Trigonometría_4°

Índice UNIDAD I

Necesidad de medir

Capítulo 1

Capítulo 4

Sistema sexagesimal y centesimal ....................... 5

Características del ángulo trigonométrico........ 36

Capítulo 2

Capítulo 5

Sistema sexagesimal y radial ............................... 16

Fórmula de conversión de sistemas.................. 47

Capítulo 3

Capítulo 6

Sistema sexagesimal, centesimal y radial............. 26

Repaso

UNIDAD II



.................................... 56



.................................... 83

universo curvilíneo

Capítulo 1

Capítulo 3

Cálculo de la longitud de un arco ........................ 61

Miscelánea

Capítulo 2 Superficie de un sector circular........................... 73

UNIDAD III

DISTANCIÓMETRO TLM-300

Capítulo 1

Capítulo 5

R.T. de un ángulo agudo I .................................... 89

Resolución de ángulos verticales................... 130

Capítulo 2

Capítulo 6

R.T. de un ángulo agudo II.................................... 100

Resolución de triángulos rectángulos............ 140

Capítulo 3

Capítulo 7

R.T. de ángulos notables ...................................... 111

Plano cartesiano

Capítulo 4

Capítulo 8

Propiedades de las razones trigonométricas....... 122

Repaso .................................. 162

UNIDAD IV

.................................. 151

EL RADAR COMO ARMA ESTRATÉGICA

Capítulo 1

Capítulo 2

R.T. de ángulos de cualquier medida I ................. 167

R.T. de ángulos de cualquier medida II.......... 177

TRIGONOMETRÍA UNIDAD V

¿cÓmo UBICAR UN LUGAR GEOGRÁFICO?

Capítulo 1

Capítulo 2

Reducción al primer cuadrante I ......................... 186

Reducción al primer cuadrante II......................... 193

UNIDAD VI

UNA RECTA ORIENTADA EN LA TRIGONOMETRÍA

Capítulo 1

Capítulo 3

Circunferencia trigonométrica I ......................... 200

Circunferencia trigonométrica III.................. 216

Capítulo 2

Capítulo 4

Circunferencia trigonométrica II......................... 210

Repaso .................................. 219

UNIDAD VII

LA IMPORTANCIA DE LA IDENTIDAD

Capítulo 1

Capítulo 5

I. T. de un ángulo simple ...................................... 222

I. T. de variable doble .................................. 253

Capítulo 2 I. T. de una variable parte II.................................. 230 Capítulo 3 Identidades trigonométricas auxiliares ............... 237 Capítulo 4

Capítulo 6 Ecuaciones trigonométricas .......................... 261 Capítulo 7 Repaso .................................. 267

I. T. de la suma y diferencia de variables ............. 244

TRILCE

UNIDAD I

Necesidad de medir

E

l hombre siempre ha tenido la necesidad de medir: contar objetos, contar dinero, medir distancias, pesar objetos o personas, medir el tiempo, etc., porque resulta útil para su vida diaria.

La imagen muestra un instrumento de medición digital, poco conocido, para medir espacios: de una vivienda o de cualquier edificación, sin la necesidad de recurrir a una regla o cinta métrica. Basado en una fórmula del triángulo, el usuario debe apuntar el dispositivo a los extremos del espacio que desea medir y la flecha rotativa más los dos brazos con detector calculan la distancia mediante rayos láser.

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Formular ejemplos de ángulos medidos en los sistemas estudiados. Resolución de problemas • Resolver problemas que involucren la medida de ángulos en los sistemas de medición angular. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Aplicar estrategias de conversión en los sistemas de medición angular.

Trigonometría Razonamiento Matemático

Sistema sexagesimal y centesimal

1

¿Crees que tomaron en cuenta las mediciones para construir la fuente? ¿Cómo crees que se logró? ¿La medida de los ángulos tienen importancia en el diseño?

¿Para qué medir? El Circuito Mágico del Agua en el Parque de la Reserva, inaugurado el 26 de julio de 2007, sigue causando la admiración del público nacional e internacional. Obtuvo el reconocimiento del Records Guinnes como "El Complejo de Fuentes más Grande del Mundo en un Parque Público". El Circuito comprende trece impresionantes fuentes distribuidas a ambos lados del Parque de la Reserva. Las fuentes más grandes del Circuito son la Fuente Mágica con más de 80 m de altura y la Fuente de la Fantasía cuyas aguas despliegan un fastuoso espectáculo con formas y figuras iluminadas que danzan al compás de la música y del movimiento del agua. Seguimos con la Fuente de la Ilusión, la Fuente de la Cúpula Visitable, la Fuente Tanguis, la Fuente de la Armonía, la Fuente del Arco Iris, la Fuente Túnel de las Sorpresas, la Fuente Laberinto del Ensueño, la Fuente de la Vida, la Fuente de las Tradiciones, la Fuente Río de los Deseos y la Fuente de los Niños.

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Unidad I

5

Sistema sexagesimal y centesimal

Conceptos básicos ¿Qué es medir ángulos? Medir ángulos es establecer una correspondencia entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los ángulos. Algunos de los sistemas para medir ángulos son el sistema sexagesimal (sistema inglés) y el sistema centesimal (sistema francés).

¿Cómo se obtienen estos sistemas de medidas de ángulos? Sistema sexagesimal: se considera al ángulo de una vuelta dividida en 360 partes iguales llamadas grados (º), cada grado (1º) está dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y a su vez estos están divididos en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: grado: º

minuto: '

segundo: "

1. Si un ángulo ABC mide 36 grados 27 minutos y 28 segundos, se escribe: 36º 27' 28". Para sumar ángulos en el sistema sexagesimal se procede como sigue: • Se hace la suma de segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados.

EjemploS

Ejemplos

Así tenemos que: B 1 vuelta 360º 1º 60' 1' 60"

25º 45' 56" + 59º 57' 39" 84º 102' 95"

• Como cada 60 segundos es un minuto, entonces la columna de los segundos nos alcanza para formar un minuto y 35 segundos. El minuto completo lo pasamos a la segunda columna. 25º 45' 56" + 59º 57' 39" 84º 103' 35"

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

43º 36' 49" + 25º 12' 16" Respuesta: 68º 49' 05"

• Como cada 60 minutos es un grado, entonces la columna de los minutos nos alcanza para 1 grado y sobran 43 minutos; el grado que nos sobró lo agregamos a la columna de grados quedando como: 25º 45' 56" + 59º 57' 39" 85º 43' 35"

6

Inténtalo tú

43º 46' 29" + 25º 52' 16" Respuesta: 69º 38' 45"

Si en la suma de las columnas de los minutos y los segundos no llegan a 60 se dejan tal como está. 25º 23' 26" + 59º 17' 19" 84º 40' 45"

Colegios

Sumar los siguientes ángulos:

TRILCE

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

43º 17' 29" + 15º 31' 16" Respuesta: 58º 48' 45"

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Trigonometría Razonamiento Matemático

1

2. Las siguientes notaciones hay que escribirlas correctamente: 47° 192' 78" = 47° 193' 18" = 50° 13' 18" Escribir correctamente:

45º 13' 80" + Inténtalo tú 90º 135º 13' 80" = 135º14'20"

129º 156' 98" Respuesta: 131º 37' 38"

• Para realizar una resta en el sistema sexagesimal, se siguen los pasos realizados en la suma, pero ahora en lugar de sumar hay que restar. 3. Restar el siguiente ángulo. 195º 156' 320" – 57º 10' 88" 138º 146' 232"



195º 156' 320" – 57º 10' 88" 138º 149' 52"

195º 156' 320" – 57º 10' 88" 140º 29' 52"

Observación • Primera parte: en la notación del sistema sexagesimal se debe tener presente: AºB'C" = Aº + B'+ C" • Segunda parte: para convertir de grados a minutos o de minutos a segundos y viceversa se recomienda el siguiente diagrama: x 60 Grado

x 60 Minuto

1. Obtener el valor de: E=

: 60

2º2' 3'3'' + 2' 3''

Resolución: aplicando la observación anterior parte I: E= 2° + 2' + 3'+3" ahora de la primera 2' 3" fracción convertimos los grados a minutos aplicando la observación parte II y de la segunda fracción los minutos a segundos aplicando también la observación parte II. E= 2 # 60'+2' + 3 # 60"+3" " E= 120'+2' + 180" + 3" " E= 122' + 183" 2' 3" 2' 3" 2' 3" Por lo tanto: E = 61 + 61

Inténtalo tú

E = 122

Ejemplo

Ejemplo

: 60

Segundo

Obtener el valor de: E= 4°5' + 6'9" 5' 3" Respuesta: 172

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Unidad I

7

Sistema sexagesimal y centesimal

Sistema centesimal: se considera el ángulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado está dividido en 100 partes iguales llamados minutos centesimales y, estos a su vez están divididos en 100 partes iguales llamados segundos centesimales. Los símbolos para estas unidades son: Minuto: m Segundo: s Grado: g Así tenemos que:

B 1 vuelta 400g 1g 100m

Ejemplo

1m 100s

1. Si un ángulo ABC mide 83 grados centesimales 76 minutos centesimales y 38 segundos centesimales, se escribe: 83g 76m 38s

Ejemplo

Para sumar grados en el sistema centesimal se procede como sigue:

• Se hace la suma de segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. 99g 58m

67s +

59g 57m

39s

158g 115m 106s

• Como cada 100 segundos es un minuto, entonces la columna de segundos nos alcanza para formar un minuto y 6 segundos. El minuto completo lo pasamos a la segunda columna. 99g 58m

67s +

59g 57m

39s

158g 116m

06s

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

43g 46m 79s + 25g 52m 86s Respuesta: 68g 99m 65s

• Como cada 100 minutos es un grado, entonces la columna de minutos nos alcanza para 1 grado y sobran 16 minutos el grado que nos sobró lo agregamos a la columna de grados quedando como: 99g 58m

67s +

59g 57m

39s

159g 16m

6s

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

43g 98m 39s + 25g 87m 56s Respuesta: 69g 85m 95s

Si en la suma de las columnas de los minutos y los segundos no llegan a 100 se dejan tal como está 113g 33m

Colegios

8

20s +

87g 17m

48s

200g 50m

68s

TRILCE

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

49g 26m 39s + 14g 12m 41s Respuesta: 63g 38m 80s

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Trigonometría Razonamiento Matemático

1

Observación • Primera parte: en la notación del sistema centesimal se debe tener presente: Ag Bm Cs = Ag + Bm + Cs • Segunda parte: para convertir de grados a minutos o de minutos a segundos y viceversa se recomienda el siguiente diagrama: x 100 x 100 Grado

Minuto : 100

Segundo : 100

Relación entre ambos sistemas • Para el sistema sexagesimal o también conocido como sistema Inglés se cumple: El ángulo de una vuelta equivale a 360º • Para el sistema centesimal o también conocido como sistema Francés se cumple: El ángulo de una vuelta equivale a 400g • Entonces: 1 B de una vuelta 360º 400g De aquí se desprende: 360º 400g Simplificando podemos obtener: 9º 10g

Conversión entre sistemas Una conversión de unidades consiste en expresar una cierta cantidad de magnitud que está dada en una cierta unidad, en otra ya sea del mismo sistema de medida o de otro.

Método del factor de conversión Si se sabe que al multiplicar una magnitud por la unidad (por uno) no cambia su valor: 9° = 1 # 9° Lo que se hace es expresar ese “1” en forma útil. Así, sabemos que: g 9°10g & 1= 9°g = 10 9° 10

1. Convertir 72º a grados centesimales. g 72° = 1 # 72° & 10 # 72° = 80 g ; Entonces : 72° 80g 9° En general para convertir de un sistema a otro.



