Trigonometría 5to año.pdf

Geometría

1

Triángulos: Propiedades Fundamentales y Auxiliares

TRIÁNGULO RECTÍLINEO Perímetro de la región triangular ABC. 2P9ABC = AB + BC + AC Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB; BC y AC Notación: 9 ABC se lee triángulos ABC.

CLASIFICACIÓN 1. Según sus lados: Triángulo escaleno a!b

Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

Base: AC

b!c

c!a

2.

Según sus ángulos Triángulo rectángulo

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo a2 + b2 < c2

Se cumple. a + b = 90º

2

2

2

a +b =c

(Teorema de Pitágoras)

Se cumple: 0º < a < 90º 0º < b < 90º 0º < q < 90º

3

Se cumple: 0º < b < 180º 0º < a < 90º 0º < q < 90º GEOMETRÍA

1

TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y AUXILIARES

5.o año

TEOREMAS 1. Relación de existencia a ≥ b ≥ c b–c 1 a 1 b + c a–c 1 b 1 a + c a–b 1 c 1 a + b

Nota: Si nos indican en un problema que dibujemos un triángulo y no especifican el tipo de triángulos se dibuja siempre un triángulo escaleno.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES a + b + q = 180º

x + y + z = 360º

x=a+b

a+b=m+n

x+y=a+b

PROPIEDADES ADICIONALES x=a+b+q

x + y = 180ª + q

1

GEOMETRÍA

a+q=x+y

4

TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y AUXILIARES También: 1.

5.o año

2.

x= a+b 2

3.

x= a-b 2

x= a+b 2

Trabajando en clase Integral

Resolución: En el triángulo ADC por propiedad x = a + q ............. (1) Luego en el triángulo ABC, por propiedad 4a + 4q + 60º = 180º 4a + 4q = 120º a + q = 30º Reemplazando en la ecuación (1) x = 30°

1. Si un triángulo rectángulo, un ángulo externo mide 140°, ¿cuál es la medida del ángulo externo del otro ángulo agudo? 2. Calcula “ x ”: y

5. Calcula “x”. 3. Calcula “x”.

6. Calcula “x”, si AB = BC = BD. PUCP 4. Calcula “x”.

7. Si dos lados de un triángulo miden 5u y 7u, ¿cuál es el valor del mínimo perímetro entero de dicho triángulo?



5

GEOMETRÍA

1

TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y AUXILIARES

5.o año UNMSM 8. Calcula “x”, si AB = BC y CD = DE,

UNI



12. Si: AB = LC = NC y m∠BML = 3(m∠CAB). Calcula el menor valor entero de la m∠CAB

Resolución:





Piden: “x” ; CD = DE = AB = BC = Además: iABC : isósceles ⇒ m∠BAC = m∠BCA = q iDEC : isósceles ⇒ m∠DEC = m∠ECD = q En el triángulo DEC, por propiedad ⇒ q = 70º 40º + 2q = 180º Finalmente en el triángulo DFA, por propiedad. 40º + x = q ⇒ 40º + x = 70º ∴ x = 30°

9. Calcula “x”, si AB = BC y CD = DE.



14. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado AC. Si 90º < m∠ADC = 180º; AD = 8u y CD = 15u. Calcula el menor perímetro entero del triángulo ABC.

11. Calcula “q”, si: AB = BD y m∠CAE = m∠ABD = m∠ACB.

GEOMETRÍA

Piden el mayor valor entero de: Datos: AB = LC = NC m∠BML = 3(m∠CAB) En el iAMN m∠MNC = 3x + x = 4x LC = NC m∠NLC = m∠LNC = 4x En el iNLC 8x + f = 180° ⇒ f = 180° – 8x Luego: BC > AB x > 180° - 8x 9x > 180° x > 20° ∴ xmin = 21° 13. Se ubica el punto P exterior relativo al lado BC de un triángulo ABC. Las longitudes de los segmentos PB, PC y PA están en razón de 1, 2 y 3. Calcula la suma del mayor y menor valor entero que puede tomar AP, si el perímetro de la región triangular ABC es 36 cm.

10. Calcula “x”, si BM es bisectriz del ∠ABC

1

Resolución

6

2

Líneas Notables asociadas a los triángulos Ceviana

Mediana

Segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y un punto cualquiera del lado opuesto o su prolongación.

Segmento de recta que tiene por extremos a un vértice del triángulo y al punto medio, del lado opuesto.

BQ : ceviana interior. BP y BR :ceviana exterior.

M: punto medio de AC BM:mediana relativa a AC

Bisectriz

Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior del triángulo.

Altura

Ceviana perpendicular al lado al cual es relativa.

BH: altura relativa a AC

BE: bisectriz interior relativa a AC

BE: bisectriz relativa a AC

exterior BM: altura relativa a CA

Mediatriz

Recta que biseca a un lado del triángulo en forma perpendicular.

L : mediatriz de AC

BL: altura relativa a AC

Propiedades m x = 90° + 2

m x = 90°– 2

L : mediatriz de CA

x= m 2

L: mediatriz relativa a AB

7

GEOMETRÍA

2

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

5.o año

PROPIEDADES 1. En todo triángulo isósceles.

4. El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama baricentro.

Z ] Altura ] Mediana BH [ ] Bi sec triz ] \ Mediatriz

G: baricentro

2. En todo triángulo rectángulo.



Si BM → mediana



⇒ AM = MC = BM.

5. El punto de intersección de las mediatrices se llama “circuncentro”

3. En todo triángulo, sus bisectrices interiores siempre se intersecta en un mismo punto llamado “incentro” por ser el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

6. Si BD es bisectriz del ∠ABC

I: incentro y PQ // AC



PQ = AP + QC



O: Circuncentro

además: 2piPBQ = AB + BC



⇒





2

GEOMETRÍA

I: incentro r: inradio BI = c + a IH b

8

x=

a+b 2

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

5.o año

Trabajando en clase Integral 1. Calcula “x”.



Entonces: m∠BDA = 40º + a ...... (1)

pero:

2. Calcula “x”, si: QR = BR.



iABD es isósceles, AB = BD,



por lo tanto m∠BAD = 40º + a.



En el iABD se cumple:



40° + a + 40° + a + a = 180º → a = 100°/3



En (1).



90º – 100 = 170 = Ca 3 3

5. Calcula el suplemento de “a”.

3. Si “O” es el circuncentro del triángulo ABC, calcula “q”

6. En un triángulo ABC se traza por B una paralela al lado AC que corta a las prolongaciones de las bisectrices interiores de A y C en M y N, respectivamente. Calcula “MN”, si AB = 6u y BC = 7u.

PUCP 4. Calcula el complemento de “a”

7. Calcula “x”.

Si BD es bisectriz

Resolución.

UNMSM

Piden Ca = complemento de a = 90º – a

8. Si en el triángulo ABC, BH es altura y BM es mediatriz calcula m∠MBH

Propiedades de triángulo:

9

GEOMETRÍA

2

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

5.o año

UNI 12. Calcula “x” en funcion de “q” y “a”

Resolución: Piden m∠MBH = x, en el problema aplicamos la propiedad

Resolución: Piden “x” en función de “q” y “a” aplicamos la propiedad de la mediana

entonces: m∠ABH = 40º m∠BCA = 40º m∠CBM = 40º Por lo tanto: m∠ABH + m∠HBM + m∠MBC = 90º 40º + x + 40º = 90º x = 10º

Donde: m∠A = 90° + q m∠B = 90° + a

9. Si en el triángulo ABC, BM es mediana del triángulo ABC. Calcula m∠MBH.

entonces el cuadrilátero DBEM. 90 + θ - (90 + a) θ - α = =x 2 2

13. Calcula “b” en función de “x” y “ϕ”

10. Calcula “AB”.

14. Si en el triángulo ABC, “H” es el ortocentro, “”I” es el incentro, determina la relación entre a, q y b

11. Calcula “b”

2

GEOMETRÍA

10

3 Congruencia de Triángulos CONGRUENCIAS Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen la misma figura y el mismo tamaño.

iABC ≅ iA’B’C’

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Nota: Para que dos triángulos sean congruentes: - De los elementos que los identifican, a dos o más triángulos, se deben repetir como mínimo tres, de las cuales uno debe ser un lado.

Se denota: iABC @ iPQR

CASOS DE CONGRUENCIA A. 1er caso: lado – ángulo – lado (L.A.L.)

B. 2do caso: ángulo – lado – ángulo (A.L.A.)

Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo interior de igual medida y, además, los lados que determinan a dicho ángulo, respectivamente, de igual longitud.



Si: m∠BAC = m∠B’A’C’



Luego: AB = A’ B’ ∧ AC = A’C’



⇒iABC @ iA’B’C’



Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y, además, los ángulos adyacentes a dichos lados, respectivamente, de igual medida.

Si: AC @ A’C’ Luego: m∠BAC = m∠B’A’C’ m∠ACB = m∠A’C’B’ ⇒ iABC @ iA’B’C’

11

GEOMETRÍA

3

5.o año

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

C. 3er caso: lado – lado – lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados son de igual longitud.

Si: AB = A’B’ ; BC = B’C’; AC = A’C’ ⇒ iABC @ iA’B’C’

CASOS COMUNES DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES 1.

2.

3.

Trabajando en clase Integral

3. Calcula «x».

1. Calcular “AE” si: AB = 2 m y DE = 7 m.

2. Calcular AB.

3

GEOMETRÍA

PUCP 4. Calcula «x», si: AB = 12 u y DE = 2x + 2u.

12

5.o año

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS UNMSM

Resolución:

8. Calcula «x», si: PC = AB.

iABC ≅ iCDE Caso A.L.A.

Resolución:

⇒ AB = DE 12u = 2x + 2u 2x = 10 u ∴x=5u 5. Calcula «x», si: AC = 20 u y CE = 4x.

Dato: PC = AB iAQP: Isósceles (m∠QAP = m∠QPA) ⇒ AQ = QP iBQC: Isósceles (m∠QBC = m∠QCB) ⇒ AQ = QC 6. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado, además: BH = 5 u y PH = 17 u.

Finalmente: iABQ ≅ iPCQ Caso: L.L.L. ⇒ m∠QCP = 4x = m∠ABQ Luego: 4x + 6x = 90° 10x = 90° ∴ x = 9°

7. Si los triángulos ABC y PQC son congruentes, calcula «x».

13

9. Calcula «x», si: PC = AB.

GEOMETRÍA

3

5.o año

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS m∠ABD = a y m∠EBC = q

10. Si: BE = 10 u y BD = 8 u, calcula «BH».

q + a = 90° ⇒ m∠BAD = q y m∠BCE = a, Luego: iADB ≅ iBCE Caso: A.L.A. AD = 1u ⇒ BE = 1u BD = 4u ⇒ EC = 4u

11. Si AB = BC y los triángulos APR y CRQ son congruentes, calcula el perímetro del triángulo PQR.

Como: BD = 4u ⇒ BE = 1u Triángulo rectángulo DEC. x = 5u 13. Calcula «CD» si: AD = 7 u y BD = 12 u.

UNI 12. Calcula «CD», si AD = 1 u y BD = 4 u.

Resolución:

14. Si ABCD es un cuadrado, además AQ = 12u y QC = 4 u. Calcula “BP”.

Trazamos CE ⊥ BD

3

GEOMETRÍA

14

4

Aplicación de la congruencia (Triángulos Rectángulos Notables)

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA • Propiedad de la bisectriz



Colorario

Si OM es bisectriz del ∠AOB y «P» ∈ OM



Si “M” y “N” son puntos medios de AB y BC, respectivamente L 1 // L 2 y MN = AC y MN = AC 2



→ PR = PQ y OR = OQ

Advertencia

• Propiedad de la mediatriz

Bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos de igual medida. Mediana en un triángulo, es la recta trazada desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

Si L es mediatriz de AB y P ∈ L

→ PA = PB



9APB: isósceles

• Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa o menor mediana

• Propiedad de los puntos medios

9ABC: BM mediana relativa a AC.

Si L1 //L2

BM = AC 2

⇒ BN = NC y MN = AC 2

15

GEOMETRÍA

4

5.o año

APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA

Observación

Triángulos rectángulos aproximados

x = 90°

• Propiedad de los triángulos isósceles

Altura BH es:

Bisectriz Mediana Mediatriz



Observación Los triángulos isósceles se pueden reconocer por la combinación de líneas notables trazadas interiormente, estos son tres casos:

Triángulos rectángulos pitagóricos

3 casos son triángulos isósceles

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Se denominan así a ciertos triángulos rectángulos en los que conociendo las medidas de sus ángulos internos, denominados ángulos notables, se tendrá presente una determinada relación entre las longitudes de sus lados y viceversa.



