25. Dionisio el Exiguo

525) quien desde Roma convenció de las Finalmente fue Dionisio el Exiguo (en Exiguo (en el año 525)  bondades del cálculo alejandrino, unificándose al fin el cálculo de la pascua cristiana. Para el cálculo hay que establecer unas premisas iniciales:  







La Pascua ha de caer en domingo domingo..  pascual (la primera luna llena de la Este domingo ha de ser el siguiente al plenilunio al  plenilunio pascual  primavera boreal). Si esta fecha cayese en domingo, la Pascua se trasladará al domingo siguiente para evitar la coincidencia con la Pascua judía judía.. equinoccio de  de primavera La luna pascual es aquella cuyo plenilunio tiene lugar en el equinoccio (vernal) del hemisferio norte (de otoño en el sur) o inmediatamente después. Este equinoccio tiene equinoccio tiene lugar el 21 de marzo. Llamamos epacta epacta a  a la edad lunar. En concreto nos interesa para este cálculo la epacta del año, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar. O dicho epacta del enero del  del año cuya más fácilmente, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero Pascua estamos calculando. Este número —como es lógico— varía entre 0 y 29.

Antes de proseguir es preciso dejar claro que en términos astronómicos, el equinoccio  puede tener lugar el 20 o el 19 de marzo, si bien en el calendario gregoriano se gregoriano se establecen unas fechas astronómicas que, aún difiriendo ligeramente de las fechas astronómicas reales, son las que se emplean para el cálculo.

 

Así las cosas, queda claro que la Pascua de Resurrección no puede ser antes del 22 de marzo (en marzo  (en caso de que el 21 y plenilunio y  plenilunio fuese  fuese sábado), y tampoco puede ser más tarde del abril,, (suponiendo que el 21 de marzo fuese el día siguiente al plenilunio, habría que 25 de abril lunación completa  completa (29 días) para llegar al siguiente plenilunio, que sería el 18 esperar una lunación de abril, abril, el cual, si cayese en domingo, desplazaría la Pascua una semana para evitar la coincidencia con la pascua la pascua judía judía,, quedando: 18 + 7 el 25 de abril abril)) Si bien durante el Renacimiento Renacimiento se  se extrajeron tablas de cálculo para la Pascua en función áureo y  y otras más complejas, hoy en día la fórmula más sencilla de calcular esta del número áureo fecha es mediante la fórmula desarrollada por el matemático Gauss Gauss.. Cálculo

Definamos 5 variables, a, b, c, d , y e. Además de dos constantes M   yy N , que para los años 1900 y  y 2100 tomarán 2100 tomarán los valores 24 y 5 respectivamente. Llamaremos comprendidos entre 1900  A al año del que queremos calcular la Pascua.

a es el resto resto  de la división

, o técnicamente según la Aritmética modular  diríamos  diríamos

, b es el resto resto  de la división

,

c es el resto resto  de la división

,

resto  de la división d  es  es el resto

,

e es el resto resto  de la división

. Si d   + + e < 10, entonces la Pascua caerá en el día ( d   + + e + 22) de marzo. En caso contrario ( d  + e > 9), caerá en el día (d   + + e − 9) de abril. Existen dos excepciones a tener en cuenta:  

Si la fecha obtenida es el 26 de abril, entonces la Pascua caerá en el 19 de abril. Si la fecha obtenida es el 25 de abril, con d  =  = 28, e = 6 y a > 10, entonces la Pascua caerá en el 18 de abril.

Los valores de M y N para años anteriores a 1900 o posteriores a 2100 pueden obtenerse de la tabla siguiente:

 

Años

M

N

1583 1583 - 1699

2 2

2

1700 - 1799 1700 -

2 3

3

1800 1800 - 1899

2 3

4

1900 - 2099 1900 -

24

5

2100 2100 - 2199

2 4

6

2200 - 2299 2200 -

2 5

0

Ejemplo

Para comprobar la fórmula, calcularemos la fecha del domingo de Resurrección del año 2007  A = 2007  M  =  = 24  = 5  N  = a = resto de

= 12

b = resto de

=3

 

c = resto de d  = resto de

=5 = 12

e = resto de

=5 Como "d" + "e" = 17 > 9, habremos de utilizar la segunda de las fórmulas (la correspondiente a abril), la cual da como resultado 8. El domingo 8 de abril de 2007 es domingo de Resurrección.