Unidad que quiero Unidad que no quiero

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Ejemplo

Ejemplo

• Si queremos expresar en grados sexagesimales una magnitud que conocemos en grados centesimales, haremos. 60g=1# 60g & 9°g # 60g = 54°. Entonces: 60g 54° 10

Unidad I

9

Colegios

10

TRILCE

x 60

subunidades

B de una vuelta mide

x 60

# 9 10

# 10 9

se mide en el

x 100

subunidades

x 100

B de una vuelta mide

Sistema sexagesimal y centesimal

Síntesis teórica

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Trigonometría Razonamiento Matemático

1

Problemas resueltos 1. Convertir 153º al sistema centesimal.

4. Convertir 132g al sistema sexagesimal.

Resolución

Resolución

Unidad que quiero: centesimal " 10

g

Unidad que no quiero: sexagesimal " 9º A 153º se multiplicará por el factor de g conversión: 10 9° g

" 153° # 10 = 170 g 9°

A 132g se va a multiplicar por el factor de conversión: 9°g 10 " 132 g # 9°g = 1188° = 118,8º = 118º + 0,8º 10 10 La parte decimal se convierte a minutos aplicando la observación 1 parte II, es decir: 0,8 x 60' = 48' " El ángulo mide: 118º 48'

2. Convertir 160g al sistema sexagesimal. Resolución Unidad que quiero: sexagesimal " 9º Unidad que no quiero: centesimal " 10 g A 160g se va a multiplicar por el factor de conversión: 9°g 10 " 160 # 9°g =144º 10 g



3. Convertir 121º al sistema centesimal. Resolución A 121º se multiplicará por el factor de g conversión: 10 9° g " 121° # 10 =134,4444g 9° Para llevarlos a grados, minutos y segundos a partir de la coma decimal se separa de dos en dos por lo tanto el ángulo mide: 134g 44m44s

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o 5. Si ` 243 j se expresa de la forma xgym, 20 determinar el valor de:





K=

y - 37 -1 x

Resolución Como nuestras incógnitas están en el sistema centesimal entonces convertimos: 243 o ` 20 j al sistema centesimal. Por lo tanto: g 243 o 10 g 243 g ` 20 j # 9° " ` 18 j = 13, 5

Según la recomendación del ejercicio 3 el ángulo mide 13g 50m si comparamos con la condición del problema tendremos: xgym = 13g50m " x = 13; y = 50 Si reemplazamos en: K=

50 - 37 - 1 = 0 13

Unidad I

11

Sistema sexagesimal y centesimal

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. A Juan se le pide ordenar en forma decreciente los ángulos: a=10º y b = 10g ¿Cuál será el orden elegido? 2. Si para el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta fue dividido en 360 partes y a cada una de esas partes se denominó 1º; de donde se deduce que el ángulo de una vuelta en el sistema sexagesimal mide 360º y para el sistema centesimal el ángulo de una vuelta se dividió en 400 partes iguales denominando a cada parte como un 1g, deduciendo una vez más que el ángulo de una vuelta mide 400g. Entonces podríamos dividir el ángulo de una vuelta en 280 partes iguales y a cada una de estas partes le denominamos 1* entonces que podemos inferir respecto a este hecho. • Para este nuevo sistema de medición angular el ángulo de una vuelta mide: Ángulo de una vuelta = • Las equivalencias entre los sistemas sexagesimal, centesimal y el nuevo sistema son: 360º equivale a 400g que equivale a

*

• Las relaciones simplificadas de equivalencias para los tres sistemas son: ............º ...............g .............*

3. Establecer una relación de orden (< ; >; =) en: 1º

1 g.

4. En la figura se muestra que el ángulo girado por el mango de las tijeras en el sistema inglés es 81º. Determinar que ángulo gira en el sistema francés.

5. Si la llave Stillson gira un ángulo de 220g, ¿qué ángulo en grados sexagesimales gira la tuerca?

Colegios

12

TRILCE

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Trigonometría Razonamiento Matemático

1

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Expresar 171º al sistema centesimal. b) 190g c) 200g a) 180g d) 210g e) 220g

10. Convertir 54g al sistema sexagesimal.

2. Expresar 198º al sistema centesimal. b) 290g c) 220g a) 280g d) 210g e) 270g

11. Efectuar la siguiente suma: K = 32g 76m 98s + 37g 99m 63s

3. Expresar 110g al sistema sexagesimal. a) 99º

b) 100º

d) 120º

e) 130º

c) 110º

4. Expresar 230g al sistema sexagesimal. a) 207º

b) 206º

d) 208º

e) 237º

c) 227º

5. Efectuar la siguiente suma: K = 12º36'18" + 27º49'53" a) 40º25'11"

b) 41º26'11"

c) 40º16'11"

d) 40º26'11"

c) 61º56'31"

d) 90º26'21"

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

b) 2

d) 4

e) 5

a) 72g76m61s c) 69g76m61s

b) 79g86m71s d) 71g76m51s

e) 70g76m61s 12. Calcular: J = 4°6' 3' a) 82 d) 85

G=



c) 3

8. Siendo: 18º32'41''+21º14'22''+3º26'12''=aºb'c'' calcular: P= a - b c a) 1

e) 46º32'

c) 47º45'







b) 83 e) 86

c) 84

b) 133 e) 136

c) 124

14. Siendo mº y ng ángulos suplementarios los cuales se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente, calcular el valor de:

e) 42º16'21" 7. Siendo: 23º41'17'' + 17º32'56'' = aºb'c'' calcular: M= a - b c-4

d) 42º38'

a) 122 d) 125

6. Efectuar la siguiente suma: K = 52º56'48" + 37º59'43" b) 41º56'31"

b) 48º36'

13. Calcular: J=7º12' + 3º3' 6' 3'

e) 42º16'21"

a) 90º56'31"

a) 48º48'

a) 12 d) 15

4n + m - 7 3 b) 13 e) 16

c) 14

15. Siendo mº y ng ángulos complementarios los cuales se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente, calcular el valor de: G = 7n + m - 7 200 3 a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

c) 3

9. Convertir 32g al sistema sexagesimal. a) 28º48'

b) 18º36'

d) 32º48'

e) 26º32'

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c) 27º45'

Unidad I

13

Sistema sexagesimal y centesimal

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. ¡Qué calor! La señora Jiménez posee un abanico cuya abertura es 178°30'. La señora Suárez posee un abanico cuya abertura es 190g 50m. ¿Cuál de ellas puede darse mayor cantidad de aire, si los abanicos poseen igual radio?

Sra. Jiménez

Sra. Suárez

17. Reparando la bañera Para llegar al tope de la tuerca falta girar 72º. Si Pepe desea girar la llave de tuercas un ángulo de 78g, ¿con este giro quedará asegurada la bañera? 18. La Torre del Reloj El Parque Universitario está ubicado en el Centro Histórico de la ciudad de Lima, capital del Perú. Es de forma rectangular y se encuentra entre las intersecciones de las avenidas Abancay y Nicolás de Piérola. Llamado así por encontrarse en él, la antigua casona de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, considerada la primera universidad de América. Llamada también la Torre Alemana o del Reloj, fue donada por los residentes alemanes en el Perú por el Centenario de la Independencia del Perú en 1921. Tanto a las doce del mediodía como a las seis de la tarde sus campanadas tocaban la primera estrofa del Himno Nacional del Perú. Determina la medida del menor ángulo que forman las agujas del reloj a las 5:48 horas

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Expresar en grados centesimales: X = 2 (a - b + c) Si: a=21º27'14"; b=1º42'37"; c=23" g a) 43,8

b) 41,8 g

c) 43,6 g

d) 42,8g

e) 43g

u

2. La unidad de medida de un nuevo sistema se representa mediante 1 . Calcular el número de minutos sexagesimales que contiene esta nueva unidad, si: x u = x g x m xs a) 54,5454 3. Si: E =

14

c) 45,4545

d) 53,5353

e) 49,4949

d) –1

e) –2

(10x) o + (9y) g ; calcular: 119y + 62x, para: E = 2 (9x) g + (10y) o

a) 0 Colegios

b) 59,5959

TRILCE

b) 1

c) 2

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Trigonometría Razonamiento Matemático

4. Determina el valor de la siguiente expresión:

1

g m s E= 1 + 1 + 1 1° 1' 1 "

a) 1,746

b) 1,647

c) 1,764

d) 1,674

e) 1,467

c) 22º48'

d) 23º48'

e) 25º08'

5. Hallar el menor valor positivo de: g g ' c m° + n m + c m + n° m 1 m, n >0 10 m' 9 n'

a) 20º48'

b) 21º 48'

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Expresar 189º al sistema centesimal. 2. Expresar 190g al sistema sexagesimal. 3. Expresar 100g al sistema sexagesimal. 4. Expresar 54º al sistema centesimal 5. Convertir 37g al sistema sexagesimal. 6. Convertir 24g al sistema sexagesimal. 7. Convertir 48g al sistema sexagesimal. 8. Efectuar la siguiente suma: K = 22º26'38" + 17º19'13" 9. Efectuar la siguiente suma: K = 32g46m18s + 29g41m13s 10. Calcular: J = 5°3' 3'

Central: 619-8100

11. Calcular:





12. Si: 5º37'54'' + 8º42'26'' = aºb'c''



M=





2º2' 6º3' + 2' 3'

calcular: M= 13. Calcular:

a+b+1 c - 13







2 g4 m

4º2' + 2' 4m 14. Siendo mº y ng ángulos complementarios los cuales se encuentran en la relación de tres a dos respectivamente, calcular el valor de: G = 2m - n - 4

M=

15. Los ángulos congruentes interiores de un triángulo isósceles miden 50g y (4x+1)º, determinar el valor de "x"

Unidad I

15

2

Sistema sexagesimal y radial

Sistema sexagesimal y radial

¿Quédel acontecimientos en la creación del sistema sexagesimal? Vigencia sistema influyeron sexagesimal La necesidad de medir segundos fue bastante posterior, pues la trigonometría se inicia en el año 140 a. C. con Hiparco y hasta el siglo XI no se construye en China un reloj astronómico con un error de 100 segundos por día. En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII solo anuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa el reloj de péndulo en el que se marca el segundo. Para los sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas, el hecho de que la división sexagesimal del minuto casi coincida con la frecuencia del latido del corazón humano, les confirmaría la validez de un sistema en el que las apariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (sol, luna, estrellas, constelaciones), estaba en directa relación con el destino de la humanidad (astrología del zodíaco), con la vida del individuo y con las épocas de recolección y cultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico. De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaico sistema sexagesimal para medir el tiempo y las posiciones angulares, no solo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia y el uso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambios culturales.

Colegios

16

TRILCE

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Trigonometría

Conceptos básicos Medir es aprender: adquirir un conocimiento de alguna cosa es saber, mediante su conocimiento, de aquella cosa y por lo tanto, entramos en una secuencia de acontecimientos vinculados entre sí que conducen al mejoramiento y constante crecimiento de nuestro entendimiento o inteligencia. Medir es seguridad: al transcurrir el tiempo, las sucesivas mediciones suministran una valiosa información permitiendo desarrollar proyectos más acertados, mejorar costes y satisfacer mejor las necesidades. Medir es eficiencia: las mediciones acertadas y en el momento oportuno evitan costes innecesarios y conducen hacia direcciones más correctas en el desarrollo de las tareas facilitando la toma de decisiones, tanto en el proyecto como durante los procesos involucrados. Medir es desarrollo: no es muy desacertado pensar que el desarrollo de la humanidad está en cierta forma relacionado con los avances en materia de mediciones.

¿Cómo se obtiene este sistema de medida de ángulos? Sistema radial: en este sistema la unidad de medida es el radián. Un radián: es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. longitud=r r

ián

1 rad r

Así que un radián "marca" una longitud de arco en la circunferencia igual al radio.