4

GEOMETRÍA

16

5.o año

APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA

Trabajando en clase Integral

MPD es notable (MP = DP = 3 u)

1. Calcula «x» si AC = 4x.

∴x=3 2u Piden “x 2 ” ⇒ 3 2 ( 2 ) = 6 u 5. Calcula «x 2 ».

2. Calcula «x». 6. Calcula «x».

3. Calcula «b».

7. Calcula “BP”, si AQ = 20 u.

PUCP

UNMSM

4. Calcula «x 2 ».

8. Si m∠BAC – m∠BCA =30° y AB = MC, calcula el valor de «x», si L es mediatriz de AC.

Resolución:

Resolución: Se traza MP // AB 9ABC (Propiedad de los puntos medios)

MP = AB → MP = 3 u 2

17

GEOMETRÍA

4

5.o año

APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA

Dato

Resolución:



m∠BAC – m∠BCA = 30°



b – q = 30°

Piden: x

• L es mediatriz de AC (AD = DC) y (AE = EC) • iABE (isósceles) x = 75° 9. Si m∠BAC – m∠BCA = 40° y AB = EC, calcula el valor de «x», L es mediatriz de AC.

• Se prolonga PA hasta M (PA = AM) • 9PCM isósceles (PC = CM) ⇒ PQ // MC x = 70°

10. Calcula «x», si: AC = 2(DB).

13. Calcula “PQ” si PC = 8 m y 2(PA) = PB.

11. Si PQR es un triángulo equilátero de lado 16 u. Por A, punto medio de PQ, se traza AB perpendicular a PR; por B se traza BC, perpendicular a QR. Calcula BC. UNI 12. Calcula «x», si: BP = 2(PA).

14. Se tiene un cuadrilátero ABCD donde:

4

GEOMETRÍA

18

m∠ABC = m∠ADC = 90º y BD = 3 . AC 2 Calcula m∠BCD.

5 Polígonos y perímetros

DEFINICIÓN Es la figura geométrica cerrada que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales, mediante segmentos de tal modo que dicha figura limita una región del plano.

B. No convexo o cóncavo

Será no convexo cuando al menos una recta secante corta en más de dos puntos al polígono.

2. Clasificación por la regularidad de sus elementos A. Polígono equilátero

Es aquel que tiene todos sus lados congruentes.

ZZ Notación: Polígono ABCDEFG… ZZ Elementos:

1. Vértices: A, B, C, D, E, F, G, … 2. Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...

Perímetro = n(medida del lado)

3. Ángulos internos de medida: a1, a2, a3, a4, ...

Ángulos externos de medida: b1, b2, b3, b4, ...

4. Diagonales: AC, AD, DF, ...

B. Polígono equiángulo

5. Diagonales medias: MN, PQ

Es aquel que tiene todos sus ángulos congruentes, siempre es convexo.

CLASIFICACIÓN 1. Clasificación por la medida de sus ángulos A. Convexo

Será convexo cuando toda recta secante solo corta en 2 puntos al polígono.

a = m∠i =

180º (n - 2) n

q = m∠e = 360º n

19

Donde: n = # de lados

GEOMETRÍA

5

5.o año

POLÍGONOS Y PERÍMETROS

C. Polígono regular

Es el polígono equiángulo y equilátero a la vez. En la figura, “O” es centro del polígono y m∠AOB es el ángulo central.

m∠central = 360º n

∑∠s = 360º n

(Ap) Apotema del hexágono regular

PROPIEDADES GENERALES PARA TODO POLÍGONO CONVEXO DE “N” LADOS

2. Número total de diagonales: n _n - 3 i D= 2 3. Número de diagonales trazadas desde “m” vértices consecutivos: _m + 1 i_m + 2 i nºD(m) = m . n – 2 4. Número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un solo vértice: nº9s = n – 2 5. Suma de las medidas de los ángulos internos: ∑∠sint = 180º(n–2) 6. Suma de las medidas de los ángulos externos: ∑∠sext = 360º 7. Número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos: Nº∠rectos = 2(n – 2) Observación: Existe una relación entre “n” (# de lados) y D (diagonales) y es mediante el siguiente cuadro:

1. El número de diagonales trazadas desde un solo vértice: n° d1 = n – 3

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Calcula el número de lados de un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1080°.

Dada la relación entre el número de lados y su número de diagonales se puede realizar del siguiente cuadro: n: # lados

2. Calcula el perímetro de un polígono equilátero, si su lado mide 8 cm y tiene 27 diagonales.

D: # de diagonales

3. Dos polígonos regulares, uno de 6 lados y el otro de 5 lados, tienen un lado en común. Si el perímetro total es de 135 cm, ¿cuál es el perímetro del polígono de 5 lados? Observamos que n = 6 PUCP 4. Si en un polígono el número de lados aumenta en 3, el número de diagonales se triplica. Calcula la suma de las medidas de sus ángulos interiores.

5

GEOMETRÍA

Piden:

∑∠sint = 180º(n - 2) = 180º(4)



∴ ∑∠sint = 720

20

5.o año

POLÍGONOS Y PERÍMETROS 5. Si en un polígono, el número de lados aumenta en 5, el número de diagonales aumenta en 45°. Calcula la medida de su ángulo exterior. 6. Si ABCDE es un polígono regular, calcula «x».

11. Calcula «x».

7. Si la medida del ángulo interior de un polígono regular es 160°, calcula el número total de diagonales de dicho polígono. UNMSM 8. Desde 7 vértices consecutivos de un polígono, se pueden trazar 55 diagonales. Calcula la medida de su ángulo central. Resolución: Sabemos:

DK = nk –

_ k + 1 i_ k + 2 i 2

K: # de vértices consecutivos n: # de lados D7 = 55 ⇒ n(7) – 7n – 36 = 55

UNI 12. Sabiendo que ABCDEFGH es un octógono equiángulo, calcula m∠BDA si: 4AB = 2CD = 2 BC.

Resolución: Si: AB = m ⇒ CD = 2 m y BC = 2 2 m • Prolongamos DC y AB hasta “O”. • m∠OCB = m∠CBO = 45º ( ext. De un octógono) • ⇒ OC = OB = 2 m • Triángulo DOA, notable: OD = 4 m y OC = 3 m ⇒ m∠ODA = 37º • Triángulo DOB, notable: OD = 4 m y OB = 2 m ⇒ m∠ODA = 53º = 26,5º 2 Finalmente: ⇒ x + 26,5º = 37° ∴ x = 10,5°

D: # de diagonales

Dato:



8_9 i = 55 2

7 n = 91

n = 13 Piden: ∠central = 360º = 360º n 13 9. Desde 6 vértices consecutivos de un polígono, se pueden trazar 32 diagonales. Calcula la suma de las medidas de sus ángulos interiores. 10. Si se sabe que ABCDE es un polígono regular y que AF = AE, calcula «x».

21

13. En un octógono equiángulo ABCDEFGH, calcula m∠BDA, si: 4AB = CD = 2 BC. 14. Un polígono de “n” lados posee 10 ángulos interiores cuya suma es 1600°. Determina la suma de las medidas de los ángulos exteriores correspondientes a los vértices restantes. GEOMETRÍA

5

6 Cuadriláteros A. Simétrico

DEFINICIONES



Polígonos de cuatro lados, pueden ser convexos o no convexos. Convexo

Notación: kABCD convexo

B. Asimétrico

No convexo

Notación:

ABCD convexo

ZZ Elementos (para ambas figuras)

1. Vértices: A, B, C y D

Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatriz de la otra.

Es aquel que no tiene ninguna simetría. Es también llamado trapezoide irregular.

2. Trapecios

Son cuadriláteros que solo tienen dos lados paralelos, los cuales son denominados bases.

A. Escaleno

2. Lados: AB, BC, CD y AD

Es aquel que tiene sus lados no paralelos, desiguales.

3. Diagonales: AC y BD ZZ Propiedad (para ambas figuras)

Suma de medidas de ángulos interiores: a + b + g + q = 360°



CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS 1. Trapezoides

Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

6

GEOMETRÍA

Si BC // AD a ≠ b

a + b = 180°



q + g = 180°

22

5.o año

CUADRILÁTEROS

B. Isósceles

B. Si BC // AD

Es aquel que tiene sus lados no paralelos, de igual longitud.



a + q = 180°



AC = BD



BC // AD // PQ



x = b-a 2



PQ: Segmento que une los puntos medio de las diagonales.



C. Rectángulo

Es aquel trapecio en que uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

3. Paralelogramos

Cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ángulos opuestos son de igual medida de dos ángulos consecutivos siempre son suplementarios. Además, sus diagonales se bisecan mutuamente.

Si BC // AD a ≠ b

a + q = 180°

CLASIFICACIÓN

Propiedades del trapecio

1. Romboide

A. Si BC // AD

2. Rectángulo

BC // PQ // AD: Base media del trapecio



x = b+a 2



PQ: base media del trapecio

23

GEOMETRÍA

6

5.o año

CUADRILÁTEROS 4. Cuadrado

3. Rombo

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Calcula «x».

Datos: 2. Calcula «x» si y AD y BC son paralelos. (AD // BC)



AH = HD = k 3 2



⇒ AB = AD = 5k ⇒ 9AHB (37° y 53°) kHBGD x = 53°

5. Calcula “x”, Si ABCD es un rombo y AH = HD . 7 18 3. Calcula BF, si ABCD es un romboide.

PUCP

6. Calcula MP. Si BC // AD, BC = 4 u y AD = 16 u.

4. Calcula «x», si ABCD es un rombo y AH = HD . 3 2

6

GEOMETRÍA

24

5.o año

CUADRILÁTEROS 7. Calcula «x», si ABCD es un rectángulo.

11. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado y BCDF es un rombo.

UNMSM 8. Si las diagonales de un trapecio miden 12 u y 18 u, calcula el máximo valor entero que puede medir la mediana de dicho trapecio. Resolución:

UNI 12. Si las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 6 m y 8 m, calcula la medida de la mediana del trapecio. Resolución: Piden la longitud de la mediana del trapecio.

YY Se ubico M, el punto medio de AB



(AM = MD) YY En los triángulos ACD y ABD la propiedad de los puntos medios. YY Sea el PMO (rel, existencia triangular)

YY Datos:



AC = 8 u y BD = 6 u

YY Piden: x = a + b

2

YY Se traza un romboide jBCRD: BD = CR = 6 u YY iACR (37° y 53°)

3u < x < 15 u xmáx = 14 u



9. Si las diagonales de un trapecio miden 9 u y 16 u, calcula el máximo valor entero que pueda medir el segmento que une los puntos medios de las diagonales. 10. Si ABCD es un rectángulo, calcula «x».

25

a + b = 10 u ∴x=5u

13. Si las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 24 m y 7 m, calcula la medida de la mediana del trapecio. 14. Si ABCD es un cuadrado y EFGH, un rectángulo, calcula el perímetro de dicho rectángulo.

GEOMETRÍA

6

7 Circunferencia TEOREMAS FUNDAMENTALES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto (centro) de dicho plano.

1. Teorema del radio y la tangente

P: punto de tangencia



R: radio



T: recta tangente



⇒ OP ⊥

• P y Q son puntos de la circunferencia. • OP = OQ = radio = r

LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA 2. Teorema de las dos tangentes



CIRCUNFERENCIA DE CENTRO “O” Y RADIO “R” Cuerda: CD Diámetro: AB



Recta secante: PQ Recta tangente: L T (T: punto de tangencia) Recta normal: LN ! Arco PQ: PQ GEOMETRÍA

A y B son puntos de tangencia

3. Teorema de la bisectriz del ángulo formado por 2 tangentes:

Flecha o sagita: EF

7

AP = BP

26

5.o año

CIRCUNFERENCIA

Teorema de Poncelet

4. Si:



Si AB = CD

a + b = c + 2r

! ! Entonces: m AB = m CD

o: incentro r: inradio

5. Si AB // CD

Teorema de Pitot

! ! Entonces: m AC = m BD

a+c=b+d

6. Si Teorema de Steiner



Entonces: MH = HN ! ! ! ! mAM = mAN y mMB = mNB

a–c=b–d

Trabajando en clase Integral 1. Calcula «x» si A, C, D y F son puntos de tangencia.

27

2. Calcula la longitud del inradio si BC y AD son paralelos.

GEOMETRÍA

7

5.o año

CIRCUNFERENCIA

3. Calcula el perímetro del cuadrilátero ABCD.

PUCP 4. Calcula «x» si 4AO = 3CD y D es punto de tangencia.

7. Calcula “x” si E, F y P son puntos de tangencia.

UNMSM 8. Calcula «R» si: BE = FG, BH = 14 cm y E, F, G y H: son puntos de tangencia.

