Trigonometria ANUAL UNI

Preguntas propuestas

5 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Trigonometría Práctica

por

Circunferencia trigonométrica II

A) 〈0; 1] D) [– 1; 1]

NIVEL BÁSICO

1.

6.

Si se cumple que π π 4 ≥β≥ 3 3 halle la variación de 1 2sen 2β + 1 A) [0; 1]

4 E) 1;   3

7.

 1 Si cos α ∈  −1, − ; además, a ∈ 〈0; 2p〉 deter2 

A)

2π 4 π ; 3 3

B)

2π 5 π ; 3 3

2π 4 π D)  ;  3 3

3.

C)

8.

5π B)  ; 2π  4 

C) [1; 2] E)  1 ; 3  3 

 5π 7π  C)  ;  4 4

NIVEL INTERMEDIO

1 2 3 E) 2 C)

D) 1

5.

 5π 3π  D)  ;  4 2

1 Si − ≤ senβ ≤ 1; 0 ≤ b ≤ 2p, calcule la suma del 2 π  máximo y mínimo valor de sen  β −  .  3 B) 0

3π π < θ < , ¿qué valores adopta la expre4 4 π  sión cos  θ −  ?  4 Si −

 4 1 C)  − ; −   3 2

Si p ≤ x ≤ 2p; además, se tiene que 2sen4 x+3sen2 x – 2 ≥ 0, halle la variación de x.

A) [0; 2]

A) – 1

B)  − 4 ; 1   3 2 

E)  1 ; 3   2 4 

A)  π; 5π   4 

D) [2; 3]

4.

Encuentre la variación de la siguiente expresión. cos x − 2 , x ∈R cos x − 2 + 1

Si 0 ≤ a ≤ p, halle la variación de la expresión sen2a+2sena. B) [0; 3]

C)  π ; 4 π   3 3   4π  E) 0;   3

D)  1 ; 1   4 2 

2π 4 π  ; 3 3 

E)  π; 4 π   3 

π B)  ; π  3 

 3 1 A)  − ; −   4 2

mine el intervalo de a.

C) 〈– 1; 1〉 E) 〈– 1; 0〉

Si se cumple que senθ ≥ 3 cos θ; además, 0 < q < 2p, halle el conjunto de valores que adopta la variable q.

D)  π ; 5π   3 3 

1 4 C)  ;  3 3

1 D)  ; 1  3 

2.

B) [0; 1]

π π A)  ;  3 2

1 B)  ; 1 2 

Niveles

E)  π; 7π   4 

9.

Si 0 ≤ x ≤ p, halle la variación de la expresión. π  π  cos  − x  + sen  + x  4  4  A)  − 2; 2 D)  − 2; 2 

B)  − 2; 0 

C)  − 2; 1 E) [0; 2]

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5

2

Trigonometría

Material Didáctico N.o 5

Academia CÉSAR VALLEJO

10. Si cos2q+cosq > 0

determine el conjunto de valores positivos y menores que una vuelta para la variable q. A) 0; π ∪ B) 0;

13. Si 4senθ = senx + 3 cos x; x ∈R, además,

5π ; 2π 3

p  0

A) 1+cosq – senq+cotq B) 1 – cosq+senq – cotq C) 1+cosq – senq – cotq D) 1 – cosq+senq+cotq E) 1+senq+cosq – cotq

A)

π 3π 4 π 3π ; ∪ ; 3 4 3 2

B)

π 3π 4 π 3π ; ∪ ; 3 4 3 2

C)

π 5π 7π ;π ∪ ; 2 4 4

D)

π 3π 4 π 7π π 3π ; ∪ ; − ; 3 4 3 4 2 2

E)

π π 5π 4 π ; ∪ ; 4 3 4 3

15. A partir de la condición

{ }

3 > cot θ ≥ −1 ¿cuántos valores enteros admite la expresión 2senq+1? A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

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6

Práctica

por

NivelesTrigonometría

Circunferencia trigonométrica IV D) cosq – cotq E) senq – cotq

NIVEL BÁSICO

1.