Por lo tanto como la longitud de la circunferencia es 2≠r, es decir en una circunferencia (ángulo de una vuelta) existen 2≠ radianes, entonces a partir de ahora:

Consideraciones • El sistema circular o radial no presenta subunidades. • Con frecuencia, un ángulo en radianes se expresa como una fracción de π; es decir π rad, π rad, π rad 6 4 3 • Si la unidad de medida del ángulo no se estipula, se sobreentiende que es el radián. π rad π ; π rad π ; π ≠π rad π≠ rad ; ≠ rad ≠ ; ≠ ≠ 6 6 4 4 3 63 36 4 4 3 3

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Unidad I

17

Sistema sexagesimal y radial

Relación entre el sistema sexagesimal y radial • Para el sistema sexagesimal, también conocido como sistema inglés se cumple que: El ángulo de una vuelta equivale a 360º • Para el sistema radial, también conocido como sistema circular se cumple que: El ángulo de una vuelta equivale a 2≠rad

Método del factor de conversión Se sabe que al multiplicar una magnitud por la unidad (por uno) no cambia su valor: 180º = 1 x 180º Lo que se hace es expresar ese "1" en forma útil. Así, sabemos que: 180° π rad & 1= 180° = π rad π rad 180°

1. Convertir 140º a radianes. A 140º se multiplicará por el factor de conversión: π rad 180°

→ 140° # π rad & 7 π rad 180° 9

Inténtalo tú

Convertir 150º al sistema radial:

2. Convertir 3 π rad a grados sexagesimales. 4 A 3 π rad se multiplicará por el factor de conversión: 180° π rad 4 → 3 π rad # 180° & 135° 4 π rad

Inténtalo tú

EjemploS

EjemploS

• Si queremos expresar en radianes una magnitud que conocemos en grados sexagesimales, haremos: 60° = 1 # 60° & π rad # 60° = π rad 180° 3 π Entonces: 60° rad 3 • Si queremos expresar en grados sexagesimales una magnitud que conocemos en radianes, haremos: π rad = 1 # π rad & 180° # π rad = 36° 5 5 π rad 5 π Entonces: rad 36° 5

Respuesta: 5 π rad 6

Convertir 7 π rad al sistema 6 sexagesimal: Respuesta: 210º



Colegios

18

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2

Síntesis teórica

mide al B en

B de una vuelta

unidad

B de una vuelta

# π rad 180°

unidad

# 180° π rad

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Unidad I

19

Sistema sexagesimal y radial

Problemas resueltos 1. Convertir 27º al sistema radial. Resolución Sistema que quiero: radial " π rad



Sistema que no quiero: sexagesimal " 180° A 27º se multiplicará por el factor de conversión: π rad " 27° # π rad = 3 π rad 180° 180° 20 2. Convertir 2 π rad al sistema sexagesimal. 3 Resolución

4. Si: π rad = x°y'z", determinar el suplemento 64 de (x + y - z)º Resolución

Sistema que no quiero: radial " π rad A 2 π rad se le va a multiplicar por el factor de 3 conversión: 180° π rad

Como las variables "x", "y", "z" están en el sistema sexagesimal entonces convertimos: π rad al sistema sexagesimal: 64 π rad # 180° = 180° 64 π rad 64

" 2 π rad # 180° = 120º 3 π rad

Aplicando los criterios del problema anterior, entonces:

Sistema que quiero: sexagesimal " 180°

180° = 2°48'45" 64 Si comparamos con la condición inicial

3. Convertir π rad al sistema sexagesimal. 7 Resolución











" π rad = 180° = 2°48'45" = x°y'z" 64 64

A π rad se multiplica por el factor de conversión: 7 180° π rad " π rad # 180° = 180° 7 π rad 7 Se observa que la división no es exacta y que por ello aparecen grados, minutos y segundos. Para lograr la exactitud se procede de la siguiente manera: Paso número 1: 180º 7 5º 25º

Comparando: x=2; y=48; z=45 nos piden el suplemento de (x + y – z)º entonces:



(x+y – z)º=(2+48 – 45)º=5º; nos piden el suplemento, entonces: 180° – 5° = 175° 5. Determinar el valor de "x" en la condición: (4x - 1) ° = 3 π rad 20 Resolución

Paso número 2: el residuo de la división es 5º. Para convertir los 5º a minutos se multiplican por 60 y su producto: 300', se divide entre 7. 300' 7 6' 42' Paso número 3: el residuo de la división anterior es 6'. Para llevar los 6' a segundos se multiplica por 60 y su producto: 360" se divide entre 7. 360" 7 3" 51"

La variable a determinar se halla en grados sexagesimales, entonces convertiremos: 3 π rad al sistema sexagesimal 20 " 3 π rad # 180° = 27° 20 π rad Comparando este valor con la condición inicial tenemos: (4x - 1)º = 27º & x = 7

Paso número 4: el ángulo π rad convertido al 7 sistema sexagesimal es: 25º 42' 51". Colegios

20

Pero surge una duda: ¿Qué pasó con los 3"? Si el residuo es menor que la mitad del divisor se elimina (como es el caso), pero si el residuo es mayor que la mitad del divisor, el cociente se redondea; es decir, se le suma una unidad.

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10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. A Carlos se le pide ordenar en forma creciente los ángulos a = 20° y β = 7π rad. 60 ¿Cuál es el orden elegido? 2. Establecer mediante flechas las parejas equivalentes:



90º

π rad

270º

π rad 2

180º

3 π rad 2

3. Si en el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta está dividido en 360 partes y cada una se denomina 1º; se deduce que el ángulo de una vuelta en el sistema sexagesimal mide 360º. Para el sistema radial el ángulo de una vuelta mide 2≠ radianes, entonces podríamos dividir el ángulo de una vuelta en 120 partes iguales y a cada una denominarla 1k. ¿Qué se puede inferir respecto de este hecho? • Para este nuevo sistema de medición angular, el ángulo de una vuelta mide: Ángulo de una vuelta = • Las equivalencias entre los sistemas sexagesimal, radial y el nuevo sistema son: 360º equivale a 2≠ radianes equivale a ………….k • Las relaciones simplificadas de equivalencias para los tres sistemas son:

4. En la figura se muestra a don Pepe podando uno de los árboles de su jardín. Si sus tijeras tienen una abertura de 7π rad, determina el ángulo en el sistema sexagesimal. 18

5. La señora González está aprendiendo a conducir y, de pronto, ve un aviso que dice: "Gire 7 π rad a su derecha" 30 y preocupada trata de recordar la conversión al sistema sexagesimal. ¿Qué ángulo gira en dicho sistema?

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Unidad I

21

Sistema sexagesimal y radial

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Expresar 160º al sistema radial a) 8π rad 9

b) 7π rad 9

d) 5π rad 9

e) 4π rad 9

c) 2π rad 3

2. Expresar 135º al sistema radial a) 3 π rad 4

b) 4 π rad 9

d) 5 π rad 4

e) 7 π rad 4

b) 250º

d) 280º

e) 300º

c) 2 π rad 3

b) 220º

d) 240º

e) 250º

b) 10º35'18"

c) 11º17'42" e) 11º36'42"

d) 11º36'15"

c) 260º

b) 4 3 e) 3

2π rad = 5aº2b'4c" 7 Calcular: M= a+b c b) 2 e) 3 2

d) 4

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5



c) 3

11. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: 7x - 1 ° y Joaquín 2 j encontró ` 2x + 1j π rad. Halle dicho ángulo en 360 minutos sexagesimales. Sebastián

5. Calcular "x", si: π (3x - 2)º = rad 18

c) 1

10. Sabiendo que:

a) 1

c) 230º

π rad= 1aºb0'4c" 13

Calcular: M= a+b c a) 2 3 d) 2

4. Expresar 7 π rad al sistema sexagesimal 6 a) 210º

a) 10º35'16"

9. Sabiendo que:

3. Expresar 5 π rad al sistema sexagesimal 3 a) 240º

π 8. Exprese rad en el sistema sexagesimal 17





c) 3



encontró

`

a) 52'

b) 53'

d) 55'

e) 56'

c) 54'

6. Calcular "x", si: 12. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: π º Sebastián encontró ` 3x - 5 jc y Joaquín encontró rad=(2x - 4)º 2 30 2x - 1 π rad. Halle dicho ángulo en minutos ` 360 j a) 5 b) 6 c) 10 sexagesimales. d) 4 e) 8 a) 210' b) 150' c) 140' π 7. Exprese rad en el sistema sexagesimal d) 250' e) 16' 11 a) 15º21'49"

b) 16º20'49"

c) 16º21'49"

d) 15º20'49"

13. Calcular: J=

e) 16º30'46" a)

π 180

d) 90 π Colegios

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TRILCE

1rad+3rad+5rad+...+2011rad 1º+3º+5º+...+2011º b) 180 π e)

c) π 90

π 2010

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Trigonometría Razonamiento Matemático

14. Se crea un nuevo sistema de medición angular "Lima" tal que su unidad (1L) resulta ser la 140ava parte del ángulo de una vuelta. Señala el equivalente de π rad en este nuevo sistema. 35 a) 2L d) 5L

b) 3L e) 6L

c) 4L

15. Siendo:

2

θº=1º1' + 2º2' + 3º3' + ... determinar el valor de "θ", si es el menor número entero. a) 121

b) 122

d) 129

e) 131

c) 128

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Abriendo la puerta Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo mayor de 50º. Si una persona desea abrirla y gira la manija en un ángulo de 2 π rad, ¿logrará abrirla? 9

17. Salón de juego Una ruleta tiene 36 números dispuestos como indica la figura. Si comienza en cero y se hace girar la ruleta un ángulo de 157 π rad 18 hacia la derecha, ¿qué número será el elegido para el premio?

El eje de la Tierra no apunta siempre en la misma dirección. El eje de la Tierra no es estable. La Tierra no es una esfera perfecta, sino aplanada en los polos y abultada en el ecuador. Reacciona a la influencia gravitatoria del Sol y la Luna como un trompo que gira y cuya rotación está distorsionada por una fuerza externa: esto origina lo que se llama la precesión de la Tierra, esto significa que el eje de la Tierra rota sobre sí mismo en círculo, generando un movimiento cónico alrededor del polo. A pesar de ser tan lento (apenas "50" por año), este movimiento fue percibido por el astrónomo griego Hiparco, en el año 100 a.C., al comparar sus observaciones de las posiciones de estrellas con las observaciones de astrónomos babilónicos más de 100 años antes. La inclinación del eje de la Tierra en promedio es 0,4282 rad. El ángulo del eje de la Tierra también cambia de 22º a 24,30º en 41,000 años debido a la atracción de los planetas, del Sol y la Luna. Estos cambios son la causa de las glaciaciones que han habido a lo largo de la historia de la Tierra. Determinar el ángulo en grados sexagesimales de desviación del eje de la tierra con respecto al eje "X" de la figura.

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X Perpendicular al plano de la órbita de la Tierra

0,4082 rad

18. Ángulo de desviación de la tierra.