Calendario juliano El calendario juliano es el antecesor del calendario gregoriano gregoriano y  y se basa en el movimiento sol para  para medir el tiempo. Desde su implantación en el 46 a. C., C., se adoptó gradualmente del sol gregoriana, del en los países europeos y europeos y sus colonias hasta la implantación de la reforma gregoriana, Papa Gregorio XIII Papa  XIII,, en 1582. 1582. Sin embargo, en los países de religión ortodoxa se ortodoxa se mantuvo XX::1923 en Bulgaria hasta Bulgaria 1917 1917, en Rusia Rusia hasta 1918, 1918, engregoriano Rumanía Rumanía   es hasta del siglo XX hasta principios 1919 y en Grecia 1919 y Grecia hasta  hasta 1923. . A pesar hasta de que en ,sus países hasta el calendario Finlandia) siguen utilizando el el oficial, hoy en día las iglesias ortodoxas (excepto ortodoxas (excepto la de Finlandia) calendario juliano (o modificaciones de él diferentes al calendario gregoriano) para el cálculo de la fecha de Pascua.

Antecedentes  para contar el Originariamente, en muchas culturas antiguas se utilizaba el calendario lunar  para  fue tiempo. Las evidencias históricas más antiguas indican que el primer el  primer calendario solar  fue creado en el Antiguo Egipto Egipto,, a principios del tercer milenio a.C.; surgió de la necesidad de  predecir con exactitud el momento del inicio de la crecida del río Nilo río  Nilo,, que tiene una  periodicidad anual, acontecimiento en una sociedad qtres ue estaciones, vivía de la meses de agricultura. Este calendario tenía unfundamental año de 365 días, dividido en que 30 días y decanos de diez días. Los pueblos romanos primitivos tenían diferentes calendarios lunares, cada uno con su  propio número de meses, su propia pr opia duración del año y de los meses, por ejemplo, los habitantes de Alba Longa Longa tenían  tenían un calendario de 10 meses, de 18 a 36 días cada mes; los de Labinia tenían otro de 374 días distribuido en 13 meses; los etruscos tenían etruscos tenían meses  basados en la luna llena.  Ningún calendario romano contaba las semanas. Calendario romano

 

Finalmente se acordó usar un calendario común de 304 días distribuidos en 10 meses (6 meses de 30 días y 4 de 31 días). Pero éste tenía desfases de tiempo y los pontífices  paganos lo reajustaban anualmente en el último mes. Los reajustes rea justes se hacían con criterios  políticos, pero no astronómicos, como determinar el día de pagar pa gar a la servidumbre, y se hacía mal uso del reajuste, para prorrogar cargo de un funcionario, adelantar o retrasar votaciones. de Marte , dios de la guerra, que era el El año empezaba a finales de marzo (Mártium), de Marte  primer mes de primavera, cuando se s e decidían las campañas militares del año. Los meses iban desde Mártium hasta Februárium en este orden:

1. Már Mártiu tium: m: m mes es de Mar Marte, te, ddios ios de la la guerra guerra 2. April April:: mes de apertu apertura ra de fl flores ores (por la primavera primavera,, en el hemisferio hemisferio norte) norte) 3. Mái Máium: um: m mes es de M Maia aia,, diosa diosa de la la abundan abundancia cia Juno,, diosa del hogar y la familia 4. Júni Júnium um:: m mes es de Juno 5. Qu Quin inti til: l: m mes es qui quint ntoo 6. Sext Sextil il:: m mes es sext sextoo 7. Sept Septém émbe ber: r: me mess ssép épti timo mo 8. Oc Octó tóbe ber: r: m mes es ooct ctav avoo 9. No Nové vémb mber er:: me mess no nove veno no 10. Decém Decémber: ber: me mess déci décimo mo 11. Januári Januárium: um: mes ddee Jano, Jano, dios de los portales 12. Február Februárium: ium: mes de las hogueras purificat purificatorias orias (februa) Los reajustes no evitaron el desfase de tiempo y sucedió que el invierno fuera fechado en el otoño astronómico. Julio César terminó con el desfase ordenando una reforma en el calendario romano. rey Numa –el  –el sucesor de Rómulo – quien cambió el calendario de 10 Según Plutarco, Plutarco, fue el rey Numa a 12 meses, poniendo como primer mes del año a enero en lugar de marzo. También, comenta que abril procede de la diosa Afrodita Afrodita,, mientras que mayo de la diosa Maia, madre de Mercurio.

