Trigonometria Completo Anual Aduni 2014 (1)

ANUAL

s

Preguntas Propuesta

TRIGONOMETRÍA visita: mathwallace.blogspot.com

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

1.

En el gráfico, calcule tanq+cot2q+cot(2q+a).

Se coloca un telescopio topográfico sobre un tripode que esta 5 pies por arriba del nivel del suelo, mide una elevación de qº sobre la horizontal a lo alto de un árbol que está alejado 12 pies. ¿Cuál es la altura del árbol?

(x+8) pies

5 pies

12 pies

A) 57 pies D) 13 pies

B) 15 pies

θα

θ

13

A) 1 D) 4

x pies

θ

2.

4.

5.

10

B) 2

2 C) 3 E) 5

Un peso de cables atados a ambos extremos de una viga horizontal, se aprecia en la figura. 1 Si tan α = y cotb=3, ¿cuál es la longitud a la 2 que está el peso con respecto a la viga?

C) 10 pies E) 85 pies

1 sen B, 3 calcule cosB · secA+5tanA

En el gráfico, si sen A =

90 cm α

β

B 2 cm peso

3

A A) 1 D) 3

3.

B) 2

C A) 12 cm B) 3 cm C) 11 cm D) 14 cm E) 20 cm

C) 1/2 E) 1/3

En un triángulo ABC recto en B, calcule cot2C – sec2A.

6.

C

...

c

B A) – 1 D) – 2

B) 1

21 , q es un ángulo agudo. 29

θ θ calcule 29 sen   + 2 ·cot   2 2

b

a

Si cos θ =

A C) 2 E) 0

A) 5 B) 3 29 C) 2 D) 7 E) 10 2

Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

9. El área de una región triangular ABC, recto en B es 8 3 u 2. Si tan C = 3, calcule la longitud de

7. En el gráfico se ilustra una grúa con un contra-

la hipotenusa.

peso, calcule la distancia entre los puntos A y B. A) 16 A

D) 10 E) 8 3

B

10 u

127°

B) 12 C) 8

10. En el gráfico senC=0,8 y AM=24.

10 u

Calcule BM – MC. B



M A) 20 u B) 8 5 u

A

C) 32 u D) 10 2

C

A) 7 B) 14 C) 12 D) 6 E) 21

E) 6 10 u

8. Del gráfico, calcule cota, siendo ABP un triángulo isósceles y P es punto medio de AC. A 120º

11. En el gráfico EFGH es un cuadrado, calcule el valor de la expresión cscx+senx x

P E

B



α

H

C

A) 2 3 B) C)

3 2



3 3

F

105°

A) 2,5 B) 3,5 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,5

D) 3 3 E) 3 3

G

Trigonometría 12. Si

15. Se sabe que q y a son complementarios, ade-

sec 45º = cos θ y BC=CM, csc 30º



calcule ( 2 + 1) tan α.



B

más se cumple 16senq=seca. Calcule 15 ·tan θ + csc θ A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

16. Siendo x un ángulo agudo, calcule cos(x – 5º), θ A



θ

C

α

M



A) 2 B) 3 C) 2 − 1

si

sen 35º + cos 55º = sen x 2 tan 40º·tan 50º

A)

2 2

D)

3 E) cos40º 2

D) 2 E) 1

1 B) C) cos50º 2

17. Calcule el valor de la expresión

Razones trigonométricas de un ángulo agudo III

sen 1º·sen 10º·sec 89º cos 80º·cos 60º·sen 30º

13. Si sen(2xº+12º) · csc52º=1 y

sen(3yº+10º)=cos(2yº+35º)



calcule x – y.

A) 1

D)

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

B)

4 3 E) 4 3

18. Al multiplicar las 5 razones trigonométricas de un ángulo agudo se obtiene el valor de 3. Calcule la mayor tangente que se puede conseguir.

14. Calcule A y B, a partir de las siguientes igualA) 2 2

dades

...



tan(3A – 35º)=cot(90º – B)

(I)



2B – A=15º

(II)

A) 5º; 10º B) 1; 8 C) 14; 13 D) 15º; 15º E) 17º; 16º

3 C) 4 3 3

B) 3 C) D)

1 3 2 4

E) 3 2 4

Trigonometría A) 2asenq B) 2acosq C) a(senq+cosq) D) a(senq+secq) E) a(cosq+cscq)

Resolución de triángulos rectángulos I

19. Calcule CM en función de q, si 4(BC)=5(CD). B

22. En el gráfico, calcule

M 9

A) cos10q B) sen10q C) sen5q · cos5q D) cos9q E) sen9q

C θ A



D

OM . OA

A 1 B 2

θ θ θ

O θ

A) 4sen2q

D

B) 5sen2q C) 4sen3q 2

D) 4cos q

10

M

E) 5 · cos2q

20. Del gráfico, calcule AM en término de q y d.

EH 23. En el gráfico, calcule , si AM=a. MD E

B

B A) dsen2q

θ

B) d · cos2q

H M

C) d · senq D) d · cosq E) d · senq · cosq

d M A A

θ

C

A)

a − b cos θ b

B)

a sen θ − b a

C)

b + a cos θ a

D)

b − a ·cos θ a

E)

b − a sen θ a cos θ

B



A

θ



21. En el gráfico, calcule QR+PM.

Q

C

3

M

a R

P 5

θ

C

D b

C

Trigonometría 24. Si AD=MN, calcule cotq · cosq – senq. A

A) cota B

C) cosa · cota

N

θ

B) csca · cota D) csca · cota · cosa E) seca · tana · sena

M

27. En el triángulo ABC, recto en B, calcule BD.

C

D

B

A) 1/2 B) 1/3 C) 2 D) 3 E) 1

b

α

Resolución de triángulos rectángulos II

25. Del gráfico, calcule x. B

C

B) bsena · cscq C) b · sena·senq

2

A

D

A) bcosa · cscq F

30°

θ

A

D) b · cosa · secq

M x

θ

C

E) b · sena · senq

28. En el gráfico AC=CD, calcule x.

A) 8cotq

B

B) 8cscq C) 4cotq

θ

D) 4cscq

M

2n

E) 8senq

P x

26. En el gráfico, calcule CD. B

...

α

C

A

C

A) ncscq B) ncotq

1

C) n D) ntanq

α A

D

E) 2n 6

D

Trigonometría 29. En el triángulo ABC recto en B, calcule AB.