P

Eje de la Tierra

Unidad I

23

Sistema sexagesimal y radial

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcular "θ"; si: θ rad=3º(30+x)=8g(9+x) a) 2 π 5

b) π 5

c)

4π 5

d) 3 π 5

e) π

2. En el gráfico mostrado, calcular "θ" en grados, minutos y segundos sexagesimales de tal manera que "α" toma su mínimo valor en: a = x (x + 4) ; x dR

a

q rad

a) 114º17'07"

b) 120º47'02"

c) 130º49'01"

d) 124º49'07"

e) 134º47'04"



3. Se crean dos nuevos sistemas para medir ángulos denotados por "A" y "B", cuyas unidades angulares son respectivamente "1A" y "1B". Se pide obtener una fórmula que relacione a estos dos sistemas, sabiendo que 7 unidades de "A" equivalen a 4º y además 9 unidades de "B" equivalen a 8g. a) A = B 7 5

b) A = B 5 7

c) A = B 3 2

d) A = B 2 3

e) A = B 3 7

4. Sabiendo que: x+y+z=63, determinar el valor de: G = xºy'z" + yºz'x" + zºx'y"; al sistema radial. a) 1,119 rad

b) 1,191

c) 1,139

d) 1,911

e) 1,419

5. Se crea un nuevo sistema de medición angular, tal que su unidad (1*) resulta ser la 240ava. parte del ángulo de una vuelta. Señala el equivalente de 3,6* en el sistema radial. a) 0,01p

b) 0,02p

c) 0,03p

d) 0,04p

e) 0,05p

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Expresar 140º al sistema radial 2. Expresar 5π rad al sistema sexagesimal 4

6. Exprese 3π rad en el sistema sexagesimal. 11

3. Expresar 54º al sistema radial

7. Exprese 3π rad en el sistema sexagesimal. 7

4. Determinar el valor de "x" en: (5x - 1) ° = 3 π rad 10

8. Sabiendo que: 2π rad = 2aº 4b' 3c" 13 a+b calcular: M= c



5. Calcular "x", si: π rad = (4x - 1)º 12 Colegios

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Trigonometría Razonamiento Matemático

9. Calcular: P=









πrad+2πrad + 3πrad + ... + 2012πrad 1º+2º+3º+...+2012º

10. Hallar "x", si:

πrad =xº 2(x+1)

11. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: o Carlos encontró ` 6x + 1 j y Juan encontró 4 2x + 1 π rad. Halle dicho ángulo en minutos ` 360 j sexagesimales. 12. Sabiendo que se cumple la igualdad: 13π rad=1xº y3' 1z" 125 Determinar: x+yz

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13. Al expresar 3π rad al sistema sexagesimal da 8 como respuesta xºy'. Indicar "x+y"

2

14. Se crea un nuevo sistema de medición angular "Perú" tal que su unidad (1P) resulta ser la 480ava parte del ángulo de una vuelta. Señala el equivalente de π rad en este nuevo sistema. 15 15. Convertir a radianes: º aºb'+bºa' P= (a+b)'

Unidad I

25

3

Sistema sexagesimal , centesimal y radial

Sistema sexagesimal, centesimal y radial

La notación de la inicial de la letra griega ≠, ¿de donde proviene? ¿Qué matemático popularizó esta notación?

La constante más importante en matemática En geometría euclidiana, p (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "periferia" (periferia) y "periimetro" (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra Introducción al cálculo infinitesimal (1748). La constante p (pi) fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor del matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes. Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi, solo hay que contar las letras de cada palabra: "Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."

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Trigonometría

Conceptos básicos Relación entre los tres sistemas de medición angular Existe una infinidad de sistemas para medir ángulos, ya que estos se eligen libremente. La medida de los ángulos se pueden representar en los siguientes sistemas como ya se vio anteriormente.

Sistema sexagesimal (inglés) Se considera al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales llamadas grados (1º), cada grado está dividido en 60 partes iguales llamadas minutos (1') y a su vez estos están divididos en 60 partes iguales llamados segundos (1").



Sistema centesimal (francés)

Se considera al ángulo de una vuelta dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales (1g), cada grado está dividido en 100 partes iguales llamadas minutos centesimales (1m) y a su vez estos están divididos en 100 partes iguales llamadas segundos centesimales (1s).



Sistema radial (circular–internacional) En este sistema la unidad de medida es el radián. Un radián es la medida de un ángulo central cuyos lados interceptan a un arco de circunferencia de longitud igual al radio. Entonces un ángulo de una vuelta para este sistema está midiendo 2 π radianes.

Entonces:

que... Recuerda que...? No olvidemos nuestro método para la conversión de un sistema a otro. Unidad que quiero Unidad que no quiero

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27

25º + 50 g + π rad 3 1. Calcular: E = g 64º + 40 + π rad 6

Ejemplo

Ejemplo

Sistema sexagesimal, centesimal y radial

En la propuesta de cálculo aparecen los tres sistemas de medición, por lo tanto, primero se deben homogenizar las unidades, es decir, convertirlas a un solo sistema de referencia. Elegiremos el sistema sexagesimal (el más común). En el numerador: 50 g # 180ºg Simplificando nos queda & 45º 200 π rad # 180º Simplificando nos queda & 60º 3 π rad En el denominador: 40 g # 180ºg Simplificando nos queda & 36º 200 π rad # 180º Simplificando nos queda & 30º 6 π rad Reemplazando en la expresión a calcular & E = 25º + 45º + 60º & E = 1 64º + 36º + 30º

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3

Síntesis teórica

mide al B en

B de una vuelta mide

B de una vuelta mide

B de una vuelta mide

360º

400g

2r rad

# 180 π

unidad

unidad

unidad

# π 200

# 10 9 grado sexagesimal

radián

grado centesimal # 200 π

# 9 10

# π 180

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29

Sistema sexagesimal, centesimal y radial

Problemas resueltos 1. Convertir 20g al sistema radial.



Resolución

Paso número 4: el ángulo π rad convertido al 7 sistema centesimal es: 28g57m14s

Pero surge una duda: ¿Qué pasó con 2s? g Sistema que no quiero: centesimal " 200 Si este residuo es menor que la mitad del divisor, rad = π rad A 20g se multiplicará por el factor: π radg " 20 g # πse elimina (como este caso); pero si el residuo 200 200 g 10 es mayor que la mitad del divisor (es decir 7) se " 20 g # π radg = π rad 10 redondea el cociente; es decir, se le suma una 200 unidad. 2 π 2. Convertir rad al sistema centesimal. 5 4. Si: π rad = x g y m zs , determinar el suplemento 64 Resolución de (x + y + z)g Sistema que quiero: radial " π rad

Sistema que quiero: centesimal " 200 g



Resolución

Sistema que no quiero: radial " p rad



Como las variables "x", "y", "z" están en el sistema centesimal entonces convertimos π rad al sistema centesimal: 64 g g " π rad # 200 & 200 π rad 64 64

g A 2 π rad se multiplicará por el factor: 200 5 π rad g " 2 π rad # 200 & 80 g π rad 5

3. Convertir π rad al sistema centesimal. 7







Aplicando los criterios del problema anterior, g entonces: 200 = 3 g 12 m 50s 64



Si comparamos con la condición inicial g " π rad = 200 = 3 g 12 m 50s = x g y m zs 64 64



Comparando x=3; y=12; z=50 nos piden el suplemento de (x+y+z)g entonces:



(x+y+z)g = (3+12+50)g = 65 g suplemento:





Resolución π rad se multiplica por el factor: 200 g 7 π rad g g " π rad # 200 & 200 π rad 7 7 Se observa que la división no es exacta y que por ello aparecen grados, minutos y segundos centesimales. Para lograr la exactitud se procede de la siguiente manera: Paso número 1: 200g 7 4g 28g

Paso número 2: el residuo de la división anterior es 4g. Para convertir los 4g a minutos se multiplican por 100 y su producto: 400m se divide entre 7. 400m 7 1m

57m

Paso número 3: el residuo de la división anterior es 1m. Para convertir 1m a segundos se multiplican por 100 y su producto: 100s se divide entre 7. 100s 7 2s 14s Colegios

30



TRILCE



200g–65g=135g

5. Uno de los ángulos interiores de un cuadrado mide 5xπrad . Determinar el valor de "x". 2x+16 Resolución Si nos mencionan al ángulo interior de un cuadrado entonces este debe medir 90º por lo tanto: 90º a radianes " 90c # π rad = π rad. 180c 2 Con la condición del problema tenemos: 5x π rad = π rad, 2x + 16 2 efectuando operaciones: x=2

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10 x 5 50

3

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Los sistemas de medición angular estudiados son conocidos también con los nombres de: S : Sistema sexagesimal

Sistema

C : Sistema centesimal

Sistema

R : Sistema radial

Sistema

2. A Mauricio se le pide ordenar en forma creciente los ángulos: a = 55 g ; β = 7 π rad y θ = 54º . 25 ¿Cuál es el orden elegido? 3. Establecer mediante flechas las correspondientes parejas entre ambos sistemas. 200g

π rad

300g

π rad 2

90º

3 π rad 2

4. Para el sistema radial, el ángulo de una vuelta mide 2π radianes; para un nuevo sistema de medición angular, el ángulo de una vuelta mide 22k y para otro sistema de medición angular el ángulo de una vuelta mide 34L. • ¿Cuál es la equivalencia entre el sistema radial y el primer sistema nuevo?

• ¿Cuál es la equivalencia entre los dos sistemas nuevos?

• Completar las equivalencias entre los sistemas: ........L ............ rad ........k

5. En la figura se muestra un volante que debe girar un ángulo de 27 π rad, 10 según indica la flecha, ¿cuál es el ángulo que gira el volante en el sistema francés?

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Unidad I

31

Sistema sexagesimal, centesimal y radial

sociAprende sáb sotpemás... cnoC g π 7. Si: K= 90 +9º , además:` ≠ j rad = (ab) º kK+1 +1 36º - π rad 30 calcular: E = a+b

1. Calcular el valor de la expresión: g H = 50 + 25º π rad + 5º 36

a) 3

b) 5

d) 8

e) 9

c) 7

2. Calcular el valor de la expresión: L = 70 - 23º π rad - 5º 4 b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

3. Calcular el valor de la expresión:

b) 2

d) 4

e) 5

120 g - 27º # 2 f 30 g - π rad p 20

a) 3

b) 5

d) 9

e) 11









a) 27

b) 81

d) 49

e) 64

6. Sabiendo que: π rad=(7n+1)º 12 π rad=(7m - 1)g 2n+6



a) 5

b) 7

c) 25

d) 49

e) 125

Colegios

32



calcular: L=(m+n)2n - m

TRILCE



b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

a) 1

b) 3

d) 7

e) 9

c) 5

4π rad 9 2π d) 3 a)

4π 3 4π e) 11 b)

c)

4π 5

11. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC g miden: A=3nº ; B = ` 20 n j ; C = π n rad, 9 36 hallar "n".

c) 729



a) 5

π ≠ rad = ^ ab h º k j K

10. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores π rad y 100g. ¿Cuál es la medida del miden 18 tercer ángulo en radianes?

c) 7

5. Sabiendo que: π rad=(3n+1)º 18 π rad=(7m+5)g n+2

calcular: P=(m+n)m - n

e) 9

calcular: E = a+b

c) 3

4. Calcular el valor de la expresión: L=

d) 8

c) 7

g π g 9. Si: K = 120 + 52º ; además:` ≠ j rad = ^ ab h k π K 24º rad 45

g H = 110 + 1º π rad + 14º 5

a) 1

b) 6

g 8. Si: K = 90 - 9º , además: ` π rad 30 Calcular: E = a+b

g

a) 1

a) 5



a) 15

b) 18

d) 12

e) 10

c) 20

12. Las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero son: (3x)º; xg; π x rad y (2x+35)º 300 Hallar "x" a) 80

b) 60

d) 50

e) 45

c) 70

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Trigonometría Razonamiento Matemático

13. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 6xg y (5x+4)º. Encuentre la medida del tercer ángulo en radianes. a) π rad 5

b) 2 π rad 5

d) 3 π rad 10

e) π rad 10

c) 3 π rad 5

14. Los ángulos interiores de un cuadrado son: (x - y)º ; π rad; (x+y+z)g z

Determinar el valor de "x". a) 67

b) 68

d) 70

e) 94

3

c) 69

15. Siendo: (a) = aº (3a) '; b = (a) g (25a) m , además: α + β = 29 π rad. Hallar "a". 400 a) 5

b) 4

d) 6

e) 8

c) 2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Entrando al auto El ángulo mínimo que debe girar la puerta de un auto para que el conductor pueda entrar cómodamente es 45º. Si Ernesto gira la puerta del auto un ángulo de 7 π rad, ¿podrá ingresar al auto? 36 17. Molécula de agua Dos átomos de hidrógeno están enlazados a un átomo de oxígeno, pero la molécula de agua no es lineal (como se muestra en la figura), de manera que las direcciones de los enlaces O–H (oxigeno–hidrógeno) forman un ángulo de 116g11m11s. Calcula la medida de dicho ángulo en el sistema sexagesimal. 18. ¿Para qué sirve tener dos ojos?