Elaboración del calendario juliano Sosígenes de Sosígenes de Alejandría tenía Alejandría tenía conocimiento de la fallida reforma de Cánope Cánope al  al calendario egipcio,, sucedida dos siglos atrás, y colaboró con Julio César para adoptar esa vieja reforma egipcio al calendario romano e implantarla como un nuevo calendario. Esta adaptación fechaba las

 

estaciones y sus fiestas romanas correspondientes concordando con el momento astronómico en el que sucedían. El nuevo calendario se implantó en el año 46 a. C. C. con  con el nombre de Julius y mucho después de juliano, en honor a Julio César. Únicamente en ese año, se contaron 445 días, en vez de los 365 normales, para corregir los desfases del calendario anterior, y se le llamó año de la confusión. Para ello, se agregaron dos meses, entre noviembre y diciembre, uno de 33 días y otro de 34, además del mes intercalado en febrero. Desde 44 a. C. se C. se acordó que todos los años constaran de 365 días, y cada cuatro años se contarían 366 y se llamaran años bisiestos, porque se fechaban dos días consecutivos como 24 de febrero (último día del calendario romano en ese momento). En aquella época ese 24 de febrero se llamaba ante diem sextum kalendas martias y cuando era año bisiesto, el día adicional (366), se le llamaba ante diem bis-sextum kalendas martias, de allí el nombre de bisiesto. Ese mismo año tuvo 445 días para compensar el desfase. El cálculo de los días era inclusivo: se contaba el día de partida y el de llegada, ya que los romanos no conocían el número 0 (cero) e1 Por lo anterior, el calendario juliano consideraba que el año trópico estaba constituido por 365,25 días, mientras que la cifra correcta es de 365,242189, es decir, 365 días, 5 horas, 48 minutos y 45,16 segundos. Esos más de 11 minutos contados adicionalmente a cada año habían supuesto en los 1257 años que mediaban entre 325 y 1582, un error acumulado de gregoriano.. aproximadamente 10 días, por lo cual se instauró el calendario gregoriano Pero en el año 44 a. C. C. los  los pontífices paganos decidieron considerar años bisiestos cada tres años ordinarios, en vez de cada cuatro. Tiempo después, se dieron cuenta del desfase C.,, y se corrigió en el 8 d. C., por orden de César Augusto,  provocado hasta el año 10 a. C. quién ordenó excluir el día adicional de cada año bisiesto, durante 36 años, es decir, hasta el año 44 d. 44 d. C.

Desarrollo del calendario juliano El año 153 a. C. se C. se toma como inicio del año el 1 de enero, enero, en lugar del tradicional 1 de marzo, para poder planear las campañas del año con tiempo debido a las Guerras marzo, Celtibéricas que se estaban desarrollando en la Península Ibérica y los problemas que estaba causando la conquista y asedio de Numancia de Numancia.. Consta de 365 días divididos en 12 meses, meses, excepto los años bisiestos que tienen 366 días, y añaden un día adicional al mes de febrero.. El calendario juliano cuenta como bisiestos uno de cada cuatro años, incluso los febrero seculares. Con este calendario se comete un error de 3 días cada 400 años. seculares. visigodos   La manera de contar los días siguió la tradición romana hasta que los visigodos introdujeron la costumbre de numerar los días, que no sería oficial hasta que la adoptó Carlomagno. No obstante, hasta bien entrada la Edad Moderna, la manera de referirse a un Carlomagno. día concreto era aludiendo al santo que se conmemoraba. Así, por ejemplo, era muy común encontrar expresiones como "llegamos el día de san Froilán".

 

La distribución de los meses y días en el mundo clásico

1. Má Márt rtiu ium m ((31 31 dí días as)) 2. April ((330) 3. Máium ((331) 4. Júnium (30) 5. Quintil (3 (300) 6. Sextil (30) 30) 7. Se Sept ptém émbe berr ((31 31)) 8. Octóber ber (3 (30) 9. Novém ovémbe berr (3 (31) 1) 10. Dec Decémb émber er (30) 11. Janu Januári árium um (31) 12. Február Februárium ium (30) (31 en los años bisi bisiestos) estos) La distribución de los meses y días en la actualidad

1. Janu Január áriu ium m (3 (311 ddía ías) s) 2. Feb Február ruárium ium ((28) 28) ((29 29 en los los años años bisies bisiestos tos)) 3. Már árttium ((331) 4. April ((330) 5. Máium ((331) 6. Júnium (30) 7. Júlium (31 31)) 8. Augús ugústu tum m (3 (31) 1) 9. Se Sept ptém émbe berr ((30 30)) 10. Oct Octóber óber ((31) 31) 11. Nov Novémb émber er (30) 12. Dec Decémb émber er (31) ¿Por qué se le llama "juliano"?