30. En el gráfico, calcule AC en términos de a y q B

B

180° – 2θ

60° 1

M

50° A

P

C

A

α α

A) csc10º · sec50º

A) 2cosq · cota

B) csc10º ·zcsc50º

B) 2senq · cota

C) csc50º · sen80º

C) 2csca · tanq

D) sen80º · sec50º

D) 2 · tana · cosq

E) sen50º · sen10º

E) 2senq · csca

2

β

β C

Claves 01 - C

05 - E

09 - C

13 - B

17 - E

21 - C

25 - B

29 - C

02 - B

06 - D

10 - B

14 - E

18 - A

22 - A

26 - D

30 - E

03 - A

07 - B

11 - A

15 - C

19 - B

23 - D

27 - A

04 - C

08 - D

12 - E

16 - D

20 - E

24 - E

28 - C

7

Trigonometría A) 2cot2q D) 2sec2q

Resolución de triángulos rectángulos III

1.

Calcule el perímetro de la región sombreada.

4.

B) 2csc2q

C) 2tan2q E) 2tanq

Calcule x en términos de q. θ x

α

α

6

2

A) 6(seca+1) B) 2(seca+3) C) 3(seca+2) D) 6(tana+1) E) 6(csca+1)

2.

5 A) 5 – 2cotq D) 5 – 2tanq

Calcule el área de la región sombreada en términos de q.

5.

B) 5+2tanq

C) 5+2cotq E) 5 – tan2q

De acuerdo al gráfico la luz se proyecta por medio de un espejo a la parte más elevada de un árbol. Calcule la tanq. A) 7

3 θ

1 7 2 D) 3

C) 1

A) 3tan2q B) 3sec2q C) 3cotqcscq D) 3cot2q E) 3tanqsecq

3.

E)

6.

θ

θ

50 u

7 3

40 u

En el gráfico. Si AB=AE, calcule tanb en términos del ángulo q. A

Si AB=2, calcule MN en términos de q.

B

θ

β

B

A

...

3 2 210 u

B)

θ

E

D

M

N

C

C

A) secq+tanq B) secq – tanq C) tanq – secq D) secq –1 E) tanq –1 8

Trigonometría 10. Del gráfico, calcule a+b+c si ABCD es un cua-

Introducción a la geometría analítica I

7.

drado. En un triángulo equilátero ABC, halle la suma de las coordenadas de B. A) 2 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 3 ( E)

3 − 1) 3 − 1) 3 + 1) 3 + 1)

Y B (0; 7)

Y

B

A (– 4; 4) C (a; b)

3 −1

A –4

O

X

D (c; 0)

UNMSM 2006 - II

8.

En el gráfico, las coordenadas del punto P son 3 ) y las del punto Q son (3; 3). ¿Cuántos grados mide el ángulo POQ?

(3;

C) 7 E) 8

punto (– 2; 3) es 20.

Q

P

O

X B) 30º

C) 22,5º E) 15º

A) (– 6; 5), (1; 5) B) (– 6; 5), (2; 5) C) (– 3; 5), (2; 5) D) (– 3; 5), (1; 5) E) (– 2; 5), (4; 5)

12. Calcule el perímetro de la región triangular ABC.

UNMSM 1997

9.

B) 6

11. Encuentre los puntos (x; 5) cuya distancia al

Y

A) 10º D) 12º

A) 5 D) 4

X

Y

Del gráfico, calcule tana+tanb. Y

C

B(8; 3)

(4; 0)A

A(– 2; 3)

37º

X

α β

X B(4; – 5) C(28; – 7)

7 A) 18 D)

25 C) 24

4 B) 3

7 24

E)

9

9 16

A) 20 u B) 21 u C) 22 u D) 23 u E) 24 u

Trigonometría Introducción a la geometría analítica II

16. Si OM=MB, ON=NC y G(a; b) el baricentro del triángulo OBC. Calcule

13. Del gráfico, calcule b – a.

Y

C(4; 6)

B

P(a; b)

M(3; 6) X

A(– 4; 2)

O

B(4; – 4) A) 2 D) 5

a . b

B) 3

N(4; – 5) C

C) 4 E) 1

A)

14. Calcule la suma de coordenadas del punto M si AB=MN.

1 7

B) 5

D) 6

C) 7 E)

1 3

17. Calcule las coordenadas del baricentro del

Y

ABC si OC=AO=OB.

B(– 4; 0) X

θ θ

Y

C

M

B

A N(2; – 6)

X O

A) – 2 D) – 4

B) – 3

C) – 5 E) – 6 A(3; – 6)

15. Si AM=MC y 2(PM)=BP, calcule el ángulo q. Y

A) (1; 2) D) (2; 3)

B(2; 7)

B) (2; 1)

C) (6; 5) E) (3; 2)

18. El baricentro de un triángulo es el punto (1; 4) y P

...

X

θ M

A(– 3; – 2) A) 15º D) 45º

B) 30º

C(7; 1)

1 3 el punto medio de uno de sus lados es  ;  . 2 2 Determine las coordenadas del vértice opuesto a dicho lado. A) (2; 9)

C) 37º E) 60º

B) (1; 3)

 3 11 D)  ;  2 2 

C) (2; 8) E) (–1; – 2)

10

Trigonometría 22. Calcule tana+cotb.

Ángulos en posición normal I

Y

A(– 4; 1)

19. Del gráfico, calcule tan2q+2. Y

α β

X

6

θ

A) 10 D) 9

45º

X M(4; 0)

B) 12

C) 7 E) 11

A)

1 2

D)

15 4

B) 0

C) −

1 2

E) −

15 4

23. Del gráfico, calcule 7tanq si AB = 5 2.

20. Sea q un ángulo en posición estándar, pertene-

Y

ciente al tercer cuadrante, cuyo lado final pasa por los puntos A(– 4; x –1) y B(x+1; – 3), calcule el valor de x. A) – 4 B) 0 C) – 2 D) − 13 E) 13

θ 37º

A A) – 2 D) – 4

21. Del gráfico, calcule secq.

X B

45º B) –1

C) – 3 E) –1/2

24. En el gráfico, calcule cosφsenφ si OA=OB. Y Y

B

(n; 2)

A 3 θ X

A) −

5 3

D) −

3 5 5

B) −

3 2

C) −

3 5 2

E) − 2

11

O

A) −

2 7

D) −

2 3 7

φ

30º

X

B) −

2 2 7

C) −

2 7

E) −

3 3 7

Trigonometría 28. De la siguiente igualdad

Ángulos en posición normal II

25. Si sen α tan α < 0, determine el signo resultante de las expresiones. I. cosa · tana II. cota – csca III. cosa+cota

A) D)

A) –; –; + B) +; –; – C) +; –; + D) –; +; – E) –; –; –

B) 3

Calcule 2 tan θ +

3 5

5 2

E) 2

A) FFV D) VVF

csc θ . 2

B) VVV

C) FVF E) FFF

30. Del gráfico, determine los cuadrantes a los que pertenecen a y b, respectivamente.

13 3

B) 5

C) 1 Y

13 4

E) –1

α

1 9

β

27. Si tan 2 β = , β ∈IIIC, calcule 10 sen β − cot β. A) 1

B) −

1 3

D) 3

...