O

átomo de oxígeno

H

H

átomo de hidrógeno

átomo de hidrógeno

H 2O

Los seres humanos, al igual que los animales vertebrados, tenemos dos ojos. Sin embargo, si hacemos la prueba de taparnos un ojo, seguimos viendo lo mismo, entonces ¿para qué sirve tener dos ojos? En primer lugar, tener dos ojos aumenta el campo visual. Con un ojo nuestra visión abarca, en conjunto (visión directa más visión periférica), unos ojo 120º; con los dos ojos se superan los 180º. 15º 15º derecho Esta amplitud se nota fundamentalmente ojo en actividades que necesitan visión izquierdo 60º 60º periférica, como conducir. Si nos tapamos el ojo izquierdo aparte de calcular mal la distancia con el vehículo que nos precede, no veríamos los coches que vienen por el lado tapado. 95º 95º En segundo lugar, con dos ojos se obtiene una imagen virtual ‘mejorada’ utilizando las dos imágenes, una por cada ojo, que llegan al cerebro. Esta visión binocular nos permite ‘ver’ imágenes en tres dimensiones y calcular con precisión la distancia que nos separa del punto o del objeto observado. Así, cuando saltas una zanja, si no pudieses calcular su anchura de forma precisa, caerías en ella o saltarías en exceso. • ¿Cuál es la medida del ángulo de visión en radianes (según la figura) del ojo derecho (visión directa)? • ¿Cuál es la medida del ángulo de visión en radianes (según la figura) que abarca ambos ojos (visión periférica)? Central: 619-8100

Unidad I

33

Sistema sexagesimal, centesimal y radial

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Sea "q" la medida en radianes de un cierto ángulo, tal que q = P(4 – P), P ∈ lR. Entonces, calcule el mayor valor que puede tomar el ángulo "q" en radianes a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8 o

2 ab + b2 . Si esta es la máxima medida 2. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores mide: e a + 28 o 2 a + b2 posible, señala la medida circular del mayor ángulo que forman las bisectrices interiores de los otros

dos ángulos del triángulo. a) 7 π rad 24

c) 13 π rad 24

b) 11π rad 24

d) 5 π rad 8

e) 5 π rad 6

3. Siendo "a" y "b" los menores números enteros positivos con raíz cúbica exacta (a;b≠1), determina la medida circular de "θ". qrad=(a+b)º = (a+2b)g

θ rad

a) 7 π rad 20

b) 9 π rad 20

c)

4. Sabiendo que: abº = cdg, xy' = zwm Calcule: c + b - z a+ b x+ y a) 5 9

π rad 20



b) 4 9

e) 4 π rad 5

d) 2π rad 5





c) 3 9



d) 2 9









e) 1 9

5. En el gráfico mostrado, "O" es el centro del arco ABC. Determinar la medida del ángulo "B" en radianes. B

A

50xg

27xº O

a) 13 π 12

Colegios

34

TRILCE

b) 5 π 4

c) 7 π 6

C

d) 10 π 13

e) 5 π 6

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Trigonometría Razonamiento Matemático 18:10:45

3

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular el valor de la expresión: g

H = 30 + 15º π rad - 3º 18 2. Calcular el valor de la expresión: g

L = 80 + 13º π rad - 19º 5 3. Calcular: 110g+9º M= π 20g+ rad 2 4. Sabiendo que: π rad=(4m+2)º 10 π rad=(7n - 2)g m+1

8. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC miden: A = 5nº ; B=(10n)g ; C = n π rad 45 hallar "n" 9. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC πx 160x g ; B=(14x)º y C= rad miden: A= 6 9 hallar "x" 10. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 50g y (4x+1)º. Hallar "x". 11. Las medidas de los ángulos interiores de un πx rad y (3x)º. cuadrilátero son: (6x)º ; 20xg ; 10 Hallar "x" 12. Determinar el valor de "x" en la condición: (6x - 1) g = 5 π rad 8

calcular: P=(m+n)n - m

π 5. Si: K = 40 + 9º ; además: ≠ rad = ^ ab h º k π K 2º + rad 60 g

Calcular: E=a+b g π g 6. Si: K = 20 + 32º ; además: ≠ rad = ^ ab h k π K 15º rad 18

Calcular: E = a+b

13. Los ángulos interiores de un cuadrado son (x+y)º, 2 π rad y (x – y+z)g. Determinar el valor de "x". z 14. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 10xg y (5x+36)º. Encuentre la medida del tercer ángulo en radianes. 15. Siendo: α=

a º a g (a)' ; β= (8a)m , además: 30 50

α+β = 7π rad, hallar "a". 360

7. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 70g y 100º. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo en radianes?

Central: 619-8100

Unidad I

35

4

Características del ángulo trigonométrico

Características del ángulo trigonométrico

¿Qué entiendes por sentido antihorario? ¿Qué entiendes por sentido horario? ¿En qué sentido gira la Tierra?

Característica inherente Al preguntarle a un piloto de aviación comercial dónde se halla París, responde: "Latitud: 48º51’N y longitud: 2º20’ E, desafortunadamente no sabemos cómo interpretar dichas magnitudes. Por lo tanto, es importante entender que la ubicación de cualquier lugar en nuestro medio depende de ciertos parámetros. Por ejemplo: derecha, izquierda, arriba, abajo, horario, antihorario. Con base en este concepto, aprenderemos una de las características del ángulo trigonométrico: el sentido horario y antihorario.

Colegios

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TRILCE

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Trigonometría

Conceptos básicos Ángulo trigonométrico Generación Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, en un solo plano, alrededor de un punto fijo llamado vértice; desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).

B

al

in of

Lad Vértice O

A

Lado inicial

Por lo tanto, se deben considerar dos tipos de rotación Sentido horario (sentido dextrógiro) Dícese de lo que gira a favor del sentido a las agujas del reloj y por convención los ángulos así generados se consideran negativos. se 1

orario

11

A

oh tid

10

12

n

2

9

3

O

(–)

4

8 7

6

5

B

Sentido antihorario (sentido levógiro) Dícese de lo que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y por convención los ángulos así

a n t i h or a r i o

generados se consideran positivos.

10

11

12

B

1 2

9

3 4

8

e

do n ti

7

s

Central: 619-8100

6

O

(+)

5

A

Unidad I

37

Características del ángulo trigonométrico

Observación 1. La medida de un ángulo trigonométrico no puede limitarse, pues este depende de la magnitud de rotación y a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos. 2. Al cambiar el sentido del ángulo también se debe cambiar el signo de su magnitud: B A

O

a

O

A

−a

B

Sabías que...

http://www.mundoatletismo.com/Site/ images/2808825019f8a64047ao.jpg

¿Por qué el sentido de una carrera en una pista de atletismo es contrario a las agujas de un reloj? Se sostiene que la pierna izquierda funciona como soporte o apoyo y la pierna derecha hace funciones de propulsión, aunque esta afirmación es solo válida para los diestros. De esta forma, el girar en una pista en sentido antihorario puede ofrecer ventaja para aquellos que poseen más fuerza en la pierna derecha. La pierna derecha estaría recorriendo una mayor distancia que la izquierda y por lo tanto, quizás, desarrollando un trabajo más mecánico y técnico. Al ser en la mayoría de las personas la pierna derecha más fuerte que la izquierda, si se corriera en sentido horario probablemente sería más lento y causaría más cansancio.

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TRILCE

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Trigonometría Razonamiento Matemático

4

Síntesis teórica

son

puede ser

genera Bs

puede ser

genera Bs

Problemas resueltos 1. En el gráfico mostrado, hallar "x".

2. Determinar el valor de "x" en el siguiente gráfico: q

a x x Resolución

Resolución

De acuerdo a nuestra teoría se recomienda que los ángulos giren en sentido antihorario, entonces:

Una vez más los ángulos deben girar en sentido antihorario. -q

a x -x Entonces se plantea la siguiente ecuación: - x + 90º + a + 90º = 360º " x = a - 180º

Central: 619-8100

Entonces se plantea la siguiente ecuación: - θ - x = 360º " x = - θ - 360º



Unidad I

39

Características del ángulo trigonométrico

3. Determinar una relación entre "a", "b" y "q" a partir del gráfico. b

a

4. De acuerdo al gráfico, encontrar la relación entre "a" y "b".

a

q

b Resolución Una vez más los ángulos deben girar en sentido antihorario. Todos los ángulos en sentido antihorario

−b

−a

x

Resolución Todo en sentido antihorario, por lo tanto: −b

a

x 90º - 2x

q x Busquemos las ecuaciones apropiadas:

Planteamos la siguiente ecuación: Primera ecuación: - b + x = 360º Segunda ecuación: - α + θ - x = 360º Sumando ambas ecuaciones: θ - α - β = 720º

Primera ecuación: x - b = 90º Segunda ecuación: a - (90º - 2x) = 180º Efectuando operaciones: α + 2β = 90º

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Reconocer el sentido de giro:

O

Colegios

40

TRILCE

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Trigonometría Razonamiento Matemático

2. Según su magnitud, indicar el sentido en el cual fue girado: A : a = - 136º

Sentido

B : b = 198 g 78 m

Sentido

C : θ = - π rad 21

Sentido

4

3. Al colocar un reloj frente a un espejo, ¿en qué sentido girarán las manecillas del reloj que se refleja?

4. a) ¿En qué sentido se está generando el crecimiento del brócoli de Romanescu?

b) ¿En qué sentido se están ubicando las semillas del girasol?

5. a) Se quiere retirar el tornillo de un madero. ¿En qué sentido debe desentornillarse?

b) Si se desea retirar el corcho de esta botella de vino; ¿en qué sentido se debe girar el sacacorchos?

