Trigonometria Ejercicios

 

TRIGONOMETRÍA

1.- Pasa de grados a radianes y viceversa: 5π   a) 135º b) 12º25’32” c) rad 4

d) 0,71 rad

2.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo A del siguiente triángulo rectángulo.

3.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo B del siguiente triángulo rectángulo.

4.- Calcula las razones trigonométricas de los siguientes triángulos: 1+c

3n 

n

1-c

5.- Calcula las diagonales de un rombo sabiendo que sus ángulos son 60º y 120º y que sus lados miden 6cm. 6.- Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del 2º cuadrante si el seno vale

4 . 5

7.- Sabiendo que la tangente de cierto ángulo es positiva y su coseno vale -0,7. Calcula las demás razones trigonométricas de ese ángulo. 8.- Calcula el seno y el coseno del ángulo agudo α sabiendo que tg α = 2 9.- Calcula el coseno y la tangente del ángulo α si sen α =

1  y 90º < α < 180º. 2

10.- Calcula el seno y la tangente del ángulo α del que se sabe que cos α = – 0,5 y 180º < α < 270º. 11.- Halla el seno y el coseno de un ángulo cuya tg = -7. El ángulo pertenece al 4º cuadrante. 12.- Se observa la cima de una montaña con un ángulo de elevación de 62º. Si nos alejamos 400 m el ángulo de elevación es ahora de 32º. Calcula la altura de la montaña. 13.- En un supermercado se produce un robo. La alarma está conectada a las dos comisarías de policía más cercanas, separadas entre sí 4 Km. Con los datos de la figura del margen, ¿a qué distancia se encuentra el supermercado de la comisaría A? ¿Y de la B? 14.- Un avión realiza el trayecto entre dos ciudades P y Q, que distan entre sí 2000 Km. A 70 Km. de la ciudad P, el piloto observa que se encuentra 5º fuera de ruta. ¿A qué distancia se encuentra en ese momento de la ciudad Q? 15.- Dos boyas están situadas a 64 m de distancia. Un barco se encuentra a 35 m de la más cercana. El ángulo formado por las visuales de las boyas es de 35º. ¿Qué distancia separa al barco de la boya más alejada?

 

16.- Un topógrafo situado en la llanura observa dos picos, A y B, de una montaña situados a 870 y 960 metros, respectivamente, del observador con un ángulo de 55º. Encuentra la distancia entre ambos picos. 17.- Dos puestos de vigilancia, A y B, situados en la costa costa y a una distancia de 10 Km., controlan las balsas de narcotraficantes. El puesto A observa un barco S con un ángulo BAS = 37º y el puesto B observa el mismo barco S con un ángulo ángulo ABS = 20º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de los puestos de vigilancia A y B? 18.- Un solar tiene forma triangular. Se han podido determinar dos lados que miden 10 y 7 m, respectivamente, y el ángulo comprendido se ha medido con un teodolito y resultó ser igual a 30º. Para poder replantear una posible construcción se necesita conocer el resto de los elementos del triángulo. 19.- Desde un cierto punto se observa la copa de un árbol bajo un ángulo de 40º. Desde el mismo punto y a una altura de 2m se observa la copa del mismo árbol bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura del árbol y a qué distancia nos encontramos del mismo. 20.- Desde un punto A se observa un pájaro volando con un ángulo de elevación de 24º. Desde otro punto B situado al otro lado del pájaro y a 300m del anterior se observa el mismo pájaro con 30º se elevación. Calcular la altura del pájaro y la distancia en línea recta desde el punto B al pájaro. 21.- Calcula el área y el perímetro de un eneágono regular inscrito en una circunferencia de 12 cm de radio. 22.- Calcula el área de la circunferencia inscrita y de la circunscrita a un dodecágono regular de 20 cm de lado. 23.- Un trapecio regular tiene una altura de 2 cm y sus bases son de 4 y 8 cm respectivamente. Calcular el  perímetro, se área y el valor de sus ángulos. ángulos. 5  y se sabe que el ángulo pertenece al tercer cuadrante, calcular las 7 razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad de este ángulo. 24.- Si el seno de cierto ángulo vale

−

25.- En el ejercicio se proponen datos de diferentes triángulos. Calcula los datos que faltan: a b c A B C 1 37 24 61 2 57 100 57º 3 90 100 57º 4 57 57º 62º 5 4,7 41º 59º 6 321 470 123º

26.- En el dibujo se conocen los datos: α = 20º; β = 30º; δ = 70º. El triángulo T1 es rectángulo, uno de sus catetos mide 10 cm. Se  pide: Calcula los demás datos de T1 y T2.

