Trigonometria 2012

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A.

ÁNGULOS VERTICALES I.

INTRODUCCIÓN: En muchos problemas de la vida cotidiana se presentan situaciones donde es necesaria graficar el enunciado e un texto en forma precisa. Para ello es necesario tener presente los distintos casos que se pueden presentar. En el presente tema estudiaremos aplicaciones de triángulos rectángulos que tienen gran utilidad en la vida diaria como por ejemplo en la topografía, navegación o cálculo indirecto de distancias inaccesibles.

II.

CONTENIDOS BÁ BÁS SICOS: 1. ANG ANGULO ULOS S VERTIC VERTICALE ALES S Son So n aq aque uell llos os ángu ángulo loss ob obte teni nido doss en un plan plano o

 

vertical formados por la línea de mira (o visual) y línea vertical

la lí líne nea a ho hori rizo zont ntal al qu que e pa part rten en de la vist vista a de dell observador.

plano horizontal

Visual: Es una línea imaginaria que une el ojo

línea horiz h orizontal ontal

del observador con el objeto observado.

Línea horizontal: Es cualquier línea contenida en el plano horizontal. plomada

Línea vertical: Es la línea coincidente con la línea que forma  al colgar una plomada. visual

1.1 Clasificación

de

los

Ángulos

Verticales

α Observador 

Línea horizontal

α : ángulo de elevación

 

1

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. [1]Ángulo de Elevación: Es el ángulo vertical formado por la línea horizontal y la visual cuando el objeto se encu en cuen entr tra a por enci encima ma de la lí líne nea a horizontal.

[2]Ángulo [2]Áng ulo de De Depr presi esión: ón: Es aq aque uell ángulo vertical formado por la línea

Línea horizontal

  Observador 

β

horizontal y la visual cuando el objeto

visual

se encuentra por debajo de la línea horizontal.

β : ángulo de depresión

OBSERVACIÓN:   Cuando en los ejercicios y problemas a resolver no se indique la altura del observador, se debe considerar que este, está en la línea horizontal. Además α y β son ángulos arbitrarios.

II III. I. EJER EJERCI CICI CIOS OS RESU RESUEL ELTO TOS: S: Ejemplo Nº 01 Un niño colocado en la orilla de un río observa un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de 60º, se aleja 40m y este ángulo mide 30º. ¿Cuál es la altura del árbol? A)20m

B)20 2 m

C)10 3 m

D)20 3 m

E)40m D

Resolución: 30º

BD= AB= 40m BC= BD= 20m 2

 

30º A

2 40 m

60º B

C

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. DC= BC 3 = 20 3m

CLAVE: D Ejemplo 2: Cuando observamos una torre desde un punto distante 2m más que su altura, el ángulo de elevación es “ α” pero si es observada desde otro punto distante 2m menos que su altura, el ángulo de elevación es “2α”. Calcular la altura de la torre. A) 5 + 1

B) 5 − 1

C) 7 + 1

D) 7 − 1

E) 6 + 1 D

Resolución:

H

2 A

4

B

H–2

C

H+ 2

i)

AB= (H+ 2) − (H− 2) = 4

ii)

∡ADB = ∡DAB = α

∴ ii iii) i)

BP= AB= 4

El triá triáng ngul ulo o rect rectán ángu gulo lo BC BCD D 2

BD

2

2

= BC + CD

42 = H2 + (H− 2)2

16= H2 + H2 − 4H+ 4 12= 2H2 − 4H

6 = H2 − 2H 7 = H2 − 2H+ 1= (H− 1)2

CLAVE: C

H− 1= 7  ⇒  H = 7 + 1

Ejemplo 3:

 

3

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. Una persona de 1,50m de estatura observa un árbol con un ángulo de depresión de 30º, su base y con un ángulo de elevación de 60º, su parte superior. Calcular la altura del árbol. A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 10 Resolución:

⇒

∴

1,5 ctg 30º. Tg 60º  Altura del  Árbol (h)

Altura del árbol = 1,5 + 1,5 Ctg 30º . Tg 60º 3 3 1,5 ctg 30º 60º h= + . 3. 3 30º 2 2 1,5 m h=6m

1,5 m

CLAVE: B

I.