Conceptos básicos Aprende más... 1. Señala la relación correcta entre "a" y "b"

2. Del gráfico, determina "x"

b

10º−x a

x+50º

a) α + β = 90º

b) α - β = 90º

a) 10º

b) 15º

c) α + β = - 90º

d) α + β = 0

d) 30º

e) 35º

c) 25º

e) β - α = 90º

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Unidad I

41

Características del ángulo trigonométrico

3. Calcular “x”

a) 90º - α - β

b) α - 90º - β

c) - β + - θα=- 270º 90º d) - β + α 90º α β + θ = 270º α θ =- 270º -= α 270º e) β + 90º α+ θ (- x+40)º

(20+x)º

a) 50º

b) 100º

d) 80º

e) 90º

8. Hallar "x" en función de "β" y "θ"

c) 200º

x β

q

4. Del gráfico, hallar "x" a) 90º - β + θ c) - +180º e) - - 270º

x+10º

30º−x a) 15º

b) 35º

d) 30º

e) 60º

c) 55º

b) d)

9. Hallar “x” −x q

x

5. Del gráfico, hallar "x" 50º−2x 10º+x

20º+x

a) 10º

b) 30º

d) 50º

e) 60º

c) 40º

a) 90º - θ 2 d) 180º + θ 2

b) 90º + θ 2

c) 180º - θ 2

e) 270º - θ 2

10. Del gráfico, hallar "x"; si OC es bisectriz. A (5x−3)º

6. Señala lo correcto:

O

C

(9−6x)º

a

q

- - 360º + + 270º

B

a) 2 d) 12

b

a) β - α + θ = 90º

b) β - α + θ = 270º

c) β - α - θ = 270º

d) α - β + θ = 270º

b) 4 e) 18

c) 6

11. Señala la relación correcta, respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.

e) β + α + θ = 270º 7. Hallar "x", en función de "α" y "β"

α

x β

Colegios

42

TRILCE

q

a) α - θ = - 90º c) α + θ = - 90º e) α + θ = 180º

a

b) α + θ = 90º d) α - θ = 90º

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Trigonometría Razonamiento Matemático

12. Halle "x" del gráfico mostrado

14. Del gráfico, señale lo correcto:

4

-40º q

x

β

α

a) 90º+θ

b) 90º - θ

c) 90º α + θ =- 90º e) 180º - θ

d) 180º + θ

a) - β + α=50º α θ = 270º

b) - β + - θα=130º α = 270º

c) - β + α=40º α θ = 270º

d) - β +- θα=140º α = 270º

e) β + α=90º α + θ = 270º

13. Del gráfico, señale la relación correcta:

15. Del gráfico, señale lo correcto, si OP es bisectriz del AOB. B

α α

q

P

β a) α +β =360º - θ= - 90º c) α -+ θβ ==450º - 90º e) α -- θβ ==120º - 90º

b) α -- θβ ==360º - 90º d) α -- θβ ==450º - 90º

C

O

A

a) 2θ - α=360º

b) 2α - θ=180º

c) 2θ + α=180º

d) 2α - θ=360º

e) 2θ + α=360º

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. ¿Se abre la puerta? Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo mayor a 5π rad. 18 Si una persona desea abrirla: • ¿Cuál es la medida en grados sexagesimales que debe girar la manija? • ¿En qué sentido debe girar la manija para lograr abrir la puerta? 17. Descubriendo la combinación El dial de una caja fuerte tiene cien divisiones numeradas de 10 en 10 como muestra la figura. Si comienza en cero, determina el número de la combinación si gira los siguientes ángulos: 1,5πrad en sentido horario; 0,6πrad en sentido antihorario y 0,3πrad en sentido antihorario 18. El número premiado La ruleta tiene 36 números dispuestos como muestra la figura. Si se comienza en cero y se la hace girar un ángulo de - 317 π rad, 18 ¿qué número será el elegido para el premio? Central: 619-8100

Unidad I

43

Características del ángulo trigonométrico

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Si: θ = (x + 12) º , determinar "θ" en radianes.

g (2−x)º (2+x)

a) π 9

b) π 5

c)

π 40

d) 5π 18

e) π 20

d) 3600

e) 1800

d) 261 65

e) 271 65

d) α + β = 360º

e) α - β = 360º

d) 230º + α + θ

e) 130º - α - θ

2. Del gráfico mostrado, ¿a qué es igual: 9α - 10θ ? qº

a) 2700

b) - 2700

ag

c) 3500

3. Del gráfico, calcular " x " y (x−y)' (x−5y)g

a) 261 55

b) 271 55

c) 281 55

4. Señala la relación correcta entre "a" y "b"

b a

a) α + β = 90º

b) α + β = 180º

c) α - β = 90º

5. Hallar “x” en términos de "a" y "q" q

a) 230º - α - θ Colegios

44

TRILCE

b) 230º + α - θ

a x 130º

c) 230º - α + θ

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Trigonometría Razonamiento Matemático 18:10:45

4

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Señala la relación correcta entre "a" y "b"

6. Hallar la relación entre "α", "β" y "θ "

b

q

a

O

b a

a) α + β = 90º

b) α - β = 90º

c) α + β = - 90º

d) α + β = 0

a) β - α - θ = 90º

b) θ - β - α = 90º

c) β - α + θ = 90º

d) β - α - θ = 90º 2

e) β - α = 90º e) 2. Del gráfico, determina "x"

β - α - θ = 90º 2 2

7. Señala lo correcto: A a

30º−2x

O

3x+50º

b

q

D

B

C

3. Calcular "x"

(−2x−30)º

(50+3x)º

a) θ - α - β = 270º

b) β - α + θ = 270º

c) β - α - θ = 270º

d) α - β + θ = 270º

e) β + α + θ = 270º 8. Determinar "x" en términos de "α", "β" y "θ"

4. Del gráfico, hallar "x"

q

a

x+10º

10º−5x

x b

5. Del gráfico, hallar "x"

9. Hallar "x", en términos de "q"

40º−2x x

Central: 619-8100

20º+2x

−x q

x

Unidad I

45

Características del ángulo trigonométrico

10. Del gráfico, hallar "x"; si OB es bisectriz.

13. Determinar "x" en términos de "a"

A (5x−30)º O

a B

x

(40−6x)º C

14. Determinar "x"

11. Determinar "x"

3x

x

15º−x x+15º

15. Del gráfico, hallar "x", si OM es bisectriz del AOC . 12. Señala la relación correcta, respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. A B

q

a

D

M C

θ x

C

A

O

B

D a) α - θ = - 90º

b) α + θ = 90º

c) α + θ = - 90º

d) α - θ = 90º

e) α + θ = 180º

46

Unidad I

Colegios

TRILCE

Trigonometría Razonamiento Matemático

Fórmula de conversión de sistemas

5

¿Crees que exista una fórmula para todo? ¿Las fórmulas son necesarias? ¿Es fácil aplicar las fórmulas?

¿Qué fórmula tengo que aplicar? Vivimos en un mundo de recetas, de decálogos, de fórmulas, de reglas. Estas normas nos neutralizan, homogenizan y globalizan, alejándonos de nuestra propia identidad, de nuestra marca personal. La red (en general) y los blogs (en particular) están llenos de recetas y listados con "soluciones" a todos los problemas posibles. Los libros de autoayuda son todo lo contrario de ayudarse uno mismo. Más bien son manuales en los que otro te dice lo que debes hacer para alcanzar determinado objetivo (desde encontrar la felicidad hasta ser millonario), aunque realmente al único que ayuda es a quién los escribe. Recuerdo que a la hora de resolver un problema mi profesor siempre insistía en que tratásemos de deducirlo por nuestra cuenta, no tratar de aplicar una fórmula. Era más difícil, sí, pero nos enseñó a deducir, no a memorizar soluciones generales. En la vida real, pocas veces hay una solución única y general.

Central: 619-8100

Unidad I

47

Fórmula de conversión de sistemas

Conceptos básicos Fórmula general de conversión Supongamos que el ángulo "a" se midió en los tres sistemas conocidos dando como resultado Sº, Cg y R rad, entonces se cumplirá: B

O

a

a = Sº C g R rad A

Comparando las tres medidas, tenemos: Sº = C g = R rad " Finalmente 360º 400 g 2π rad Simplificando las unidades y reduciendo los denominadores:

S = C = R donde: 180 200 π

S: es el número de grados sexagesimales que mide el ángulo. C: es el número de grados centesimales que mide el mismo ángulo. R: es el número de radianes que mide el mismo ángulo. Si solamente se trata de sexagesimales (S) y centesimales (C). S = C simplificando " S = C 9 10 180 200

Colegios

48

TRILCE

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Trigonometría Razonamiento Matemático

5

Síntesis teórica

se mide en el

representado por

representado por

se relaciona

para "S" y "C"

Central: 619-8100

se relaciona

representado por

se relaciona

para simplificar

Unidad I

49

Fórmula de conversión de sistemas

Problemas resueltos Para conversión de sistemas

Para plantear e interpretar

1. Convertir 63º al sistema centesimal

5. Si la suma del número de grados sexagesimales de un ángulo más el número de grados centesimales

Resolución Tenemos que: S = 63 " C = ¿? Reemplazando en la fórmula: S = C 9 10 63 C ; de donde: C = 70 " = 9 10 2. Convertir 80g al sistema sexagesimal.

de radianes que posee este ángulo. Resolución Recordemos nuestra teoría: S : es el número de grados sexagesimales que posee el ángulo.

Resolución Tenemos que: S = ¿? " C = 80 Reemplazando en la fórmula: S = C 9 10 " S = 80 ; de donde: S = 72 9 10

Para la simplificación de sistemas 3. Siendo "S"; "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E = S + C 19 R Resolución Utilizando la fórmula:

del mismo ángulo es 95, determinar el número

C : es el número de grados centesimales que posee el mismo ángulo. Entonces, luego de interpretar planteamos: S+C=95, nos piden hallar "R". Reemplazamos: 180k + 200k = 95; de donde: Kk = 1 y, como nos piden determinar el valor de 4 "R" : R = kπ " R = 1 π " R = π 4 4

S = C =R 180 200 π

" S=180k ; C=200k ; R = π k E = 180 k + 200 k " E = 20 E= 20 19 π k π 4. Simplificar: H = π C + π S + 20 R 3π C - π S - 20 R Resolución Aplicando nuestra teoría tenemos: S=180k ; C=200k ; R = ≠k Reemplazando en la expresión a reducir: H = π 200 k + π 180 k + 20 πk " 3π 200k - π 180k - 20 πk H = π 400 k " H = 1 π 400 k

Colegios

50

TRILCE

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Trigonometría Razonamiento Matemático

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC

5

1. Establecer mediante flechas las correspondientes parejas entre ambas columnas: Número de grados sexagesimales

R

Número de grados centesimales

S

Número de radianes

C

2. Siendo "S"; "C" y "R" los números convencionales, indicar la correspondencia mediante una flecha: El doble del número de grados sexagesimales

380 R

La mitad del número de grados centesimales

2S

(S + C) p

1C 2

3. Dado un mismo ángulo "a" expresado en los tres sistemas: sexagesimal, centesimal y radial, ordenar en forma decreciente los respectivos números:

S

C

R

4. ¿Cuál de las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F)?

Central: 619-8100

π =R 180 S

............................................... ( )

π =R 200 C

............................................... ( )

π =R 10 C

............................................... ( )

Unidad I

51

Fórmula de conversión de sistemas

5. Indicar las parejas correspondientes: S–C

La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo

C–S La diferencia del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo S+C

El producto del número de grados sexagesimales, centesimales y radianes

SCR

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: M= 4 S + 3 C G C- S a) 44

b) 55

d) 77

e) 88

c) 66

2. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: GP= 2 S + 5 C C- S a) 64

b) 65

d) 67

e) 68

c) 66

3. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: P = π C - 50 R π S - 80 R a) 1,5

b) 1,6

d) 1,8

e) 1,9

Colegios

52

TRILCE

c) 1,7

4. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: 2π S − 30R M= π C+20R a) 1

b) 1,2

d) 2

e) 2,4

c) 1,5

5. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: π S + 50 R Q= 3 π C - 39 R 4 a) 10

b) 13

d) 18

e) 12

c) 15

6. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: π S + 50 R Q= 6 π C + 30 R 10 a) 1,6

b) 1,2

d) 3

e) 2,4

c) 2

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Trigonometría Razonamiento Matemático

7. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, tal que: S=n+1 y C=n+4, siendo "S" y "C" los números convencionales. a) 18º

b) 9º

d) 15º

e) 36º

c) 27º

8. Señale la medida centesimal de un ángulo, tal que: S=2n+1 y C=3n - 16, siendo "S" y "C" los números convencionales. a) 10g

b) 40g

d) 50g

e) 20g

c) 30g

9. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen: 2C - S = 44 a) πrad 2 d) π 6

b) π 4 e) π 9

c) π 5

10. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 3S - C=34 siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. a) π rad 10 d) π 9

b) π 36 e) π 45

c) π 20

11. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 6, ¿cuál es la medida centesimal del ángulo? a) 40g

b) 50g

d) 70g

e) 80g

c) 60g

12. Si el triple del número de grados centesimales de un ángulo, excede al doble de su número de grados sexagesimales en 24, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 16º

b) 18º

d) 40º

e) 48º

c) 36º

13. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 2C − S+22R=13,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