Resolución: Del dato AO = 3K y CD = 4K

Trazamos OD ⊥ CD ⇒ OD = R = 3K Triángulo rectángulo ODC (37° y 53°) ⇒ OC = 5K Sabemos: OB = R = 3K ⇒ x = 2K …. (1) Del gráfico: 3K + 5K = 32u 8K = 32 u K = 4u Reemplazando en ecuación (1): ∴ x = 2(4) = 8 u



Resolución: Del dato: BE = FG = a, sea HC = b = GC, AE = C = AF (teorema de las tangentes).



En el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de Poncelet. a + n + 14cm + m = n + a + m + 2R R = 7 cm

9. Calcula «R» si BE = FG, BH = 12 cm, E, F, G y H son puntos de tangencia.

5. Calcula «x», si D es punto de tangencia y 15AO = 8CD.

10. Calcular “R” si AB = 9 u , BC = 40 u y D,E son puntos de tangencia.

6. En una circunferencia de radio 25 u, se tiene una cuerda cuya longitud es 48 u, calcula la longitud de la flecha correspondiente.

7

GEOMETRÍA

28

5.o año

CIRCUNFERENCIA 11. Si 20 u es la suma de las longitudes de los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo, calcula la longitud de la hipotenusa.

⇒ CF = FD = 10 m Por tanto en el triángulo rectángulo OFD, aplicamos el teorema de Pitágoras.



R2 = (4m)2 + (10m)2

UNI 12. En una circunferencia, un diámetro divide a una cuerda en dos segmentos que miden 7 m y 13 m. Si la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda mide 4 m, calcula la longitud del radio de dicha circunferencia. Resolución: Sea: AB: Diámetro y CD: Cuerda OF: Distancia del centro a la cuerda CD = 20 m y OF ⊥ CD

R2 = 116m2

R = 116 m = 4 # 29 m



∴ R = 2 29 m

13. En una circunferencia, el diámetro AB divide a una cuerda CD (E: punto de intersección de la cuerda y el diámetro; AE > EB) en dos segmentos, CE (11 cm) y ED (21 cm). Si la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda AB mide 12 cm, calcule AE. 14. Se tiene tres circunferencias de radios 1 u, 2 u y 3 u, tangentes exteriores entre sí, dos a dos. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo formado al unir los centros de las primeras circunferencias.

29

GEOMETRÍA

7

8 Repaso Trabajando en clase 1. Calcula «x».

a) 60° d) 75°

5. Calcula «α», si los polígonos ABCE y CDE son regulares.

b) 65° e) 80°

c) 70° a) 15° d) 30°

2. Calcula m∠EBD si L1 y L2 son mediatrices de AB y BC respectivamente.

a) 31° d) 34°

b) 32° e) 35°

b) 20° e) 35°

c) 25°

6. Calcula el perímetro del ∆ABC si ∆ABC es equilátero y ADEF es un rombo, .

c) 33° a) 2 a d) 5 a

3. Calcula PQ, si ABCD es un romboide y AB = 8 m

b) 3 a e) 6 a

c) 4 a

7. Calcula m ∠ ABD, si B es punto de tangencia.

a) 16 m d) 18 m

b) 20 m e) 12 m

c) 8 m a) 20° d) 35°

4. Calcula «x».

a) 15° d) 30°

8

GEOMETRÍA

b) 25° e) 40°

c) 30°

8. Calcula AC, si D, E y F son puntos de tangencia.

b) 18° e) 12°

a) 15 u d) 30 u

c) 20°

30

b) 20 u e) 35 u

c) 25 u

5.o año

REPASO 9. En un triángulo ABC (AB = BC), se toman dos puntos, D en BC y E en AC, de modo que m∠DAE = 20°, m∠BAD = 30° y AD = AE, calcula m ∠ EDC. a) 10° b) 12° c) 18° d) 30° e) 32° 10. En un triángulo rectángulo isósceles ABC (AB = BC), la ceviana interior BD se prolonga hasta un punto E. Si el triángulo ABE es equilátero, calcula m ∠ EAC. a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

31

11. Si AB = DC, calcula «x».

a) 15° d) 30°

b) 18° e) 36°

c) 22,30°

12. En el interior de un triángulo ABC (AB = BC), se toma el punto P de modo que m ∠ PBA = 10º y PB = AC, si m ∠ PBC = 30º calcula m ∠ PAB. a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

GEOMETRÍA

8

Geometría

1

Ángulos asociados a la circunferencia

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA ÁNGULO CENTRAL

ÁNGULO SEMI-INSCRITO

ÁNGULO INSCRITO

b O a

b

q

2q b

B

A

b = 2a

A

A

x B

b b

x

a+b 2

ÁNGULO EXTERIOR

C

B

q=

T: pto. de tangencia

ÁNGULO INTERIOR

a

D

C

A

C

b

x

D a

C

B A: Puntos de tangencia

A y C: Puntos de tangencia

a+b 2

x

b

a

D

x=

a

2b

a=b

A

q

b

C a

B

a

secante

T

A

A

ÁNGULO EXINSCRITO

B x=

x + b = 180°

a-b 2

CUADRILÁTERO INSCRITO EN UN CIRCUNFERENCIA En la figura, ABCD está inscrito, entonces: C B a

A

b

a + b = 180°

5.°

año

B

a

En la figura, ABCD está inscrito, entonces:

C

b

A D a=b

49

B

D

C

b

a A

D a=b

GEOMETRÍA

1

E

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE C

B

B

b

B

C

C b

a

A

D

A

b

a

a

D

A

D a=b

a=b

a + b = 180°

Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible

Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible

Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. Calcula «a», si B y D son puntos de tangencia y ABCD es un romboide.

4. Calcula «a», si mAE = b y m BD= f. A

40°

a C

a

D 2. Calcula «a», si C y D son puntos de tangencia y AB es diámetro.

E

a

D

140° O

A

B

3. Si ABCD es un romboide. Calcula x, si AE es diámetro. B A

C

O E

1

GEOMETRÍA

40°

Dx E

b f/2

b/2

B f

a

D

C

B a

E

C

A 7. Calcula «b». A

B

150°

D

50

C

b

F

100° D E UNMSM

5. Calcula «a», si mAE = 80º y mBD = 30°. A

100°

f b b- f = &a= 2 2 2

A

E

x

C

Resolución Se traza BE, entonces m∠BED = f/2 por ángulo inscrito y m∠ABE = b/2 también por ángulo inscrito. En el 9EBC se tiene por ángulo exterior a+

C

D

E

B

140°

B

B A

6. Calcula «x».

C

8. Calcula «b». C 3b B A 2b

O

D

Resolución Se traza CD, se tiene un triángulo rectángulo isósceles. El lABCD está inscrito en la circunferencia, entonces:

5.°

año

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA 2b + 3b + 45° = 180° b = 27° B

C

45°

C 3b

A 2b

A

C 7b

A 3b

C

a

E

45° D

O

9. Calcula «b». (AD: Diámetro) B

13. Calcula «a», si ED es diámetro y «b» es punto de tangencia

B

D

30° B

UNI 12. Calcula «a» en función de «b», si O es centro de la semicircunferencia y B es punto de tangencia. C

E

A 10. Calcula m∠DAC, si A y C son puntos de tangencia, además AD // BC y m∠ABC = 40°

a

E

D

O

Resolución Se traza BD, entonces m∠BDE = b y por ángulo seminscrito m∠ABE = b. Entonces: C a + b = 90° – b b a = 90° – 2b

B

D C

O

D

B

B

D

A

a

14. Calcula «a», si A, C, D y F son puntos de tangencia.

b

O

A

93°

A

C

F

D a

E

b B 11. Calcula «a», si AB = BE y mBC= 50°.

5.°

año

A

a

E

90°–b

51

O

b

D

GEOMETRÍA

1

2 Segmentos Proporcionales I 1. RAZÓN GEOMÉTRICA ENTRE LAS LONGITUDES DE DOS SEGMENTOS



1. Si EF //AC B

Es la comparación de las longitudes de dos segmentos mediante el cociente obtenido entre ellos. A B C D

2cm

6cm

2. SEGMENTOS PROPORCIONALES

C

4cm 10cm

AB = 2 CD 5

M

6cm

D P

15cm

AB = MN CD PQ

2. Si EF //AC

F

E

N

B

Q

A

MN = 2 PQ 5

C

⇒

3. TEOREMA DE THALES



BE = BF EA FC

⇒

Se denominan segmentos proporcionales a dos pares de segmentos que presentan razones geométricas iguales. B

C

A

AB = 1 CD 3

A

F

E

EB = FB BC BA

3. Si EF //AC

Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas transversales segmentos proporcionales A D L

B

1

B C

E

L2

F

L3

AB = DE BC EF



Toda recta secante a dos lados o a sus prolongaciones en un triángulo y paralela al tercer lado determinan sobre los lados anteriores, segmentos proporcionales.

2

GEOMETRÍA

E

F BA = BC AE CF

5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EN UN TRIÁNGULO

4. COROLARIO DE THALES



C

⇒

Si: L1 // L2 // L3 ⇒

A

52

En un triángulo, se cumple que la bisectriz interior o exterior corta al lado al cual es relativo en segmentos proporcionales a los lados del triángulo adyacentes de la bisectriz.

5.°

año

SEGMENTOS PROPORCIONALES I 1.

En la figura: AB > BC B

A

C

D

2.

⇒

BA = AD BC DC

A ⇒

A

B b a b

a

B b b



AD = AE DC CE

⇒

a a

AB = AD BC CD

D

E

C

6. TEOREMA DE MENELAO

C D Si AB > BC y BD es bisectriz exterior.

B

M

Nota

N

A

En un triángulo, los puntos de intersección de las bisectrices interior y exterior trazados desde un mismo vértice, dividen armónicamente al lado opuesto.

P

C



L: recta secante



⇒ (AM)(BN)(CP) = (MB)(NC)(AP)

Trabajando en clase Integral

3. Calcula x.

1. Calcula “x”, si L1 // L2 L1 2a a

q

B

q

4k

8m A

L2

x

B

12m

Resolución Piden y – x

5m

L3

C

P x

2. Calcula x. B

6m

q q

A

4. Si L1 // L2 // L3 . Calcula «y–x». B

8m

A

10u

x 12m

5.°

año

A

q

x

q

15m

53

q

y

L1

6u C

10u q

q

x

15m

3k

= x 5 k 15

L3

y

*

x = 9 m

L2

q

L1

6u

L2 L3

C

Por Tales si: L1 // L2 // L3 *

8u C

5k 3k

PUCP

8u

5k 4k

= 15 y

x = 12 m

\y–x=3m 5. Sabiendo que L1 // L2 // L3 Calcula «x – y». GEOMETRÍA

2

SEGMENTOS PROPORCIONALES I

y

L2 q

q

q

9m 12m

L3

15m

45

45°

Q

b

A B

P

C

4m

R 2m

T x

7. En un triángulo acutángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y exterior BE, tal que AD = 4m y DC = 2m. Calcula CE.

P

5m

3m

11. Calcula «x – y», si AC = 7 m. B

y

A

6m

8. Calcula x.

q

4m

3m

P

x

C

4m

3m

P

GEOMETRÍA

O

q

D

Q

x

45°

C

8m

b

B

45 B

x

x

q 3m 12m C

q

4u

3u

b

C

x

b

q

D

A

14. Si A y F son puntos de tangencia, además BF = 3m y AC = 2(FC) = 2(AE ) = 4m. Calcula AD. B

C

* Se observa que BQ es bisectriz * Aplicando Cuaterna Armónica

2

45

13. Calcula x, si ABCD es un cuadrado.

12. Si ABCD es un cuadrado. Calcula x.

B q a q

Q

Q

C

* Se trazan las diagonales del cuadrado ABCD * 4BPQO es inscriptible * 4RPCO es inscriptible * 9BPC: Cuaterna Armónica 4 . x = 3(7 + x) 4x = 21 + 3x ⇒ x = 21 m

P

a

R

x

UNI

Resolución

A

M

3u

A

D

B q

Q

x

4u

C

10. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC inscrito en una circunferencia, sobre el arco AC se ubica el punto D tal que mABC = mDC , las cuerdas AC y BD se cortan en “P” tal que 2(AP) = 3(PC)si BP = 4 m. Calcula «AB».