PRÁCTICA DE AULA:

1.

Desde un punto en tierra se divisa lo alto del quinto piso de un edificio con

D) 3

un de elevación y la parte α ” ángulo bajaángulo del tercer piso con“ un de

4.

Una observadelaelevación copa de un árbolhormiga con un ángulo de 37º, luego se acerca 7m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Determine la altura del árbol. A) 12m B) 13m C) 14m D) 15m E) 16m

5.

Desde

elevación “ β ”. Determine el valor de:

E = Tgα / Tgβ A) 1/3 D) 5/2

2.

B) 2/5 E) 5/3

C) 3/5

Desde Desd e un punt punto o en ti tier erra ra ub ubica icado do a 36m de una torre, se observa la parte más alta con un ángulo de elevación “

α ” ( Tg αarse =se 1/3 ). ¿Qué distancia habrá que alej que alejar pa para ra qu que e el án ángu gulo lo de elevación tenga como tangente 1/5? A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) 36 3.

Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre, con un ángulo de el elev evac ació ión n “ θ ” Nos ace cerc rca amo moss una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º.

6.

el

suelo

se

observa

un

monumento sobre un pedestal bajo un ángulo de 8º. Si la parte más alta del monumento se observa con un ángulo de eleva levaci ción ón de 45 45º. º. Dete Determ rmin ine e la altura del monumento, si el pedestal mide 18m. A) 1m B) 3m C) 4m D) 6m E) 8m Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una estatua con un ángulo de elevación “ 2θ ” y lo alto del pedestal que qu e lo sost stie ien ne co con n un ángu ngulo de

Calcular: “ Ctgθ ” A) 5/3

E) 2

B) 4/3

C) 7/3

4

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. elevación “ θ ”. Si la visual mayor mide “m”, halle la longitud de la estatua. A) mSenθ B) mCosθ

depr de pres esió ión n co comp mple leme ment ntar ario io de “θ”. Calcular el valor de: E = 2Ctgθ −1

 Tgθ C) m

D) mCtgθ E) mSecθ

7.

8.

Una mosca que está en el suelo observa a un pajarito con un ángulo de elevación 45º. Si la mosca para llegar dond do nde e está está el pa paja jari rito to de desc scri ribe be un recorrido similar al de un cuadrante. En cier cierto to in inst stan ante te la mosc mosca a ob obse serv rva a al pajarito con un ángulo de elevación de 37º. 37 º. ¿A qu qué é al altu tura ra se en encu cuen entr tra a la mosca?, si el pajarito está a una altura de 2,5m. A) 50cm B) 60cm C) 70cm D) 80cm E) 90cm

2

B)

3

D)

7

E)

8

C)

5

10. Desde la parte superior de la torre de control de un aeropuerto, se observa dos aviones sobre la pista, el primero posado hacia el oeste y el segundo se encu en cuen entr tra a al sur sur del del prim primer ero. o. Si la al altu tura ra de la torr torre e es igua iguall a 200m 200m.. Calc Ca lcul ular ar la ta tang ngen ente te de dell án ángu gulo lo de depresión con que se ve el sengundo avió av ión, n, si el án ángu gulo lo de de depr pres esió ión n de dell p ripara meraci roción dee los anes desmáes s de la sepa se ónesen entr tre lo5s3ºav avio ione 200m. A) 1/5 B) 3/4 C) 4/3 D) 4/5 E) 3/5

Un hombre de altura 1,7m observa el extremo de un árbol con un ángulo de el elev evac ació ión n de 45 45º. º. Al subi subirr po porr un unas as gradas se aleja 7m. más en la dirección del árbol, sube también 7m. desde su nueva posición, ve la parte más alta del árbol con un ángulo de