Central: 619-8100

π rad 11 π d) 44 a)

π 22 π e) 55 b)

c)

π 33

5

14. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: C − S+20R=4,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. π rad 10 π d) 60 a)

π 20 π e) 50 b)

c)

π 40

15. La diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo? a) 10g d) 45g

b) 25g e) 75g

c) 35g

16. El producto de los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas estudiados es π . Determinar la medida del ángulo en 6 grados sexagesimales. a) 6º d) 3º

b) 5º e) 2º

c) 4º

17. La suma del número de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a su diferencia, como 19 veces su número de grados sexagesimales es a 6. ¿Cuál es la medida circular de este ángulo? π rad 20 d) π 60

a)

b) π 18 e) π 180

c) π 30

18. Señale la medida circular de un ángulo, que cumple: π π π π π 125 π3 ` 9 + S j ` 10 + C j `20 + R j = 64 SCR siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a)

π rad 20

d) π 60

b) π 50

c) π 30

e) π 80

Unidad I

53

Fórmula de conversión de sistemas

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcular la medida circular de un ángulo, si se cumple: 12 7 40 7 π 7 π C 197 R ` S j + ` 3 C j + ` 15 R j = π S- 52 R a) π rad 7

b) π 15

c) 2 π 7

d) 2 π 15

e) π 5

2. Determina la medida circular de un ángulo cuyos números que expresan sus medidas en los sistemas convencionales cumplen con la siguiente relación: 2 2 2 π + S2 + C2 + R2 = 1+ S C R + ; 1+ + ;1+ E E E ; 18 R (S + C + R) S+ C+ R S+ C+ R S+ C+ R

a) π rad 30

b) π rad 50

c) π rad 60

d) π 80

e) π rad 90

3. Determinar la medida circular de un ángulo, sabiendo que la suma de sus números de minutos centesimales y segundos sexagesimales, es 1670000 a) 5 π rad 2

b) π rad 5

c) 2 π rad 5

d) 3 π rad 5

e) 4 π rad 5

4. Determina la medida circular de un ángulo cuyos números que expresan sus medidas en los sistemas convencionales cumplen con la siguiente relación: 3 π + π π + π 20 A + π j = 64 π ` 36 j ` j ` 9 S 10 C R SCR

a) 6 π rad 5

b) π rad 5

c) 2 π rad 5

d)

3 π rad 5 20

e) 4 π rad 5

5. Se ha medido un ángulo positivo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial resultando tres números que cumplen la siguiente relación: si al producto del cuadrado del número menor con el número intermedio le incrementamos el número mayor esto nos resulta siete tercios del producto del número menor con el intermedio. Hallar la medida del menor ángulo en radianes que cumple la relación anterior. a) b y d

Colegios

54

TRILCE

b) 2 rad 3

c) 2 rad 5

d) 5 rad 3

e) 3 rad 3

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Trigonometría Razonamiento Matemático 18:10:45

1. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: M G= 4 S - 3 C C- S 2. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: HP= 2 S + C C- S 3. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: P = π C + 50 R π S - 80 R

ci sáb s oten peccasa n oC soPractica 9. Señale la medida radial de un ángulo, si su número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 8. 10. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 2S - C+20R=11,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. 11. Señale la medida radial de un ángulo que verifica: C−S 4R = 2C − S 11π

4. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir:



π S + 50 R MQ = 3 πC +R 20

5. Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple: S=2n+1 y C=3n − 2, siendo "S" y "C" los números convencionales. 6. Señale la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: S=3n+6 y C=4n+2, siendo "S" y "C" los números convencionales. 7. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C) cumplen: 2C − S=33 8. Señale la medida radial de un ángulo que verifica: 2S − C=16 siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

Central: 619-8100

5

Siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

12. El producto de los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas estudiados es 36π. Determinar la medida del ángulo en grados sexagesimales. 13. La diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 27, como 5 es a 3. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo? 14. La suma del número de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a su diferencia, como 38 veces su número de grados sexagesimales es a 20. ¿Cuál es la medida circular de este ángulo? 15. Determina la medida de un ángulo en el sistema radial, tal que la diferencia de cuadrados del número de grados centesimales y sexagesimales es al número de radianes como 380 es a 1.

Unidad I

55

6

Repaso

Repaso

¿Es importante repasar? ¿Cuándo, dónde y por qué repasar? ¿Será más provechoso repasar constantemente?, ¿por qué?

Retroalimentación Los repasos son más que una simple repetición, aunque en la práctica pueda parecerlo. Estos tienen un componente importante de repetición (es decir, la repetición se vincula con la memorización), pero principalmente es una reelaboración de la información adquirida (no se repite de la misma manera, no se elabora el esquema mental habitualmente sino se enriquece con mayores y mejores conexiones). Sin embargo, no hay que perder de vista que el repaso parte a priori de la comprensión, que en el estudio implica todo un proceso de elaboración. ¿Por qué repasar? Porque lo que no se repasa se olvida, porque repasando se gana tiempo: sumando los tiempos de los repasos es menor que el tiempo que tendríamos que invertir en volver a estudiar, porque no es lo mismo que reconocer.

Colegios

56

TRILCE

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Trigonometría

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Hallar "x"

(9 - 2x)º

a) 31º d) 60º

(x+3)º

b) 51º e) 36º

c) 62º

a) π rad 3

b) π 5

d) π 4

e) π 9

6. Del gráfico, calcular: M = 10x − 9y A

2. Calcular:



yg

π rad+60º 2 M= 10g

a) 3 10

b) 5 3

d) 20 3

e) 40 3

c) 50 3

B

(7x - 2)º

A

O

b) 6 e) 5

c) 8



B (40x)g

4xº

b) 4 e) 10

C

c) 6

5. Del gráfico mostrado, determinar la medida del ángulo AOB en radianes. C B - 10 x g 3 O

Central: 619-8100

b) 1 200

d) 2 400

e) 24 000

c) 240

a) 10

b)

d) π 10

e) 10 π

c) 10π

calcular "a+b - c" a) 4

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

9. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

π rad 9

2xº

a) 120

8. Si: π rad= aº 3b' c0" 32

4. Del gráfico, calcular "x"

a) 2 d) 8

2π rad 3

C

- 40g

A

B

7. Reducir: M V = 2C - S 22 R Si "S"; "C" y "R" son los sistemas conocidos

C

a) 2 d) 10

xº

O

3. Del gráfico, calcular "x"

c) π 6

A





M=

C+S + C-S

4S C-S

a) 5

b) 6

d) 8

e) 2

c) 4

10. Halle el valor de "A + B + C", si se cumple la equivalencia siguiente: 25 25 cºc A Aºº B B'' C C"" `` 16 16 jj a) 78

b) 79

d) 83

e) 85

c) 81

Unidad I

57

Repaso

11. Señale la medida centesimal de un ángulo, cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen: 4S - C =217 2 a) 30g

b) 40g

d) 60g

e) 70g

c) 50g

12. Si para un mismo ángulo se cumple: S=n+1 y C=n+3, hallar el número de radianes de dicho ángulo. a) π rad 5 d) π rad 9

b) 2π rad 5 e) π rad 10

c) π rad 6

13. Señalar la medida radial de un ángulo que cumple: 3S − 2C+35R=7,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. b) π 7 e) π 60

a) π rad 5 d) π 21

c)

π 35

14. Se tienen tres ángulos donde la suma entre el primero y el segundo es 33º, el segundo más 50g

y la suma entre el primero y π el tercero es rad. Halle el mayor de ellos en 6 grados sexagesimales.

el tercero es

a) 15º

b) 27º

d) 24º

e) 14º

c) 25º



Siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) π rad 3 d) π 6

c)

π 5

16. Los ángulos internos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de ellos es seis veces el menor, hallar la medida del ángulo intermedio en radianes. a) 4π rad 5 d) 4π rad 7

b) π rad 3 e) 4π rad 11

c) 2π rad 5

17. Calcular la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que la diferencia de su número de grados centesimales con su número de grados sexagesimales es a su suma como dos veces su número de radianes es a 57p. a) 2π rad 5 π d) 2

b) 3π 5 3 e) π 2

c) 4π 5

18. Hallar la medida en radianes de un ángulo trigonométrico positivo, que satisface la siguiente condición: SC ` C - S j = 40 10 ` 1 + 1 j C S 2 19 Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. π 45 d) π 15 a)

15. Señale la medida radial de un ángulo, que verifica: C - S = 4R 18:10:45 2C - S 11π

b) π 4 π e) 8

b) π 30 e) π 5

c)

π 20

soPractica cisáb soten peccasa noC 3. Del gráfico, calcular "x"

1. Hallar "x" - 7x+35º

25º+x

- 60g (6x)º

2. Calcular:





Colegios

58

π rad+5º 12 M= 100g

TRILCE

4. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: M= 5S - 2C C-S

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Trigonometría Razonamiento Matemático

5. Del gráfico, calcular "x"

11. Si para un mismo ángulo se cumple: S=2n y C=4n - 1, hallar el número de radianes de dicho ángulo.

B

6

(10x)g

A

2π rad 3

xº

C

6. Si: π rad=1aº 2b' 4c" 11

calcular "a+b+c"

7. Señale la medida circular de un ángulo, cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen: 3S - 2C = 35

12. Los ángulos internos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de ellos es tres veces el menor, hallar la medida del ángulo menor en radianes. 13. Si los ángulos internos de un triángulo ABC miden: A=2nº; B=(20n)g y C = nπ rad, 72 hallar el mayor ángulo en sexagesimales. 14. Calcular la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que la diferencia de su número de

8. Señale la medida radial de un ángulo, si el doble de su número de grados sexagesimales aumentado en su número de grados centesimales es igual a 14. 9. Señale la medida radial de un ángulo, que verifica: C - S = C C+S 152 siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. 10. Señale la medida radial de un ángulo, que cumple: 3S - 2C+20R=10,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

Central: 619-8100

grados centesimales con su número de grados sexagesimales es a su suma como tres veces su número de radianes es a 76≠. 15. Hallar la medida en radianes de un ángulo trigonométrico positivo, que satisface la siguiente condición: SC ` C - S j = 5 10 ` 1 + 1 j 2 19 S C Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

Unidad I

59

UNIDAD II

Universo curvilíneo

L

a decoración ha vuelto a basarse en las curvas, pues hoy las sensuales formas redondeadas pueden observarse en infinidad de muebles, objetos y complementos. Nada escapa a las curvas: sofás que recuerdan la figura femenina, grifos de baño con inesperados giros, lámparas de mesa contorneadas. Esta tendencia no se observa solo en un ambiente o espacio específico del hogar, en la cocina, los electrodomésticos también adoptan formas curvas antes inesperadas, como puede comprobarse en los últimos diseños de las neveras, los hornos microondas y otros artefactos de marcas reconocidas. Es indudable que las curvas eliminan de nuestros ambientes la excesiva solemnidad y rigidez, pues con ellas todo es más etéreo y fresco. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Reconocer e interpretar las fórmulas de longitud de un arco y de superficie del sector circular. Resolución de problemas • Resolver problemas referentes a la longitud de un arco y de superficie del sector circular. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Aplicar eficientemente las fórmulas para el cálculo de la longitud de un arco y de la superficie del sector circular.

Trigonometría Razonamiento Matemático

1

Cálculo de la longitud de un arco

¿Qué son las curvas para George? ¿A qué forma te gustaría que se asemeje tu vida: a las rectas o a las curvas?

