Trigonometria - 8 - Identidads Trigonométricas para Ángulos Compuestos y Dobles

 

Trigonometría ITTNIII2T8

TEMA: 8

Identidades trigonométricas para ángulos compuestos y dobles DESARROLLO DEL TEMA I.

I.T. DE LA SUM I.T SUMA A DE DOS ARCOS Sen (α + β) = Senα • Cosβ + Senβ • Cosα  Cos (α + β )= Cosα • Cosα  – – Senα • Senβ

 

74°° 74 25 7

Tg (α + β) =  Tgα + Tgβ 1 – Tgα  Tgβ 16°° 16 24

I.T T. DE LA RESTA DE DE DOS ARCOS II. I.

Sen (α – β) = Senα • Cosβ  – Cos – Cosβ • Senβ

c) Tg 8º = Tg (53º – 45º) 4

Cos (α  – β) = Cosα • Cosβ + Senα • Senβ Tg (α  – β) =  Tgα - Tg Tgβ   1 + T  Tg gα . Tg Tgβ

Nota: Ctg(α + β)=  

 

=

 

∴ Tg 8º = 1  

 – 1

Tg53º – Tg45º   = 3 3 4 = 7 1 + Tg53º Tg45º 1+ 3 3 7

Ctgα • Ctgβ + 1 Ctgβ + Ctg α  

82° 1 8°

     =  2   3  +  2   1     2   2   2  2     

∴ Sen75º =

6+ 2 4

7

Propiedades:

1. E = a Senα ± b Cos x

Emáx =  75° 4

a2 + b2

2 2 Emin =  – –  a  + b

6 – 2

15°  

2

5

 Aplicación: a) Sen 75º = Se  Sen n (45º+ (45º+ 30º) = Sen 45º Cos30º + Cos45º Sen30º  

1

Ejemplo:  – 13 ≤ 5 Senx + 12 Cos x ≤ 13  –  2 ≤ Sen x + Cosx ≤  2

6+ 2

 b) Cos 16º = Cos (53º-37º)  b)   = Cos 53º • Cos37º Sen37º =  3   4  +  4   3  5   5   5 5  24 ∴ Cos 16º = 25

2. Tg( A + B) =TgA + TgB +TgA TgB Tg( A + B )

Ejemplo: Tg18º +Tg17º +Tg36ºTg18ºTg17º=Tg35º Tg20º +  tg40º +   3  Tg20º Tg40º =

   

Integral Turno Mañana Regular 2014 - III / Trigonometría

3

↓ (Tg60º)

Tema 8

1

 

Identidades de ángulos compuestos - Identidades de ángulo doble Ciencia Histórica - Hominiz Hominización ación y Prehistoria  P rehistoria 

Si: a + b + c = 180°

Tg22º + Tg23º + T  Tg22º g22º • Tg23º Tg23º = 1 Tgα + T  Tg2 g2α + T  Tg gα T  Tg2 g2α T  Tg3 g3α  = Tg3α

Tga+ Tgb+Tgc=Tga  Tgb  Tgc

Propiedades Adicionales Tga ± Tgb =

Ctga  Ctgb+Ctga  Ctgc+ Ctgb  Ctgc=1

Sen(a ± b)

Cosa



Cosb

Si: a + b + c = 90°

Sen(a ± b) Ctgb ± Ctga = Sena  Senb

Ctga + Ctgb + Ctgc = Ctga  Ctgb  Ctgc Tga  Tgb + Tga  Tgc + Tgb Tgc = 1

Sen(α + θ)  Sen(α – θ) = Sen2α – Sen2β

Cos(α + θ)



Cos(α – θ) = Cos2α – Sen2θ

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Hallar: P = Cos80º + 2Sen70º • Sen10º S en10º

Problema 3 Siendo Sen 20º = a, Cos 25º = en término de “a” y “b” 

2  b. Obtener tg 25º

Resolución :  : 