11. Un avió avión n vu vuel ela a ho hori rizo zont ntal alme ment nte e y a una altura de 1200m al momento de pasar entre dos objetivos A y B los ve con ángulos de depresión de 45º y 37º respectivamente. Calcular la tangente el ángulo de depresión con que obse ob serv rvar aría ía al ob obje jeti tivo vo A cuan cuando do se halle exactamente sobre el objetivo B. A) 3/7 B) 7/3 C) 2/5 D) 5/2 E) 5/3

elevación de 37º. Calcule la altura del árbol. A) 50,7m B) 44,7m C) 33,7m D) 32,7m E) 30,7m

9.

A)

Un ratón observa a una paloma con unágnulo de elevación “θ”, la paloma está en la parte ma´s alta de una torre y observa que el ratón se acerca una cierta distancia igual a la altura de la

12. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido, en la primera observación, desde el barco se ve el avión adelante con un ángulo de

torre y lo observa con un ángulo de

elevación de 53º, marcando con una boya bo ya dich dicho o punt punto. o. En una una segu segund nda a

5

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. observación el ángulo de elevación de 53º, 53 º, ma marca rcand ndo o co con n un una a bo boya ya di dich cho o punto. En una segunda observación el ángulo de elevación es de 37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del

de 9 3 m, ubicado al pie de la colina con un ángulo de elevación 60º. Halle la distancia que separa a dicha persona del poste. A) 4m

barco. bar co. Ca Calc lcu ule la co cottang ngen entte del ángulo de depresión con que el avión en la segunda posición ve la boya. A) 13/12 B) 15/12 C) 17/12 D) 7/24 E) 19/24

II.

PRÁCT ÁCTICA DOMI DOMIC CILIARI ARIA:

1.

Una persona observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 37º. ¿Qué longitud debe ace ac ercar rcarsse al pos poste pa para ra obs bser erv var nuevamente la parte superior con un ángulo de elevación de 45º si inicialmente se encontraba a 3m del pie del poste? A) 2m B) 0,75m C) 0,25m D) 1m E) 1,25m

2.

D) 2 +

3.

D) 6 3 m E) 8 3 m

4.

B) 5

Una persona de altura

2dtanα D) 2dcotα.cotβ tanα + tanβ cotα + cotβ dtanα. tanβ E) cotα + cotβ

5.

C) 4

3 m ubicado

sobre la colina cuya incli lin nación resp re spec ecto to a la ho hori rizo zont ntal al es de 30 30º, º, observa la parte superior de un poste

 

2dtanatanβ dsenα.senβ B) tanα + tanβ senα + senβ

C)

E) 3

3

Entre dos puntos A y B separados por una distancia d se encuentra una torre. Si la mita itad infe inferrior ior de la torre orre es observada desde A y B con ángulos α y β, halle la altura de la torre. A)

Un obse observ rvad ador or de 1,73 1,73m m de altu altura ra ubicado a 3m de la base de un árbol lo observa con un ángulo de 60º al alejarse 3,46m. Observa la parte alta del árbol con un ángulo de elevación α. Calcule: E = tanα + cotα (considere) A) 2 3

B) 4 2 m C) 4 3 m

6

Si por la mañana en cierto instante el soll inci so incide de con con una una depr depres esió ión n α y proyecta una sombra (S1) de una torre y pasado el medio día, el sol indice con una un a depres depresión ión β, proy proyec ecta tand ndo o un una a sombra (S2) de la misma torre, halle la altura de dicha torre si: S1 + S2 = 4(cotα + cotβ) A) 2 B) 4 C) 8 D) 6 E) 12

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A.

7

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A.

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL ÁNGULOS CUADRANTALES I.