En la circunferencia trigonométrica mostrada, m AT = θ, PM = 13 y el punto T es de tangencia. Calcule senq.

M(– 3; 0)

4.

En la siguiente trigonométrica, calcule el área de la región sombreada. Y

B

A

X

θ θ

T

T P

P A) − D) −

2.

3 2

B) −

1 2

C) −

1 4

E) −

1 3

C) cot θ − cos θ 2 cos θ − csc θ D) 2 cos θ + csc θ E) 2

2 ; q ∈ IC, calcule el máximo valor Si 2 ≥ sec θ ≥ 3 de la expresión senq+tanq. A) 1 + 3 2 2

3

B)

C)

D) 2

3.

A) cos θ − cot θ 2 cos θ + cot θ B) 2

2 2

3 3 2

E) 2 3

En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule MQ si el punto M es de tangencia. Y M

5.

En la circunferencia trigonométrica mostrada, P es punto de tangencia, tal que secq=– 2. Calcule el área de la región sombreada. Y P θ

Q

M

θ O

P

A

X

X

A) tanq B) cotq C) – cotq

A)

1 2 u 2

D)

1 2 u 4

B)

C) E)

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3 2 u 2

14

3 2 u 4 3 2 u 4

Trigonometría

Anual UNI

Trigonometría

Y

NIVEL INTERMEDIO P

6.

4

Si se cumple que sec q ≥ 2sec q; además, p > q > 0, halle el conjunto de valores para la variable q, que verifiquen las condiciones iniciales.

cos θ + sec θ 2 cos θ D) − 2

C)

π 2

E) −

π π  3π ∪  ;π E)  ; 4 4 2

8.

sec θ 2

10. En la siguiente circunferencia trigonométrica,

Calcule el mínimo valor de la siguiente expresión. sec4 x+4tan2 x+2 B) 2

AT = θ y el área sombreada es se tiene que m  1 u2. Calcule cosq+secq. Y T

C) 3 E) 6

A

X

Si se cumple que 2 > sec x ≥ 2 , halle el conjunto de valores que adopta la expresión cscx.  2 A)  − 2; − ∪ 3 

2  ; 2 3 

A) − 2

B) 2

D) −2 2

B) 1; 2 

C) 2 2 E) – 4

11. Determine los valores positivos de x que son π , y verifican la condición. 2 x x tan 2 + cos 2 + 2 > 4 2 2

menores que

C) [1; +∞〉 D) 〈1; +∞〉 E)  2; 3

9.

X

(cos θ − sec θ) 2  cos θ + sec θ  B) −    2

π   3π C) 0;  ∪  ; π 4  4

A) 1 D) 4

A

A) −

π B) 0;  4

7.

M N

C

π π π 3π  A)  ; ∪ ;  4 2 2 4 

D) 0;

θ

2

En la circunferencia trigonométrica mostrada, m AP = θ. Calcule el área sombreada. Considere P como punto de tangencia.

A) 0;

π 6

D) 0;

π 4

B)

π π ; 6 2

C) 0; E)

π 3

π π ; 3 2

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15

8

Trigonometría

Material Didáctico N.o 5

Academia CÉSAR VALLEJO

12. En la circunferencia trigonométrica mostrada, m AT 1 = θ, m  AT 2 = α y PQ=2. cos α − cos θ . Calcule 2 cos α cos θ Y

T1

A

B) – 2

X

sec (θ) − 1 2 cos (θ)

C) 1 E) 4

π 5π ∪ ; 2π 4 4

A)

0;

B)

π ;π 4

C) 0;

π 2

π π D)  ; 4 2

NIVEL AVANZADO

13. En la circunferencia trigonométrica mostrada, si m  AM = θ, determine el área de la región triangular APQ. Y P

 E)  π ; π ∪ π; 5π  ∪ 3π ; 2π 4  2 4 2

15. En la circunferencia trigonométrica mostrada,

calcule MN si los puntos P y Q son de tangencia. Considere m  AP = θ. Y

Q

A

M

E)

lores de senq, si 0 ≤ q ≤ 2p.