C)

proposiciones. I. Todo ángulo del IC es positivo. II. Si cosb=2/3 → b ∈ IC ∨ IVC. III. Si a es negativo → sena es negativo.

1 3

D)

3 2

29. Determine el valor de verdad de las siguientes

26. Si q ∈ IIIC, además cos θ = − .

A)

9(senq)2+3(senq) – 2=0, q ∈ IIC. Calcule cscq.

C) −

X

1 4 A) III, III D) IV, III

E) – 4

B) II, IV

C) II, III E) IV, IV

Claves 01 - A

05 - B

09 - C

13 - C

17 - B

21 - D

25 - B

29 - C

02 - E

06 - B

10 - A

14 - D

18 - A

22 - B

26 - D

30 - A

03 - C

07 - A

11 - B

15 - D

19 - E

23 - C

27 - B

04 - D

08 - E

12 - E

16 - C

20 - D

24 - D

28 - B

12

Trigonometría Ángulos en posición normal III

1.

Determine

cuántos

ángulos

6.

Del gráfico P(– 2; 3)

cuadrantales

existen entre – 541º y 181º. A) 7

B) 8

2.

α E) 11 calcule

Calcule el valor de la siguiente expresión:

 α −β  sen   4 

cos(α − β) + 13(sen α + cos β)

2(1 − 2 sen 270º + sec2 180º ) π   1 + 2(cos 2π)  csc + sec2 2π    2 3 2 8 D) 5 A)

3.

B) 2

A) – 1 D) 2

C) 1 E)

4 3

7.

D) 1

4.

C) 0

8.

; 0º < x < 90º,

B) 0

5.

C) 1 E) – 2

Si q y α son ángulos cuadrantales positivos y menores que una vuelta, que cumplen

...

tanq=senα+1. Calcule q+α. A) 360º B) 270º C) 360º D) 720º E) 450º

C) secq E) cos2q

De la siguiente identidad,

calcule el valor de n.

calcule sen(2x+10º)+cos(4x+20º)+cot(6x+30º) A) – 1

B) cosq

cot θ + cos θ = sec n θ, csc θ + 1

1/ 2

D) 2

Simplifique la siguiente expresión:

A) cscq D) senq

E) 2

 3x   3  Si cos   =    4  4

C) 1 E) – 2

1 − cos θ + sen θ sec θ + tan θ − 1

calcule sen( 90º K1) − cos(90º K2 ) csc( 90º K3 ) + tan(90º K4 ) B) – 1

B) 0

Identidades trigonométricas fundamentales I

Si Kn=n,

A) – 2

X

β

C) 9

D) 10

Y

A) – 1 D) 2

9.

B) 1

C) – 2 E) 1/2

Si sen2q – 1=2senq, calcule sen2q+csc2q A) 8 D) 10

B) 4

C) 2 E) 6

10. Reduzca la siguiente expresión:  (sen x )−1 ⋅ (sec x )−1  ⋅ (cot x )−2  −1 −1   (cos x ) ⋅ (csc x )  A) tan2x D) secx · cscx

B) cot2x

13

C) 1 E) cotx

Trigonometría 11. Si sec θ − tan θ + 1 = n,

15. Si

sec θ

calcule senq – cosq A) 1 – n D) n – 2

B) n+1

2

C) n – 1 E) 2 – n

sec2 θ − 2 = n, tan θ + 1

Calcule

1 − sec θ sec θ − tan θ

A) n+1

B) – n

D) 2n

C) n – 1 E) 1 – n

2

12. Si tan x+cot x=2 y x pertenece al segundo cuadrante, halle el valor de la expresión

16. Sabiendo que α es un ángulo agudo, el cual satisface la ecuación cotα +cscα=5, determine

tan 81 x + cot 81 x + 4 cot

21

7

el valor de la expresión 24tanα+26senα.

6

x + tan x + cot x A) 10

A) – 4

B) 4

C) 2

D) – 2

C) 15 E) 5/13

E) – 6 UNMSM 2004 - II

Identidades trigonométricas fundamentales II

17. Simplifique la expresión 1 + 2 {(sec x(tan x )−1 − tan x(sec x )−1)−1 − sen x ⋅ (cos x )−2 }

A) 2

13. Reduzca la siguiente expresión: 3

B) 20

D) 5/12

B) – 1

C) 1 E) 2– 1

D) – 2

sec x − cos x csc x − sen x

UNMSM 2007 - II

18. Si cosq·cotq+2senq=3, entonces el valor de

A) cotx B) tanx C) secx D) cscx E) 1

sen2q+csc2q es A) 11

B) 8

D) 9

C) 5 E) 7

2

UNMSM 2008 - II

 1 + cos α ⋅ csc α  en función de  sen α + cos α 

14. Exprese A =  tanα.

Identidades trigonométricas fundamentales III 2

A) 1+tan α

19. Si sec2q+csc2q=4,

1 B) 1 − tan α

calcule sen6q+cos6q

C) 1 – tan2α D) (1+tanα)2 E) 1 +

A)

1 4

B)

C)

1 8

D)

1 16

E)

7 4

1 tan 2 α UNMSM 2004 - I

14

1 2

Trigonometría 20. Calcule el equivalente de la siguiente expresión:

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I

sec α ⋅ csc α − tan α +1 sec α ⋅ csc α − cot α

25. Reduzca la siguiente expresión:

2

A) sec α B) csc2α C) sen2α+1 D) 2 E) cos2α+1

sen( A + B) − sen( A − B) cos( A − B) − cos( A + B) A) tanA B) tanB

21. Si 3+4cotq=5cscq,

C) cotB

calcule tanq.

