Trigonometría 4°

 

Ijgpemfaj fe Iaemiabs - AAA Nagestre

AFEMVAFBFEY V^AHJMJGÁV^AIBY NÂYAIBY

Vegb

Ye femjgambm bsç b bquekkbs ahubkfbfes fjmfe amtervaemem rbzjmes trahjmjgátraibs fe umb iaertb vbrabnke, kbs gasgbs que se veraoaibm pbrb tjfj vbkjr bfgasanke fe fai`b vbrabnke.

A.

?.

>

>

I.

Afemtafb Afemtafbfes fes ^eiçprj ^eiçprjibs ibs

2.

Afemtafb Afemtafbfes fes pjr Ijiaemte Ijiaemte



2 Yemx

2 Yeix

Ith 

Ijsx Yemx

Yeix

2 Ijsx

2

2.

Yagpkaoaque4 ^  thx   ¸ iijjsx ’

>.

t h > Yagpkaoaque4 G  2 ’ sem > 2  th

9.

Fetergame4 G  sei 6  ’ th 6 ’ th >

isi isi x

Ijsx Yeix 7 2











2 Ithx

Vhx Ithx 7 2 Ithx

N.

Yemx Ijsx

\râitaib

Ijsx 

Vhx

9.

2 Isix



Yemx Isix 7 2 Isix

>.



>

Ith It h x 7 Isi Isi x - 2

Vhx

Yemx

>

2+I +Itth x 7 Is Isi x

AFEMVAFBFE AFEMVAFBFEY Y V^AHJMJGÁV V^AHJMJGÁV^AIBY ^AIBY OUMFBGEMV OUMFBGEMVBKEY BKEY B.

>

2 7 Is Isii x - Ith x



2 Vhx

Afemtaf Afemtafbfes bfes \atbhùra \atbhùraibs ibs >

>

>

>

Yem x 7 2 - Ij Ijss x

6.

>

>

Yem x + Ijs x 7 2 Ijss x 7 2 - Yem Ij Yem x >

>

2 7 Yei x - Vh x

5.

>

>

2+Vh x 7 Ye Yei x >

>

Vh x 7 Yei x - 2

V^AHJMJGEV^ÇB

18

 

IJKEHAJY DUBM \BNKJ

6.

^efuie4 V 

se i  ijs 

th 

’

ith 

’

se m

6.

Ibkiuke4

isi 

\

 B)



2

 isi >  ’ ith >

6

ijs  sei 



sem isi 

9

9

 th >  isi >  ’ 2

6

N)

I) > E) <

ijsx   semx ¸ tth hx

 sei >  ’ th >

^efuie4

 B)

^efuie4 \ 

2

F) >

M

5.

 N)

I) 5 E) 2

5.

>

5

F) 2

semx sem x ¸sei x

?.

^efuie4 H  B) sem  I) ijs  E) th 

8.

2  sem ijs 



ijs  2  sem N) >sei  F) >ijs 

Ibkiuke4 H  2 ’ sem> ¸ 2  th >  B) 2 I) 9 E) 5

\rjnkegbs \rjpuestjs 2.

0.

Yagpkaoaque4 \

 B)



I) th x E) isi x  

>.

F) i itth x  

E)

1.

  G







sei 

N) isi  F) th 

ith 

G

?

I) 5 E) 8

10

2<

N) sei  6 F) sei 

2   th >   sei 6   th 6    th 0   se

 B) sei  0 I) sei  E) sei 

Ibkiuke4

 B)

2

^efuie4

2  tth h > 2  ith > sem >

 B) ijs  I) sei 

9.

sem x 

^efuie4

E)

E

ijsx

N)

^efuie4 sei  ’ isi isi    sei  ¸ sem ijss    sem ’ ij  B) sei  N) isi  I) ijs  F) sem 

semx  2  sem semx  2 ’ semx

ijs x

N) > F) 6

2 se i > 



2 isi > 

N)

2  B) 6

F) >

6VJ BÒJ FE YEIUMFB^AB  

>

I) 6 E)

’>

 2 se m    sem     isi  ’ ith  2  ijs   N)   2 > F) 2

 

Ijgpemfaj fe Iaemiabs - AAA Nagestre

6.

Vbreb 2.