 

El nombre de calendario juliano procede de Julio César, en honor al cual se adoptó el nombre de Julio, primero, y juliano, después, para designar el calendario establecido bajo su consulado. El origen de julio y agosto 



En el año 44 a. C. C.,, por iniciativa de Marco Antonio Antonio,, y para halagar la vanidad de Julio César , el mes de Quintil —el cual duraba antes 30 días—, fue renombrado  Júlium —de donde se desprende la forma castellana julio castellana  julio —, y se agregó a éste un día 31, el cual fue substraído de febrero —el febrero —el cual duraba antes 30 días y luego 29—. Romano,, y para halagar la vanidad de Y en el año 23 a. C., C., por incitativa del Senado Romano Augusto, el mes de Sextil —el cual duraba antes 30 días—, fue renombrado Octavio Augusto,  Augústum —de donde se desprende la forma castellana agosto —, y se agregó a éste un día 31, el cual fue substraído de febrero —el febrero —el cual duraba entonces 29 días, y desde entonces se quedó con sólo 28—.

febrero es  es el único més del calendario con 28 días, Debido a estas series de ajustes, febrero mientras los otros 11 muestran cierta alternancia entre 30 y 31. Y para mantener esta alternancia, y evitar que tres meses seguidos durasen 31 días, septiembre pasó a tener 30 días, octubre 31, noviembre 30 y diciembre 31. Cuando a Tiberio Tiberio se  se le planteó la idea continuar la práctica, dando a su vez su nombre a septiembre, septiembre, éste desestimó la idea de darle seguimiento a esta práctica, al externar sus dudas sobre qué ocurriría cuando ya se hubiese reasignado nuevos nombres a todos los meses. Implantación de la semana

En el año 321 321 d.  d. C., el emperador Constantino I el Grande implantó Grande implantó la semana de siete días, lunes, martes, martes, miércoles miércoles,, jueves  jueves,, viernes y viernes y copiada del calendario lunar judío: domingo, domingo, lunes, sábado.. sábado Además, decretó que el domingo domingo (dies  (dies solis) fuese día de descanso para adorar a Dios, en detrimento del sábado, sábado, tradicional no sólo entre los judíos los judíos sino  sino también entre los gentiles. Y Jesucristo había  había muerto el quinto día de la semana judía, había resucitado en es que si Jesucristo domingo. Por otro lado, se satisfacía a otra religión muy popular a la que pertenecía el  propio Constantino: el culto a Mitra, Mitra, cuya representación era el sol. La semana de siete días egipcio.. se hallaba también presente en el antiguo calendario egipcio

Modificaciones fracasadas fracasadas en los nombres de los meses Algunos emperadores romanos modificaron los nombres de determinados meses durante su mandato:  

 germánicus al mes de septiembre. Calígula Calígula llamó  llamó septiembre .  Nerón llamó  llamó claudius a mayo y mayo y germánicus  a  a junio  junio  Nerón

 



Domiciano también llamó germánicus a septiembre Domiciano también septiembre y  y domitianus a octubre. octubre.

Pero las modificaciones no perduraron y se restablecieron sus nombres anteriores. Incluso Carlomagno trató Carlomagno trató de dar nuevos nombres a los meses, aunque tampoco tuvo éxito. Los meses propuestos eran, desde enero a diciembre respectivamente: Wintarmanoth,  Hornung, Lentzinmanoth, Ostarmanoth, Winemanoth, Brachmanoth, Heuvimanoth,  Aranmanoth, Witumanoth, Windumemanoth, Herbistmanoth y Heilagmanoth.