A) 4/3 D) 3/8

D) cotA B) 2

C) 3/4 E) 1/2

22. Reduzca la siguiente expresión:

26. Simplifique la siguiente expresión:

sen8q – (sen4q – cos4q)(1 – 2sen2qcos2q)

cos( x + y) + tan y cos y sen x cos x sen y

A) sen8q

A) coty

B) – cos8q

B) – tanx

4

C) sen q

C) tany

D) cos8q

D) cotx

E) – sen8q

E) – coty

23. Simplifique la siguiente expresión: 4

4

2

2

2

sec θ csc θ − (sec θ − csc θ) 2

A) 1 2

B) sen2q

D) cos2q

C) 4 E) 2

24. Elimine la variable q en secq+cscq=a y tanq+cotq=b, A) (b – 1)2=a2 – 1 B) (b+1)2=a2+1 C) (b+1)2=1 – a2 D) (b2+1)2=a2 E) (b – 1)2=a2+1

27. Si A+B=30º y A – B=16º, calcule el valor aproximado de la expresión sen2Acos2B – sen2Bcos2A

2

sec θ + csc θ

...

E) tanA+tanB

A)

7 25

D)

16 50

B)

7 50

C)

5 24

E)

3 50

28. Si a ⊗ b = ( a + b)2 − 1 x + y = 60º calcule (cos x ⊗ sen y) ⊗ (sen x ⊗ cos y) A) 0 D) 3

B) – 1

15

C) 1 E) 2

Trigonometría 29. Del gráfico, calcule senq.

30. Calcule el valor aproximado de la expresión sen 29º ⋅

θ 12 16

A)

3 65

D)

63 65

B)

A) 5

62 65

1    2  sen 16º +  5

2

B) 2 2

C)

5 63

E)

7 60

C)

2 2

D)

17 2 50

E)

31 2 2



Claves 01 - C

05 - E

09 - E

13 - B

17 - C

21 - C

25 - D

29 - D

02 - D

06 - D

10 - C

14 - E

18 - E

22 - D

26 - A

30 - C

03 - A

07 - B

11 - A

15 - A

19 - A

23 - C

27 - B

04 - B

08 - A

12 - D

16 - B

20 - B

24 - B

28 - E

16

Trigonometría Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II

1.

15 2

B)

4 3

D) 3

37º

C)

13 7

E)

13 9

5

x

A) 1/2 D) 1 Si tan θ =

B) – 1

D)

B) 2n

1 B) 4

3 2

Si tan (θ + α ) =

7.

De la siguiente identidad tan 5 x + tan 3 x sen ( Ax ) , = tan 5 x − tan 3 x sen ( Bx )

A) 12 D) 6

8.

calcule

9.

B)

9 19

D) −

1 10

E) −

9 14

B) 3

C) 1/3 E) – 1/3

Calcule el valor de la siguiente expresión sen 2º sen 2º + − tan 12º cos10º cos 8º cos12º cos10º A)

D) −

C) 9 E) 10

sec2 A − 1 − tan 2 B . tan A − tan B

A) 2 D) – 3

5 2

1 21

1 21

B) 8

Si sen(A+B)=3cosAcosB,

A)

C) −

C) 87/5 E) 77/14

donde A > B > 0. Calcule A+B.

2 C) 3

1 1 y tan (θ − α ) = , 5 4

B) 83/14

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III

C) 1/n E) 1/2n

E)

calcule tan2a.

...

C) 2 E) – 1/2

1 Si cota – cotq=5 y tan θ tan α = , 2 calcule tan(q – a). 5 A) 3

5.

A) 87/14 D) 83/4

n −1 , calcule tan(45º – q). n +1

A) n D) 1– 2n

4.

2

Calcule el valor de la expresión. 3   4 + tan θ   3  ·tan (53º −θ) 1 − tan θ   4 

3.

Del gráfico, calcule el valor de x.

Si tan(45º+q), calcule sec2q. A)

2.

6.

1 7

B)

1 3

3 4

1 7 1 E) − 3

C) −

10. Calcule el equivalente de la siguiente expresión sen ( x + y ) sen ( x − y ) − sen 2 x sen y

A) – cosy D) – coty

B) cosy

17

C) – seny E) seny

Trigonometría 11. Simplifique la siguiente expresión sen 2 α − sen 2 θ + sen 2 (α + θ)

17. Reduzca la siguiente expresión cot 30º + cot 37º + cot 23º cot 30º tan 53º

2 sen α cos θ

A) cot13º D) cot23º

A) sen(a – q) B) senacosq C) senqcosa D) sen(a+q) E) senasenq

tan 3 A + tan 3 B + tan 3C tan 3 A tan 3 B

tanq+tan(q+a)+4tanqtan(q+a) B) 3

C) 2 E) 1

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV

13. Calcule el valor de la siguiente expresión 3 cos10º −4 sen 10º sen 27º

A) 5 D) 1/5

C) cot33º E) cot18º

18. Si A+B+C=60º, calcule

12. Si tan(2q+a)=4, calcule A) 5 D) 4

B) cot21º

A) – tan3C D) tan3B

B) tan23A

Reducción al primer cuadrante I

19. Calcule el valor de la expresión

sen120º+cos240º+tan150º+sen150º A)

3 6

B)

5 3 6

D) 0

B) 10

C) – 5 E) –10

14. Calcule el valor de la siguiente expresión

C) tan3C E) – tan3A

C)

3 2

E) 1

20. Si x+2y+3z=180º calcule

sen (2 y + 3 z ) tan ( x + 2 y ) − . sen x tan 3 z

(sen20º+cos20º)sec25º A)

2 2

B)

C) 2 2

2

D) 2

E)

1 2

15. Calcule el máximo valor de la expresión π  2 sen  x +  + cos x  6

A) 5 D) 2

A) 2 D) –1

B) 0

C) – 2 E) 1

21. Simplifique la siguiente expresión sen ( π + x ) sen (2π − x ) tan ( π − x )

B) 7

C) 1 E) 3

16. En un triángulo ABC, se cumple que tan A tan B tan C = =, 6 3 2 2 calcule tan A.

A) 12 D) 11/4

B) 11/9

C) 11 E) 10 18

E) 1/2

Trigonometría 23. Se cumple que a+b=300º, el valor de

1 sen 2 α − sen 2 β + sen 120º sen (α − β ) − es 4 1 1 1 A) B) C) − 2 4 4 1 D) − 2

2 3

4 3

4 3 3 E) 4

3 2

D) 2

B) cota

A) 1/2 D) 2

C) tana E) – cota

B) –1/2

C) 1 E) –1

30. Si

 3π  cos  − θ  2  = n, π  cot  + θ  2  calcule sen2q.