T2

A) 2 D) – 1

sec (θ) − 1 2sen (θ)

14. Si se verifica que secq ≥ cscq, obtenga los va-

P

Q

D)

A X

M Q

P B' N

A)

1 − csc (θ) 2sen (θ)

A) (tanq+cotq)cscq B) (tanq+cotq)csc2q C) (tanq+2cotq)csc2q D) cotq

( ) B) 1 + sec θ ( 2 cos θ) C)

1 − sec (θ) 2sen (θ)

E)

−2cot θ cos θ + sec θ

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16

X

Trigonometría Práctica

por

Funciones trigonométricas directas I

4.

NIVEL BÁSICO

1.

Halle el dominio de la función f definida por 3 f( x ) = sen 2 x − 4 si x ∈ 〈0; 2p〉

{ { { {

A) (4 k + 1) B)

}

π / k ∈Z 2

}

kπ / k ∈Z 2

C) (2 k + 1)

B)  π ; π   3 2 

π / k ∈Z 2

D) (4 k + 1)

C)  π ; π   3 

π / k ∈Z 4

E) {2kp / k ∈ Z}

5.

π 4 π 5π E) 0;  ∪  ;   3  3 3 

 B) 0; π  4

{

Halle el dominio de la función definida por 1 f ( x) = π π   sen  x +  + sen  x −    3 3

{ { { {

B) R − k

C) R − (2 k + 1) D) R − k

}

π / k ∈Z 2

}

π / k ∈Z 3

E) R − (2 k + 1)

D)

E)

} }

} }

kπ / k ∈Z 4 kπ / k ∈Z 2

π , determine el conjunto de valores 2 para x, en el cual la expresión 3 sec x csc x − 4 no está definida en el campo de los números reales. Si x ∈ 0;

A)

π / k ∈Z 3

π π ; 6 2

B)

π π D)  ;  6 3

19

}

π / k ∈Z 2

NIVEL INTERMEDIO

6.

π / k ∈Z 2

{ { {

C) (2 k + 1)

π 4

π π E)  ;  4 2

A) R – {kp / k ∈ Z}

}

π / k ∈Z 4

B) {kp / k ∈ Z}

C) 0;

π D)  ; π 4

} }

Halle los puntos de discontinuidad de la funπ  ción f si f( x ) = tan ( π − 2 x ) + tan  + 2 x  . 2  A) (2 k + 1)

Definida la función f mediante f ( x ) = senx − cos x + cos x , tal que 0 < x < 2p. Calcule el dominio de f. π π A)  ; 4 2

3.

Halle los puntos de discontinuidad de la funsec x − 1 ción f si f ( x ) = . 1 − senx

 π   2π 4 π  A) 0;  ∪  ;   3  3 3 

 π 2π   4 π 5 π  D)  ;  ∪  ;  3 3   3 3 

2.

Niveles

π π ; 6 3

π π C)  ; 6 3 E)

π π ; 3 2

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Trigonometría

Material Didáctico N.o 5

Academia CÉSAR VALLEJO

7.

8.

Halle el dominio de la función f, definida por

1  1 − cot x + sec x csc x    f( x ) =   1 − tan x + sec x csc x   tan 2 x − 1

f( x ) = cos (sen x ) + cos x.  π π A)  − ;   2 2

calcule el dominio de f.

 π B) 0;   2

A) R −

 π π C) R −  − ;   2 2

B) R −

D) R

C) R − (2 k + 1)

E) [0; 2p]

D) R – {2kp / k ∈ Z}

Halle el dominio de la función f si

E) R −

f( x )

A) B) C) D)

cos 2 2 x + sen 2 4 x = −1 1 + sen 2 4 x

{ { { {

} } } }

kπ / k ∈Z 2

π ;π 2

}

kπ / k ∈Z 8

  π   2π 4 π   5 π C) 0;  ∪  ;  ∪  ; 2π    3  3 3   3 1 + 1 − senx

1 senx −

halle el dominio de f si 0 < x < 2p.