UNMSM

A

Q

b

q

B

B

A

45°

45 45

9. Calcula x.

6. Calcula “x”, si A, B y C son punto de tangencia.

P

45°

4 . x = 3 . (7 + x) 4x = 21 + 3x x = 21 m

45 +q

L1

16m

Resolución

(AQ) . (PC) = (QP) . (AC)

45+b

x

b

q

E D

A

54

D

A

F C 5.°

año

3

Segmentos proporcionales II y Semejanza de Triángulos

TEOREMA DE CEVA

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ • Interior

Sea P el cevacentro del triángulo ABC, entonces: B

B a a

Q S

L1 A

b

a

P C

R

m

A

(AS)(BQ)(RC) = (SB)(QC)(AR)

TEOREMA DEL INCENTRO

• Exterior B q m

I C

D

a

L5

L4

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

L1 m

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores tienen igual medida y sus lados homólogos son proporcionales.

L2

Los lados homólogos en triángulos semejantes , son aquellos lados opuesto, a ángulos de igual medida. B

L3

N

b a =m b n

5.°

año

b

m =n a b

Sea L1 // L2 // L3

n

D

C

A

TEOREMA DE THALES

b

q

n

BI = AB + BC ID AC

a

C

a = b m n

Si I es el incentro de triángulo ABC, entonces: B

A

n

D

A

55

a

b

q

C M

a

q

Q

GEOMETRÍA

3

SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Notación:

B

ck

9ABC ~ 9MNQ

A

Símbolo de semejaza: ~ Se lee: “es semejante a” Pares de lados homólogos: AB y MN; BC y NQ; AC y MQ Se cumple:

N C M

a

b

Entonces:

a

A

ii) Si L //AC

P

9ABC ~ 9MNQ 2. Dos triángulos son semejantes si un ángulo del primer triángulo es de igual medida de un ángulo del segundo y los lados que los determinan son respectivamente proporcionales.

ck

Entonces:

L

a

q

C

c bk

C M

N

a

b

2. En todo triángulo, al unir los pies de dos alturas, siempre se forma un triángulo parcial semejante al total. B b P a q Q

Q

m∠BAC = m∠NMQ y AB/AC = MN/MQ Entonces: 9ABC ~ 9MNQ

A

3. Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primer triángulo son proporcionales a los tres lados del segundo triángulo.

3

A

Q

q wa B w

9ABC ~ 9PBQ

B

A

q C

9ABC ~ 9PBQ

Q

m∠BAC = m∠NMQ y m∠ACB = m∠MQN Entonces:

a

Q

1. En todo triángulo, al trazar un recta paralela a uno de sus lados, siempre se forma un triángulo parcial semejante al total. i) Si L //AC B b a P q Q L

1. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del primer triángulo son de igual medida a dos ángulos del segundo triángulo.

b

b

PROPIEDADES

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

a

C M

bk

a

9ABC ~ 9MNQ

donde k es la razón de semejanza.

A

c

N

Si AB = BC = AC , entonces MN NQ MQ

AB = BC = AC = k MN NQ MQ

B

ak

GEOMETRÍA

a

q

C

9ABC ~ 9PBQ

56

5.°

año

SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Consecuencia:

4. En las figuras: B

B

P

Q q

x

b q

A

x

x x a

A

C

9ABC ~ 9PBQ

C

B

3. En la figura: 9ABC ~ 9PBQ

a

x

A

B

C

P

b D

Q

a

B

x

x A a

P

n

m

x

bA

C

C D a

Se cumple: x2 = m . n



Se cumple:

x = a .b a+b

Trabajando en clase Integral

3. Calcula «PQ», si AC//PQ. B

1. Calcula «x». B

M 2a

n

a

N

6u

P C

2. Calcular «x», si I es el incentro del triángulo ABC. B

7u A

5.°

año

3n I n D x

B

8u

A

x

Q

10 3 u

2n

A

PUCP 4. Calcula «x». B 3n 20u

C A

x

60°

P

Q

57

60°

H

x

P

2n

Q

C

Trazamos la altura BH, luego en el triángulo ABH (30° y 60°); BH = 10 3 u. Finalmente, aplicando semejanza en los triángulos CPQ y CBH, tenemos: 2n x = 10 3 u 5 n 2 1

C

18u

3n

20u

7n 3n

A x P

Resolución

2n C

\x=4 3u

GEOMETRÍA

3

SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 5. Calcular «x».

P

n

B

3n

x

3u

A

37°

Q

C

6. Calcular «AB». B 6

m C 2 m

q

A

q

D

7. Calcular «CD» C

8cm B

2cm

Luego, CE es bisectriz exterior por tanto: m∠BCE = m∠ECF = b E ⇒ Excentro relativo a BC Propiedad: m∠AEC = m+ABC = 2q 2 2 ⇒ m∠AEC = q iABI ~ iAEC x = 8u \ x = 20u 30u 12u 9. Calcular «IE», si AC = 5m, AI = 3m, AB = 6m; además I es incentro del triángulo ABC y CE es bisectriz exterior.

D q

E

B

11cm q

A

I

A

E

C

10. Calcula «x»

UNMSM 8. Calcular «AB», si: AC = 12u, AI = 8u y IE = 22u; además I es el incentro del triángulo ABC y CE es bisectriz exterior.

E

B

B

3u

C

x M

A

I

A

Resolución

C

E

B x

8u

a A

u

22

qq a I

b C

b

GEOMETRÍA

R

r I A

12u Piden «x», si «I»: Incentro, entonces: m∠BAI = m∠IAC = a m∠ABI = m∠IBC = q

3

11. Calcula « BI », si: O, I son cenID tros, además R = 4r. B

q

F

D

12u

DO

C

PD cortan a BC en los puntos E y F, respectivamente. Resolución Q P B a q F 3u 2 q a u x C E O A

D

Piden «x» como AB = AD ⇒ mAB = mAD ⇒ m∠BPA = m∠APD = q Trazamos PC y el triángulo APC es rectángulo (AC: diámetro) Por tanto: m∠APD + m∠DPC = 90° Si: m∠DPC = a ⇒ a + q = 90 Luego: B, P y Q son colineales ⇒ como a + q = 90° ⇒ 2a + 2q = 180° \ m∠CPQ = a Finalmente: B, E, F y C conforman una cuaterna armónica ⇒ 3(x) = 2(3 + 2 + x) \ x = 10u 13. Calcula «EF», si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, además AB = AD; BE = 6m; FC = 9m y AC es diámetro. P es un punto de BC, PA y PD cortan a BC en los puntos E y F, respectivamente. 14. Calcular « AB + BC », si: I es inAC centro y G es baricentro del triángulo ABC, además IG//AC. B

UNI 12. Calcula «FC», si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, además AB = AD; BE = 3u; EF = 2u y AC es diámetro. P es un punto de BC, PA y

58

I A

G

D M

C 5.°

año

4

Relaciones métricas en el Triángulo Rectángulo

PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UNA RECTA

En el triángulo rectángulo ABC AB y BC: catetos AC : hipotenusa BH: altura (menor) AH: proyección ortogonal de AB sobre AC CH: proyección ortogonal de BC sobre AC

Se denomina proyección ortogonal de un punto sobre una recta al pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Los puntos que pertenecen a la recta son proyecciones de sí mismo. Se denomina proyección de un segmento sobre una recta a la porción de recta comprendida entre las proyecciones de los extremos del segmento. Esta proyección es también un segmento, excepto cuando el segmento que se proyecta es perpendicular a la recta, en tal caso, la proyección es un punto. A

Propiedades: A c B

D

C

G

B

E

A’ B’ C’ D’

b

h m

H

n a

1. a2 = b2 + c2

H I’

F G H’

2. h2 = m . n

L

3. ah = bc

I

4. c2 = ma; b2 = na 5. 12 = 12 + 12 h b c

A’ : Proyección de A sobre L B’C’: Proyección de BC sobre L D’ : Proyección de DE sobre L

Propiedades adicionales:

FG’: Proyección de FG sobre L

1. En el gráfico, AB: diámetro

H’I’: Proyección de HI sobre L

Se cumple:

h2 = mn P

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

h A

En todo triángulo rectángulo, al trazar la menor altura se forman dos triángulos, los cuales son semejantes al triángulo rectángulo dado.

m 2. En el gráfico, AB: diámetro

B

Se cumple:

5.°

año

a

H

n

B

b2 = cn P

b a A

C

b b

A

C

59

O c

H

n B

GEOMETRÍA

4

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 3. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia

Advertencia pre

Se cumple: x = 2 Rr

R

O1

O2 r B

C

A

En los ejercicios de relaciones métricas, nos podemos ayudar usando alguno de los teoremas ya vistos anteriormente y usar un método más práctico como se muestra en la figura.

x

Trabajando en clase Integral 1. ¿Qué longitud igual se le debe quitar a cada lado de un triángulo cuyas medidas son 9u, 16u y 18u para obtener un triángulo rectángulo? 2. Calcula la suma de las longitudes de los catetos, si la hipotenusa mide 15 u y la altura relativa a ella mide 6 u. 3. Calcula «x»

4u

x

A

PUCP 4. Calcula «CD» si se tiene que la hipotenusa AC de un triángulo isósceles ABC mide 8 2 u, se prolonga BA hasta el punto D, tal que: AD = 7u. Resolución C 45°

x

8u 8 2 u

4

8u

5. Calcula «CD» si se tiene que la hipotenusa AC de un triángulo isósceles ABC mide 9 2 u, se prolonga de BA hasta el punto D, tal que: AD = 31u.

4u

45°

GEOMETRÍA

A

7u

D

D 2u

A

C

7. Calcula la longitud de la hipotenusa si los lados del triángulo rectángulo están en progresión aritmética de razón 4u.

x

m

h

E

b

D

n

h2 = m.n

x a nn a b 1. x2 = a(2n + a) x2 = 2an + a2 2 2 x -a = n 2a 2 2. x = n(a + b) 2 2 x2 = x - a (a + b) 2a desarrollando y agrupando: a b + a = x b-a 9. Calcula «x» si BCFG es un cuadrado y C es punto de tangencia.

UNMSM

B

8. Calcula «x», si BCFG es un cuadrado y C es punto de tangencia.

x

60

C

O F Resolución Recordar:

17u = x

C

B

A a G

(8u)2 + (15u)2 = x2

B

H

B

CBD: pitágoras

6. Calcula el perímetro del triángulo equilátero ABC.

B 3u

Por notable de 45° y 45°: BC = AB = 8u

A 2u G O

C

F

E

7u D 5.°

año

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 10. Calcula «x», si T es punto de tangencia, además: OB = 3u y AB = 2u.

B 3u G

Resolución Recordar: h

O

T

x B

h

A 5u F

h

h2 = m.n A

14. Calcula «x», si B es punto de tangencia y ACDF es un rectángulo.

En el problema: 11. Calcula «x», si A y D son puntos de tangencia. A 7u O B x

D 5u E

x

(x – a)x = (x – b)2

x=

x

año

x–a

O F

C 7u

x E

D

x(2b–a) = b2

B b G

5.°

x–b

x

A a

A 2u B

2xb – ax = b2

12. Calcula «x».

ED

B b

x2 – ax = x2 –2xb + b2

UNI

A a F

C

ED

C

b2 2b - a

13. Calcula la longitud del radio de la semicircunferencia de diámetro AC.

61

GEOMETRÍA

4

5

Relaciones métricas en Triángulos Oblicuángulos

1. TEOREMA DE EUCLIDES 1er caso:



En todo triángulo, el cuadrado de la longitud del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos, por la longitud de la proyección del otro sobre él. Sea ABC, el triángulo; donde 0° < a < 90°. AH: proyección de AB sobre AC. Entonces: a2 = b2 + c2 – 2bm B



A



a m

B c



H



b

A

5

GEOMETRÍA

m

A

b

C

m

H

b

a

C

M

4. TEOREMA DE STEWART





En todo triángulo, la longitud de una altura, es igual al doble de la inversa de la longitud del lado sobre el cual cae, por la raíz cuadrada del producto del semiperímetro y su diferencia con la longitud de cada lado. Consideremos los gráficos adjuntos; en cada caso, el triángulo en mención es ABC. El semiperímetro p: p= a+b+c 2



C H

c

2. TEOREMA DE HERÓN



b

c

En todo triángulo, la suma de cuadrados de las longitudes de dos lados, es igual a dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana hacia el menor lado, más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho lado. Sea BM una mediana del triángulo ABC. Entonces: 2 B a2 + c2 = 2m2 + b 2

AH: proyección de AB, sobre AC.



Am H

a

h



C

En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Luego: a2 = b2 + c2 + 2bm B 90° < a < 180° a c a m C H A b



a

h

3. TEOREMA DE LA MEDIANA

2do Caso:



B

h = 2 p ( p - a ) ( p - b ) (p - c ) b

a

c

La fórmula para el Teorema de Herón, con relación a la altura BH. Fig 1 Fig 2

En todo triángulo, la longitud de una ceviana interior, puede evaluarse con la siguiente expresión: iABC → BE, ceviana interior a2m + c2n = x2b + mnb

B c A

62

a

x m

b

E

n

C

5.°

año

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Trabajando en clase 5. Calcular «x».