C) 3

A) 1– n2 B) n2 C) n2 –1 D) 2 – n2 E) – n2

E) 1

26. Si cos50º=n, calcule cos130º sec 310º csc 220º

...

4 3 3 E) − 4

C) −

sen(2a+q)csc(2q+a)cotq.

sen 150º tan 225º B)

1 2

29. Si a+q=90º, calcule

C) −

25. Simplifique la expresión cos (180º −θ) csc (270º +θ) 1 2

B) −

A) – tan2a D) cot3a

Reducción al primer cuadrante II

A)

csc 240º , cos 210º

 3π  cot 2 ( π + α ) cot  − α  2  3 π   tan ( π + α ) tan  − α  2 

X

θ

D) −

calcule tanq.

C) n3 E) n–1

28. Calcule el equivalente de la siguiente expresión

37º

B)

27. Si tan (90º +θ) =

A)

Y

3 4

B) n– 3

3 4 4 D) 3

E) 0

24. Del gráfico, calcule tanq.

A) −

A) – n3 D) – n– 3

Claves 01 - E

05 - C

09 - C

13 - A

17 - D

21 - D

25 - D

29 - C

02 - D

06 - A

10 - C

14 - B

18 - C

22 - B

26 - C

30 - A

03 - C

07 - E

11 - D

15 - B

19 - A

23 - C

27 - E

04 - A

08 - B

12 - D

16 - C

20 - A

24 - D

28 - B

19

Trigonometría A) – 1 D) – 2

Reducción al primer cuadrante III

1.

Simplifique la siguiente expresión 2

sen θ

2.

B) 2senq

C) 2secq E) 2sec2q

7.

A) – cosq D) – tanq

B) cosq

A) sen4x

C) – senq E) senq

2 B) 3 3

1 2

B) 2

El valor de x al simplificar la expresión 2

 1 + tan α   1 − sen 2α  x=  1 − tan α   1 + sen 2α 

C) 2 3 E) −

D) - 2

2 3 3

A) 1+sena B) 1 – sen2a C) 1 D) – 1 E) sen2a UNMSM 2004 - I

C) 1 E)

1 2

9.

Del gráfico, calcule

Si 3sen(3600º+q) – sen(360º – q)=1,  π  calcule cos 15 + θ   2  A) − D)

6.

8.

Calcule el valor de la siguiente expresión cos 4080º − tan ( −37º ) sec 780º A) −

...

1 sen 2 x 2 1 E) cos 4 x 2 D)

Calcule el valor de la expresión

3 A) − 3 4 D) 3 3

5.

1 sen 4 x 2 C) cos2x B)

 π  π tan  29  + cot  31   3  3

4.

Reduzca  sen x cos x   cos x sen x  + −  sec x csc x   sec x csc x 

Reduzca la siguiente expresión sen( 5π + θ)sen (3π − θ) sen (6 π + θ)

3.

C) 1 E) 0

Identidades trigonométricas del ángulo doble I

sen(720º +θ) − sen( θ + 180º )

A) 2cscq D) 2cosq

B) 1/2

1 4

1 4

B)

1 2

C) −

AB en términos de q. BD

B D

1 1 2

E) 1 A

Si 2a+4q=p, calcule sen (θ − α ) + sen (α − θ) + cos ( −2α − 3θ) cos θ

A) cotq D) tanq·senq

B) tanq

20

θ

θ

C) cotq·cosq E) 2tanq

Trigonometría 10. Si sen θ = calcule

cos α 2

cos 2θ sen 2 α

15. Si tan2q-8tanq+1=0,

, +

A) 1 D) 4

calcule csc2q

cos 2α + 1 sen 2 θ

B) 2

C) 3 E) 5

11. Determine el equivalente de la expresión θ θ tan ⋅ (1 + cos θ) + cot ⋅ (1 − cos θ) 2 2

A) 1 D) 4

q 2 C) 2senq

tan 2θ

calcule (sen 4θ)

B) 2 sen

17. Si

q 2 q E) 2 tan 2

12. Si cos4a+2sen2a=0 y cos2a≠0, calcule cos2a. 3 4 2 D) 9

B)

A)

1 3 1 E) 8

1 12

C)

UNMSM 2011 - I

Identidades trigonométricas del ángulo doble II sec2 x

=

3

cot x − tan x

tan ( Bx ) , B

calcule B. A) 1 D) 1/2

B) - 1

C) 1 E) 2

tan 2 x π − 1 = 2 , x ∈ 0; . tan x 4

A)

≠ rad 4

D)

≠ rad 6

B)

≠ rad 8

≠ rad 3 ≠ rad E) 12

C)

18. Determine el equivalente de la expresión  

2 2 2       1 − tan 2 10º   1 − tan 2 20º   1 − tan 2 40º 

A) tan280º B) cot280º C) cot240º D) tan220º E) tan240º Identidades trigonométricas del ángulo doble III

B) 2

C) 3 E) 4

14. Si tan ( a + b) = 2 y tan2b=1, calcule tan(2a). A) 3 D) 6

cot 2θ

+ (cos 4θ)

calcule x

D) 2 cos

13. Si

C) 3 E) 5

16. Si tan θ = 2 − 1,

A) 0 D) – 2

A) 2cosq

B) 2

B) 4

C) 5 E) 7 21

19. Reduzca la expresión cotx – tanx – 2tan2x– 4tan4x A) 8cot4x B) 8tan4x C) 4tan8x D) 8cot8x E) 4cot8x

Trigonometría 20. Calcule el valor aproximado de la expresión

A) 70 D) 140 2

21. Si

8

B) 140

cos4 x + sen 4 x cos6 x + sen 6 x

8

C) 0 x E) 2 cot   3

23. Si la igualdad es una identidad

C) 70 2 E) 28 2

6 + 2 cos 4 x 10 + 6 cos12 x + = sen A ( Bx ) + 8 16 sen D (Cx ) + cos A ( Bx ) + cos D (Cx ).