INTRODUCCIÓN: La trigon trigonome ometrí tría a se rem remont onta a a las pr prime imeras ras mat matemá emátic ticas as con conoci ocidas das en Egipto Egipto y Babilonia. Los Egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Tiparco de Nicea completó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Posteriormente se ubicó, el ángulo trigonométrico en el plano cartesiano de Descartes obteniéndose así el ángulo en posición estándar o normal. La versatilidad de Descartes permite plantear, resolver y comp compro roba barr el resu result ltad ado o de cu cual alqu quie ierr prob proble lema ma de re reso solu luci ción ón de triá triáng ngul ulos os rectángulos. La resolución gráfica ayuda a comprender las operaciones algebraicas y facilita la depuración de errores.

II.

CONTENIDOS BÁ BÁS SICOS:

 

y

2. 2.1 1 Ángu Ángulo los s en Posi Posici ción ón N Nor orma mal: l: β α Llam Llamad ada a tamb tambié ién n en po posi sició ción n ca canó nóni nica ca o x está es tánd ndar ar;; es aq aque uell án ángu gulo lo tr trig igon onom omét étric rico o φ  θ  cuy uyo o vértic rtice e co coiinci cid de con el or oriigen gen del del sistem sis tema a car carte tesia siano, no, su la lado do ini inicia ciall coi coinci ncide de con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano, siendo el que indica a que cuadrante pertenece el ángulo. En el gráfico, por ejemplo "β” no es un ángulo canónico (note donde se inicia). Como “α”, “θ”, y “φ ” son ángulos canónicos; decimos: α ∈ IIC, θ ∈ IIIC; φ  ∈ IVC. y

2. 2.2 2 Ángu Ángulo los s Cua Cuadr dran anta tale les: s: Son aquel aquellos los áng ángulo uloss can canón ónico icos, s, cuyo cuyo lad lado o final coincide con cualquiera de los semi–ejes cartesianos. Su medida es siempre múltiplo de 90º y no pertenece a cuadrante alguno. medida de un ángulo = 90º.n; n ∈ Z

 

8

180 º 180º

90 º x -90º

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. cuadrantal

R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES:

Se n Co s  Tg Ct g Se c Cs c

180º

0 0

π/290º 1

π

0

3/2 π -1

2π 0

1

0

-1Oº

0

1

0

∃/

0

∃/

0

∃/

0270º

∃/

0

∃/

1

∃/

-1

∃/

1

1

∃/

-1

∃/

∃/

2. 2.3 3 Ángu Ángulo los s Cot Coter ermi mina nale les: s: Son aquellos ángulos trigonométrico coss no necesa nec esaria riamen mente te can canóni ónicos cos qu que e tie tienen nen el mismo mismo lado inicial y final; motivo por el cual también se les llama ángulos cofinales. Las medidas de estos ángulo áng uloss se diferenc diferencian ian sie siempr mpre e en un númer número o ente en tero ro de vuel vuelta tas; s; o di dich cho o de otra otra ma mane nera ra,, la diferencia de sus medidas es siempre un múltiplo de 360º. α y β: canónicos y coterminales α y β:canónicos y coterminales

 

α β

0

y α x

Si: α y β : coterminales ⇒ α – β = 360º . n ; n ∈ Z

β

Definición de las Razones Trigonométricas para un Ángulo en Posición Normal Sea “θ ” un ángulo en posición normal y P(x; y) un punto que pertenece a su lado final.

 

9

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. Se define: Ordenada y = RadioVector r Abscisa x cosθ = = RadioVector r

Senθ =

tgθ = Ordenada =y Abscisa x Abscisa x ctgθ = = Ordenaday RadioVector r secθ = = Abscisa x RadioVector r cscθ = = Ordenada y

SIGNOS DE LAS R.T Esto dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado, en el cuadro cua dro adj adjunt unto o se apr aprecia ecia un cri criter terio io para recordar los signos; entendiéndose que están indicadas las que son positivas y sobreentendiendo que las no mencio men cionad nadas as en cad cada a cua cuadra drante nte,, so son n negativas.