V

H   sei   th   2 ’ sem 

>.

N) ijs  F) sei 

N) > F) 9

E)   2 >

5.

Ibkiuke4

 sei  ’ th    sei   th   ’ i  js >  G sem >

^efuie4 X9  B) ith  I) sem  E) sei 

9.

  th > sem >  sem>  ith >

 B) 2 I) <

^efuie4

 B) sem  I) isi  E) ith 

^efuie4

 B) > I) 2 E) 6

  sei sei  ’ ijs ijs  isi  ’ sem sem N) th  F) ijs 

N) 9 F) <

^efuie4 G

 B) ’2 I) 2 E)

 sei6 x ’ th6x ’ >th >th >x N) > F) ’>

’9

Evbkubiaùm 9. 2.

Yagpkaoaque4 H 

ith>x 2  isi x

2

^efuie4  w   th x ¸ ijs x  >   ith x ¸ semx  >

M  J  V B

>.

^efuie4 H   th   ith   > ’  th  ’ ith   >

6.







^efuie4 E  th x 2 ’ ith > x  ith x 2 ’ th > x

V^AHJMJGEV^ÇB



11

 

IJKEHAJY DUBM \BNKJ

AFEMVAFBFEY AFEMVAF BFEY BUPAKAB^EY

Vegb

AFEMVAFBFEY BUPAKAB^EY  B) Y  em6   Ijs 6 

 2  >Yem >  Ijs >

N) Y  em?  Ijs? I)   Vh

 2  9Yem >  Ijs >  Yei  ¸ Isi 

  Ith 

F) Y  ei >  Isi >

 Yei >  Isi > > E)   2  Yem   I j jss    > 2  Yem Yem   2  I j jss   \^JNKEGBY IJM IJMFAIAÙM

Fbfb umb j vbrabs ijmfaiajmes se pafe `bkkbr umb rekbiaùm em tárgamjs fe fai`b j fai`bs ijmfaiajmes.

 sem >x  th x  ith x 

9.

Yagpkaoaque4 V

6.

Ya4   p sse em x

5.

Ya4 sei >  ’ sei  ’ 2  <

Edegpkj4 Ijss x Ya4 Yem x  Ij



^esjkuiaùm4

2 >

. @bkkbr4 Yem x  Ijs x 

  2 

> Yem m x  Ijs Ijs x    Fek fbtj4  Ye

>

  > 2 Ye Yem m>x  Ij Ijss >x  >Yem >Yem x ¸ Ij Ijss x   6

2

>Yem x ¸ Ijs x >Yem x ¸ Ijs x



9 6

ijs x , ibkiuke4 V 7 sei x ¸ isi x   q ij    

 2 2 6

 

 Yem x ¸ Ijs x  

9 0

\^JNKEGBY \B^B EKAGAMBIAÙM FE ÂMHUKJY Kb afeb iemtrbk es ekagambr tjfbs kbs expresajmes trahjmjgátraibs, y que bk oambk quefem expresajmes amfepemfaemtes fe kb vbrabnke. Ekag kagambr ambr ‛x‗ ‛x‗, b pbrt pbrtar ar fe4 fe4

Ye Yem mx 7 b Ijsx 7 n

ibkiuke4 V

 th >  th   2  th  ’ 2  2

^esjkuiaùm4  b  Yem>x  b >  Fe  Yugbgjs Ijs x  n  Ijs > x  n  >   Yem>x  Ijs >x  b >  n> Yem x

2  b>

 n>

\râitaib 2.

Yagpkaoaque4 E 7 th  + ith  ’ sei  ¸ isi 

\rjnkegbs \rjpuestjs 2.

@bkkbr ‛g‗ pbrb que se iugpkb4 2 ijs > x

>.



 

^efuie4 G  9 sem6 x  ijs 6 x ’ > sem?  ijs ?

2< <

6VJ BÒJ FE YEIUMFB^AB  



 B) 2 > I) ijs  x > E) isi  x 



2 th > x



2 g

 >

2 ith >x

N) sem > x  F) sei  x 

 

Ijgpemfaj fe Iaemiabs - AAA Nagestre

>.

1.