Juliano (JD) y Día Juliano Modificado (MJD) Limitaciones: Este algoritmo sólo funciona entre los años 1801 y 2099. Esta implementación del algoritmo valida la fecha que definas, es decir, si ingresas una fecha como junio 31, lo detectará y te devolverá un mensaje de error. La hora a especificar es UT, en otras palabras, hora del meridiano de Greenwich. Para Chile un valor tipico es UT = hora local + 4 horas (e.g. hora local 19:00 h, UT 23:00 h), pero dependiendo de los ajustes de hora civil, la diferencia puede ser 3 o 5 horas. Año Mes Día Hora UT Minuto UT Segundo UT Calcular 

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Ecuación de tiempo

 

medio (medido  (medido generalmente La ecuación de tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio aparente (tiempo medido por un reloj de sol). sol). Esta diferencia  por un reloj) reloj) y el tiempo solar aparente (tiempo noviembre,, cuando varía a lo largo del año y alcanza una mayor diferencia a principios de noviembre el tiempo solar medio está a más de 16 minutos por detrás del tiempo solar aparente (en concreto a 16 minutos 33 minutos 33 segundos cerca segundos cerca del 3 de noviembre), noviembre), y a mediados de febrero, febrero, cuando el tiempo solar medio va más de 14 minutos por delante del aparente. Son iguales el tiempo solar medio y el tiempo solar aparente en cuatro instantes del año: el abril,, 14 de junio, junio, 1 de septiembre y septiembre y el 25 de diciembre diciembre (coinciden  (coinciden aproximadamente 15 de abril con los equinocios equinocios y  y solsticios). solsticios). La ecuación del tiempo se representa gráficamente con un diagrama denominado analema, analema, que suele indicarse a veces a manera de leyenda en los terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimétrico. El analema indica la globos o esferas terrestres y misma información que la expresada a través del gráfico adjunto, por lo que también a este gráfico se le podría considerar como un analema abierto.

Etimología astronomía la  la palabra 'ecuación' ('equatio' en latín) latín) significaba 'corrección',1 y En la antigua astronomía sumar que  algebraicamente  algebraicamente corregirlo. con ellolaseecuación indicabadeque habíaesque forma, tiempo el valor hay que añadirunalvalor valorpara del tiempo solarDe esta aparente para aparente  para 'corregirlo' (hacerlo 'regular'). Otro ejemplo es la ecuación de centro de centro de Copérnico, celeste para  para 'corregir' la anomalía Copérnico, muy empleada en los cálculos de mecánica celeste verdadera.. verdadera

Fundamentación

 

Observación reiterada del Sol en periodos de 24 horas de tiempo solar medio medio;; se puede ver analema y  y el concepto de ecuación del tiempo. dibujada el analema El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de traslación terrestre alrededor terrestre  alrededor del Sol. La órbita terrestre se denomina eclíptica eclíptica (porque  (porque es en ella donde se producen los eclipses eclipses cuando  cuando la órbita de la Luna coincide en un punto con la de  sino elíptica, ocupando el Sol uno de los focos de la Tierra y con la del Sol) y no es circular  sino orbital formuladas  formuladas por Kepler  sobre  sobre los la elipse. elipse. De acuerdo con las leyes de movimiento orbital movimientos de traslación, "tiempos iguales barren espacios iguales", lo cual significa que Tierra disminuye  disminuye la velocidad de traslación cuando se encuentra más alejada del Sol la Tierra (porque la atracción del mismo es menor al encontrarse más lejos) y lo acelera al acercarse. Si no existiera esta diferencia de velocidad, la Tierra se escaparía del Sistema Solar cuando se encontrara más lejos o chocaría con el Sol al acercarse. Así pues, el movimiento de traslación terrestre es un movimiento uniformemente variado. Con la Luna sucede lo mismo: cuando el Sol se encuentra más lejos de la Tierra y la Luna está más cerca, el disco lunar puede tapar por completo el disco solar (en este caso podría producirse un eclipse total de Sol) mientras que cuando sucede lo contrario (el sol más cerca y la Luna más lejos),  puede producirse un eclipse anular de Sol, en el que queda un anillo luminoso del Sol alrededor de la sombra de la Luna.

Valores de la ecuación de tiempo Los valores de la ecuación del tiempo se suelen publicar para cada año en los almanaque náuticos,, en los anuarios de los observatorios, en revistas especializadas, etc. Generalmente náuticos efemérides solares.  solares. El motivo de esta publicación previa es proporcionar a en el apartado de efemérides los astrónomos la posibilidad de planificar sus observaciones. Suele representarse en forma de tabla en la que una de las entradas es el día del año y la salida es la diferencia entre tiempo medio y el verdadero (m-v), o viceversa verdadero menos medio (v-m). En algunas fórmulas empíricas dadas por los observatorios se puede averiguar de forma analítica la ecuación del tiempo. Un ejemplo es:2 /(15.4/ 1.9)=1022.5541379169550677564089194965d

 

Donde el valor obtenido por esta fórmula semiempírica es en segundos (v-m), siendo d   el el día del año (del año 1999 1999). ). Esta ecuación no es precisa y puede llegar a cometer errores de medio minuto como máximo.

