Trigonometria 5°año

1

Razones trigonométricas de ángulos en posición normal

1. PLANO CARTESIANO:

Advertencia pre



90º Y 90º < IIC < 180º 180º

Para calcular la distancia entre dos puntos, se usa la siguiente fórmula:

0º < IC < 90º

y

0º X 360º

O

P2(x2; y2)

d

180º < IIIC < 270º 270º < IVC < 360º

P1(x1; y1) x

270º 2

d2 = x 2 – x 1 + y 2 – y 1  



Elementos:

2

O: origen de Coordenadas Eje X: eje de Abscisas

DATO CURIOSO:

Eje Y: eje de coordenadas

Los ángulos coterminales son aquellos que tienen el mismo lado inicial y final.

2. UBICACIÓN DE UN PUNTO:

Y

l na

fi do

La

P(x; y) o di

ra

O

ve

θ

r cto

b

O

Lado

inici

al

Se cumple:

X

R.T(θ) = R.T( ) θ – =360k (k ∈ Z) β



P(x; y): par ordenado (eje de coordenadas) Radio vector (r): r2 = x2 + y2 (r > 0)

5.° Año - II Bimestre

β



319

TRIGONOMETRÍA

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

3. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL:

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL:

y

y

Lado final

P(x; y)

α Lado inicial x

O Vértice

O

El ángulo en posición normal “α” siempre inicia desde el eje positivo de las abscisas y puede terminar en cualquier parte del plano cartesiano.



senα = y cscα = r

r

r

y

α x

cosα = x x

r



y

secα = r



x x cotα = x y

tanα = y



   

Verificando el aprendizaje NIVEL BÁSICO

1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?: I. El lado final de un ángulo en posición normal indica el cuadrante al que pertenece. II. Los ángulos 1792º y 352º son coterminales. III. Si el ángulo en posición normal es 90º, pertenece al primer o segundo cuadrante. a) solo II b) solo II y III c) solo I y II d) solo I e) I, II y III

codo, donde en cierto momento genera un ángulo en posición normal “ ”. Calcula: M = 2(Sec – Sen ) β





β

β



BRAZO











BICEPS







CODO



2. Si P(4; -5) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal “θ”, calcula: M = 41 Cosθ – 5Cotθ a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 16

X

β



ANTEBRAZO

















P(4; -4)



3. El punto (–1; 1) pertenece al lado terminal del ángulo “ ” en posición normal. Halla la suma de todas las razones trigonométricas de “β”. a) –2 b) 2 c) 5 d) –4 e) 8

Y

β















a) 1 d) 4





4. Si P(– 3; 5) es un punto del lado final de un ángulo “θ” en posición normal, calcula: E = 10 Cscθ – 6Secθ











b) 2 e) 16



c) 4

c) 3







6. Si: Senφ = (Sen30º)Sen30º ∧ φ ∈ IIC; calcula: E = Tanφ + Cotφ a) –2 b) –4 c) –6 d) 2 e) 4





a) 0 d) 8

b) 2 e) 5



















7. Si: 3Secα = – 13 , Tanα < 0 ∧ Tan + 2 = 0 ( ∈

NIVEL INTERMEDIO



TRIGONOMETRÍA

β

IIC). Calcular: P = 13 Senα + 5Csc a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,0 e) 4,5 β

5. El siguiente gráfico muestra la dinámica que realiza el antebrazo usando como punto de torque el

1

β

320

















5.° Año - II Bimestre

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL a) 1 d) 4

8. Siendo: Tanα = 2 + 2 + 2 + ... ∧ α ∈ IIIC Calcula: 5(Senα + Cosα) a) –3 b) –2 c) –1 d) 1 e) 3







b) 2 e) 5







c) 3





















NIVEL AVANZADO





13. En la figura, calcula: E = 4Tanθ ⋅ Cotα y

9. Siendo ABCD un cuadrado, donde AO = 4AB, determina el valor de: L = Tanα ⋅ Cot Y

1

β

B

C

4 θ

a

D

O

A

X

a) 1,25 d) 2,4

b) 1,66 e) 4,5









c) 4,6



a) 25 d) 35









10. Dos ángulos coterminales están en la relación de 8 a 3. Si el mayor está en el intervalo de 1870º y 2450º, halla la medida del menor. a) 1152º b) 373º c) 273º d) 864º e) 237º













x

α

β





b) 31 e) 37







c) 33







14. En la figura, la región triangular sombreada representa el plano de un terreno. Si todas las medidas están dadas en metros y el metro cuadrado del terreo cuesta S/.1000; ¿cuántos millones de soles cuesta el terreno? UNMSM 2019-I Y



