Trigo 2

Preguntas propuestas

2

2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Trigonometría Introducción a la geometría analítica I

 A) (– 1; 4) D) (– 2; 1)

NIVEL BÁSICO 4. 1.

Calcule las coordenadas del punto  M  si OA=5, OB=15 y AM = MB.

B) (– 2; 3)

C) (– 1; 3) E) (– 3; 2)

Calcule 13 (sen β − cos β ) si  ABCD es un cuadrado, tal que AM = MD. Y   B(1; 7)

Y   B  M 

C (5; 4)

 A  A θ

53º

37º

O

2.

 A)

 5 ; 15    2 2  

D)

 1; 7     2 2

B)

 D

X 

3; 7    2 2

C)

 1 ; 15    2 2  

 A) 3/2 D) 2/3

B) –1/2

C) –1 E) – 3/2

E) (1; 3) 5.

De acuerdo con el gráfico se cumple que 5tanq – 2=0. Determine las coordenadas del punto F  si AM = MB.  B(11;

Calcule el valor de  A) – 2 D) 2

8) 6.

 M 

θ

 A(1;

 A) (10; 0) D) (15; 0)

0)

 F 

B) (11; 0)

 X 

C) (12; 0) E) (16; 0)

En el gráfico, OABC   es un cuadrado y  B(3; 5). Calcule las coordenadas del punto  A.  B

 A

 b

. C) 1 E) 3

Tres de los vértices de un paralelogramo ABCD son A(3; 1), B(4; 2) y C (5; 0). Calcule el área de la región paralelográmica. B) 3/2 u2

C) 2 u2 E) 3 u2

Del gráfico, calcule a+ b.  A) 7/2 B) – 3/2 C) 3/2 D) 2 E) 5/2

 P(a; b)

Y 

53º 53º 2

C  O

a + d 

B) –1

 A) 1 u 2 D) 2,5 u2 7.

Y 

Los vértices de un paralelogramo  ABCD  son  A(a; – a – 6); B(c; c – 4); C ( d ; – d – 4) y D( b; – b – 6).

Y 

3.

X 

 X   M (– 4; 0)

X 

2

Trigonometría Y 

NIVEL INTERMEDIO 8.

C (–

3 ; 3)

Si ABCD es un cuadrado, determine la abscisa del punto H  si OD=4.

 B

O

Y 

C 

 X 

 A  B  D  X 

30º

 H 

 A

9.

) 3)

B)

3

(

D)

1  ; 2

O 12.

 A) − (4 − D) − (8 +

 A)

−

(2 + 4

3

) C) − (4 + 3 ) E) − (4 + 4 3 )

En el gráfico, se conoce las coordenadas de los puntos B(– 6; 4) y C (– 2; – 3). Calcule cota

3; 1)

B) (1; 3 )

3 



2  

C)

 

3 1  ;  2 2 

E)

(

3 ; 2)

La base de un triángulo isósceles tiene por extremos los punto  A(2, –1) y  B(–1; 2). Los lados iguales miden cada uno 17 . Calcule las coordenadas del vértice opuesto a la base.  A) (–1; –1) y (3; 3) B) (– 2; – 2) y (1; 1) C) (– 2; – 2) y (3; 3)

 B

Y 

D) (– 1; –1) y (2; 2) E) (– 3; – 3) y (2; 2)

 A 13.

α

O

 X 

Si ABCD es un trapecio, calcule las coordenadas del baricentro del triángulo  ACD si  AB 18 , CD 10  y BC =4. =

=

C  Y 

 A) 4 D) 7 10.

C) 6 E) 8

 B

Si  P es un punto que pertenece a la mediatriz del segmento de extremos  A(– 3, –1) y  B(2; 3), calcule la ordenada de P si su abscisa es – 3.  A) 33/8 D) 7/8

11.

B) 5

B) 11/8

C) 4/11 E) 7/5

Si ABC  es un triángulo equilátero y AO=OB. Halle las coordenadas del punto B. 3

C 

 A(1; 0)

 A)

 13 ; 1   3    13 ; 2   6  

D) 

B) (6; 1)

D(9; 0)

C) (5; 2) E)

 13 ; 1    6

 X 

Trigonometría 15.

NIVEL AVANZADO 14.

Del gráfico mostrado, calcule tanq+cotq  si el área de la región sombreada es 4 u2. Considere 13  el radio vector del punto  A.

Si  AB=CO=1 y  BC =2, calcule la ordenada del punto P.

Y 

 A

Y   A

B

C

O θ

θ

 X 

θ

C (3; – 2)

 P

 A) 2  A) − 3 B) 2 C) − 5 D) − 6 E) −2 2

 B(5; 0)

θ

 X 

B) 10/3 C) 13/6 D) 5/2 E) 4

4

Trigonometría Introducción a la geometría analítica II

5.

Del gráfico, calcule CM  si  A(– 2; –1),  B(4; 7) y C (6; – 2).