Tiempo solar medio Se define el tiempo solar medio como el tiempo medido sobre la referencia del día solar medio.. Este consiste en el lapso existente entre el paso consecutivo del Sol medio por medio medio por el meridiano superior del lugar, siendo un promedio del día solar verdadero, y se corresponde meridiano superior local,, ya que depende de la con el tiempo civil. Se trata fundamentalmente de un tiempo local observación del paso consecutivo del Sol medio por el meridiano de cada lugar. Este fenómeno hace ver que depende fundamentalmente de la longitud del lugar de observación (todos los sitios con la misma longitud, con independencia de la latitud en la que se encuentren, poseen el mismo tiempo solar medio). segundos,, unidad que actualmente se define a partir Un día solar medio equivale a 86.400 segundos de propiedades atómicas muy precisas, lo cual permite medir las diferencias con el día solar  verdadero. Este tiempo no se mide directamente mediante ningún tipo de reloj reloj sino  sino que se obtiene indirectamente la observación tiempos: por ejemplo, el tiempo solar   solar   y calculado  y averiguado mediante la de lectura en la escaladedeotros un cuadrante aritméticamente mediante la ecuación del tiempo. tiempo. Las diferencias principales entre el Tiempo Solar Medio y el Tiempo Solar Aparente se deben a: La inclinación de la eclíptica y a la excentricidad de la órbita.

Relación entre tiempos Tiempo sidéreo y tiempo solar medio

 

medio y  y un día sidéreo se sidéreo se puede Para establecer la relación existente entre un día solar medio suponer que en un instante dado el punto el  punto Aries Aries  γ y el Sol medio (ambos medio (ambos puntos son imaginarios en astronomía) astronomía) pasan simultáneamente por el meridiano del lugar (culminación). Al pasar el tiempo ambos puntos avanzarán en el sentido de las agujas del reloj aunque, siendo el Sol medio más lento, se retrasaría debido a su movimiento propio uniforme anual. De esta forma se tendría que al día siguiente el Sol medio llegaría al meridiano superior más tarde que el punto Aries, y cuando el Sol medio haya logrado llegar  al meridiano, el punto Aries ya habrá descrito el arco A. De esta forma se puede definir el medio como  como la composición de un día sidéreo sidéreo más  más una fracción de día equivalente día solar medio medio en  en un día solar medio medio (Δα).  (Δα). al aumento de la Ascensión Recta del Recta del Sol medio

Por lo tanto, se puede decir que un día solar medio es igual a 24 horas más Δα que es la  porción de ángulo diurno que se retrasa r etrasa el sol medio al llegar sobre el meridiano. Tiempo civil y tiempo solar medio

En este caso el tiempo civil es civil es el tiempo solar medio aumentado en 12 horas:

Tiempo aparente y tiempo medio

 

La ecuación de tiempo. A la diferencia entre el tiempo solar medio y el tiempo solar aparente aparente en  en cada instante se la conoce como ecuación de tiempo. tiempo. La palabra ecuación se emplea en este contexto como una diferencia capaz de igualar lo que es distinto: en este caso, el tiempo solar medio y el aparente. Esta diferencia se incluye en forma de tabla junto con algunos relojes de sol para sol para que pueda hacerse el cambio de la hora solar a la hora legal. El cambio de un tipo de sistema horario a hora oficial se hace mediante la siguiente fórmula tiempo +  + ecuación de tiempo (longitud del lugar * - longitud del meridiano central del huso *) x 4 (minutos) + (2 horas de abril a abril a octubre octubre ó  ó 1 el resto del año)

Hora oficial = hora solar verdadera (la que marca el reloj de sol) +

La medida del tiempo en los planetas Marte

Viking que  que amerizó en 1976, 1976, se considera Siguiendo los datos comprobados por la misión Viking que el tiempo solar medio de Marte Marte es  es un lapso de 24 horas 39 minutos y 35.244 segundos Tierra,, y se puede ver que es un 3% más largo que un día solar  del tiempo solar medio de la Tierra sobre la Tierra.