11. A partir del gráfico adjunto, calcula el valor de:

E = 3 Tanα⋅Sec2 Senθ⋅Sen b UNMSM 2017-I Y (–1; 3)

20

q





X

a

θ

β

a) 4,5 d) 5,5

X





( 3;–1)

(– 2;– 2) a) 1 d) –2













c) 6



15. Del gráfico, calcula: A = 2SenαCot – 20CosαCos Si: Senθ = 2/10 Y

β

β



b) –3 e) 2



(–200;–100 5) b) 4 e) 2,5



c) 3





12. De la figura, calcula: T = 61 Sen + 6Cot Y

β

A

β

α q

X B

β

β

O

X a) –1,8 d) 1,2

P(–6;–5) 5.° Año - II Bimestre



321





b) 1,6 e) –1,1



c) –1,4



TRIGONOMETRÍA

1

2

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales

1. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

Y

De forma general se pueden expresar los ángulos cuadrantales de la siguiente forma:

Todos (+)

Sen (+) Csc

(4k + 1) π 2 Y

X Cos (+) Sec

Tan (+) Cot

Advertencia pre

(2k + 1)π

O

Ejemplos: Indica el signo a) (Sen200º)(Cos120º) = (–)(–) = (+) b) Si ∈ IIC; Sen ⋅Tan = (+)(–) = (–) c) Tan135º+Csc300º = (–)+(–) = (–)

2kπ

X





β

β

β

(4k + 3) π 2



2. R.T DE ÁNGULOS CUADRANTALES:



Sen Cos Tan Cot Sec Csc

2

0º 0 1 0 ND 1 ND

TRIGONOMETRÍA

90º 1 0 ND 0 ND 1

180º 0 –1 0 ND –1 ND

270º –1 0 ND 0 ND –1

DATO CURIOSO

360º 0 1 0 ND 1 ND

Se recomienda usar: OIONIN: 0º,180º y 360º IONONI: 90º y 270º Donde: O = cero, I = uno y N = no determinado

322

5.° Año - II Bimestre

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Verificando el aprendizaje NIVEL BÁSICO

W = Sen90º, Cos180º + 1, Sec0º – 1, Tan180º X = Sen180º + Cos270º, –Cos180º, 4Tan0º, Csc90º Y = Cot690º, –Sen90º + 1, –3Sen360º, |Csc0º| Z = |Sen0º|, Tan0º + Cos90º, Cos(Tan360º), Sen(Sen180º) ¿Cuál será la clave secreta de David? a) 8502 b) 2101 c) 4872 d) 8700 e) 4501



1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? I. El seno de 5π es cero. II. El signo de Sen153º+Tan341º es (+). III. El seno de 90º es igual al coseno de 180º. a) solo I b) solo I y III c) solo I y II d) solo II e) I, II y III













































6. Si θ ∈ Cos 140º III. Cos1 < Cos2 a) solo I y III b) solo III c) I, II y III d) solo I y II e) solo II y III



a) 2 + 2cosθ hm c) 1 + 2cosθ hm e) 2 – 2cosθ hm













b) d)









2cosθ hm 1 – 2cosθ hm













6. Si AM = MB, calcula el área de la región sombreada. Y B



M

3. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son correctas? I. Cos25º < Sen25º II. Sen40º > Cos40º III. Cos220º = Sen200º a) solo II b) solo I c) solo I y II d) solo III e) I, II y III

A



X











C.T.





a) 0,5u2 d) 2u2









4. Si π/2 < < θ < π; indica cuál de las proposiciones son correctas: I. Senθ < Sen II. Cosθ > Cos III. |Senθ| > |Cos | a) solo I b) solo I y II c) solo I y III d) I, II y III e) solo II y III

β



β











c) 1u2



7. Si AM = MO, calcula Sec2θ. Y

β





b) 0,25u2 e) 1,5u2



C.T.