= 2,

calcule B+D – A – C, B > C > 0.

calcule cos4x

A) – 2 D) 1

A) 1 B) 2 C) – 2 D) 0 E) – 1

B) – 1

C) 0 E) 2

1 ≥ 2, a > 0, a determine el mínimo valor que toma 4csc(2x)+3, 0º< x < 90º

24. Si se sabe que a +

A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

22. Reduzca la expresión x x x x 2 csc   − tan   2 cot   − cot   3 6 3 6 + x x cot   tan   6 6

...

B) 1

x D) 2 csc   3

(cot 2 4º − tan2 4º )  cos2 π − sen2 π  

A) 2

TrigonomeTría 01 - A

04 - E

07 - B

10 - E

13 - B

16 - C

19 - D

22 - C

02 - C

05 - D

08 - C

11 - C

14 - E

17 - B

20 - B

23 - C

03 - E

06 - A

09 - A

12 - A

15 - D

18 - A

21 - E

24 - E

22

Trigonometría Transformaciones trigonométricas I

Identidades trigonométricas del ángulo triple

1.

Simplifique la siguiente expresión

7.

sen 3θ + sen 3 θ

sen 5θ + sen 3θ sen 7θ + sen θ + 2 cos θ 2 cos 3θ

2

cos θ A) 3senq D) 3cotq

2.

B) 3tanq

C) 3cscq E) 3sen2q

A) 2sen4q D) 2cos3q

8.

Reduzca la expresión cos 3θ − cos3 θ

3.

B) 5

4 cos3 2θ − 3 cos 2θ A) 2tan2q D) csc2q

...

D)

6.

53º 2

C) 2csc2q E) 0

C) 8º E)

B) 3a

A) 1/2 D) 1/4

B) 1

37º 2

C) 4a E) 6a

C) 1/3 E) 2

10. De la siguiente identidad 1 + cos 2θ

Si sen10º+cos20º=4a, calcule sen310º+cos320º. A) 2a D) 5a

Calcule el valor de la siguiente expresión.

(sen 5θ + sen 3θ) cos θ

 3  3   2 − sen θ   2 + sen θ     1 = ; θ ∈ 0º; 90º 8 csc θ

B) 20º

C) – tany E) 0

3

C) 8 E) 7

Determine el valor que asume q, para que se cumpla la igualdad

A) 10º

B) – tanx

(sen 48º − sen 12º ) cos 36º

+ tan 2 θ

B) sec2q

C) 2sen2q E) 2senq

Calcule el equivalente de la siguiente expresión.

A) tany D) tanx

9.

Calcule el equivalente de la siguiente expresión cos2 3θ − sen 2 3θ

5.

C) 3senq E) – 3cotq

De la siguiente identidad 1+4cos32q – 3cos2q=AcosN(Mq), calcule A+N+M. A) 6 D) 4

4.

B) – 3cosq

B) 2cos2q

sen 2 x + sen 2 y − tan y cos 2 x + cos 2 y 1 + tan ( x + y ) tan y

sen 3 θ A) 3tanq D) – tan2q

Calcule el equivalente de la siguiente expresión.

= sen ( M θ) ,

calcule el valor de M. A) 2 D) 4

B) 3

C) 1 E) 5

11. Calcule el valor de la expresión 1 + 2 cos 20º cos 20º ⋅ cos 40º A) 1 B) 2 D) 4 12. Simplifique la expresión

C) 3 E) 5

cos y + cos ( y − 2 x ) 1 cos x ⋅ cos y + sen 2 x ⋅ sen y 2 2

A) cosx D) 2

B) 1

C) cos(y – x) E) – cosx UNMSM 2007 - II

23

Trigonometría Transformaciones trigonométricas II

13. Calcule el valor de la expresión

19. Del gráfico, calcule x1 · y1.

2sen70ºsen10º+2cos240º

A) 2 D) 3/2

B) – 3/2

Circunferencia trigonométrica I

Y

C) – 2 E) 1/2

1 ;y 1 2

P

14. De la siguiente igualdad

2sen3qsenq+2cos22q=McosN(q) calcule M+N. A) 3 D) 4

B) 2

X C.T.

15. Calcule cotx+tanx, si

tanx=sen10º · cos20º+sen5º · cos5º A)

D)

5 2

B)

10 3

E)

2 5

16. Calcule el valor de la siguiente expresión. 3 sen 20º + sen 10º cos 40º 1 B) 2

2 C) 2

D) 2

E) 1

1 2

D) −

1 5

cos 7 x ⋅ cos 2 x − cos 6 x ⋅ cos 3 x sen 4 x B) – sen2x

18. Elimine la variable angular x de las siguientes condiciones

2sen2xsenx+cos3x=n

(I)

cos 3 x − cos x 2 sen 2 x



(II)

A) m2+n2=1

B) n2 – m2=1 C) n+m=1 E) n2=m2 24

1 3

C) −

1 4

E) −

1 8

A)

3 −1

B)

6+ 2 8

C)

6− 2 2

5

π 6

Y P O

X C.T

1 4

E) 2 − 3 C) – senx E) – cosx

D) n · m=1

B) −

20. Calcule la longitud del segmento PO.

D)

17. Simplifique la expresión

A) senx D) cos2x

A) −

C) 2

17 4

3 A) 2

x1; – 33 Q 6

C) 5 E) 6

21. Calcule la abscisa de P. 6 − 2) 4 3 B) − 2 1 C) − 2 A) −

D)

(

3 −1 4

E) –1

Y C.T

15º

P

X

Trigonometría 22. Calcule el área de la región triangular ABC.  3 + 1 2 A)  u  4 

3 3 2 u 2

D)

3 3 2 u 4

E) 2 3 u

asumir q.

Y

Y

 3 + 2 2 B)  u  4  C)

24. Determine todos los arcos dirigidos que puede

B

C.T

A

C.T

C π –2 3

2

B) − C) −

1 2

Y

3 2 2 2

C.T

C

M

A)

π (18 k + 10 ) ; k ∈ Z0+ 9

B)

π (2 k + 1) ; k ∈ Z0+ 9

C)

π (2 k + 10 ) ; k ∈ Z0+ 9

D)

π (18 k − 10 ) ; k ∈ Z0+ 9

E)

2π (9 k + 15) ; k ∈ Z0+ 9

A X

5 3 1 E) − 4 D) −

...