Coordenadass celestes Coordenada

 

Las coordenadas celestes son el conjunto de valores que, de acuerdo con un determinado sistema de referencia referencia,, dan la posición la posición de  de un objeto en la esfera celeste. Existen diversas coordenadas celestes según cuál sea su origen y plano de referencia. Una primera clasificación, en dos grandes grupos, atiende si se trata de coordenadas cartesianas o coordenadas esféricas.

Clasificación de los sistemas de coordenadas celestiales Según el sistema de coordenadas Sistemas basados en coordenadas cartesianas

En las coordenadas rectangulares o cartesianas cartesianas se  se toman tres ejes -x, y, z- perpendiculares entre sí, y que se cruzan en un punto origen que puede ser el Sol Sol (  (Coordenadas Coordenadas heliocéntricas)) o la Tierra heliocéntricas Tierra (  (Coordenadas Coordenadas geocéntricas geocéntricas). ). Por ejemplo un punto P (x,y,z). Se emplean en algunos casos para el Sistema Solar . Su unidad es la Unidad Astronómica Astronómica UA  UA o también el km. Sistemas basados en coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas esféricas empleadas  empleadas para superficies esféricas -la esfera celeste, la superficie de un planeta un planeta Para situar un punto necesita dos ángulos ángulos y  y una distancia. Por ejemplo un punto P (r ,Φ,θ) ,Φ,θ) que forma un ángulo Φ con el eje X y un ángulo θ con el eje Z, se relaciona con las coordenadas cartesianas mediante:

La mayor parte de coordenadas celestes son coordenadas esféricas.

 

Astronomía la  la posición de un astro se determina ordinariamente mediante coordenadas En Astronomía  polares o esféricas. Sin embargo y dado que en principio la distancia r es descon desconocida, ocida, solo nos preocupará la dirección OP del astro, determinable mediante dos coordenadas. Lo que hacemos es proyectar todos los astros sobre una esfera de radio arbitrario, que se denomina esfera celeste. celeste. Tal esfera está centrada en el observador. En realidad el observador,  prescindiendo de irregularidades topográficas topogr áficas solo ve una semiesfera celeste, limitada por un plano que pasa por el pie del observador y que corta a la esfera celeste en un círculo llamado horizonte. horizonte. Según la posición del observador

Atendiendo a la posición del observador, se distinguen:



topocéntricas: Su centro es el propio observador  Coordenadas topocéntricas: Coordenadas geocéntricas: geocéntricas: Centradas en el centro de la Tierra



Coordenadas heliocéntricas: heliocéntricas: El centro de referencia es el centro del Sol



baricéntricas: Su origen es el centro de masas del Coordenadas baricéntricas: masas del Sistema Solar 





Coordenadas galácticas: : Se en la el constelación de centro de nuestra galaxia que galaxia. que desde galácticas nuestra posición en el Sol Sol, , secentran ubica en constelación  de Sagitario Sagitario.

Atendiendo a que sus valores dependan o no de la posición del observador las coordenadas se clasifican en:  

locales:: Coordenadas horizontales y horizontales y Coordenadas horarias Coordenadas locales Coordenadas no locales: locales: Coordenadas ecuatoriales, ecuatoriales, Coordenadas eclípticas, eclípticas, Coordenadas galácticas

Según el plano de referencia

 

Considerando el plano de referencia se tienen: 









Coordenadas horizontales horizontales:: Plano de referencia: el horizonte del horizonte del observador  Origen: topocéntrico Coordenadas: azimut y azimut y altura o altura o distancia cenital horarias: Plano de referencia: el ecuador celeste y Coordenadas horarias: celeste y el meridiano celeste celeste   del observador  Origen: topocéntrico Coordenadas: ángulo horario y horario y declinación Coordenadas ecuatoriales: ecuatoriales: Plano de referencia: el ecuador celeste Origen: geocéntrico Coordenadas: ascensión recta y recta y declinación eclípticas: Plano de referencia: la eclíptica Coordenadas eclípticas: Origen: geocéntrico o heliocéntrico celeste, o longitud y latitud eclípticas Coordenadas: longitud celeste y celeste y latitud celeste, Coordenadas galácticas: galácticas: Plano de referencia: el plano de la Vía Láctea Origen: el centro de la Vía Láctea Coordenadas: longitud galáctica y galáctica y latitud galáctica

Sobre la medida de ángulos Los ángulos ángulos se  se miden en radianes o radianes o grados grados,, pero en astronomía también astronomía también se miden en horas horas.. Un ángulo de 1 hora tiene 15º 15 º. El ángulo horario y la ascensión recta se podrían medir en grados pero se miden en horas grados pero horas..