Curvas rectas En ocasiones, la vida se asemeja a una carretera. Hay varias formas de carreteras: perfectas, imperfectas, rectas, curvas. De igual modo también hay varias formas de vida, pero hay un tipo de vida especial: la de George que se puede definir como una curva recta. ¿Te has imaginado cómo es una curva recta? ¿Cómo sería este tipo de vida? ¿Sería la perfección o la imperfección? ¿Tiene algún sentido? ¿Tiene un comienzo y final? ¿Tu vida podría ser una curva recta o una recta curva? A George le gustaban las curvas de la carretera, siempre las observaba, en cambio las rectas le aburrían muchísimo. Un día preguntó a su padre: "¿Por qué existen las curvas?". "Bueno, hijo, existen porque son necesarias. Por ejemplo, fíjate en la carretera que recorremos ahora y en el terreno circundante: hay montañas, lagos, ríos, etc. que necesitamos rodear para transitar sin problemas". Después de un tiempo, George abordó el mismo tema con su padre: "Estuve pensando en tu respuesta y creo que no me entendiste. Me refería a las curvas de la vida. ¿Por qué existen las curvas en la vida?". "Yo creo que existen porque alguien las inventó para escapar de los problemas de la vida, para evadirlos, para ocultar la imperfección del ser humano..." "¿Y las rectas? ¿Sabes lo que pienso?", dijo George, "Las rectas de la vida son el camino que sigue toda la gente en este mundo, todos se dirigen al mismo sitio. Por eso me gustan las curvas, porque no son comunes, son distintas. Siempre me he preguntado si existirá una curva recta. ¿Cómo sería? ¿Qué forma tendría? Creo que sería una mezcla de línea y curva en la que se combinan perfección e imperfección. Entonces, la vida sería plena: con felicidad y todo lo necesario. Eso necesito: la curva recta que mezcla la perfección de la recta y la imperfección de la curva”.

Central: 619-8100

Unidad II

61

Cálculo de la longitud de un arco

Conceptos básicos Cálculo de la longitud de un arco Aquí se debe de considerar que las longitudes de los arcos que se va a encontrar corresponden al arco de circunferencia, por tal motivo la fórmula que se va a emplear es:

Radio

Donde: L : longitud del arco AB θ : número de radianes del ángulo central correspondiente a dicho arco. R : radio de la circunferencia.

Radio

B

q rad

co

C

Ar

L = θ.R

A

Observación 1. Para poder calcular la longitud de un arco se debe tener presente que usamos única y exclusivamente la medida del ángulo central. 2. El ángulo central elegido debe encontrarse en radianes. 3. La figura geométrica formada por los radios y el arco se denomina sector circular. (Parece tajada de torta).

A Sector circular

O

Arco

r θ

(Tajada de torta)

r B

Sabías que... Uno de los primeros problemas en la antigüedad era de qué manera se podía medir un ángulo usando una regla. Como notarás esto no se puede lograr directamente, pero sí se puede medir la cuerda que subtiende ese ángulo y luego con la ayuda de tablas determinar el ángulo. Fue Hiparco de Nicea considerado el “Padre de la trigonometría” quien construyó por primera vez una tabla de cuerdas y para esto consideró los triángulos inscritos en una circunferencia dividida en 360 partes iguales siendo cada cuerda uno de los lados del triángulo. Eratóstenes nacido en Cirene en el año 284 A.C. y muerto en Alejandría a los 92 años fue el primero en la historia de la humanidad en medir con bastante precisión el radio de la tierra. En una época en la cual muy poca gente pensaba que la tierra no era plana y ¿Cómo lo hizo? pues , pensó que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a la misma hora por ser la tierra curva y no plana como se pensaba.

Colegios

62

TRILCE

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Trigonometría Razonamiento Matemático

1

Síntesis teórica

posee una medida

se obtiene como

se obtiene como

L

medida en

Central: 619-8100

θ

medida en

R

medida en

Unidad II

63

Cálculo de la longitud de un arco

Problemas resueltos 1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 45º en una circunferencia de 24 cm de radio Resolución Datos: Ángulo = 45º Radio = 24 cm Longitud del arco = ¿? No olvidemos que el ángulo central debe estar en radianes. Entonces: L=45º .

π . 24 180º

L = 6πcm

2. En un sector circular, el ángulo central mide 20º y el radio 45cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? Resolución Debemos observar que: B

Perímetro= radio+radio+longitud del arco " Perímetro= r+r+L Perímetro = 2r + 20º. π . r , pero: r=45 180º

r L

" Perímetro = 90 + 5p

O

Perímetro = 5 (18 + π) cm

r A

3. En un sector circular, el arco mide 100cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: Resolución Dato 2:

Dato 1: Radio = R

Ángulo = θ rad 4 Radio = 2 R

Longitud del arco = 100 cm

Longitud del arco = ¿? cm

Ángulo = θ rad

100 = θ . R



Comparando ambas longitudes:

Colegios

64

TRILCE

L2 = θ . 2 R 4



L2 = 50 cm

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Trigonometría Razonamiento Matemático

4. En la figura se muestra un péndulo en movimiento. Determinar la longitud del péndulo, si su extremo recorre 10 πu .

1

Resolución El extremo del péndulo recorre 10 πu .

37º

Entonces en el gráfico: 10π = L! + L!

10u

AB

LP 37º

π π . L + 37º. . (L − 10) 10π = 53 # π º. 180 180º P 180º P

A

C

BC

LP=24,11 u B

5. En la figura se muestra una pista para deporte extremo (bicicleta). Determinar la longitud total de la pista según los datos planteados, además los arcos corresponden a un arco de 90º de ángulo central.

4u

10u

4u

Resolución

A

O1

B

D

O2

C

La pista está compuesta por dos arcos y una pista recta, dibujemos: Longitud de la pista: L! + BC + L! AB CD Longitud de la pista: π π . 4+10+90º . .4 =90º . 180º 180º Efectuando operaciones: Longitud de la pista = (2π + 10) u

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar los elementos del sector circular.

Central: 619-8100

Unidad II

65

Cálculo de la longitud de un arco

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en los recuadros, siendo las figuras sectores circulares. A

A

O

80º

80º

O

B

2cm

2cm

B 27cm

3. Determinar la medida del ángulo central en radianes de la figura, siendo ella un sector circular. (Tener presente que: 0 HC . ............................................ ( ) A

Colegios

116

TRILCE

60º H

• AH < BH . ............................................. ( ) C

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Trigonometría Razonamiento Matemático

3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Calcular:

8. En la figura mostrada, determinar "AC"

C = (2 sen 30c + tan2 60c) tan 37c a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

A

c) 3

45º

2. Calcular:

B

G = 2sen2 45c + 3 tan2 30c + tan2 60c a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

9

a) 13 d) 16

3. Calcular:

37º

D

b) 14 e) 17

c) 15

9. De la figura, determine "BC" A

K = (csc 53c + tan 37c) (sec2 45c + tan 45c) a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

40

C = sen 30c cos 45c tan 60c tan 45c csc 60c sec 30c

6 4

d)

b) 2 6 9 e) 5 6 16

c) 3 6 16

b) 3

d) 5

e) 6

C

a) 30 3+18

b) 32 3+24

d) 16 3+30

e) 32 3+40

c) 24 3+32

10. Del gráfico, hallar "tanθ" A θ

5. Hallar "x", si: 2 2 37x.tan 30º - 5x.csc 60º=7tan45º+5csc30º a) 2

53º

30º

B

4. Calcular:

a) 6 16

C

c) 4 B

6. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que: 1 1 tanθ= sen60º , calcular: M=10sen2θ+ cos2θ 2 2 3 c) a) 1 b) 2 2 2 d) e) 3 3 7. Siendo "β" un ángulo agudo, tal que:

37º

D

a) 2 3 d) 1

b) 3 2 e) 1 2

C

c) 3 4

3 11. Del gráfico, hallar "tanα", si: BC= AD 2 C α



tanβ = tan230º , calcular: P=3cos2β - 2sen2β a) 1

b) 2

5 2

e) 5

d)

Central: 619-8100

c)

A

3 2 a) 1 2 d) 1

45º

D

b) 1 3 e) 2 3

B

c) 1 4

Unidad III

117

Razones trigonométricas de ángulos notables

12. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular "cotθ" A

14. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, determinar: 16 tan a

8

F

D

D

E

2 θ

B 3 5

a)

d) 3 3

C b)

3 6

e)

3 3

c)

a

3 9

13. En el gráfico mostrado, hallar "cotβ" B

A

d)

b) 12

d) 14

e) 15

c) 13

15. Del gráfico, obtener "tanθ", si: AF=FC

4

B 37º

β

3

B

A

3

a) 3 3

37º

a) 11

150º

A

C

θ

E

C b)

3 3 2

e)

3 2

c)

2 3 3

D

C

F

a) 4

b) 8

d) 32

e) 2

c) 16

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. El perfil (o sección por un plano vertical) de un monumento de gran tamaño, muestra que cada cara tiene un ancho de 10m y está a 30º; 45º y 60º, respectivamente con la horizontal. ¿Qué altura tiene la edificación?

10m 45º 10m

H 60º

10m 30º

Colegios

118

TRILCE

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Trigonometría Razonamiento Matemático

17. En un cierto motor de combustión interna, la distancia "x" en metros del centro de la biela a la cabeza

3

del émbolo está dada por: x = cos θ + 16 + 0, 5 cos 2θ Donde "θ" es el ángulo entre el brazo del cigüeñal y la trayectoria de la cabeza del émbolo (véase la figura). Encuentre "x", cuando: θ = 30c

x

θ

18. Un diseñador de piezas decorativas planea vender esferas sólidas de oro encerradas en conos transparentes de cristal. Cada esfera tiene un radio "R" y estará encerrada en un cono de altura "h" y radio "r". Véase la figura. Pueden usarse muchos conos para encerrar la esfera, cada uno con un ángulo "θ" de inclinación diferente. El volumen "V" del cono puede expresarse en función del ángulo "θ" del cono: 3 V(i) = 1 π R3 (1 + sec θ) , 0c sen 2 II. 2>sen2>tan2

9. Determina el área de la región sombreada, en la C.T. mostrada:

III. 11>tan 11>sen 11 a) FFV d) VVV

b) FVV e) VVF

c) VFF B

4. Ordena de menor a mayor. sen20°; sen140°; sen240° a) b) c) d) e)

sen20°;sen140°;sen240° sen20°;sen240°;sen140° sen140°;sen20°;sen240° sen240°;sen20°;sen140° sen240°;sen140°;sen20°

Central: 619-8100

A q



cos1;cos2;cos3 cos2;cos3;cos1 cos2;cos1;cos3 cos3;cos2;cos1 cos3;cos1;cos2

6. Ordena de mayor a menor: tan10°; tan100°; tan210°

y

A'

5. Ordena de menor a mayor: cos1; cos2; cos3 a) b) c) d) e)

c) cos3

a) tan1; tan2; tan3

III. |sen3+cos3|=sen3+cos3 b) FFV e) FFF

b) cos2 e) cos5

8. Ordena en forma creciente: tan1; tan2; tan3

II. |sen2–cos2|=|cos2–sen2| a) VFF d) VVV

tan10°; tan100°;tan210° tan10°;tan210°;tan100° tan100°;tan10°;tan210° tan100°;tan210°;tan10° tan210°;tan10°;tan100°



x

B'

a) senq.cosq + b) - (senθ cos θ) 2 c) senθ + cos θ 2 d) 1 senq.cosq 2 e) - 1 senq.cosq 2

Unidad VI

219

Repaso

10. Ordena de mayor a menor: csc1; csc2; csc3. a) b) c) d) e)

csc1>csc2>csc3 csc2>csc1>csc3 csc2>csc3>csc1 csc3>csc2>csc1 csc3>csc1>csc2

I. sen(–x1)cosx2

a) VVV d) VFF

III. |senx1|>|senx2| a) VVV d) VVF

b) FFF e) FFV

c) VFV

12. Si se verifica que: 3 π