trigonometria basica- 2011

Manual de curso

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Manual de curso

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA .

OBJETIVO: que el estudiante desarrolle sus habilidades del pensamiento, como son: razonamiento, analisis y reflexión a traves de una relación de los conocimientos de aritmética, algebra, geometría y trigonometría para resolver problemas de situaciones cotidianas y técnicas

CONTENIDO: I. II. III. IV. V. VI. VII.

LOGARITMOS ECUACION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA ANGULOS TRIANGULOS. CIRCUNFERENCIA. CUADRILATEROS. TRIGONOMETRIA.

PROLOGO. Con el objetivo de facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje de la asignatura de “geometría y trigonometría” en el nivel medio superior y en base a la experiencia adquirida en los cursos impartidos, este material didáctico, pretende ayudar y facilitar la comprensión de la asignatura. Cabe mencionar que para su elaboración nos apoyamos en diferentes textos y trabajos relacionados con l a materia. que en la bibliografía se señalan. Si las críticas de este material son transmitidas por alumnos y profesores que lo utilicen o revisen, esto permitirá mejorar el presente trabajo con el objetivo de elevar el aprovechamiento escolar de alumnos y futuras generaciones.

Todo aprender no es más que vencer un obstáculo…. Todo aprendizaje no M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso es más que el resultado del esfuerzo de superarse a sí mismo venciendo Obstáculos.

LOGARITMOS Y ECUACIONES. LOGARITMO. Introducción. Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: si

8 = 2x, ¿cuál es el valor de x?

si 100 = 10x, ¿Cuál es el valor de x? Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales (función exponencial) soluciones tan evidentes.

no tienen

Definición: Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y sólo si y = ax. Nota: La ecuación logay = x , se lee "el logaritmo de y en la base a es x". Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25 ?. Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 en la base 5 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que. log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25. 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3. 2) ¿A qué exponente hay que elevar la base 7 para obtener 49 ?. M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Al exponente 2, ya que 72 = 49. Decimos que "el logaritmo de 49 en la base 7 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log7 49 = 2. De manera que. Log7 49 = 2 es equivalente a 72 =49.

3) ¿A qué exponente hay que elevar la base 9 para obtener 81?. Al exponente 2, ya que 92 = 81. Decimos que "el logaritmo de 81 en la base 9 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que. Log9 81 = 2 es equivalente a 92 =81.

4) ¿A qué exponente hay que elevar la base 3 para obtener 81 ?. Al exponente 4, ya que 34 = 81. Decimos que "el logaritmo de 81 en la base 3 es 4". Simbólicamente lo expresamos de la forma log3 81 = 4. De manera que. Log3 81 = 4 es equivalente a 43 = 81. De los ultimos ejemplos nos damos cuenta que un numero puede tener diferentes logaritmos, según la base que se tenga, por la definición de este concepto. Para nuestro curso, logaritmos:

únicamente

utilizaremos

los

siguientes

tipos

de

a) Los logaritmos de base 10 los cuales reciben cualquier de los siguientes nombres: Decimales, Vulgares, Ordinarios o de Bringgs b) los logaritmos de base “e” los cuales reciben cualquiera de los siguientes nombres: M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Neperianos , Naturales ,de base “e “ (e=2.718) A las expresiones de la forma N= a

x

Log

N =2 Se les llama expresiones logarítmicas.

x

…..Se les llama expresiones exponenciales.

Ejemplos: Expresiones logarítmicas. 1.-log3 9=2 2.-log6 36=2 Expresiones exponenciales 9=32 8=23

Ejercicios-1: Transformar las siguientes expresiones logarítmicas a exponenciales: Log3 27=3 ________________ Log4 32= 5/2 _________________ Log1/4 1/8=3/2 __________________ Transformar las siguientes expresiones exponenciales a logarítmica 27273=9 __________________ 72=49 ____________________ 53=125 ____________________ LOGARITMOS DECIMALES. Los logaritmos decimales constan de una parte entera llamada característica, la cual puede ser positiva o negativa, y una parte decimal llamada mantisa la cual es siempre positiva Calculo de la característica: 1.- La característica de los números comprendidos entre 1 y 10 es cero. Por Ejemplo: Características del logaritmo de 9=0 “ “ “ “2.32=0 “ “ “ “8.98=0 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso “

“

“

“4.88=0

2.-Las características de un número igual o mayor de diez es positivo o igual al número de cifras enteras menos uno. Por ejemplo: Características del logaritmo 25.88=1 “ “ “ 4832.3=3 “ “ “ 525.9=2 “ “ “ 10.0=1. 3.- La características del logaritmo de un numero menor que uno expresado en forma de fracción decimal siempre será negativa y su valor absoluto será el lugar que ocupe la primera cifra significativa va a la derecha del punto decimal. a) Característica del logaritmo 0.2582 es 1 b) “ “ “ 0.088es 2 c) “ “ “ 0.000035es 5 En el inciso a) la característica es, 1, ya que la primera cifra significativa (2) ocupa el primer lugar a la derecha del punto. En el inciso b) la característica es 2, ya que la primera cifra significativa (8) ocupa el segundo lugar a la derecha del punto. En el inciso c) la característica es 5, ya que la primera cifra significativa (3) ocupa el tercero lugar a la derecha del punto decimal. Ejercicio-2: Determinar la característica del (comprueba con la calculadora) 885.2 25.45 0.00842 523 5223 945.2 0.0000025

logaritmo

de

los

siguientes

números

________ ________ ________ ________ ________ ________

Determinación de la mantisa. Habíamos dicho anteriormente que la mantisa es la parte decimal del logaritmo, para determinarla, nos valemos de las tablas de los logaritmos. Procedimiento para obtener la mantisa. (utilizando la calculadora o tablas de logaritmos de Arquímedes Caballero - anexoA) Ejemplo: hallar el logaritmote 82.51 La característica es 1. Para hallar la mantisa prescindimos del punto decimal, por lo tanto, buscamos la mantisa de 8251. En la primera columna de la izquierda encabezada por N, localizamos el número 82y, en el cruce en este renglón con la columna 5 se M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso halla la mantisa .9165 por el mismo renglón se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 1, que es la cuarta cifra del numero al cual se le va a extraer logaritmo y en el cruce encontramos el numero 1. Este último número la lo sumamos al numero 9165 Así .9165 ____1_ _ .9166 De donde: Log 82.51=1. 9165 Ejemplo: Hallar el logaritmo de 8.825 Log 8.825= 0.9457 Hallar el logaritmo de 432.1 Log 432.1= 2.6356 Ejercicio-3 hallar el logaritmo de los siguientes números, utiliza las tablas (comprueba con la calculadora tus resultados). 845.2 6.3514 0.0032 0.2584 25.84 499.2 258.4 0.000238 0.0002584

________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________

ANTILOGARITMOS. Si a un número se le extrae logaritmo ese número será el antilogaritmo del segundo. Ejemplo: Log 25.82= 1.4159 Antilogaritmo de 1.4119= 25.82 Para extraer el antilogaritmo de un número (se utiliza tablas de antilogaritmos.) El antilogaritmo se determina únicamente con la parte decimal del número, ya que la parte entera nos servirá únicamente para localizar el punto decimal. M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Ejemplo: Antilogaritmo de 2.4489 Nota: Utilizando las tablas de Arquímedes caballero. En la primera columna de la izquierda encabezada por m localizamos el numero .44 y, en el cruce de este renglón con la columna 8 (tercera cifra de la característica) se halla el numero “2805” por el mismo renglón se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 9 que es la cuarta cifra del número al cual se le va a extraer antilogaritmo y en el cruce encontramos el numero 6 este último número se lo sumamos a 280, así: 2805 + 6 ______ 2811 Para determinar el número de cifras enteras (o sea, la característica del numero al cual se le va a extraer antilogaritmo) le sumamos uno.asi tenemos. Antilogaritmo de 2.4489=281.1 Ejercicio- 4 determine los antilogaritmos. (utiliza la calculadora) Antilogaritmo de 1.2484=_____________ Antilogaritmo de 6.1912=_____________ Antilogaritmo de 3.1700=_____________ Antilogaritmo de 2.513= ______________ Antilogaritmo de 1.1320=______________ Antilogaritmo de 4.9329=______________