X

θ

23. Si CM=3(AM), calcule la ordenada de R. A) −

20º

X

R

Claves 01 - A

04 - B

07 - A

10 - D

13 - D

16 - E

19 - C

22 - D

02 - E

05 - A

08 - D

11 - D

14 - D

17 - C

20 - E

23 - B

03 - E

06 - B

09 - D

12 - D

15 - D

18 - A

21 - C

24 - A

25

Trigonometría Circunferencia trigonométrica II

1.

3.

En la circunferencia trigonométrica, calcule la ordenada del punto A.

Determine el área de la región sombreada en función de q.

Y

Y C.T.

X A X

θ

θ A)

2.

sen θ 2

A)

1 + sen θ 2

B) −

B)

sen θ − 1 2

C) – senq

C)

− (sen θ + 1) 2

D) senq

D)

sen θ + 2 2

E) −

E)

1 − sen θ 2

4.

sen θ 2

sen θ 3

De la circunferencia trigonométrica, calcule la abscisa de P.

Determine el área de la región sombreada. Y Y

θ

X X P

θ

...

C.T.

sen θ A) 4 D)

sen θ 2

sen θ B) − 2

sen θ C) − 4 E)

1 + sen θ 2

A) senq cosq B) cosq C) senq D) – cosq E) – senq

26

Trigonometría 5.

Del gráfico, determine el valor de x en términos de b y q.

cos θ 2 sen θ D) (2 cos θ + 1) 2 cos θ − sen θ E) 2 C) (2 sen θ + 1)

Y θ

x b

X

8.

De la circunferencia trigonométrica, calcule tanb+cotb. Y

C.T.

A) – cosq D)

6.

B)

sen θ + b b

cos θ b

θ

C)

sen θ − b b

E)

sen θ b

X β

1 A) − senq – 2cscq 2 1 B) senq+2cscq 2

Determine qué proposiciones son correctas I. sen20º > sen170º II. sen(– 40º) > sen(– 20º) III. sen250º=sen290º

C) tanq+cotq A) solo I D) I y II

B) solo II

C) solo III E) I y III

1 D) − cosq – 2secq 2 1 E) cosq+2secq 2

Circunferencia trigonométrica III

7.

Calcule el área de la región sombreada.

9.

Calcule la longitud del segmento PQ. Y

Y

θ C.T.

P

Q X

X θ

C.T.

cos θ 2 sen θ B) (2 cos θ − 1) 2 A) (2 sen θ − 1)

27

A)

2 cos θ 1 − sen θ

D)

−2 cos θ 1 + sen θ

B)

2 cos −2 cos θ C) 1 sen 1 − sen θ E) – cosq

Trigonometría 10. Calcule el área de la región sombreada en términos de q.

12. Del gráfico, calcule senq+cosq. θ

Y

Y

C.T.

X X

y= x2+y2=1

θ

A) senqcosq

tan θ 2 E) – senqcosq

B) cos2q

A)

1 3

D)

2 3

C) −

D) sen2q

1–x 2

3 2

11. Si OM = , calcule el área de la región som-

B)

C)

1 5

E)

1 2

Circunferencia trigonométrica IV

13. Si n =

breada.

3 5

sen θ − 11 , determine el número de valo3

Y θ O

M

C.T.

X

q – 2senq, q ∈IIC A) 〈– 1; 1〉

B) 0;

D) 〈0; 1〉

A) B)

...

C) D) E)

(3 + 2 sen θ) cos θ 4

(3 + 2 cos θ) sen θ 4

(2 + 3 sen θ) cos θ 4

(2 + 3 cos θ) sen θ 4

(1 + 3 cos θ) sen θ 4

1 2

1 1 C) − ; 2 2 E) 〈– 1; 0〉

k+3 y q ∈[37º; 143º], 5 calcule la suma del máximo y mínimo valor que asume k.

15. Si sen θ =

A) 3 D) – 1

B) 2

C) 1 E) – 2

 π 3π   ; calcule la variación de 2sen2q 8 8 

16. Si θ ∈  ;

A) 0; 2 

C) 1; 2 B) 1 2

D) 1; 2 

E) 1; 2

28

Trigonometría 17. Si θ ∈

π 5π ; , calcule, la variación de la expre6 6

sión csc3q+1. A) 〈1; 8〉 D) 〈2; 8〉

C) [2; 9〉

B) 〈1; 9〉

E) 〈3; 7〉

18. Calcule el máximo valor de 4sena – 3senq+2,

22. Si q ∈ IVC, calcule la variación de la expresión cos θ + 1 cos θ + 2

A)

3 5 ; 2 2

B)

1 2 ; 2 3

si a y q son independientes entre sí. A) 4 D) 7

B) 9

C) 0;

C) 6 E) 3

 1 D) 0;  2

Circunferencia trigonométrica V

19. ¿Cuántos valores enteros adopta la expresión 3+8cos2q? A) 5 D) 7

 1 2 E)  ;  2 3

23. Calcule la suma del máximo y mínimo valor de B) 4

la expresión

C) 6 E) 9

1  5π 3π  cos2 θ + , θ ∈  ;  4 2 2

20. Determine la variación de la expresión cos2q+2cosq A) [– 1; 3] D) [1; 5]

A) B) [0; 2]

C) [– 1; 2] E) [0; 4]

21. De la siguiente igualdad

1  E)  ; 1 4 

3 5 D)  ;  4 4

B)

3 2

C)

3 4

E) 0

24. Determine la variación de la expresión π   π 2 cos  θ +  + 2, θ ∈ 0;    2 4

1 5 C)  ;  4 4

1  B)  ; 1 2 

5 2

D) 2

2cosq=4n – 3, q ∈ 〈– 10º; 190º〉. Calcule la variación de n 1 3 A)  ;  4 4

1 2

A) [– 1; 0] B) [0; 3] C)  − 2; 2 + 2 D) [1; 3] E) [– 1; 1]

Claves 01 - E

04 - E

07 - B

10 - E

13 - A

16 - D

19 - E

22 - B

02 - C

05 - C

08 - E

11 - B

14 - E

17 - C

20 - A

23 - B

03 - A

06 - E

09 - D

12 - C

15 - B

18 - B

21 - C

24 - D

29

Trigonometría Ecuaciones trigonométricas I

6.

Calcule la suma de las soluciones de la ecuación tan2x cosx=senx, x ∈〈0; 2p]

1.

Calcule la menor solución positiva de la ecuación sen7x+sen5x=cosx

A) 4p

A) p/36

D)

B) p/2

B)

7π 2

5π 2

C) 3p E) 2p

C) p/18 Ecuaciones trigonométricas II

D) p/6 E) p/12

2.