= Cos(70º + 10º)+ 2Sen70º • Sen10º = Cos70º • Cos10º-Sen Cos10º-Sen70º 70º • Sen1 S en10º 0º+ +2Sen70º.Sen10º = Cos70º • Cos10º+ Cos10º+ Sen70º Sen10º = Cos(70º  Cos(70º –  – 10º) = Cos60º =  1/2

Resolución :

  

Sen 20º) = =a a Sen (45º-25º (45º-25º) 1 2

Problema 2 Hallar Dominio y Rango: f(x) f(x) = 3Senx + 4 Cosx  

C os 25º – 1

   

2b

b – 

 

Resolución :  : 

Dominio:x ∈R 

1 2

 

Rango: y = 5  3 Sen x + 4 Cos x  5 5 

Sen25º = a

  Sen 25º = a Sen 25º =

Tg25º = Sen25º =

(Sen37º • Senx + Cos37º • Cosx)  Y = 5 (Sen37º  Y = 5 Cos(x – 37º)  Ymax = 5 ; Ymin = – 5



2

Cos25º

2 (a – b) 2b

2  (b – a)

= a – b b

PROBLEMAS CLASE  NIVEL  NIV EL I

3.  

1.

Calcular Sen75°

 

A)

 

D)

2.  

Simplicar: 2Sen(30° – x) + A) Senx B) Cosx

6+1   4

6–

 

2

  4

 

C) 2Senx D) 2Cosx

 

E)

3 Cosx

B)

  E)

6–

3

  4 6+

3

  4

 

C)

  3  Senx

6+

2

 

  4

Reducir: B 2 Cos(45° + x) – Cosx A) Senx B) – Senx C) Cosx D) – 2Cosx E) 2Senx

 NIVEL  NIV EL II

4.

Calcular el valor de: C = Ctg8° – 2Sen30°

 

A) 10 B) 9

  

C) D) 8 7 E) 6

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5.  

Si: Tgx = 3; Tgy = 2; hallar: Tg(x – y) A) 1/10 B) 1/9 C) 1/8

 

D) 1/7

6.    

D) Tg9x

7.

Calcular: Calc ular: Tg Tg70° 70° – Tg Tg10° 10° –

 

A)

3 

D) 2Tg80°

B)

3  Tg70° Tg10°

3 /3

C) Tg80°

D) 7/4

9.

Siendo "x" e "y" complementarios calcular:

 

A) 1

B) 2

 

D) 4

E) 5

 

x

θ θ

 b2 – a2

C)

2ab  a2 – b2

  E) 2

1 + Sen2x + Cos2x 1 + Sen2x – Cos2x

 

  C) 1

 A) Tg Tgxx D) Tg2x

B) Ctgx E) 1

C) Ctg2x

15. Sabiendo que "x" es el menor posible, hallar Cos(x + 6°) sabiendo que: Tg(6x + 10°)Tg(x + 10)= 10)=1  

1 + Cos2x 1 – Cos2x   B) Tg Tgxx E) 1

2ab

2b    a

C) 3

Sen2α + 2Sen2α

B) Ctgα  E) Csc α

D)

B)

14. Reducir:

11. Reducir:

 A) Ctgx D) Tg2x

4

D) 11 E) 12

 

 NIVEL  NIV EL III

Sen2α + 2Cos 2α

 

 

E) 9/4

1 + Tg x  + 1 + Tg y    2   2  

A) Tgα  D) Sec α 

C) 10

2α  A)  b  

 

   

5

a 13. Si: = b ,  calcular Tg 2θ Senθ Cosθ  

E) Tg1 Tg10° 0°

Calc ular: Tg35° Tg37° Tg Calcular: Tg10° 10° Tg35° Tg Tg10° 10° A) 1/4 B) 3/4 C) 5/4

10. Reducir:

 

A) 8 B) 9

E) Tg1 Tg10x 0x

8.  

 

 

E) 1/6

Simplicar: D = Tg7x + Tg3x + Tg10x Tg7x Tg3x A) Tg3x B) Tg7 C) Tg4x

 

12. Hallar "x"

A) 24/25 B) 7/25

C) 12/13 C) Ctg2x

 

D) 5/13 E) 3/5

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