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS. 1.- el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores Log A.B =Log de A + Log B Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente operación (3)(4) Log (3) (4) =Log 3 +Log4 = (0.4771)+ (0.6021)= 1.0792 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Antilogaritmo de 1.0792 =12.0000 (para comprobar nuestra operación) Ejemplo: Utilizamos logaritmo resolver la siguiente operación (2.845) (-0.002311) (845.2) Nota; Como no hay logaritmos de de números negativos sacamos el logaritmo de 0.002311 como si fuera un numero positivo y al final colocamos el signo aplicando la regla de los signos Log (2.845) (0.002311) (845.2)= Log 2.845 + Log 0.002311 + Log 845.2= _ 0.4541 + 3.3638 + 2.9270 = 0.7449 Antilogaritmo 0. 7449=5.558 Ejercicio-5 Efectuar las siguientes operaciones utilizando los siguientes logaritmos. (0.0238) (345) = (2385) (32.25) = (6.285)(0.02382) = (2.32) (0.023) (842) = (4.8520) (0.1211) (238)

_____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ = ___________________________________________

El logaritmo de un coeficiente es igual al logaritmo del dividendo manos el logaritmo del divisor. Log A/B= Log A – Log B Ejemplos: Por medio e logaritmos efectuar la siguiente división 35/5 Log 35/5 =Log 35- Log 5 Log 35/5 = (1.5441) – (0.6990) Log 35/5 =. (451 Antilogaritmo .8451 =7.0000 Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente división 2.68/33.2 Log 2.68/33.2 =Log 2.68- Log 33.2 “ “ = 0.4281-1.5211 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso La diferencia anterior se puede efectuar pero obtenemos un resultado negativo (ya que el minuendo es menor que el sustraendo) Como no es posible obtener antilogaritmo de mantisas negativas , evitando este problema sumando 10 -10ª .4281 10.4281- 10 10.4281-10 1.5211 __________ 8.9070-10 =2.9070 Antilog: 2.9070= 0.08072 Ejercicio-6 Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos decimales: 0.4200/2.2120 = ________________________________________________ 34500/88.32

= ________________________________________________

0.032/0.2132

= ________________________________________________

1.223/17.32

= _________________________________________________

25.32/2.940

= _________________________________________________

0.0238/ 0.112 = ________________________________________________ c) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Log Ax= x Log A Ejemplo: Calcular por medio de logaritmo la siguiente operación Log52=2Log 5 =2(0.6990) Log52=1.3980Antilog 1.3980=25.0000

Ejemplo: utilizando logaritmos resolver. (00015)2 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Log (0.0015)2=2Log 0.0015=2 (3.1761) Para efectuar esta multiplicación se separara la característica de la mantisa. _ _ 2(3. + .1761) =6 + .3522 Juntándolos nuevamente tenemos: 6.3522 _ Antilogaritmo de 6.3522=0.00000225 Ejercicio-7 utilizando logaritmos resolver las siguientes operaciones.(utiliza la calculadora) (2325)2 ____________________________________________ (4.25)5.2 ____________________________________________ (432.8)12 ____________________________________________ (0.0025)3 ____________________________________________ (0.02388)2.5 __________________________________________ (0.2532)4.85 ___________________________________________ c)El logaritmo de una raíz enésima es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida entre el índice de la raíz. Log n√A = Log A /n Ejemplo: Utilizando logaritmos efectuar la siguiente operación Log

3

√8 = log 8

3√8

/3 = 0.9031/3 =0.3010

Antilogaritmo de 0.3010 = 2.0000 Ejemplo: Efectuar la siguiente operación utilizando logaritmos 5 √0.025 Log 5√0.025 = Log 0.025 / 5 = 2.3979 /5 Para efectuar ésta división se separa la característica de la mantisa. M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso 2

+

.3979 / 5

Ahora tratamos de que la característica de (2) sea exactamente divisible entre el divisor (5). Esto se logra sumando al dividendo -3 +3 _ 2 – 3 + 3.3979 / 5 _ 5 + 3.3979 / 5 Separando los numeradores tenemos: _ 5 / 5 + 3.3979 / 5 _ _ 1 + 0.6795 = 1.6795 _ Antilogaritmo de 1.6795 = 0.4780 Ejercicico-8 Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos.(utiliza la calculadora) 3

√0.02312 ____________________

4

√2382=

____________________

√4.220=______________________

√82240 =________________________

6

5

√1976=________________________ √7586=________________________

12

Obtención de logaritmos de cualquier base a partir de logaritmos decimales. Sea:

N = ax ________________(1)

Transformando la expresión (1) a forma logarítmica: Loga N = x _____________(2) Determinando el logaritmo de la expresión (1) con base (b) Obtenemos: Log ∙ b N = Log ∙ b ax Log ∙

b

N = x Log ∙ b a ________(3)

Despejando a (x) de la expresión (3) tenemos: x = log∙

b

N / log∙ b a

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________(4)

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Manual de curso Sustituyendo (4) en (2) Log∙

b

N = log∙

b

N / log∙ b a

Podemos considerar que : N = A cualquier número a = a cualquier base b = base diez Así: Log∙ a N = log ∙10 N / log ∙10 a Ejemplo: Calcular el logaritmo de 215 con base 3 a partir de logaritmos con base 10 Log ∙ 3 215 = log ∙

10

215 / log ∙

10

3

log ∙ 3 215 = 2.3324 / 0.4771 log ∙ 3 215 = 4.888 Calcular el logaritmo de 236 con base siete a partir de logaritmos decimales. Log ∙

7

236 = log ∙

10

236 / log ∙

log ∙

7

236 = 2.3729 / 0.8451

log ∙

7

236 = 2.808

10

7

Ejercicios-9 Obtener los logaritmos de los siguientes números utilizando logaritmos decimales. log ∙

3

84.25

log ∙

9

2.150

log ∙

5

445.2

log ∙

8

7724

log ∙

2

365.9

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Manual de curso log ∙

6

.0079

Determinación de los logaritmos naturales (Base “e “ ) a partir de logaritmos decimales Log ∙

e

N = log ∙10 N / log ∙10 e

Pero sabemos que: Log ∙

e

N = Log

10

e = 2.718 N / Log ∙10 2.718

Log. 10 2.718 = 0.4343 Log 10N/0.4343 Log

N= 2.30 Log

. e

N

. 10

La formula anterior nos sirve para determinar logaritmos naturales a partir de logaritmos decimales. Ejemplo: calcular el logaritmo natural de 28.45 a partir de logaritmos decimales. Log.e 28.45= 2.30 Log Log

28.45

10

28.45 =1.4145

10

Log.e 28.45 = (2.30) (1.451) Log.e 28.45 = 3.3214 Nota: El logaritmo natural o neperiano se puede representar así: (Log .e): (In) o (Log.2.718) Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 825 a partir de logaritmos. Log

. e

825= 2.30 Log10825

Log.10 825 = 2.9165 Loge 825 = (2.30) (2.9165) Log.e 825 = 6.7080

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Manual de curso Ejemplo: Calcular los logaritmos naturales de los siguientes números a partir de logaritmos decimales. Log.e 23.67 Log.e 4.567 Log.e 0.00345 Log.e 67.45 Log.e 7.865 Log.e 48.62

1.- Resolución de operaciones combinadas (multiplicaciones, divisiones, raices, y potencias) utilizando logaritmos.Resolver las siguientes ecuaciones utilizando logaritmos. 457/ (3√228) (√16.5) Sacando logaritmos 457/ (3√228) (√16.5) = Log∙457 - Log (3√228) (√16.5) =Log∙457- Log (3√228)+ (√16.5) =Log∙457- Log (Log 228/3) +(Log16.5/2) =Log∙457= 2.6599 =Log∙288=2.3579 =Log∙16.5=2.2175 Substituyendo os valores tenemos; (2.6599)-(2.3579/3+2.2175/2) (2.6599)-(0.7859+0.6087) = (2.6599)-(1.3946) = 1.2653 Sacando el Antilogaritmo de 1.2653 = 18.42 (comprobación) 2.-Resolver la siguiente operación utilizando logaritmos: (21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401) Determinando logaritmos Log (21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401) M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Log (21.71) (28.65)- Log (396.4)(1.401) Log (21.75+28.65)-(Log396.4+Log 1.401) Log21.75= 1.3367 Log 28.65= 1.4576 Log 396.4= 2.5981 Log 1.4010= 0.1464 Substituyendo tenemos los valores (1.3367+1.4576)-(2.5981+0.146) (2.7943)-(2.7445)=0.0498 Antilogaritmo.- 0.0498= 1.121 4.- Efectuar la siguiente operación utilizando logaritmos: [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2 Determinando los logaritmos Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2 ½ Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)] ½ Log [(8264) (.311)- (2.351) (28.6)] ½ Log [(8264)+ (.311)- (2.351)+ (28.6)] Log8264=3.9172 Log0-311= 1.4928 Log2.351=0.3713 Log28.6= 1.4564 5.- ½[(3.9172+1.4928)-(0.3713+1.4564)= = ½[(3.4100)-(1.8277)] ½[1.5823]= 1.5823/2= 0.7911 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Antilogaritmo 0.7911= 6.182