27.- Calcula AB.

29.- Calcular sen75º - sen15º.

28.- Un foco halógeno proyecta la luz según el diagrama. ¿Cuál es la superficie que ilumina?

 

30.- Demostrar

sen 3 x + senx 2 = . sen3 x − senx 1 − tg 2 x

31.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: A = 45º, a = 8cm, b = 10cm. 32.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a = 23m, B = 53º, C = 84º. 33.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: A = 45º, a = 12m, b = 9m. 34.- Resolver el triángulo del que se conocen los siguientes datos: C = 47º, a = 5m, b = 4m. 35.- E x presar cos(30º + x) en términos de sen x y cos x. 36.- E x presar tg(45º + x) en términos de tg x. 37.- Demostrar las siguientes identidades: a) sen(a + b) · sen(a – b) = sen 2a – sen2 b  b) sen(a + b) · sen(a – b) = cos2 b – cos2a 38.- E x presar cos3 α en función de sen α y cos α. 39.- Calcula todos los ángulos  x  que verifiquen que sen  x  =

3 , e x presando los resultados en grados 2

se xagesimales y en radianes. 40.- Calcula todos los ángulos  x  que verifiquen que cos  x  =

1 , e x presando los resultados en grados 2

se xagesimales y en radianes. 41.- Escribe el valor de sen 3a en función de sen a y cos a. 42.- Sabiendo que α es un ángulo del primer cuadrante y que sen α = h, calcula en función de h el valor de cotg (180º + α). 43.- Calcular sen(a + b + c) en función de las razones trigonométricas de a, b y c. π  

44.- Demostrar la fórmula: cos x = sen (  xx + 2 ). 45.- Comprobar:

cos(a − b) − cos(a + b)  = tgb. sen (a − b) + sen (a + b)

 x 1 46.- Sabiendo que tg  =  hallar sen x. 2 2

47.- Transformar en producto la e x presión trigonométrica: cos x + cos2 x + cos3 x. 48.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) cos x – sen x = sen 3 x  2

≤

≤

 x = 1 (0   x  b) cos 2 x + 6cos  x   360) 2 c) cos x + sen    = 1 

2

 

 

d) cos x – sen 2 x = 0 e) sen 3 x = 2sen x  f) cos 2 x + 5cos2 x = 5 

49.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0,360º]: 1 a) sen x =   2 2  b) sen  x – 3cos2 x = 0 c) sen 2 x + cos 2 x = 1 d) sen 2 2  x + cos x = e) tg  x + 3 = 4tg  x 50.- Demuestra que son ciertas las siguientes identidades trigonométricas: secα senα  − =cotgα    senα cos α  tgα tgα  2 − =    b) 1 + secα 1 − sec α senα  senα + cos α ·tgα  c) = 2tg α    cosα  cos α cos·(cos α − senα ) = d)   cos α − senα 1 − 2senα ·cos α   e) sen2 α  - cos2 α   = sen4 α  - cos4 α   cosecα − senα cotgα  − =0  f) cotgα cosecα  a)

 Respuestas:

1.- a)

3π   rad 4

2.- sen 45º =

b) 0,069πrad

2   2

2   2

cos 45º =

c) 225º

d) 40º40’48”

tg 45º = 1

3.- sen B = 0,6

cos B = 0,8

tg B = 0,75

3 10 4.- sen  = 10  

10 cos  = 10  

tg α   = 3

α 

sen α   =

2 c   1+ c

5.- D = 6 3 cm 3   5 7.- sen α =-0,7141

α 

cos α   = d = 6cm

4   3 tg α = 1,0201

6.- cos α =

−

tg α =

8.- sen α =

2 5   5

cos α =

3 9.- cos α = - 2  

1− c   1+ c

−

5   5

3 tg α = - 3  

10.- sen α = - 0,866... tag α = 1,732...