NIVEL BÁSICO 1.

Y 

Calcule el área de la región triangular formado por las rectas L 1: x – 4=0 L 2: x+ y=10 y el eje x.

 B  M 

 X   A C 

2

2

 A) 18 u D) 36 u2 2.

2

B) 24 u

C) 32 u E) 48 u2

Determine la naturaleza del triángulo cuyas coordenadas de los vértices son  A (3; 8),  B(–11; 3) y C (– 8; – 2).

 A) 3 D) 6 6.

 A) rectángulo isósceles B) rectángulo C) isósceles D) equilátero E) escaleno

B) 1/7

C) 2/7 E) 1

Si los puntos  A(– 2; 3);  B=(1; 6) y C (4;  n) son colineales. Calcule el valor de n.

Se tiene una recta cuya ecuación es (3 k+ n – 2)  x+(5 k – 2 n+1) y+(3 k – 4 n+2)=0 y pasa por los puntos (– 2; 1) y (2; 0). Calcule el valor de 68( k+ n).

 A) 6 D) 9

 A) 97 D) 100

B) 7

C) 8 E) 12 8.

NIVEL INTERMEDIO 4.

C) 5 E) 7

Calcule el valor de la tangente del menor ángulo formado por las rectas L 1: x – 2 y+3=0 L 2: 3 x+ y –1=0  A) 7 D) 1/3

7. 3.

B) 4

En el gráfico, calcule OP si  P(–1;  n), Q(1; 2) y  R(4; 4).

9.

 R

Q O

 A)

2 3

D)

26

B)

15

 X 

C)

2 5

E)

22

5

C) 99 E) 37

¿Para qué valor de C , la recta L : 4 x+5 y+c=0 forma, con los ejes coordenados, una región triangular de 2,5 u2 de área?  A) ± 5 D) ± 20

Y 

 P

B) 47

B) ± 10

C) ± 15 E) ± 25

Dada la ecuación de una recta 2 x+3 y+4=0, halle la ecuación de la recta que pasa por el punto M (2; 1) y forma un ángulo de 45º con la recta dada.  A)  x – 3 y+2=0; 3 y+2 x –1=0 B) x+2 y – 2=0; 3 x+2 y – 3=0 C) x – 5 y+3=0; 5 x+ y –11=0 D) 3 x – 5 y+8=0; 2 x+ y –11=0 E)  x+ y=0; x – y+1=0

Trigonometría 10.

Dados los vértices  A( –2; 4) y  B(6; – 2) de un triángulo  ABC , y el punto  H (1;3), intersección de sus alturas, halle el vértice C .

NIVEL AVANZADO 13.

 A) (– 4; 10) B) (2; 13) C) (13; 19) D) (–10; 20) E) (7; 13) 11.

Dadas las rectas paralelas L 1: 10 x+15 y – 3=0 L 2: 2 x+3 y+5=0 L 3: 2 x+3 y – 9=0 determine la razón en que se divide la distancia entre ellas.  A) 2/3 D) 3/5

12.

B) 1/3

 A) 1 D) 4 14.

 11 ; − 35    14 14 

 11 ; − 45    14 14   11 55  C)  ; −   17 17  B)

 1; − 5    3 3   11 55  E)  ; −  7 7   D)

B) 2

C) 3 E) 7

Si AB=2 BC , obtenga la pendiente de la recta L .  B(2 ; 2)

C) 4/3 E) 8/9

 A(– 6 ; 0)

Señale el punto Q, simétrico del punto  P(–1; 5), respecto de la recta que pasa por  A(2; 1) e intercepta al eje Y  en un punto cuya ordenada es igual al triple de su pendiente.  A)

El área de la región triangular  ABC  es 8 u2. Dos de sus vértices son los puntos A(1; 2) y B(2; 3);  y el tercer vértice C , se encuentra en la recta de ecuación 2 x+ y – 2=0. Calcule la suma de coordenadas del punto C .

C 

 A) –2/3 D) – 2/9 15.

B) 2/3

L  1

C) –1/6 E) 2/9

Determine las coordenadas del punto Q, simétrico al punto  P(– 5; 13) relativo a la recta de ecuación 2 x – 3 y – 3=0  A) (1; 1) B) (–11;) C) (11; –11) D) (3; –11) E) (11; 1)

6

Trigonometría  Ángulos en posición normal I

4.

De acuerdo con el gráfico, calcule tanq+cotq. Y 

NIVEL BÁSICO

1.

Q(– 3; – a)  P(a; 1)

Del gráfico, calcule secqcsca+1 si AC = AB.

θ

Y 

 X  C

 B(2; 1)

A

 A) – 4 θ

D)

 X 

α

5.

 A) – 5

B) – 4

C) – 5/2

D) – 2 2.