6.- Resolver las siguientes operaciones utilizando logaritmos: 1.-

(√325) (225)3/ (445)(0.0048)=

2.-

(278)4(5√3.04) =

3.-

278/ (3√o.2875) (372)5=

4.-

(842)3 (5√2.25)=

ECUACIONES EXPONENCIALES Se le llaman ecuaciones exponenciales aquellas en que la incógnita aparece como exponente. Son ejemplos: 2x+1 = 8 3x = 7 3x+1 = 5x-2 Generalmente las ecuaciones exponenciales se resuelven mediante el uso de las propiedades fundamentales de los logaritmos. Resolver la siguiente ecuación. 16x+1

= 15

x+3

Sacamos logaritmos al primero y segundo miembro de la igualdad. Log 16x+1 = 15

x+3

(x+1) Log 16 = (x+3) Log 15 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Pasamos al primer miembro de la igualdad cada uno de los términos que contenga la incógnita y al segundo al que no la contenga: x Log16-x Log 15 = 3 Log 15-Log 16 Sacamos a (x) como factor en el primer miembro de la igualdad. X(Log 16 Log 15) = 3 Log 15 – Log 16 Despejando a (x) tenemos : x+ 3 Log 15 – Log 16 / Log 16 – Log 15 determinamos los logaritmos de : Log 15 = 1.1761 Log 16 = 1.2041 Substituyendo tanemos : X=3 ( 1.1761) – (1.2041) / ( 1.2041) – ( 1.1761) X= 1.1761 – 1.2041 / 1.2041 – 1.1761 X = 2.3242 / 0.028 X = 85 Resolver la siguiente ecuación : 5x2- 3 =5x2 Sacamos logaritmo al primero y segundo mimbro de la igualdad: Log 5x2 – 3 = Log5x2 (x2-3) Log 5 = (2x) Log 5 Pasamos al segundo miembro Log 5: x2-3 = (2x) Log 5 / Log 5 x2 – 3 = 2x x2-2x-3=0 Llegamos a una ecuación de la forma ax2+b+∙ c= 0 La cual se puede resolver por: a) Factorizando M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso b) Utilizando la fórmula general: X= -b +- √b2 - (4) (a) (c) / 2a c) completando el trinomio cuadrado perfecto. Resolución de la ecuación utilizando la fórmula general: X= -b+- √b2 - (4) (a) (c) / 2ª X2-2x -3 = 0 Obtenemos. A=1, B= -2 , C=-3 Sustituyendo tenemos los valores: X=-(-2)+-√ (-2)2 – (4) (1) (-3) / 2 (1) X= 2 +- √4 12 / 2 X= 2+-√16 / 2 x= 2 +-4 / 2 X1= 2+-4 / 2 X1= 2+-4 / 2 = 6 / 2 = 3 X1= 3 X2= 2- 4 / 2 = -2 /2 =-1 X2 = -1 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x-y = 5---------------1 X + 2y = 3------------2

Para la ecuación (1) tenemos: 2x-y = 5 Log 5= 0.6990 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Log 2= 0.3010 x-y = 0.6990/ 0.3010 x-y = 2.322-----3 Resolviendo las ecuaciones (2) (3) X+ 2y 0 3 -------------- (2) x-y= 2.322--------------- (3) Ecuaciones de este tipo ya sabemos que las podemos resolver por: a) suma o resta b) por igualación d) por sustitución Resolviendo por suma o resta multiplicamos la ecuación (3)por (-1) -1 (x-y) = -1 (2.322) -x+y = -2.322 Resolviendo las ecuaciones tenemos: x+2y=3 -x+y = -2.322 ____________ 3y= 0.678 Y=0.678/3 Y=0.226 Substituyendo y= 0.226 en la ecuación (2) tenemos: x+2y= 3 x+2(0.226) = 3 x+0.452= 3 x= 3 – 0.452 x= 2.548 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 5x-2y = 100 ---------------- (1) M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso 32x-y = 10 ----------------- (2) ________________________ Transformando la ecuación (1) a la forma lineal tenemos: 5x-2y = 100 Log5x-2y = Log100 (x-2y) Log 5 = Log 100 x-2y = Log 100 ________ Log 5