β



A







M

O  

X



NIVEL INTERMEDIO

5. Alan y Sofía se suben a la rueda de la fortuna, pero en cabinas diferentes. Si en un determinado momento las cabinas donde se encuentran ambos, están representados por los puntos A y B como se muestra en la figura, halla la distancia que los separa en términos de “α”.

5.° Año - II Bimestre

a) 2 d) 4







θ b) 1 e) 5



c) 3



8. En la circunferencia trigonométrica se cumple que BM = 2(MO) y ON = 3(AN). Calcula el área de la región sombreada.

329



TRIGONOMETRÍA

4-5

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I Y

a) – 13 Sen

2 13 b) – Sen 24 c) – 13 Cos 16 d) – 13 Cos 24 e) – 13 Senθ 6

a) 3 d) 3/8

q



b) 3/2 e) 3/16





c)



3/4



12. En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcula el área de la región sombreada.

q



B

M

O

N

A

X

q

Y

q

θ X

9. Calcula el perímetro de la región sombreada en la siguiente C.T. Y

θ

a) Sen (1 + Sen ) b) –Sen (1 + Sen ) c) Sen (1 – Sen ) d) Sen (Sen – 1) e) –Cos (1 + Sen )



X θ

q



q



q



q

q

q

q

q

q

q

NIVEL AVANZADO

a) 2 – 2Senθ + 2Cosθ b) 2 + 2Senθ + 2Cosθ c) 2 + 2Senθ – 2Cosθ d) 2 – 2Senθ – 2Cosθ e) 2 – Senθ + 2Cosθ

13. En la circunferencia trigonométrica de la figura mostrada, el ángulo “θ” está en posición normal. Determina el área de la región triangular SOB. UNI 2018-I











10. En la circunferencia trigonométrica del gráfico mostrado, calcula la ordenada del punto P. UNI 2018-II Tanθ a) Y

B







b)



c)



d) e)





Tanθ – 1 Tanθ 1 – Tanθ Cosθ Cosθ – 1 Cosθ 1 – Cosθ Senθ Senθ – 1

A'



S

O

A θ

P

P

A

O

B'

X θ

a) 1 + Senθ

M

1 – Senθ c) 1 – Senθ 2(1 + Senθ) e) 1 + Cosθ 2(1 – Senθ)

11. En el gráfico, calcula el área de la región sombreada. Y

1 – Senθ 1 + Senθ d) 1 + Senθ 2(1 – Senθ)











b)







14. Un corredor parte del punto M y recorre un arco “ ” en sentido horario sobre una pista circular de radio 1m. En un instante, otro corredor se ubica en el punto B, tal y como se muestra en la figura. Si la meta se ubica en el punto C, determina la distancia en línea recta del corredor que se ubica en el punto B, a la meta.

15º

a

X C.T.

4-5

TRIGONOMETRÍA

330

5.° Año - II Bimestre

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I Y C

UNI 2016-II



Y

C.T.

B A

M

O

α

X

O

A

X

M a) 2+2Senα c) 11Cos2α e) 2+2Cosα

b) 2–2Senα d) Sen2α









a) 1 (2 – θ + Senθ)







p

2

p

2

p

b) 1 (2 – θ + Cosθ)





15. En la circunferencia trigonométrica del gráfico mostrado, el punto M corresponde a un ángulo en posición normal “θ”. Calcula el área del a región sombreada (en u2).

5.° Año - II Bimestre

2

331

c) 1 (2 + θ + Senθ)

d) 2 – θ + Senθ e) 2 – θ + Cosθ

p



p

TRIGONOMETRÍA

4-5

6

Circunferencia trigonométrica II: Variación de seno y coseno

1. VARIACIÓN DE LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA SENO: 1.1. Variación general:

Y Si Y Si Y Si







β



β



β

∈ IIC: –1 < Cos < 0 ∈ IIIC: –1 < Cos < 0 ∈ IVC: 0 < Cos < 1 β

β

β

Advertencia pre

–1 ≤ Senx ≤ 1 ; ∀ x ∈ R

1.2. Variación analítica:







Recuerda las siguientes desigualdades algebraicas: x2n ≥ 0 a