Integral

A

1. Calcula «x». B 2u A x H

H

C

x

B

7u

(6 5 ) 2 2 180 2 49 + 169 = 2a + 2 128 = 2a2 ⇒ a = 8u 72 + 132 = 2a2 +

C 8u

6. Calcular «BP» B

2. Calcular la longitud de la menor altura del triángulo ABC. B

5m

2m A

Finalmente, aplicando el teorema de Euclides en el triángulo AMC (3 5 )2 = 132 + a2 – 2(13)x 45 = 169 + 64 – 26x \ x = 94 u 13

C 16u

7. Calcular la longitud de la altura del trapecio, si BC//AD. B 12m C

12c m M

5cm

u

A 4u P

3. Calcula «AM». B

12

6u

C

6m

A

12u

8u

7u

Piden «x» Sea AM = a Calculando «a», por tanto aplicamos el teorema de la mediana en el triángulo ABC

13m

10cm

15m

A

C

9. Calcular la longitud de la proyección de la mediana AM sobre el lado AC B

D

26m

8m

UNMSM 8. Calcular la longitud de la proyección de la mediana AM sobre el lado AC.

PUCP 4. Calcular «x» B 6m

H

x

10m A

B 5m

C

7u

6m

H

x

A

10m A

5m

M

Aplicando el teorema de Euclídes para un triángulo obtuso 102 = 62 + 52 + 2(5)x 100 = 36 + 25 + 10x 39 = 10x \ x = 3,9 m

5.°

año

B 7u

3 5u

A

x

13u

63

O A

M

7u N

B

3 5u M

a

10. Calcular «AB».

C

13u

C

12m

9u

Resolución

C

A

3 5u

Resolución B

M

4m

H

3 5u C

11. Calcular «OM», si el lado del cuadrado mide 8u, ademas O es el centro de la circunferencia. GEOMETRÍA

5

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS B

C

E O

A

relación de los cuadrados de los catetos es igual a 3 . Cal5 cular «x», si BM es la mediana

B b

a

M

A

D

26-x H x M 26cm

12. La hipotenusa de un rectángulo mide 52 cm y la relación de los cuadrados de los catetos es igual a 5 . Calcula «x», Si BM 8 es la mediana relativa a la hipotenusa. B

* Por RM en el triángulo ABC &a2 = (26 - x)52 &b2 = (26 + x)52

H x M Resolución Dato:

5

C

b A

13x = 78

C

H x M

14. Calcular «x», si O1,O2 y O3 son centros.

Reemplazando en la ecuación (1) (26 - x) 52 5 = (26 + x) 52 8 5x + 130 = 208 - 8x

A

B

26cm

Sean: AB = a y BC = b

UNI

relativa a la hipotenusa.

C

5u 3u A

O1

x O3

O2 C

B

\ x = 6 cm

a2 = 5 ... (1) b2 8

13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 cm y la

GEOMETRÍA

64

5.°

año

6

Relaciones métricas en la circunferencia

• TEOREMA DE LAS CUERDAS



Si en una circunferencia se trazan dos cuerdas secantes, entonces se cumple que el producto de multiplicar las longitudes de los segmentos determinan sobre cada cuerda son iguales. Si : B

A

a

• TEOREMA DE PTOLOMEO

D



En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible se cumple que el producto de multiplicar las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de multiplicar las longitudes de sus lados opuestos. Si: C b B

• TEOREMA DE LAS SECANTES

Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos o mas secantes entonces el productos de multiplicar las longitudes de la secante y su parte externa es una constante. Si: a

b

N T

M: punto de tangencia

N

ab = cd

M

c

a

P

A

D

d

c

x × y = ac + bd

d

• TEOREMA DE ARQUÍMEDES

Si:

B

ab = cd



Si por un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, se cumple que el cuadrado de la longitud de la tangente es igual al producto de multiplicar las longitudes de la secantes con su parte externa Si:

b

a

A

• TEOREMA DE LA TANGENTE

año

y

x

Q

5.°

b

x2 = ab b

d

P

Q

C

c

a

x

M

C

O d

c

D

R

a2 + b2 + c2 + d2 = 8R2

65

GEOMETRÍA

6

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

• TEOREMA DE CHADU Si:

B

b

P

Si: b x

a

a

x

x2 = a2 + b2 Si:

C

D

x

x=a+b A

• TEOREMA DE FAURE Si:

x=

B

O

B

b

2 ab a + b2 2

Si:

b

A a

O

a

a

C

c

d

c

R

b

D a2 + b2 + c2 + d2 = 4R2

a2 + b2 = c2 + d2

d

Trabajando en clase 3. Calcula «x», si T es punto de tangencia.

Integral 1. Calcula «x». B

T

12u 9u

x C C

M 3u

2. Calcula «x», Si AC = 7u y EC = 6u B

D E

6

GEOMETRÍA

B

9u

3u

A

D

A

A

x

3u x

C

(x+2)2 = (5+x)x x2 + 1x + 4 = 5x + x2 x = 4u

PUCP 4. Calcula «x». (T y P: punto de tangencia) T Q P

x 2u

Resolución Del gráfico. TQ = PQ = 2u+x T. tangente x+2u x 5u+x

5. Calcula «x», (T y P: puntos de tangencia) T Q P

x 3u

4u

3u

66

5.°

año

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 6. Si ABC es un triángulo equilátero y AD + BD = 10u, calcula DC. B

D

(AC)2–(AB)2 = (CD)2–(DE)2

Resolución

(AC) +(DE) = (AB) +(CD)

Se traza el diámetro DE, luego se une B y E, luego se deduce que BE = y–x

2

2

2

2

9. Calcula (AB)2 +(CD)2,si AC = 6u, DE = 4u, si B y E son puntos de tangencia A

A x

B

C

A

B

C

a A

a

10. Si AP = 8u y BQ = 6u Calcula PQ (A y B son puntos de tangente)

C

P

8. Demostrar: (AB)2 + (CD)2 = (DE)2 + (AC)2,si B y E son puntos de tangencia. A

C F

D

Resolución 1) Teorema de la tangente: (AB)2 = (AG)(AC) 2) Teorema de la tangente: (DE)2 = (DF)(CD) 3) Teorema de la secante: (CG)(AC) = (CF)(CD) pero: (AC–AG)(AC)=(CD–DF)(CD) (AC) –(AG)(AC)=(CD) –(DF)(CD) 2

5.°

año

A a

T

B

2

a a C

O

E

(y–x)2+(m+n)2 = (2R)2 y2–2xy+x2+m2+2mn+n2 = 4R2

entonces:

11. Calcula «AT», si T es punto de tangencia

A

EBD :Pitágoras

x2+y2+m2+n2 = 4R2

B

G

R

R

xy = mn

B

UNMSM

O

pero por el teorema de cuerdas: Q

D

C

R

D

D

A

E

y

E n

E 7. Demostrar que (AB)(BC) = (BE)(BD). (Teorema de las isogonales). B

y–x

m

(AE)2+(EC)2+(BE)2+(DE)2= 4R2 13. Calcular «R»

A

B 1u 1u

O

C

5u

5u

R

UNI

D

12. Demostrar: (AE)2 + (EC)2 + (BE)2 + (DE)2 = 4R2. (teorema de faure)

14. Calcula (AC)(DB). A

B E

A

O

C R

1u 3u

D

D

67

B 3/2u

2u

C

GEOMETRÍA

6

7 Polígonos regulares 1. POLÍGONOS REGULARES





B

Son aquellos polígonos convexos que tienen sus lados y ángulos respectivamente congruentes. Todo polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a dos circunferencias concéntricas Ln C a B A H

Ln 2

n

R an

A

B

O

P

Z

a4 O

90°

D

3) Hexágono Regular: R O 60°

L6

R

a6

P

L6 = R; a6 = R 3 2 4) Octógono Regular: L8

Ln = R 2 (1 - Cosan)

R

45° 45° O R R L8 = R 2 - 2 ; a8 = 2+ 2 2

Cálculo del Apotema En el iOHZ: an = 1 4R2 - L2n 2

5) Dodecágono Regular:

2. POLÍGONOS REGULARES NOTABLES

L12

R

a12

1) Triángulo Equilátero: L3 = R 3 ; a3 = R 2 GEOMETRÍA

C

L4 = R 2 ; a4 = R 2 2

Cálculo de la longitud del Lado En el iCOB con la ley de cosenos

7

L4 R

A

an = 360c n



C

P 120°

2) Cuadrado:

R

O: Centro de la circunferencia R: Circunradio Ln : Longitud del lado, para el polígono regular de “n” lados. an: longitud del apotema.(ó apn). iCOB: Elemento fundamental del polígono. an: Medida de ángulo central o del arco que subtiende cada lado del polígono.



L3

O a3

30° O

R

L12 = R 2 - 3 ; a12 = R 2 + 3 2

68

5.°

año

POLÍGONOS REGULARES 6) Decágono Regular:

7) Pentágono Regular R

a10

R O a5 72° R

L10

36° O

R

L10 = R ( 5 - 1) ; 2 R a10 = = 10 + 20 4

L5

L5 = R 10 - 20 2 a5 = R ( 5 + 1) 4

P

Propiedad: Los lados del pentágono, hexágono y decágono, regulares forman un triángulo rectángulo así:

L5

L6

L10

an

(ángulo central)

Ln (lado del polígono regular)

a (apotema del polígono regular)

Triángulo

120°

R 3

R 2

Cuadrado

90°

R 2

Hexágono

60°

R

Octógono

45°

R 2- 2

Dodecágono

30°

R 2- 3

Decágono

36°

R _ 5 - 1i 2

Pentágono

72°

R 10 - 20 2

Polígono Regular

R 2 2 R 3 2 R 2+ 2 2 R 2+ 3 2 R 10 + 20 4 R _ 5 + 1i 4

Trabajando en clase Integral 1. Calcular el lado de un hexágono regular, si el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono regular mide 8 m. 2. Calcular «x» si Ln es el lado de un polígono regular de n lados. B C L3 A

5.°

año

L6

x

D

E

3. Calcular la longitud del lado de un octógono regular si el radio de la circunferencia circunscrita mide 2 m. PUCP 4. Calcular el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos de un hexágono regular,cuyo circunradio mide 4 m

69

Resolución B 4u x P A

C

4u 4u x O x

F

R

Q

D

E

Piden el perímetro del = 3x

i

PQR

Sabemos que: AO = OD = BC = 4u En el trapecio ABCD, «x» es la base media, por tanto: GEOMETRÍA

7

POLÍGONOS REGULARES x = 4u + 8u 2 x = 6u Finalmente: El perímetro del triángulo iPQR = 3(6u) = 18u

como AQ y CH son alturas, entonces AHQC es un cuadrilátero inscriptible con diámetro AC.

6. Calcular la longitud del inradio de un triángulo equilátero cuyo circunradio mide 6 3 u.

Sabemos Ln = R 2 (1 - Cosan)

E

A

F H

UNMSM 8. En un triángulo acutángulo ABC, m∠ABC = 75° y AC = 12 cm. Se trazan las alturas AQ y CH. Calcula: «HQ». Resolución Graficando convenientemente B 75°

A

7

15° 6u

30° x

O

GEOMETRÍA

6u

mHQ = 2(15) = 30°

Q

C

Entonces: AH = HD Luego: AD = 2AH

x = 6 2 - 3 cm

70

C

2u

Trazamos: BH = AC

x = L12 = 6 2 (1 - 3 ) 2

12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) mide 2u, se traza la bisectriz interior de BD. Si: BD = AB. Calcular «AB».

D

(L8 = x 2 (1 - Cos45c) )

x = L12 = 6 2 (1 - Cos30c)

UNI

H

x

&AD = L8, pues m∠ABD = 45°

Reemplazando:

11. Calcular la longitud del lado de un pentágono regular, sabiendo que una diagonal mide 10m.

45°

Como AB = BD&B es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A y D.

Piden: HQ = x ! como mHQ = 30° ⇒ HQ = L12

10. En una circunferencia de radio 6u. Calcular la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 144°.

x

A

&AH = AD = X 2 - 2 2 2 En el triángulo ABC, por relaciones métricas

9. En un triángulo acutángulo ABC, m∠ABC = 75° y AC = 8cm. Se trazan las alturas AQ y CH. Calcular «HQ».

G

H

x

m∠BAQ = 15° ⇒ mHQ = 2m∠BAQ

B

B

* En el triángulo ABQ

5. Calcular el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos de un hexágono regular,cuyo circunradio mide 6u.

7. Calcular «AD», si ABCDEFGH es un octógono regular, cuyo circunradio mide 4 m. C D

Resolución

AB2 = (AH)(AC) x2 = x 2 - 2 .2 2 x= 2- 2 u 13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) mide 8u. Se traza la bisectriz interior BD, Si BD = AB. Calcular «AB». 14. En una circunferencia de ra-



dio 2 + 3 m , se inscribe un triángulo isósceles ABC, tal que m∠ABC =120°. Se dibuja interiormente un cuadrado BCPQ. Calcular «AQ».