Si, tenemos que. Log 100 = 2.0000 ______ Log 5= 0.6990 sustituyendo x-2y = 2.8614------------- (3) Transformando la ecuación (2) a la forma lineal tenemos : 32x-y = 10 Log32x-y = Log 10 (2x-y) Log3 = Log 10 2x-y = Log 10/ Log 3 Log 10 = 1.0000 Log3 = 0.4771 2x-y 1.0000/0.4771 2x –y = 2.093----------- (4) Resolviendo las ecuaciones (3) y(4) x-2y= 2.8614 ----------- (3) 2x –y = 2.093------------ (4) M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Multiplicando por (-2) la ecuación (3): -2 (x-2y) =-2(2.8614) -2x +4y = -5.7228 Sumando con la Ec-4, tenemos: -2x+4y = -5.728 + 2x -y = 2.0930 _______ 3y= -3.6298 y = -3.6298 / 3 y= -1.2099 Sustituyendo y =1.2099 en la ecuación (4) 2x – y = 2.0930 2x- (.1.2099) = 2. 0930 2x+ 1.2099= 2.0930 2x = 2.0930 – 1.2099 x = 0-8831 / 2 x=0.4415 Resolver las siguientes ecuaciones: 2x+2 = 4x-1 2x-1 =16 5x2+x = 25 7x = 22x+1 8x-y = 3x 6x-y = 63 4x+2y= 64 2x+5y = 5 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso

ECUACIONES LOGARITMICAS Una ecuación que contiene una o más funciones logarítmicas de una o más incógnitas, se le llama la ecuación logarítmica. Son ejemplos: Log 6 (x+3) + Log (x -2) Log x+ Log y = 4 Log (x-2) + Log ( x-3)+ Log 2 Para resolver las ecuaciones logarítmicas se hace uso de las propiedades fundamentales de los logaritmos. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: Log6 (x+3) + Log6(x-2) = 1 Nota.- Sabemos que Log (A) (B) = Log A + Log B Log6(x+3) (x-2)= 1 Transformando la ecuación logarítmicas anterior a exponencial (x+3) (x-2)= 61 Efectuando la multiplicación indicada tenemos: x+2 x-2 ______ x2 + 3x -2x-6 _______ x2+x-6 x2+x-6=6 tenemos. x2+x-12=0 Resolviendo esta ecuación utilizando la fórmula general de segundo grado tenemos: x2+x-12=0 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso a= 1, b= 1 , c= -12 X= -b+- √b2 - (4) (a) (c) / 2a

Sustituyendo valores tenemos: x=-(1)+-√ (1) 2-4(1) (-12) / 2(1) x= -1+-√1+48 / 2 x= -1+-√49 / 2 x= -1+-7 /2 x1=-1+7 / 2 = 6/2 =3 x2=-1-7 / 2 = -8 /2 =-4 Resolver la siguiente ecuación: Log3 (x+2) – Log (x-6) = 2 Nota: Sabemos que Log a/b = Log a – Log b Log (x+2) / (x-6) =2 (x+2) / (x-6) = 9 (x+2) = 9 (x-6) x +2 =9 x- 54 x-9x =-54-2 -8x =-56 x= -56 /-8 x=7 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: Log

10

x + Log

10

y= 4 -------------- (1)

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Manual de curso Log

10

2x – Log

5y =1 ------------- (2)

10

De la ecuación (1) tenemos: Log

10

x + Log

Log

10

(x) (y) = 4

10

y= 4

Transformándola a una expresión exponencial tenemos (x) (y) =104 104 = 10 000 --------- (3) De la ecuación tenemos: Log