B)

}

π / k ∈Z 4

π 5π 7π 11π  B) 0;  ∪  ;  ∪  ; 2π    6  6 6   6

kπ / k ∈Z 8

π π ; 6 2

kπ / k ∈Z 4

  π   2π 4 π   3 π A) 0;  ∪  ;  ∪  ; 2π    3  3 3   2

kπ / k ∈Z 3

A)

{

} }

kπ / k ∈Z 2

por g( x ) = 2 + sec x + 2 − sec x si x ∈ [0; 2p].

kπ / k ∈Z 4

Se define y = f( x ) =

{ { {

11. Determine el dominio de la función g definida

E) { p / k ∈ Z}

9.

10. Se define la función f

1 2

D) 0; 2π   3  E) 0; π ∪ 3π ; 2π   2  2 NIVEL AVANZADO

12. Calcule el dominio de la función

{}

f( x ) = cos

C) π ; 5π − π 6 6 2 D)

π 3π ; 2 4

A)

π ;π 4

E)

0;

π 2

D)

π π ; 4 2

2x x − cos 2 ; x ∈ 0; π 3 2 B)

C) 0;

π 4

π E) 0;  2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 11

π 3π ; 2 4

20

Trigonometría

Anual UNI

13. Calcule el dominio de la función definida por f( x ) =

1 ( sen7 x + sen5 x − sen3 x − senx ) cos2x

{ {

} }

correspondencia es senx + 2 cos 3 x f( x ) = ; ∀ n∈Z 1 + cos x − 2sen 2 x

} }

D) R − kπ / k ∈ Z 16

A) 2 nπ − π ; 2 nπ + π 3 3

kπ / k ∈Z 6

14. Calcule los puntos de discontinuidad de la función

π csc 2 x = tan (senx + cos x ) + ; n∈Z 2 tan x

A) {np}

{

B) (2 n + 1)

π 2

π 4

15. Halle el dominio de la función f, cuya regla de

C) R – {kp / k ∈ Z}

f( x )

π 2

E) {(2n+1)p}

B) R − kπ / k ∈ Z 8

E) R −

{ } { }

C) n

D) nπ +

kπ / k ∈Z A) R − 4

{ {

Trigonometría

}

21

π π B) nπ − ; nπ + 3 3 π π C) nπ − ; nπ + 6 6 D)

nπ π nπ π − ; + 2 3 2 3

E)

nπ π nπ π − ; + 2 6 2 6

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Práctica

por

NivelesTrigonometría Funciones trigonométricas directas II 7  A)  ; 3 8 

NIVEL BÁSICO

1.

6.

2.

Calcule el rango de f.  1 1 C)  − ;   4 4  1 E) 0;   2

D) [– 2; 2]

3.

Calcule el rango de la función f, definida por π f( )=senx+cosx, si 0 ≤ x ≤ . 2 A) 1; 2 

8.

  D)  2 ; 1  2 

E)  −1; 2 

NIVEL INTERMEDIO

4.

Si x ∈ π;

5π , determine el rango de la función 4

f( x ) = 1 + 2 senx cos x . A) 0;

2 2

B) 〈0; 1〉

C) 0; 2 E) 0; 2 + 1

D) 0; 3

UNI 2011 - I

5.

Sea la función f, cuya regla de correspondencia es f(x)=sen6x+sen4x+cos4x+cos6x. Calcule el rango de f.

9.