5.°

año

8 Repaso 1. Indica la relación correcta si B es punto de tangencia. B A a

D

E

b

C

a) a + b = 90° b) 2a = b c) a = 3b d) a = b e) a = 2b 2. Indica la relación correcta. Teorema de Menelao.

PUCP 4. Calcula el radio de la circunferencia inscrita en el triangulo mixtilíneo AED, si se tiene un cuadro de lado 12u luego tomando como centros A y D se trazan los arcos BD y AC respectivamente las cuales interceptan en E. a) 4u b) 4,2u c) 4,5u d) 4,8u e) 4,9u 5. Calcula «x», si ABC es un cuadrado. B C O

C B

D

A

3. Calcula «BC», si se tiene un triángulo ABC en el cual se traza la bisectriz interior BD y en BC se ubica el punto E tal que AB // DE, ademas, DE = 3u y BC = 3AB. a) 8u b) 9u c) 10u d) 11u e) 12u

5.°

año

R

M

D

6. Calcula el perímetro de un hexágono regular , si la longitud de su circunradio es 4u. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 7. Calcula la medida de la mediana relativa a BC, si AB = 2u. B 105° A

30° a) 2 u b) 4 + 2 c) 4 - 2 d) 4 + 3 e) 4 - 3

3 3 2 2

u u u u

71

A

B H x

F D y E G

a) x +y = 180° + a 2 b) x +y = 90° + a 2 c) x +y = 360° – a 2 d) x +y = 180° – a 2

a) R 2 b) R 2 c) R 2 2 3 R 2 R 2 d) e) 4 5

A

E F a) (AB)(CD)(FE) = (BC)(DF) (AE) b) (BC)(CD)(FE) = (AB)(DF) (AE) c) (AB)(DF)(FE) = (BC)(CD) (AE) d) (AB)(CD)(AE) = (BC)(DF) (FE) e) (DF)(CD)(FE) = (BC)(AB) (AE)

x

8. Indica la relación correcta, si A, H, G, F, E son puntos de tangencia. C a

e) x +y = 90° – a 2 9. Calcula «x» si L1 // L2 // L3 a b L4

3b

2

6a

x

L5

L1 L2 L3

L6

a) 2 u b) 2 2 u c) 3 2 u d) 4 2 u e) 5 2 u 10. Calcula «a». B aaa

C

A 2u E 1u D a) 30° d) 53°

b) 37° e) 60°

C

3u c) 45°

GEOMETRÍA

8

REPASO 11. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado. C B x E O r A D a) r 2 b) 2r 2 c) 3r 2 d) 4r 2 e) 5r 2

12. Indicar si las proporciones son verdaderas o falsas, si los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio R. • El apotema de un cuadrado es R 2 . • El apotema de un hexágono es R( 5 + 1) /2 .

• El apotema de un octógono es R 2 + 2 2 • El apotema de un triángulo es R 2 /2 a) VVFF b) FFVF c) FFFF d) VVFV e) VFVF

Bibliografía 1. 2. 3. 4.

8

Guzman, Francisco: Tópicos de matemática. Lima, Perú, 3era Edición. Geometría. Editorial: Lumbreras, Lima, Perú, 2da Edición. ALVA, Luis: matemática y Geometría. Lima, Perú, 2da Edición. Tito, Rubén: Geometría y trazos auxiliares. Lima, Perú, 1era Edición

GEOMETRÍA

72

5.°

año

Geometría

1 Área de regiones triangulares a) Fórmula básica

e) Fórmula de Herón

B h

A



ADABC =

H

b⋅h 2

B

b

A

BH: altura relativa AC.

b) En un triángulo obtusángulo B h H



C

b

A

ADABC =



p: semiperímetro de la región triangular ABC.

Observación:

En un triángulo equilátero B l

c b



A



AB y AC: catetos

C

c b

C

ADABC =

l

f) En función del inradio

B

q

h

2 3 2 3 =h ADABC = l 4 3 A l C l: AB = BC = AD: lado del triángulo equilátero h: altura

b⋅c ADABC = 2

d) Fórmula trigonométrica

b⋅c 2 Senq

B

ADABC = p × r

O r

p → semiperímetro r → inradio

A año

p(p – a)(p – b)(p – c)



B

5.°

C

En el DABC: p = a + b + c 2

ADABC =

c) En un triángulo rectángulo



b



b⋅h 2

BH: altura relativa AC.

A

a

c

C

53

C GEOMETRÍA

1

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

Demostración:

(ac) ADABC = b ⋅ 2 2R abc ∴ ADABC = 4R

B

c

r Or r

a

Con los exradios

C A b SDABC = S∆BOC + S∆AOC + S∆AOB

A = (p – a)ra A = (p – b)rb A = (p – c)rc

a⋅r b⋅r c⋅r S∆ABC = + + 2 2 2 a+b+c S∆ABC = r 2

A = r ⋅ ra ⋅ rb ⋅ rc

B

rc

ra

A

c ba

A

C

rb

1=1+ 1 +1

r

S∆ABC = p ⋅ r

ra rb

rc

r: inradio del triángulo ABC

g) En función del circunradio B

R a

c



O b

A

ZZ Si DABC ∼ DPMQ

C

B P

a c

Luego:

b⋅h ADABC = 2

B

M

R: circunradio

Demostración:

PBC ∼ AHB a = 2R ⇒ ac = h 2R h c

abc 4R

ADABC =

A

R

a

h

O

H b

A

a

S1

q

C

P

a

S2

q

Q

a R

C

⇒

S1 BC2 AB2 AC2 = = = S2 MQ2 PM2 PQ2

Trabajando en clase Integral

2. Calcula el área de la región triangular cuyos lados miden 8 u, 5 u y 11 u.

1. Calcula el área de la región triangular ABC. B

3. Dos lados de un triángulo miden 1,5 m y 2 m, si el área de su región es máxima. Calcula su perímetro.

10u A

1

GEOMETRÍA

53º

D 20 u

PUCP

C

4. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero.

54

5.°

año

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES C

B

D

E B

6cm

10u

4u A

D

Resolución: B

3cm

6c

3u

6cm

O

6cm

D

30º

m

A

60º

E

6c

m

H

6cm

C

7. Calcula el área de la región triangular ABC, si T y B son puntos de tangencia y CD = 2 u. B

C 60º E



A

60º

A

D

T

C

UNMSM

ABCD es cuadrado, entonces: AB = BC = CD = AD = 6 cm AED es un triángulo equilátero, entonces: AE = ED = AD = 6 cm m∠ADE = m∠EAD = m∠AED = 60º ⇒ m∠EDC = 30º Trazamos la altura CH, luego: Triángulo DHC (30º y 60º) ⇒ CH = 3 cm Finalmente: S(área) 3 6×3 = 9 cm2 S= 2

8. Calcula el área de la región triangular BFH, si ABCD es un cuadrado y BE = 4 m. B C E

H

F

A Resolución: 4m E

5. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero. B C

D

B

C

a F b

H

b

E A

F 4 2u

A

D

6. Calcula el área de la región sombreada, si ABC y CDE son triángulos equiláteros. 5.°

año

D



Sea: BF = a y AB = b Relaciones métricas 42 = ab … (1) También: AB = AD = FH = b ⇒ SBFH = b × a ... (2) 2



Reemplazando (1) en (2)

42 = = 8 m2 S BFH 2

55

GEOMETRÍA

1

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES 9. Calcula el área de la región triangular AFH, si ABCD es un cuadrado y EA = 6 m. B C F

E

YY S ea: AM = a ⇒ AN = a y a: medida del ∠BAC. YY Relacionamos:



H

A

D

10. Calcula el área de la región sombreada, si: OA = 4 u. (O y T: puntos de tangencia). T

E

A



SAMN a × a Sena a2 = = … (1) SABC 6 × 9 Sena 54

YY Se tiene que: BC = 7 u = 6 u –a + 9u – a

a=4u

YY Además:



SABC = p(p – a)(p – b)(p – c)



SABC = 11 × 5 × 4 × 2



SABC = 2 110 u2

C

Semiperímetro: 6+7+9 P= 2

B

O

p = 11 u

11. En un triángulo ABC, se traza la altura BH, tal que m∠ABH = 2m∠HBC; 2(AH) = 5(HC) y AB = 6 u. calcula el área de la región triangular BHC.



UNI 12. En un triángulo ABC, AB = 6 u, BC = 7 u y AC = 9 u, la circunferencia inscrita es tangente en M y N con AB y AC, respectivamente. Calcula el área de la región triangular AMN. Resolución: Graficando

6–

a

B 6u

7u

14. El área de la región limitada por un triángulo rectángulo ABC recto en B, es 32 u2. Exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros AEB y BCF. Si el área de la región triangular EBF es k veces el área de la región triangular ABC, calcula el valor de k. UNI 2008-II

9–

a

a a

N

9–a

C

9u

1

GEOMETRÍA

16 110 u2 27

13. En un triángulo ABC; AB = 8 u, BC = 5 u y AC = 11 u, la circunferencia inscrita es tangente en M y N con AC y BC, respectivamente. Calcula el área de la región triangular CMN.

a

a A

SAMN =

6–

M

Reemplazando en (1): SAMN 16 = 54 2 110

56

5.°

año

2 Área de regiones cuadrangulares Paralelogramo

Rombo

El área de la región limitada por un paralelogramo es igual al producto de la longitud de un lado y su altura relativa. B

N

C

h A

El área de la región limitada por un rombo es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.

M

O D P d

=b×h

A D

b

A = D×d 2

Trapecio

Rectángulo

El área de la región limitada por un trapecio es igual a la semisuma de las longitudes de sus bases por la longitud de su altura. (BC // AD)

El área de la región limitada por un rectángulo es igual al producto de sus dimensiones. B

C b

B b A

h A

D

a

C

a A =

A =a×b

D

(a+b) h 2

Cuadrado

El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. B

C d

A

5.°

año

L

Recuerda

2 A =L = d 2 2

En todo cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares entre sí, el área de la región se calcula como el semiproducto de las longitudes de dichas diagonales.

D

57

GEOMETRÍA

2

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

Trabajando en clase Integral

B

s

F A Resolución:

G

E

s1 C

B



D

F E D A YY Trazamos FG y EG YY Aplicamos la propiedad de áreas trapeciales: ⇒ Área FGE = S – S1 – S2 ∴ El área romboidal ABCD es igual al doble del área AGD. ⇒ Área = 6(S – S1 – S2)

5. Calcula el área de la región romboidal ABCD si S = 30 u2; S1 = 5 u2 y S2 = 6 u2. B G C

C O

s2

1

2. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrilátero inscriptible, AC = k y 2(AE) = 3(BD).

A

s2

S–

H

C

S–

D

s1

D G

B

E

C

s2

2

F

s1

S

1. Calcula el área de la región trapecial ABCD, si BG = a y GC = b, además, E, F, G y H son puntos de tangencia. A

G

B

E

3. Calcula el área de la región sombreada, si AOC es un cuadrante, además, AB = 17 u y AO = 15 u.

S1 A

A

S

S1

E

F

D

6. Calcula el área de la región rectangular ACDE, si BC = k. E

B

B a

O

D

A

C

a

C q

PUCP 4. Calcula el área de la región romboidal ABCD en función de S, S1 y S2.