10

Log

10

2x – Log

10

5y = 1

2x /5y = 1

Transformándola a una expresión exponencial tenemos: 2x /5y = 101 ---------------- (4) Resolviendo la siguiente ecuaciones (3) y (4) tenemos: (x) (y) =10000 ------------ (3) 2x/5y = 10 ---------------- (4) Despejando a (x) de (4) x= (10) (5y) / 2 x= 50y / 2 x=25y Substituyendo tenemos x=25y en la ecuación (3): (x) (y) =10000 (25y) (y) =10000 25 y2= 10000 M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso y2 = 10000 / 25 y2 = 400 y= 400 y= 20 Sustituyendo y= 20 en la ecuación (3) (x) (y) = 10000 (x) (20) = 10000 x = 10000 / 20 x= 500 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones (se combinan exponenciales con logarítmicas) 10x-3y = 3 ------------------- (1) Log 102x – Log 10y = 1 ---- (2) ________________________ De la ecuación tenemos (1) tenemos: 10x-3y = 3 Sacando logarítmicos al primero y segundo miembro de la igualdad: Log

10 x- 3y = Log

10

3 10

(x-3y) Log10 10 = Log

3 10

Pasamos Log 10 al segundo miembro: x-3y = Log 103 / Log 1010 Log 3 = 0.4771 Log 10 = 1 x-3y = 0.4771 / 1 De la ecuación (2) : Log 102x- Log y = 1 Nota.- sabemos que Log A/ B = Log A – Log B M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso Log 10 2x / y = 1 Transformando a una expresión exponencial tenemos: 2x / y = 101 2x / y = 10 ----------- (4) Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) x-3y = 0.4771 ---------- (3) 2x / y = 10 ----------- (4) Despejando x de la ecuación (4) 2x / y = 10 x= Log / 2 x= 5y Substituyendo x =5 y en la ecuación (3) tenemos: x-3y = 0.4771 (5y) -3y = 0.4771 2y= 0.4771 y= 0.4771/ 2 y= 0.2385 Sustituyendo y= 0.238 en x= 5y x=5 (0.2385) x= 1.1925

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METODO DEDUCTIVO.

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Manual de curso El conocimiento del metodo deductivo en el area de fisico-matematicas , es importante para la formación del estudiante, ya que le proporcina las bases para el analisis y deducción de los principios en matematicas. Para iniciar las bases de esta tecnica se presentan las definiciones que se emplean en este metodo. DEMOSTRACION. Es el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusión, de tal modo que no exista ningun error en el trnascurso de los argumentos. ARGUMENTAR. Pasar de una nocion logicas.

a otra, por una serie de consideraciones puramente

PREMISA. Es el principio de un razonamiento.( representa a cada una de las proposiciones de un silogismo) PROPOSICION. Accion y efecto de proponer. PROPONER. Exponer un plan, enunciar un problema. SILOGISMO. Argumento que esta compuesto por tres proposiciones llamadas. MAYOR, MENOR Y CONCLUSION. Las caracteristicas de las tres proposiciones son: MAYOR..- Define a un grupo en su enunciado. MENOR.- Define o indica ( caracteriza) al menos a un elemento del grupo que define la premisa mayor. CONCLUSION.- Es una proposicion que se construye poniendo como sujeto ,añ sujeto de la premisa menor y como predicado a la premisa mayor. Ejemplo. En la proposicion que se enuncia identifica las premisa mayor, menor y la conclusión ademas escribe el silogismo en ese orden. -a-las abejas tiene tres pares de patas y un par de antenas -b-todos lo insectos artropodos tiene tres pares de patas y un par de antenas. -c- la abeja es un insecto artopodo. Entonces aplicaremos el metodo deductivo. M en C Martin Cortes Perez

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GEOMETRÍA . La geometría es el estudio de las propiedades y caracteristicas de ciertos elementos como rectas, angulos, triangulos y circulos, la geometría se desarrolla , estudia loicamente por medio de lo que se conoce como metodo deductivo, todo sistema que se depende del razonamiento deductivo se conoce como sistema logico. El ESPACIO se define como el conjunto de todo los puntos. Por esta definición si un objeto esta en el espacio entonces es un punto. En geometría las suposiciones se denominan postulados. GEOMETRIA EUCLIDIANA Se denomina geometría matemático griego clásico

euclidiana

la geometría recopilada por el

Euclides, en su libro "Los elementos", escrito alrededor de 300 años antes de J.C.