 

Sus divisores son: 1 hora = 60 Minutos Minutos (min)  (min) 1 Minuto Minuto =  = 60 segundos segundos 1  1 min = 60 s Una relación útil es 1 º = 4 Minutos. Minutos. La Ascensión recta es recta es un ángulo que se mide en horas, minutos y segundos. Así AR=3 h 25 min 13 s = 3,4202777... h= 51,304166..º =51 º 18 ' 15 "

Conversión de coordenadas La conversión de coordenadas celestes permite celestes permite pasar de unas coordenadas a otras por ejemplo de eclípticas a ecuatoriales, como otra conversión nos permitirá pasar de ecuatoriales a horarias, las conversiones sucesivas nos permiten cualquier transformación entre coordenadas. Supongamos que un día observamos un objeto en coordenadas horizontales, sí anotamos nuestra posición sobre la Tierra y el instante temporal podremos llegar hasta las coordenadas ecuatoriales o eclípticas.

Trigonometría esférica

Distancia ortodrómica entre dos puntos a lo largo de un círculo máximo sobre la superfcie de una esera.

esférica que  que estudia los polígonos La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de astronomía náutica  náutica y navegación para triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

La esfera

 

Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por todos aquellos puntos en el espacio tridimensional que cumplen con la siguiente definición:

Círculo máximo

La intersección de una esfera esfera con  con un plano que contenga su centro genera un círculo máximo y una circunferencia máxima sobre la superficie de la esfera. Un círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales. La distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera, unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrómica. ortodrómica. Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Tierra tenemos los meridianos o meridianos o la línea del ecuador . Volumen y superficie de la esfera

El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que gira alrededor del diámetro. Según esta definición, si su radio es r, su volumen será:

La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución y vendrá dada por:

Dominio sobre la superficie esferica

Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.

Triángulo esférico

 

Triángulo esérico.

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por radianes y  y multiplicado por el radio de la esfera es la su longitud. Este arco medido en radianes longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < + + < 270° Fórmulas fundamentales

:ángulo formado entre los arcos AC y AB :ángulo formado entre los arcos AB y BC :ángulo formado entre los arcos AC y BC Fórmula del coseno

Fórmula del seno

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Fórmula de la cotangente

La fórmula de la cotangente también cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos: ángulo ; lado AB; ángulo ; lado BC .

Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, menos seno del lado medio por la cotangente del otro lado. Fórmula de Bessel

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel, o tercera fómula de Bessel. Fueron

 

deducidas por primera vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel ( Bessel (Westfalia Westfalia,, Alemania, 1784-Kaliningrado 1784-Kaliningrado,, Rusia, 1846). cos a / k = cos b / k · cos c / k + sen b / k · sen c / k · cos A cos b / k = cos c / k · cosa / k + sen c / k · sen a / k · cos B cos c / k = cos a / k · cosb / k + sen a / k · sen b / k · cos C El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigonométrica, de la forma: sen c · cos B = cos b · sen a - cos a · sen b · cos C sen c · cos A = cos a · sen b - cos b · sen a · cos C sen b · cos A = cos a · sen c - cos c · sen a · cos B sen b · cos C = cos c · sen a - cos a · sen c · cos B sen a · cos B = cos b · sen c - cos c · sen b · cos A sen a · cos C = cos c · sen b - cos b · sen c · cos A Presentación matricial de las Fórmulas del triángulo esférico

El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno (llamadas por algunos segunda y primera fórmila de Bessel), y la (tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de forma matricial:

[siendo a, b, y c los lados y A, B, y C los ángulos del triángulo esférico] Triángulo esférico rectángulo

Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = + + − 180°. Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.

 

Pentágono de Neper

Pentágono de Neper.

El pentágono de Neper es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre en memoria del científico inglés John Napier , y se construye de la siguiente forma: Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C. hipotenusa  a por sus complementarios: Se remplazan los ángulos B, C, y la hipotenusa B por (90° - B) C por (90° - C) a por (90° - a)

Se establecen dos reglas: 

el seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes: seno(a) = tg(b) tg(90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)



el seno de un elemento es igual al producto de los cosenos c osenos de los elementos opuestos: seno(a) = coseno(90° - A) coseno(90° - c), o su equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)