Yagpkaoaibr4 ijs x  2 semx

\



semx

2 ’ ijs x isix

 B) 2 I) 9 E) ’>

N) > F) 6

@bkkbr umb rekbiaùm emtre x e y afepemfaemtegemte fe 4 sei  + th  7 x  sei   ’ th  7 y   B) xy 7 2 N) x+y 7 2 > > > > I) x  +y   7 2 F) x +y    7 xy  E) xy 7 >

2

9.

Ibkiukbr ek vbkjr fe4 > > \   b sse em x  n iij js x    n se sem x ’ b iij js x   B) 2 I) b n E) b’ n

6.

^efuiar4

Vbreb

6

2 ’ sem sem? x ’ ijs ijs ? x

2.

 B)   > 9

N)   9 >

I)   ’ > 9

F)   ’ 9 >

E)

Ibkiuke4 E

 ?  sseem6 x  ijs 6 x  ’ 6  sseem?x  ijs ? x 

 B) 2 I) 9

2

E)

^efuiar4



\  sem? x  ijs ? x ’ 9 sse em > x  ijs 6 x

 B) < I) ’2 E) ’>

?.

N) ith  > F) ith 

2 ’ sem sem x ’ ijs ijs x

C  

5.

 B) th  > I) th  E) sei 

N) b+n > > F) b +n

6

>

2  C  th  ’ ith  > 2 ’ C     th  ’ ith ith  



>.

N) > F) 6

5

Yagpkaoaque4

N) 2 F) >

\

>

ijs x



2 >

th x

>



2 b



2

9.

>

ith x >

 B) sem  x > I) th  x E) ijs x   

N) ijs  x  > F) sem  x 

Ya4

sem x   7g ijs x   7m Ekagame x.  B) g+m >

ibkiukbr4 sei > x  B) 5 I) 2 5 E) 2 >

0.

E)

Ya4 th x  it ith x  5

 isi > x

6.

N)

g ’m

F)

I)   >

F)   9

m

>

Yagpkaoaque4 \



ijsx 2 ’ se sem mx

 B) sem x   I) th x   E) sei x    N)

E)   2 >

>

g¸m g

>

N) 2< F) 8

Ya4 Vh  7 ijs  `bkkbr4 ijs6 + sem  B) 2

’>

N) th x    F) ith x   

I) g +m

8.

>

2 ’ iijsx jsx

 B) >ijs x   I) >sem x   E) sei x   

@bkkbr ‛b‗ pbrb que kb sahuaemte ahubkfbf seb umb afemtafbf4 2



semx ’ ijsx  2  semx

’ th x

N) ijs x    F) ith x   

>

5.

Ya4

sem   iij  js  

>

    A 

Ibkiuke4 M  th ?  ith ?  B) 2 I) > E) 9>

N) < F) ? 6

V^AHJMJGEV^ÇB

2< 2

 

IJKEHAJY DUBM \BNKJ

Evbkubiaùm 9. >

>

Ya4 sei  + isi  7 1

2.

2 9

ibkiuke4 \  se sei >  isi > 

Ibkiuke4 R 7 (sei ¸ isi)

M  J  V B

>

6.

 2  sem x  ijs x   2 ’ ijs x  semx ’ ijs ijs x   2  semx

Yagpkaoaque4 ^  

>.

Ya4 sem ’ ijs  

Ya4 sei   th  

6 9

ibkiuke4 M 7 sei ’ th

AFEMVAFBFEY FE B^IJY IJG\UEYVJY

Vegb

Ijs       Ijs Ijs ’ Yem Yem Ij

9

Vh      

6

Yem   ’    Yem I Ij js ’ Yem Ijs

5

Ijs   ’    Ijs Ijs  Yem Yem Ij

?

Vh   ’    Vh

?’ > 25´

Vh  Vh 2 ’ Vh Vh

?+ >

Vh ’ Vh 2  Vh V h

n)

Ijs2?´ * Ijs2?´ 7 Ijs(59´’98´) 7 Ijs59´ Ijs98´ + Yem59´ Yem98´ 7

 B\KAIBIAJMEY Ibkiukbr4 b) Yem85´ * Yem85´ 7 Ye Yem(65´+9



2

>

>

>

 > 6

6VJ BÒJ FE YEIUMFB^AB  

85´

6

Ijs2?´ 

9 5

6



5



6

9

5

5

>6 >5

>5

86´ 8

2?´ >6

 

Ijgpemfaj fe Iaemiabs - AAA Nagestre

i)

5.