y

sen

Positivas todas

(+)

csc x

Cos

tan (+ )

(+ )

sec

cot

II III. I. EJER EJERCI CICI CIOS OS RESU RESUEL ELTO TOS: S: Ejemplo Nº 01: Siendo P(-1; 2) un punto que pertenece al lado final del ángulo θ en posición normal. Calcular: M = A) 1 D) -2

B) -1 E) 3

5

y=2 r= 5

Reemplazamos :

(sen θ + cos θ)

M= 5(senθ + cosθ)

C) 2

  2      +  −     5      

M= 5

Resolución: Como Co mo P pe pert rten enec ece e al lado lado fi fina nall de dell ángulo θ se tiene: x = -1

 

 1   5 

M= 5 M=1

10

    5    

1

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. Sec2α tgx + Sen3x ⋅ cosx M= Senx Secx Senα

Ejemplo Nº 02:

θ

Si: sen = 0,8 ∧ θ ∈ IIIC 2

A) +

B)–

D) (+) v (–)

C) (+) ∧(–) E)No

se

puede

determinar

Calcular:

θ

θ

R = 6 Tg − 9Sec 2 2 A) 5 B) 11 D) 7 E) 13

Resolución: Con los datos:

C) 9

Cosα > 0

 ⇒ α ∈ IVC

Ctgα < 0

Resolución : Como θ  ∈ IIIC, entonces 180º < θ < 270º

> 0  ⇒ x ∈ III C cos x < 0  Tg x

Luego: θ ∈ 90º,135º 2 θ 8 4 Además Sen = = 2 10 5

Luego en la expresión M: (+)2⋅ (+)+ (−)3⋅ (−) (+)+ (+) = M= (−)⋅ (−)⋅ (−) (−) M=

5 4

θ 2

CLAVE: D

Ejemplo 3: Si cos α > 0 y ctg α < 0  Tg x > 0 y cos x < 0 Determinar el signo de la expresión:

 

(−)

= (−)

∴ M=–

x = −3

  4  − 9  5   ⇒ R = 6       − 3    − 3         ∴ R=7

(+ )

11

CLAVE: B

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A.

IV. PRÁCT ÁCTICA DE DE A AU ULA: 1.

3.

Si el lado terminal de un ángulo “ θ” en posición normal pasa por el punto

De la figura ABCD es un cuadrado calcular el valor de: E = 4Ctgβ − Tgβ

P(5; -2 6 ), determine el valor de la expresión:

y

Q = Cosθ + 6 Senθ A)

B) 1

6

D) - 2

2.

C) -1

E) -

β x

6

37º

De la figura,calcular el valor de:

E = 5Cscθ − Ctgθ

A) -5 D) 3

y (-2,1)

4.

θ x

A) 1 D) 7

B) 3 E) 9

 

B) -3 E) 5

Determinar el signo de la siguiente expresión:

L=

C) 5

Sec557º.Ctg(−1477 º) Csc1733 º

A) (+) D) (+) y (-) signo

12

C) -2

B) (-) E)

C) (+) ó (-) Carece de

 

Lic. Huarcaya Gonzales, Luis A. D)

5.

Cosα = −

Si:

2 ; 3

además

α ∈ IIIC.

9 5 Tg ( α + Senα) W = Secα − 5Cscα

6.

B) -5

E) N.D.

10. Simplificar la siguiente expresión: 6(2a− 3b+ c)Csc90º−5(3a− 4b+ c) Cos360 º W= (3a− 2b− c) Sec180 º

Calcule el valor de:

A) 3/2 D) 3

2

A) 0 -1

C) 2

B) 1 E) 1/2

C) 2

D)

E) 5

11. Si los ángulos “α” y “β” son cuad cu adra rant ntal ales es,, dete determ rmin ine e cu cuán ánto toss valores diferentes puede tomar: E = Sen(α + β)

Siendo “α” y “β” ángulos coterminales, tal que se cumple:

Cscα = − 10; 270º