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Manual de curso La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con euclidiana es sinónimo de

frecuencia, la geometría

geometría plana. Antecedentes historicos. La geometría fue creada y desarrollada por los caldeoas ( mesopotamia y sus alrededores) antes de cristo,los conocimientos de los caldeos fueron asentados en tablas conocidad como cuneiformes,tales como triangulos, cuadrilateros, y circunferencia, entre las aplicaciones tenemos, el uso del triangulo en las construcciones y astronomia, ademas dividieron en 360° la circunferencia. Posteriormente estos conocimientos se concentraron en babilonia, después se transportaron a Egipto extendiendo estos conocimientos a mesopotamia, asia menor y norte de África, después de varios siglos el imperio griego domino el mediterraneo. Thales de Mileto. Entre los primeros griegos en asimilar algunas expresiones matematicas escritas por persas, semitas,y egipcios, duchas expresiones fueron el inicio de la geometría euclidiana.

Axiomática La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se asumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema: 1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. M en C Martin Cortes Perez

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Manual de curso 5. Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras han intentado en vano deducirlo. Al construirse la geometría hiperbólica se demostró que esto no era posible ya que en este tipo de espacios, se demuestra que el quinto postulado es falso mientras el resto se sostiene. También se notó que el conjunto de axiomas escogido por Euclides es incompleto.

Limitaciones Euclides utiliza hechos no demostrados ni postulados en sus teoremas desde el primero, aunque son cosas tan sutiles que pasaron inadvertidas durante mucho tiempo. Para que el sistema de euclides fuera completo habría que añadir al menos dos postulados más: • •

Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción) Dos triángulos con dos lados iguales y su ángulo igual son iguales (equivale al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente)

Pitágoras. Uno de los mejores alumnos, de thales d Mileto fue Pitágoras, fundo su escuela de matematicas en cretona (Italia) una de las aportaciones mas importante que realizo esta escuela fue la interpretación matematica de la correlacion que tiene los catetos de un triangulo rectangulo con su hipotenusa. Platon: exalumno de Sócrates, este griego, fundo su escuela con la finalidad de poder argumentar adecuadamente los conocimientos matematicos existentes , fundamntando los conceptos elementales de ella, llamandoles premisas y en una forma logica o razonada encontrar conclusiones.

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ELEMENTOS DE GEOMETRIA. Una línea recta es una sucesión de puntos que llevan una misma dirección pero que van en dos sentidos opuestos; si se desplazan en un solo sentido se tratan de una semi-recta. Segmento de la recta: es aquella que está comprendida entre dos puntos. Líneas paralelas: son dos rectas en los cada uno de sus puntos equidistan uno con otro. Nota: equidistar, significa a igual distancia. Líneas perpendiculares: son dos rectas que en su punto de intersección forman por lo menos ángulos de 900. Líneas concurrentes: son dos o más rectas que tienen un punto en común.

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Línea recta

Semi recta

Segmento de recta.

Líneas paralelas

Líneas perpendiculares

Líneas concurrentes.

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ANGULOS. Definición: Angulo es la abertura comprendida entre dos líneas que tienen un punto en común llamado vértice. Formas de denominar un angulo. a) Una mayúscula vértice.

en

letra b) Una letra griega c) Tres el o un símbolo en la mayúscula. abertura.

letras

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

Sistema ciclico. (mediada de angulos en radianes).

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Manual de curso Un radian es un angulo tal que si su vértice se coloca en el cento de un circulo,intercepta un arco cuya longitud es igual al radio del circulo.

TIPOS DE ÁNGULOS Tipo de ángulo

Rango

Cóncavo Águdo Recto

0° <

< 180°

= 90°

Obtuso

= 90° 90° <

< 180°

Convexo Extendido

180° <

< 360°

= 180° = 360° Completo

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Manual de curso Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores. 0tra forma de expresar los tipos de angulos es. Angulo Agudo: es el que mide menos 900 Angulo Recto: es el que mide 900 Angulo Obtuso: es el que mide más de 900y menos de 1800 Angulo llano: es el que mide 3600 Angulo de una vuelta: es el que mide 3600 Angulo Convexo: es menor que un llano.

Angulo cóncavo: mide más de 1800 y menos de 3600 Ejercicio- 12 , escribe el nombre alos siguientes angulos M en C Martin Cortes Perez

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PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos adyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.