Vh0´ Vh0´ (que (quefb fb p pbr brb b ek bkug bkugmj mj))

Ya4 BNIF es um iubfrbfj, bfegâs4 NI793 IF7>3 BO72. @bkke ‛Vh‗.

0>´

N

I

F

0´ 

\râitaib  B

2.

>.

O

E

^efuiar4  B  5sem  98´  x  ’ 9 ijs x

@bkke ek vbkjr fe4 Y 

\rjnkegbs \rjpuestjs

Vh9>´  Vh29´ Vh29´ 2 ’ Vh9>´ Vh29´ Vh29´

2.

Yagpkaoaibr4

Ijs x ’ y  Ijsx Ijsy

 B) 2 I) 2/> E) >

>.

9.

^efuiar4

 

^  Ijs Ijs >2´ >2´  x  Ijs 2?´’x  ’ Yem  > >2 2´  x  Yem 2?´’x 

’ Vhx Vhx Vhy N) ’2 F) ’ ’2 2/>

Ibkiukbr4 V

 B)



Yem85´Ijs9 Ijs5 Ijs5 Ijs Ijs8 I Ijs js6 6   Yem em8 8 Y Yem em6 6



 B) Vh9  I) Ith> E) Yem?

9

9

>

6.

N) Ith9 F) Vh>

Ya4

 ’  7 ?

Ibkiukbr4  Ijs  Ijs    Yem  Yem   B) 2 I) 9 E) 5

>

N) > F) 6

V^AHJMJGEV^ÇB

2 Ithx  



6

?.

N) ’9> F) ’2?

2.

Ya4 BNIF es um iubfrbfj, `bkkbr4 ‛Vh ‗ N

Ibkiukbr4 Yem85´  B)

I I)

  ?

E) >

 B) 2 I) 2/9 E)

9

F

>.

N) 2/> F) 2/6

 > 6

  ? ’

>

6



 B

N) > Vhx  F) > Vh>x  

Vbreb

5  B) 9> I) 2? E) 6/25

 Vh  65´  x  ’ Vh  65´ ’x 

  ?

F)

  ?

 > 0

  ? ’ > 0

 > >

Ibkiukbr4 Vh0´  B) 2/8 I) 9/8 E) 9/0

2/ 5

N)

N)

>/8

F) 2/0

8. Yagpkaoaibr4 Yem(>Ye m  65 65´´  x  Ye Yemx mx  Ij Ijsx sx

F) Ijsx  

>   9 9

 B)   >

N)   > >

I) 2

F)   ’ >

E)

Yagpkaoaibr4

6.

^efuiar4

Ijs  x  y   Ijs  x ’ y 

>Ijss  ?< >Ij ? Vhx I) > Ithx E) > Yeix  

1.

I) E)

2 Ijsx E) >(Ye Yem mx+Ijsx)

N) > Vhy  F) > Ithy  

5.

Ya4 ith  7 6 ibkiuke4 th(98´+)  B)

N) F)

’2

28 9 8 9

28 5

6VJ BÒJ FE YEIUMFB^AB  

N) Ijsx  F) > Yemx  

Ya4 Ithx 7 6 Ibkiukbr4 Vh(x+98´)  B) 22/2? I) 2>/25 E) 2?/29

N) 22/29 F) 2>/22

 

Ijgpemfaj fe Iaemiabs - AAA Nagestre

Evbkubiaùm 9. 2.

>.

^efuiar4 E 

Yem99´ Yem9 9´ Ijs9 Ijs9´´ ’Yem9´Ijs99´

Yagpkaoai oaibr4 G 

>Yem >Ye m 65´  x  ’ Ijsx Ijsx

6.