Calcule el mínimo valor de la función f si π f(x)=acos2x+bcosx; además, f   = −1 y 2 f(2p)=5. B) – 1

C) 0 E) – 3

Si f es una función, definida por π 2senx cos x − 1 donde x ∈ − ; 0 , f( x ) = 2 1 − senx cos x determine el rango de f. A)

−∞; −

D)

4 −1;  3

4 3

B)

5 − ; −1 3

C)

4 − ;∞ 3

E)  − 4 ; − 1  3 

Determine el rango de la función f, definida sen9 x + sen3 x . por f( x ) = cos 3 x A) [– 2; 2] – {0} B) 〈– 2; 2〉 D) [– 1; 1]

C) [– 2; 2] E) 〈– 2; 2〉 – {0}

10. Calcule el rango de la función f, definida por la regla de correspondencia f(x)=vers(senx). A) [0; 1 – cos1] B) [0; 2] D) [0; 1+cos1]

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 3 C) 0;   2 1 3 E)  ;  2 2

A) 1 D) – 2

 2 C) 0;   2 

B) 0; 2 

B) [0; 1]

1  D)  ; 1 2 

7.

 1 1 B)  − ;   2 2

A) [– 1; 1]

Determine el rango de la función f, definida 1  2π   2π  por f( x ) = + cos 2  − x  − sen 2  + x.  3   3  2 A) [– 1; 1]

Se define la función f mediante x  f( x ) = senx 1 − 2 cos 2  (cos 6 x + cos 2 x ) .  2

7  C)  ; 2 8  3  E)  ; 1 4 

3 D)  ; 2 4 

Definida la función f por f(x)=cot2x+2cscx+2 calcule el rango de f. A) [0; +∞〉 B) [1; +∞〉 C) [2; +∞〉 D) [3; +∞〉 E) [4; +∞〉

3  B)  ; 3 4 

24

C) [0; 1〉 E) [0; 1]

Trigonometría Anual UNI

Trigonometría

11. Si

π π x ∈ −29 ; − 14 6 3

A) 1 y f( x )

π x = tan  −  − sec x 4 2

calcule el rango de f. A)

B) 2 C) 1 + 2 D) 2 + 2 E) 2 2

3  ; 3 3 

14. Obtenga el rango de f si

 3  ; 3 B)   3 

 cos 2 6 x − cos 8 x  f( x ) =   cos 4 x  cos 4 x − 1

 3 C)  ;3  3

 1 1 A)  − ;  − {0}  2 2

D) − 3; −

3 3

 1 1 B)  − ;  2 2

 3 E)  − 3; − 3 

 1 1 C)  − ;   2 2

NIVEL AVANZADO

12. Definimos la función f por

f(x)=7senxsen3x+5cosxcos3x

B) – 12

2 tan x 1 − tan 2 x + 2 1 + tan x 1 + tan 2 x calcule fmin+fmáx. f( x ) =

E)

1 1 − ;  2 2

f( x ) =

C) – 14 E) – 7

13. Dada la función f, definida por

1 1 − ; 2 2

15. Definida la función f mediante

calcule el mínimo valor de f(x). A) – 10 D) – 16

D)

3 cos 2 x − 2 sen2 x + 4sen 2 x cos x − senx

calcule el máximo valor de f(x). A) 13 B) 3 C) 10 D) 2 E) 4

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 25

14

Anual UNI Circunferencia trigonométrica II 01 - D

04 - B

07 - A

10 - C

13 - A

02 - A

05 - A

08 - C

11 - D

14 - B

03 - B

06 - C

09 - A

12 - E

15 - E

Circunferencia trigonométrica III 01 - D

04 - C

07 - C

10 - A

13 - C

02 - C

05 - b

08 - C

11 - D

14 - C

03 - c

06 - B

09 - A

12 - D

15 - B

Circunferencia trigonométrica IV 01 - B

04 - A

07 - C

10 - D

13 - d

02 - e

05 - C

08 - A

11 - A

14 - E

03 - C

06 - a

09 - B

12 - d

15 - d

Funciones trigonométricas directas I 01 - D

04 - C

07 - D

10 - B

13 - B

02 - e

05 - D

08 - B

11 - C

14 - C

03 - A

06 - B

09 - C

12 - E

15 - A

Funciones trigonométricas directas II 01 - a

04 - B

07 - E

10 - A

13 - C

02 - C

05 - d

08 - E

11 - E

14 - C

03 - A

06 - B

09 - C

12 - e

15 - B