2

GEOMETRÍA

E

58

F

q

D

5.°

año

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 7. Calcula «FG», si ABEF es un cuadrado cuya área de su región es 25 m2 y BC = 3 m. (E y G: Puntos de tangencia) A B

10. Calcula el área de la región sombreada. A B O C F

C 4k F

D

E

E

G

11. Calcula el área de la región trapecial ABCD en función de A y B, si AD // BC. B C A

UNMSM 8. Calcula el área de la región rectangular PQRS si se inscribe en un cuadrado ABCD de centro O y cuyos lados son paralelos a las diagonales de dicho cuadrado, OP = 4u y la distancia de O a AD = 3 u. (P ∈ AD) Resolución: A Q B

H P a D a

3u

O

4u a 2 S

b

4u

R

b 2

b

B A

D

UNI 12. Calcula «X» en función de A y B si ABCD es un romboide. C B A

C

X

YY Si DS = a y SC = b

⇒ PD = DS = a SC = RC = b Tenemos: PS = a 2 ; SR = b 2 YY Área de la región PQRS: a 2 ⋅ b 2 = 2ab YY Si DC = 6 u ⇒a+b=6u YY Por Pitágoras en el PSR (a 2 )2 + (b 2 )2 = 82 2a2 + 2b2 = 64 → a2 + b2 = 32 (a + b)2 = 62 → a2 + b2 + 2ab = 36 Reemplazando: 32 + 2ab = 36 2ab = 4 u2

B Resolución:

año

D

E

A

C

B

A A–B A

9. Calcula el área de la región rectangular PQRS si se inscribe en un cuadrado ABCD de centro O y cuyos lados son paralelos a las diagonales de dicho cuadrado, OP = 5 u y la distancia de O a AD = 4 u. (P ∈ AD) 5.°

D

4k

59

S

S B

E

D

YY T razamos BE YY P or propiedad S2 = AB → S = AB YY Por propiedad ADABD = ADBCD





⇒ Área ABE = A – B





x = A – B + AB

YY x = A – B + S

GEOMETRÍA

2

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES 14. Calcula el área de una región octogonal regular de lado «a».

13. calcula «x» si ABCD es un romboide, A = 25 u2 y B = 4 u2. B

C

Recuerda

A

Para todo cuadrilátero:

X

a

E

D A

2

GEOMETRÍA

SABCD=(AC)(BD)Sena 2 S: área

B A

C

B

60

D

5.°

año

3 Área de regiones circulares Círculo

Corona circular

Se denomina círculo a la región interior del plano limitada por una circunferencia.

Es la porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas. (O: centro y M: Punto de tangencia) B

R

M A

r O R

A = pR2 ACorona = p(R2 – r2) = circular

Sector circular

Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido. (O: centro).

Trapecio circular

Es la porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. (O: centro).

A

R

R

O a R

p(AB)2 4

B

D

O a r C

ASector = pR 360º circular

A

B

2

2 2 ATrapecio = pa(R – r ) circular 360º

Segmento circular

Es la porción del círculo comprendida entre la cuerda y el arco que subtiende. A

Advertencia pre

B R

O

A R

R O

r

r=

R 3

B

circular

año

O1 R

ASegmento = ASector – ADAOB

5.°

60º

Sea AOB un sector circular, se cumple:

61

GEOMETRÍA

3

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

Trabajando en clase Integral



1. Calcula el área de la región circular si P, T y Q son puntos de tangencia. B

Resolución: Sea «r» radio, piden S = pr2 … (1) A T R

25m

P

T P

O

C 7m 2. Calcula el área de la región circular, si O1 y O2 son centros; además, P, T y Q son puntos de tangencia. A 21u Q

A

P

O1 60º

T

O2

21 Q u

B

r

r



Reemplazando en (1) S = p22 = 4p u2

P

O1

O O2

D

O

3

GEOMETRÍA

Q

B

6. Calcula el área de la región sombreada si ABC es un triángulo equilátero y A, B, C son centros.

PUCP 4. Calcula el área de la región circular si R = 2( 2 + 1)u. P, T y H son puntos de tangencia; además O y O1 son centros. A R T P

O1 r

2

H B R Trazamos O1H = O1P = r Luego: OO1 = r 2 y O1T = r Finalmente: R = r 2 + r = r( 2 + 1) Dato: R = 2( 2 + 1)u ⇒ 2( 2 + 1) = r( 2 + 1) ∴ r = 2u

14 cm

A

r

5. Calcula el área de la región circular, si R = 6 2 u + 6 u, O1 y O son centros. (P, T y Q: puntos de tangencia). A R T

3. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado, además O1 y O2 son centros. C B

O1

r

B

R

12u M

N R

R

O1 H

A

B

62

P

C

5.°

año

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES B

7. Calcula el área de la región sombreada, si mAB = 60º y «O» es centro.

T

S1

C Sx

B

Q

P 6u

A

O

A

C

8. Calcula el área «Sx», si: S1 + S2 + S3 = 200 cm2, ABCD es un cuadrado; P, T, Q y S son puntos de tangencia (S1; S2 y S3: áreas) T

S1

30º

O

C

A

S2

S3

S

11. Calcula el área de la región sombreada, si AM = MC y R = 10 u.

D

M A

T

S1

P

A

S2

R S3

D

De la figura: B + Sx = pR2 … (1)



2 B + S1 + S2 + S3 = p(2R) = pR2 … (2) 4



Igualando: B + Sx = B + S1 + S2 + S3 → Sx = S1 + S2 + S3 ∴ Sx = 200 cm2

O

B

Resolución: A

6cm

M 2 3cm

9. Calcula el área «S1», si: S2 = 10 m ; Sx = 20 m , ABCD es un cuadrado; además; P, T, Q, S son puntos de tangencia. 2

año

N

M



5.°

B

Q

O

S

O

12. Calcula el área de la región sombreada, si AM = OM = 2 3 cm. A

Sx

B

18º

UNI

C

2R

C

R

Resolución: Sea «R» el radio B

B

2 3 cm



Q

O

P

R= 6 m

Sx

P

D

S

10. Calcula el área de la región sombreada, si AOB es un sector circular. Q A

UNMSM

B

S2

2

O

63

60º

4

P 30º 3cm

N

cm 4 3

B GEOMETRÍA

3

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

Trazamos ON, entonces:



S=

S

A

SA

–

O N

M P

–

SM

14. Calcula el área de la región sombreada, si P y Q son puntos de tangencia y O es centro. N

B

O

3



π(9 3)2 ⋅ 60 π(2 3)2 2 3 ×6 S= – – 4 2 360º



S = 8π – 3π – 6 3 = (5π – 6 3) cm2

R 3u A

B

A

3

GEOMETRÍA

Sea BAC un cuadrante:

A N

⇒

O

A=B

Donde: A y B son áreas

B A

O

C

O

Recuerda

13. Calcula el área de la región sombreada, si: AM = OM = 6 3. u

M

P

C

B

64

5.°

año

4

Área de polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia

Área de una región triangular en función del inradio

Área de una región triangular en función del circunradio B

El área de una región triangular es igual al semiperímetro por el inradio. A∆ = p ⋅ r Se cumple: C a

p=a + b + c 2

A

r c

C

b

A

También:

b

B

R c

a

A∆ = a ⋅ b ⋅ c 4R

ABC

=m⋅n B

A

Observación

cuando se quiere calcular el área de una región, la fórmula que vas a usar depende de los datos que te brinden en el problema.

A m

C

n

Trabajando en clase Integral

B

1. Calcula el área de la región sombreada en función de «r», si el DABC es equilátero y D, E, F son puntos de tangencia.

F

A

r D

año

H

O

D

E

3. Calcula el área de la región sombreada en función de «r», si ABCDEF es un polígono regular.

F

C

C

2. Calcula el área de la región sombreada en función de «R», si ABCD es un cuadrado y E, F, G, H son puntos de tangencia, además, R es la medida del radio. 5.°

C

R

A

B E

G

E

O

B

r A

65

D

F

GEOMETRÍA

4

ÁREA DE POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA PUCP 4. Calcula el área de la región sombreada en función de «r», si ABCDEFGH es un polígono regular. D E L C F B

r A

Resolución:

º

a

º

a

45º

º

45

45º

a a 2 Área Área Área = – círculo octógono



Área 4a2 (1 + 2 ) – pr2 pero: a(2 + 2 ) = 2r ⇒ a = 2r 2+ 2



reemplazando y ordenando 4(1 + 2 ) Área = – p r2 3+2 2



B

r a

a

4u



5. Calcula el área de la región sombreada, si ABCDEFGH es un polígono regular. D E

2u A

Sea el triángulo ABC ⇒ P = 4 + 6 + 8 = 18u = 9 u 2 2 Calculamos el área ABC por S= 9(9 – 4)(9 – 6)(9 – 8) = 9 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 3 15 u2 Sabemos que: S =pr 3 15 = 9r ⇒ r = 15 /3 u

10. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un trapecio AD // BC, además: CH = a, HD = b. (AB = CD)

G H

B

6. Calcula el área de la región sombreada, si AB = 3u y BC = 4 u. B

A

4

GEOMETRÍA

C

8u

9. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo cuyos lados miden 13 u, 14 u y 15 u.

F

B

6u

O r

A

C

C

b

8. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo cuyos lados miden 4 u, 6 u y 8 u. Resolución:

a 2

45º

a

UNMSM 45º 45

º

O

R A

a 2

a

c

H

45

a

B

G

a 2

a

45

abc 4R

7. Demostrar Área =

C H

C

A

66

D

5.°

año

ÁREA DE POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA 11. Calcula el área de la región sombreada.



C

B



O R



D

A

Sabemos A = A – ADACB

2 Del gráfico AB = R 3 → A∆ABC = 3 3R 2 4 ∴ A = πR2 – 3 3R 4

A = R2 (π – 3 3 ) 4

13. Calcula el área de la región sombreada si ABC es un triángulo equilátero. B

UNI 12. Calcula el área de la región sombreada en función de «R», si ABC es un triángulo equilátero. B

8u O

R

A

A

C

C

14. Calcula el área de la región sombreada en fun ción de «R», si ABCDEFGH es un polígono regular. D C E

Resolución: B R

B

30

R R 2 30 H

A R 3 2

5.°

año

O

C

F R

R 3 2

A

G H

67

GEOMETRÍA

4

5 Relación de áreas 1. Regiones triangulares B

B

A

A

A

M

2A A C A n D 2n

C

B Q

A

A A A GA

A

R C

A

G: Baricentro

C

A

C

R A

A P

A

C

G: Baricentro

b) Regiones romboidales B

x

Q

a A1

a

n

a

C



A2

b A

Q

Q A

A



P

A

B

A G A A

∆ABC ∼ ∆PQR

b

A A A

B

P

A

B

b

m

P

x x

x

M

x

N

D A

A

Observación

R

C B

C P

D

x=M+N

P: Punto arbitrario

Para una región delimitada por cuadrilátero convexo. B C z x y

b2 A1 a2 = 2 = 2 A2 m n

w

A

x⋅y=z⋅w D

2. Regiones cuadrangulares a) Regiones trapeciales BC // AD B x



M

N

C x

A

x D

x2 = M × N



B

A

También: Si AB // PS; BC // TQ y AC // UR . M

⇒ SABC = A + B + C

C

N

B

Donde: T S, A, B y C: áreas D

U



x=M+N

GEOMETRÍA

A

D

B

R

C A

5

S

68

P

C

Q

5.°

año

RELACIÓN DE ÁREAS

Trabajando en clase Integral

Resolución:

B

1. Calcula el área de la región sombreada. B 60º

3S

6m

M

M

2S A

2m

N

4m

2k

C

Q



2k

P

A

D

k 6S C

Trazamos GA; luego: Propiedad: GN = k y AG = 2k Si: SGMN = S ⇒ SAMG = 2S SMBN = 3S SANC = 6S Finalmente: SABC = 12S = 36 m2 ∴ S = 3m2

5. Calcula el área de la región sombreada, si «G» es baricentro y SABC = 48 cm2. (S: área). B

3. Calcula el área de la región sombreada, SABC = 80 m2. (S: área). B

M

N

A

2. Calcula el área de la región sombreada si BC // AD y SBPC = 2m2 y SAPD = 8 m2. (S: área) B C 3k

S G

N

M

N G

A

C PUCP

6. Calcula el área de la región sombreada si SABC=60 m2; 2AB = EA; 3BC = CF. (S: área). B

4. Calcula el área de la región sombreada si, «G» es baricentro y SABC = 36 m2. (S: área) B

A M

5.°

año

C

N G

A

C

A

E C

F

69

GEOMETRÍA

5

RELACIÓN DE ÁREAS 7. Calcula el área de la región sombreada si, SABC = 21 m2 (S: área) B

B

C O

N Q A

A

N

M 10. Calcula el área de la región sombreada si, SABCD = 96 cm2; AM = MB; BN = NC; AE = ED; además ABCD es un romboide (S: área). B N C

C

P

8. Calcula la relación entre el área de región sombreada y la no sombreada. B C O

N

A



E

s 12

n

2b A

O

P

C

∼ P

D

UNMSM

D

12. En un triángulo ABC, AB = 8 cm y BC = 10 cm. La mediana AM y la bisectriz interior BD se interceptan en el punto «P». calcula el área de la región triangular BPM, además el SABC = 26 cm2 (S. área). Resolución: B

(relación de 1 a 2)

⇒ OP = n y PD = 2n Sea SOMP = 2S ⇒ SMPD = 4S Tambie´n: SAOM = SOMD = 6S ⇒ SAQM = SQOM = 3S Sombreado = 5S Stotal = 48 S Piden: Sombreado = 3S = 3 No sombreado 43S 43

GEOMETRÍA

5c

a a 8cm

m

5S 8S P 8k

9. Calcula la relación entre el área de la región sombreada y la no sombreada.

5

D

q

Trazamos OM, luego: M

D

a

q Q 3s 2n 2s b a P 3s 4s M a a

A

O

12s

b

E

C

12s

N

Q

11. Calcula el SABCD, si: SBEF = 4 m2 y SAED = 9 m2 (S: área y ABCD: romboide). B F C

D

Resolución: B

F

M

A

M

b

D

M

A

70

10

cm

M 5k

5c

m

13S D

C

5.°

año

RELACIÓN DE ÁREAS

14. Calcula el área de la región triangular ABC, si SDEP = 4m2; SPMF = 9m2; SNPQ = 16 m2. También AB // MN; AC // EF y BC // DQ (S: área).