tg α   =

2 c   1− c

 

7 2 2     cos α = 10 10 12.- h = 374,31m 13.- A 3,30 Km. de la comisaría A y a 1,89 Km. de la comisaría B 14.- Está a 1930,27 Km. de Q 15.- d = 89,44 m 16.- d = 848,76 m

11.- sen α =

−

17.- A 4,07 Km. de A y a 7,17 Km. de B 18.- Lado = 5,26 m Ángulos: 41º37’52’’ 108º22’8’’ 19.- h = 3,53m d = 4,21 m 20.- d = 150,82m h = 71,41 m 21.- A = 416,52cm2  P = 73,88cm 22.- Ainscrita = 4375,67cm2  Acircunscrita = 4689,83cm2  23.- P = 17,66cm A = 12cm2  45º y 135º 24.- sen2 α = sen 25.-

α 

2

 =

20 6   49 7+2 6

cos2 α =  

cos

14

α 

 =

−

−

1   49 7−2 6

2

1 2 3 4 5 6

a 37 83,9 83,900 87,11 21,81 54,14 3,13 698 698,77 ,77

b 24 57

tg2 α = -20 6  

tg

14 c 61 100 100

α 

 =

−

2 A

29.-

A2 = 5º14’47’’

 

7−2 6

B C Sin solución 57º 57º 34º4 34º43’ 3’55 55’’ ’’ 88º1 88º16’ 6’4’ 4’’’ 68º43’33’’ 54º16’26’’ 57º 90 100 111º16’26’’ 11º43’34’’ 57 56,46 57º 62º 61º 4,09 4,7 41º 59º 80º 321 470 123 123ºº 22º 22º39’ 39’37’ 37’’’ 34º 34º20’ 20’23’ 23’’’

26.- Datos de T  : Hipotenusa = 29,23; Cateto = 27,47; Ángulos: 90º y 70º 1 Datos de T2 : Ángulo = 80º: Lados: 27,47 cm; 13,94 cm; 26,21cm 27.- AB = 16,66 u 28.- 1,97 u2 2   2 31.- B = 62º6’52” B = 117º53’8” 32.- A = 43º 33.- B = 33º01’40” 34.- A1 = 80º45’13”

7+2 6

C1 = 72º73’8” C2 = 17º6’52” b = 26,93 m C = 102º58’20” B1 = 52º14’47” B2 = 127º45’12’’

c1 = 10,8127 cm c2 = 3,3294 cm c = 33,54 m c = 16,54 m c = 3,7 m

 

35.-

1 ( 3 cos x – sen x) 2

36.-

1 + tg x   1 − tg

38.- cos 3 α    – 3 sen 2  α  cos α    39.- x = 60º + 360º · k  =  =

π

3

 + 2k π rad con k   ∈  Z y  x = 120º + 360º · k   = =

2π  + 2k π rad con k   ∈  Z 3

π

π  + 2k π rad con k   ∈  Z y  x = 300º + 360º · k   = = 5  + 2k π rad con k   ∈  Z 3 3 41.- sen 3a = 3 sen a cos 2 a – sen 3 a

40.- x = 60º + 360º · k  =  =

42.- cotg (180º + α) =

1− h 2 h

 

43.- sena·cosb·cosc + cosa·senb·cosc + cosa·cosb·senc – sena·senb·senc 4 46.- sen x = ±   5 47.- cos2 x·(1 + 2cos x) 48.- a) x = 15º + 180ºk  x = 75º + 180ºk x = 90º + 180ºk  x = 120º  x = 240º  x = 300º  b) x = 60º c) x = 0º + 360ºk  x = 30º + 360ºk  x = 150º + 360ºk d) x = 90º + 180ºk e) x = 0º + 180ºk  x = 30º + 180ºk  x = 150º + 180ºk  x = 337,7924º + 360º  x = 157,7923º + 360ºk  x = 202,2065 + 360ºk f) x = 22,2076º + 360ºk 49.- a) x = 30º  x = 150º  b) x = 60º  x = 120º  x = 240º  x = 300º  x = 45º  x = 180º  x = 225º  x = 360º c) x = 0º d) x = 45º e) x = 45º  x = 71,56º  x = 225º  x = 251,56º