7.

Calcule la suma de las soluciones de la ecuación (senx – cosx)2=1, x ∈〈– 2p; 0〉.

Resuelva la ecuación 2

2cos x+cos2x=0, x ∈〈0; p〉 A)

D)

3.

{ } { } π π ; 3 2

{ }

B) π ; 5π 6 6

π π ; 6 2

C)

E)

{ } { }

A) – 2p

π 2π ; 3 3

π 2π ; 6 3

B) – 4p

D) – 3p

8.

Calcule el número de soluciones de la ecuación 3sen x+2senx – 1=0, x ∈〈0; 2p〉 A) 2

B) 1

D) 5

4.

Calcule la menor solución positiva de la ecuación

5π 2

C) 4 E) 1

Calcule la solución general de la ecuación

sen3x+cos3x=1

sen6x+sen4x+4cosx=0, n ∈Z

A) p/6

A) (2 n + 1)

C) p/12

B)

D) p/3 E) p/18

5.

9.

E) −

19 π . 6

B) 5

D) 3

E) 3

B) p/8

...

A) 2

C) 4

3π 2

Calcule el número de soluciones de la ecuación sen3x=– 1, x ∈ 0;

2

C) −

( 2senx – 1)(9cos2x – 1)=0, x ∈〈0; 2p〉

D) 2

B) 3

C) 4 E) 6

D)

π 2

nπ 4

C) (2 n + 1)

Calcule el número de soluciones de la ecuación

A) 5

{ } { } { } { } { } π 4

nπ 2

E) (4 n + 1)

π 2

30

Trigonometría 10. Resuelva la ecuación

Resolución de triángulos oblicuángulos I

sen2x – 2cosx=0, x ∈〈0; 4p〉

13. Si 5sena=3senq, calcule x

{

}

{

}

π 3π A) ; π; ; 2π 2 2

π π 3π 7π B) ; ; ; 2 4 2 4

{

C) π ; 3π ; 5π ; 7π 2 2 2 2 D)

{

π 3π 5π 7π ; ; ; 2 4 2 4

E)

{

π 5π 5π ; 3π; ; 4 4 2

θ x

}

α 5

}

A) 3 B) 1/2 C) 1/3

}

D) 2 E) 10

11. Calcule el número de soluciones de la ecuación 1 13π 25π ; cos2x+cos x= , x ∈ 2 4 4

14. Del gráfico, calcule el valor de x

2

A) 6

B) 2

C) 5

D) 3

x

25

E) 4 32º

16º

12. Calcule la solución general de la ecuación  3x  x sen 2   − sen 2   = 0  2  2

A) 24 D) 28

{ } { } { }

A) (4 n + 1)

π 4

E) 36

vamente, se cumple que senAsenBsenC=1/4. Calcule

abc

, donde R es el circunradio del R3 triángulo ABC.

π 2

A) 1 B) 4

D) { nπ} E)

C) 48

15. En un triángulo ABC de lados a, b y c, respecti-

nπ B) 2

C) (2 n + 1)

B) 20

C) 2

{ }

D) 1/2

nπ 4

E) 1/4 31

Trigonometría 16. Del gráfico, calcule el valor de x en términos de q

A) 1/2

B) 3/2

C) 3

D) 2/3

E) 1/3

3 Resolución de triángulos oblicuángulos II

2

4

x

A)

4 csc θ 7

B)

4 sen θ 7

C)

3 csc θ 7

D)

3 sen θ 7

E)

1 8

19. Si sen θ = , calcule el valor de x.

θ

30º

3 2 90º+θ x A) 5/2

B) 1/2

C) 2

D) 2/5

7 csc θ 4

17. Si AB=2(BC), calcule

20. Del gráfico, calcule x+y

sen (θ − x ) . sen x

θ–x

E) 4

2

x

y

3

x

60º 8 B θ A

C

A) 1/2

B) 1

D) 4

...

A) 14

θ

C) 1/4 E) 2

sen θ . 18. Según el gráfico, calcule sen (θ + 2α ) θ α α

B) 18

D) 12

E) 10

21. En un triángulo ABC de lados a, b y c respectivamente, se cumple que (a+b)2 – c2=3ab. calcule mC. A) 30º

2

B) 120º 3

C) 15

C) 60º D) 150º E) 15º 32

Trigonometría 22. Calcule el perímetro de la región sombreada

Miscelánea de problemas

25. De la figura, calcule tanq, siendo G baricentro

60º

del triángulo ABC.

x

x2

B

G

1 A) 7

B) 10

C) 6

D) 13

30º

θ

A

5 7

A)

23. Si cos θ = , calcule el valor de n.

3 5

B)

1 2

C) 2

D) 3 n

n–1

cos4 θ − cos2 θ + (1 + cos2 θ) sen 2 θ , q ∈ III C

n+1 A) 2

B) 5

C) 3

D) 6

E) 4

26. Reduzca la siguiente expresión θ

E) 4

A) senq

B) – cosq  

  C) – senq

D) cosq 

 

  E) – cscq

   

 

3 4

27. Si tan θ = , calcule n.

24. Calcule el área del triángulo ABC. θ

B

A

39 2

D)

38 4

3

5

2

A)

C

E) 3

C

6

B)

39 4

33

2

C)

38 2

A)

13 3

E)

41 4

D)

7 3

n

B)

7 2

C)

13 2

E)

11 2

Trigonometría 28. Simplifique la expresión

30. Del gráfico mostrado, halle cotx+ 3 en térmi-

sen(x+30º) – cosx – cos(120º – x) A) – 2

B) – 1

D) 2

nos de m y n.

C) 1 E) 0

m

29. Simplifique la siguiente expresión.

x+30º

sen 40º + sen 20º 1 + cos 40º + cos 20º A) cot20º

B) tan10º

D) cot10º

...

n

C) tan20º E) tan40º

A)

2m n

D)

n m

B)

x m n

C)

2n m

E)

m 2n

Claves 01 - A

05 - E

09 - A

13 - A

17 - E

21 - C

25 - A

29 - C

02 - C

06 - C

10 - C

14 - C

18 - B

22 - E

26 - C

30 - C

03 - E

07 - D

11 - C

15 - C

19 - C

23 - D

27 - C

04 - A

08 - C

12 - B

16 - A

20 - A

24 - B

28 - E

34