BP: bisectriz, entonces: PM = 5k y AP = 8k Por tanto: SPBM = 5S y SAPB = 8S Finalmente: SABM = SAMC = 13S ⇒ 26 S = 26 cm2 S = 1 cm2 Piden: 5 S ⇒ SBPM = 5 cm2

B

13. Calcula el área de la región sombreada, si SABC = 121 m2; 3BM = 2MC = 2/3 AB (S: área). B

M D

aa

P

E

M

F

P A A

N

Q

C

D

C

5.°

año

71

GEOMETRÍA

5

6 Geometría del espacio Postulado fundamental

A

R

C



Si A, B y C son puntos no colineales, entonces A, B y C determinan el plano H.

Teoremas importantes

A

Si: A ∉ L



A y L determinan el plano P.

P// Q P∩ Q=f

Proyección ortogonal de un plano y una recta sobre un plano P

A

L1



L1 ∩ L2 = {P}



L1 y L2 determinan el plano Q.

3. Dos rectas paralelas determinan un plano.

H

L1

P sobre el plano H.

Si:

P∩

H={L }

Posiciones relativas entre dos rectas

ZZ L es la proyección ortogonal 1

de L2 sobre el plano H.

Teorema de las tres rectas perpendiculares

a) Rectas paralelas

L1

H



L2

B

ZZ P’ es proyección ortogonal de

P Q

L2

P’ arista

P

GEOMETRÍA

P

Si dos rectas no son paralelas ni secantes.

L

2. Dos rectas secantes determina un plano.

6

Si: ⇒

L2

L1

b) Planos secantes



Q

c) Rectas alabeadas



P

Q

L

Dos rectas secantes siempre son coplanares porque determina un plano.

Posiciones relativas entre dos planos a) Planos paralelos

L2

L1

P

L1 y L2 determinan el plano R.

1. Una recta y un plano que no pertenecen a ella determinan un plano.

P

L1

Si L1// L2

B H

b) Rectas secantes

L2

Tres puntos no colineales determina un plano al cual pertenecen.

L2

Dos rectas paralelas siempre son coplanares.

72

L1 L2

a L L3

H

5.°

año

GEOMETRÍA DEL ESPACIO Si L1 ⊥

2. Ángulo poliedro

H

L2 ⊥ L (L2 ⊂



⇒ L3 ⊥ L



∴ a = 90º



H)

Es la figura que se genera cuando un rayo es desplazado por los lados de un polígono, manteniendo fijo su origen y exterior al plano que contiene al polígono. Ángulo poliedro O – ABCDE O



Ángulo entre una recta y un plano El ángulo entre una recta y un plano, se mide con el ángulo que determina la recta con su proyección en

A

dicho plano.

B

q L'

0º < Sm(caras) < 360º



3. Ángulo triedro

ZZ θ es la medida del ángulo entre L y el plano H.



Es aquel ángulo poliedro de tres caras. B

Distancia entre dos rectas alabeadas

Es la longitud del segmento perpendicular a las dos rectas alabeadas, cuyos extremos pertenecen uno a cada recta.

O

c ab

b

Ángulo triedro: O – ABC Triedro: O – ABC Medidas de las caras: a, b, c Medidas de los diedros: a, b, q Propiedades

d

Ángulo diedro y ángulo poliedro 1. Ángulo diedro



θ: medida del ángulo diedro



Planos perpendiculares



Dos planos son perpendiculares, cuando deter-

año

180º < a + b + θ < 540º





Si a > c ⇒ a > θ

Advertencia pre ZZ Sea «n» el # de puntos: n ⇒ # planos = C3 máximo ZZ Sea «n» el # de rectas: n ⇒ # planos = C2 máximo



minan un diedro que mide 90º.

5.°

a–c 1.

ZZ Las rectas L1 y L2 son llamadas asíntotas de la

hipérbola.

x2 y 2 – =1 a2 b2

Asíntotas de la hipérbola L1 Tienen por ecuación:

A(0;b)

L1: bx + ay = 0

c

b

L2: bx – ay = 0

a V’(–a;0)

F’(–c;0)

V(a;0)

F(c;0)

Advertencia pre La distancia entre los vértices de la elipse es: V1V2 = 2a

A’(0;–b) L2

Trabajando en clase Integral

3. Calcula el área de la región elíptica F1 y F2 son focos.

1. Determina la ecuación de la elipse si F1 y F2 son sus focos.

y y 4u F1

O

5u 53º

F2 F2

12u

F1

x

x

PUCP 4. Determina la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0; 0) y cuyos focos son los puntos F1(3; 0) y F2(–3; 0); además uno de sus vértices tiene por coordenadas V1(5; 0).

2. Para la ecuación dada de la hipérbola 9x2 – 4y2 = 36. Halla las coordenadas de los vértices y los focos.

5.°

año

93

GEOMETRÍA

7

LA ELIPSE



Resolución: Como uno de los vértices de la elipse es V1(5; 0), se tiene que a = 5 y como c = 3 se tiene que b2 = 52 – 32 = 16 → b = 4



y

d(PF1) = (3 – 3)2 + (4 – (1 + 13 ))2

5u V2(–5;0)

F2

0

3u

Además: c2 = a2 + b2 → c = 9+4 = 13 y el centro es (3; 1) Luego las coordenadas del foco son F1(3; 1 + 13 ) y F2(3; 1 – 13 ) Los radios vectores son:

F1

V1(5;0)

x



→ d(PF1) = 3 –

3

2 2 d(PF2) = (3 – 3) + (4 – (1 – 3 ))

3



→ d(PF2) = 3 +

∴ Los radios vectores son: 3 – 3 u y 3 + 3 u.



Luego su ecuación viene dada por:





x2 y2 x2 y2 + = 1 ⇒ + =1 a2 b2 52 42



∴

9. Calcula las longitudes de los radios vectores al punto M(5; –2) de la hipérbola x2 – 9y2 – 4x + 36y – 41 = 0

x2 y2 + =1 25 16

10. Los vértices de una hipérbola son (0; 4), (0; –4) y su excentricidad es igual a 3/2. Determina la ecuación de la hipérbola.

5. Determina la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0; 0) y cuyos focos son los puntos F1(4; 0) y F2(–4; 0), además uno de sus vértices tiene por coordenadas V(–5; 0).

11. Del gráfico, calcula el área de la región sombreada F1 y F2 son focos.

6. La ecuación de la elipse es: 9x2 + 4y2 = 36. Calcula su excentricidad.

y C

7. Determina la ecuación de la elipse cuyos vértices son V1(4; 0) y V2(–4; 0) y cuyos focos son los puntos F1(3; 0) y F2(–3; 0)

F2

O

8. Calcula las longitudes de los radios vectores al punto P(3; 4) de la hipérbola. 9x2 – 4y2 – 54x + 8y + 113 = 0 Resolución: Vamos a reducir la ecuación anterior a la forma ordinaria completando cuadrados 9(x2 – 6x) – 4(y2 – 2y) = –113 9(x2 – 6x + 9) – 4(y2 – 2y + 1) = –113 + 81 – 4 De donde: 9(x – 3)2 – 4(y – 1)2 = –36

ε:



C: x2 + y2 = 81

12. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente 2 a la elipse 4x2 + 5y2 = 8 Resolución: Las rectas tangentes de pendiente 2 tendrán la forma: y = 2x + k; k ÷ cte luego reemplazando y en la ecuación de la elipse tenemos: 4x2 + 5(2x + k)2 = 8

Luego: a2 = 9 → a = 3 b2 = 4 → b = 2

GEOMETRÍA

x2 y2 + =1 144 81



UNI

(y– 1)2 (x–3)2 – =1 → 9 4

7

O

ε

UNMSM



F1

94

5.°

año

LA ELIPSE 4x2 + 5(4x2 + 4kx + k2) = 8 24x2 + 20kx + 5k2 – 8 = 0 Como las rectas son tangentes la ecuación cuadrática anteriormente mencionada debe de tener solución única, entonces: D = (20k)2 – 4(24)(5k2 – 8) = 0

13. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente 3 a la elipse.



→ k = ± 4 15 5

14. Determina el ángulo agudo de intersección de las asíntotas de la hipérbola:



∴ Las ecuaciones de las rectas tangentes serán: 10x – 5y – 4 15 = 0 10x – 5y + 4 15 = 0

5.°

año





x2 y2 + =1 9 4

x2 y2 – =1 9 4

95

GEOMETRÍA

7

8 Repaso 1. Calcula el volumen del prisma. F

E

a) 200 m2 b) 240 m2

C

H

c) 280 m2 d) 300 m2

e) 350 m2

4. Calcula el área de la superficie total del cono de revolución mostrado.

13m

V 30º B

A

D

a) 250 m b) 300 m3

C 5m

c) 380 m3 d) 410 m3

3

O

A

e) 450 m3

a) 40π m2 b) 42π m2

2. Calcula el área de la superficie total del cilindro circular recto.

B

4m

c) 46π m2 d) 48π m2

e) 53π m2

5. Calcula el volumen del tronco de pirámide.

4m

A=4m2

8m

6m O

a) 64π m2 b) 70π m2

c) 78π m2 d) 100π m2

e) 128π m2 a) 54 m3 b) 56 m3

3. Calcula el área lateral de la pirámide regular mostrada. 12m

B A

C

6. Calcula el área de la superficie esférica (AB = 16 m) B r M

D

45º

B=16m2 c) 58 m3 e) 62 m3 3 d) 60 m

A

8 2m

R

8m O

V

8

GEOMETRÍA

96

5.°

año

REPASO a) 340π m2 b) 360π m2

c) 470π m2 d) 500π m2

10. Determina la ecuación de la parábola cuyo foco es (4; 2) y la directriz es x = –6. a) (y – 2)2 = 20(x + 1) b) (y + 2)2 = 20(x + 1) c) (y – 2)2 = 20(x – 1) d) (y + 2)2 = 20(x – 1) e) y2 = 5x

e) 512π m2

7. Calcula el volumen generado por la figura al rotar 360º alrededor de la recta L. B

360º

D

6m

11. Calcula el área de la región encerrada por la elipse mostrada. (F1: foco; O: centro) y

3m A

C V1

L a) 108π 3m3 c) 210π 3 m3 e) 360π 3m3 b) 200π 3 m3 d) 330π 3 m3

x

F1

8. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a la recta 4x – 3y + 7 = 0 y pasa por el punto P(–2; 3). a) 4x + 3y – 6 = 0 d) x + y – 12 = 0 b) 2x – 2y – 3 = 0 e) x – y – 6 = 0 c) 3x + 4y – 6 = 0

53º

O (–7;–3)

60u

9. Determina la ecuación de la circunferencia. y

A x

5m

V2

O

a) 360π u2 b) 410π u2

B a) x2 + y2 = 5 b) x2 + (y – 5)2 = 25 c) (x – 5)2 + y2 = 25

c) 440π u2 d) 540π u2

e) 560π u2

12. Sea la hipérbola 2x2 – 6y2 – 4x + 18 y – 42 = 0. Determina la distancia del centro de la hipérbola hacia la recta 3x – 4y – 1 = 0 a) 1 u c) 3 u e) 5 u b) 2 u d) 4 u

d) x2 + (y + 5)2 = 25 e) (x + 5)2 + y2 = 25

Bibliografía 1. ROBLES, Victor. Editorial Lumbreras. Lima. Perú. I Edición. 2. RINCÓN ABELLO. Un recorrido por la geometría. Bogotá. Colombia. I Edición. 3. DONAYRE PEÑA, Milton. La geometría en las Olimpiadas matemáticas. Lima. Perú. I Edición.

5.°

año

97

GEOMETRÍA

8