Ya4 Ith 

6

3 Ibkiuke4 Vh(65´+)

AFEMVAFBFEY BUPAKAB^EY FE B^IJY IJG\UEYVJY Ye iugpke4

’ b

>

o(x)GBP

Ith I Itth  Ith I Itth  Ith Ith  2

Ya4  +  +  7 1  n>

Vh Vh  Vh Vh  Vh Vh  2

 b >  n>

th0 th05´ 5´  th85 th85´´  th> th>1´ + th9?´ th>5´ + th>1´ th>5´

VEJ^EGBY 2. Yaemfj b y n mugerjs rebkes, x vbrabnke rebk3 se iugpke4

 b >  n>

 

o(x)GAM

\râitaib

Ith  Ith  Ith  Ith Ith Ith

bY Ye emx  n Ij Ijsx

 n>  o(x)  b >  n>

Yeb4

Vh  Vh  Vh  Vh Vh Vh

 

2

9Yemx 9Ye mx  >Ijs >Ijs  ?´ Yem2> Yem2>´´ Ijs60´

Vegb .

>

 n>

b

 Ijs 

Yaemfj4 o(x) 7 b Yemx + n Ijsx   x    b,n  ite

b

>

 n>

V^AHJMJGEV^ÇB

2 E) 2

6.

Ibkiuke ek vbkjr fe C 2> , sbnaemfj que se iugpke4   th6 N) ’2 F) ’>

2< ?

8

E)

>

I)

.

2 >

2 1

Ya4 x es vbrabnke3 Ibkiuke ek gâxagj vbkjr4 C 7 9 semx + 6 ijs x   B) ’5 N) < I) 5 F) 6 E) ’9

1.

Ibkiuke ek gâxagj vbkjr fe4 \  5  sem  x  98´    ijsx  B)   > >

N)

6

I)   6 >

F)   5 >

E)   ? >

Ibkiuke4 B 7 ith0<

8. Ya4 B + N + I 7 1 y thN   B)

Ya4 x  y  z 

28 21

. Yagpkaoaque4

G 7 (th>x + th>y + th>z) ith>x ith>y 

2.

N) E)

F) 

N)

   ’030 

I)

   ’?3? 

F)

   ’28328 

E)

   ’25325 

 

Ijgpemfaj fe Iaemiabs - AAA Nagestre

6.

Vbreb 2.

Ya4

9

      1

9 I) 5  B) 2 I) 9 E) 5 5.

Ya4 x + y + z 7 1 F) thx + thy + thz

9. Ibkiuke4   ^  ith

 

Em um um ttra raâm âmhu hukj kj BN BNI4 I4 ithB  

9 >

3 ithN  >

Ibkiuke4 ithI

6 8

ith

> 8

 ith

6 8

ith

 8

 ith

> 8

ith

 8

M  J  V B

6. >.

N) > F) 6

Fbfj um traâmhukj BNI3 sa4 thB 7 b ’ 2 3 thN 7 b 3 thI 7 b + 2 9 > Ibkiuke ek vbkjr fe4 b  + b  + b + 2  B) 5 N) 2< I) 25 F) > < E) >5

Evbkubiaùm 2.

>



Ya se iugpke4   b ’ th> N) 2 I) 9/6 F) 6 6//9 E) >

M

2

2

Ibkiuke4 B 7 (9+th)(9+th)  B) 2 N) 9 F) 0 E) 2 2< <

>.

Fe kb oahurb, ibkiuke ith  sa4

^efuie4 \ 

ith60´ ith60´  ith>> ith>>´´  ith> ith>>´´

sa4 ith>.

Yagpkaoaque4 \ 

9.

> > 2  ij ijs 2< 2< x   2  ij ijs >< > 5x   ijs > 2< >s >sem em> 2< 2

5.

Ya4 x + y 7 1  >Y >Ye em Ijs

 •

Ijs (+) 7 Ijs Ijs 7 Yem Yem Ijs >  Ijs

 •

>

> ’ 6sem 6sem> >< >ijs?5´ ijs>5´

>

 ’ Yem 

Bmâk Bmâkj jhbge hbgemt mte e sse e jnt jntae aem me4 Vh > 



>V h 



2 ’ Vh

>



Usbmfj kbs afemtafbfes trahjmjgátraibs ek ‛Ijs>   ‗, tbgnaám se puefe esiranar ijgj sahue4   >

2 ’ > Yem  Ijs>  7  >

 > Ijs  ’ 2

OÙ^GUKBY FE FEH^BFBIAÙM Fe kj bmterajr se fefuie4 > Ye Yem > Ij Ijs

2.

>

  2 ’ Ijs >

>

  2  Ijs >

Vraâmhukj fek âmhukj fjnke4

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