B) – 2

−2

3

3

3

C)

−

E)

−4

3 3

3

En el gráfico mostrado, calcule el valor de tanatanb. Y 

E) – 3/2

α

Calcule el valor de cos 240º + 2 sec 240º

X 

β

cos 120º

 A) 7 D) – 9

3.

B) 9

C) – 7 E) –11

 A) – 2 D) –1/3

B) –1

C) –1/2 E) – 1/5

5

Del gráfico mostrado, calcule rm si sec θ = − . 4

NIVEL INTERMEDIO

Y 

6.

 r 

El punto O es el centro de la semicircunferencia. Calcule cotq. Considere T  como de tangencia.

 X 

θ

Y 

T 

 P(– 4; m)

 A) –12

θ

53º/2

B) –15

O

C) –18 D) –20

 A) – 3/4 D) – 3/2

E) – 24

7

B) – 4/3

 X 

C) – 2/3 E) – 2

Trigonometría 7.

Si AB= BC , calcule 12tanq –1.

10.

De acuerdo con el gráfico, calcule 13 ( 2 sen α + 3 sec θ) .

Y 

C 

Y   A(– 3a; 2a)

 B 37º

 A

α

 X  θ

 X 

θ

 A) – 40 D) – 46 8.

B) – 42

 A) 13 D) 19

C) – 44 E) – 48

En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcule el  valor de tanatanb.

11.

B) 15

C) 17 E) 21

Si OP=OQ y AM = MQ, calcule tanq. Y 

Y 

C 

 A(– 6; 2 3 )  D(0; 12)

 B

60º  P

β  A(5; 0)

α

B) – 5/12

C) – 7/12 E) – 5/9

−

(  

D) −  9.

En el gráfico, AB= BC . Calcule sec(180º – w) – cosw.  A

O  X 

θ

 X 

 A)  A) – 5/13 D) – 3/7

Q

 M 

12.

Y 

3

+

2

)

B)

 − 

 + 2  C) −    2  

3

+ 2   4  

3

E)

 − 

 B(– 2; 8)

 M  α

C (1; 4) θ

ω

 X 

 X 

B) – 60/13

C) 45/32 E) 194/65

+ 2   5  

3

Si las coordenadas del punto  M son (– 6; 8), calcule 5(sena+cosq) – 6cscq. Y 

 A) 41/39 D) – 50/13

+ 2   3  

3

 A) – 9 D) 9

B) – 3

8

C) 3 E) 17

Trigonometría 13.

Los puntos A(a+ b; b) y B( b; a – b) pertenecen al lado terminal del ángulo en posición normal a. Calcule csc2a+tan2a si b > 0.  A) 5 D) 8

B) 6

C) 7 E) 9

 A) D) 15.

a+ b a− b

B)

a+ b

 b − a

C) E)

a+ b

a+b  b − a a + 2b 2a − b

Del gráfico mostrado, calcule tana. Y 

NIVEL AVANZADO 14.

a− b

L  : 40 x – 9 y=0 α

Del gráfico mostrado ( b > a), determine la tana en términos de a y b.

θ θ

Y 

45º (a;  b)

 X 

α

9

 A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7 E) 0,8

 X 

Trigonometría  Ángulos en posición normal II

6.

NIVEL BÁSICO 1.

Halle el valor de secq – tanq si 15cscq+17=0 y q ∈ IIIC.  A) – 2 D) – 5

2.

Si

9

B) – 3

 A) 9 D) 14 C) – 4 E) – 6

7.

csc  x

81

=

2 3 cos  x +

 A) – 6 D) 3

3 cot x .

B) –1

C) 1 E) 6

8.

5 13

entre dichos puntos.

4.

9.

sen 270º + cos 90º − tan 0º

 R =

cos 450º + cot 270º + sec 180º

B) –1

Si a es un ángulo en posición normal que satisface la ecuación 5 cos2 α + 5 cos α − 2 = 0  y, además cota > 0 y sen a < 0, calcule el valor de (csca+2seca)2.  A) 16 D) 20

B) 18

C) 19 E) 21

tan θ sen θ − cos θ

 A) +, +, + B) –, +, – C) –, +, + D) –, –, + E) –, –, –

C) 1/2 E) 2

NIVEL INTERMEDIO 5.

Si se tiene que sen q > cosq y q ∈ IIIC, halle el signo de las siguientes expresiones.  M =sen2q – cos2q  N =senq – cosq

Calcule el valor de

 A) – 2 D) 1

cot θ = − sen θ  y

 A) a ∈ IC y q ∈ IIIC B) a ∈ IIC y q ∈ IVC C) a ∈ IIC y q ∈ IIIC D) a ∈ IIIC y q ∈ IIC E) a ∈ IVC y q ∈ IIIC

pertenecen a su lado final. Calcule la distancia

C) 12 E) 25

C) – 2,3 E) – 2,2

tan2qcosa < 0, encuentre los cuadrantes respectivos para los ángulos a y q.

. Los puntos  P y Q tienen por coor-

B) 10

B) – 2,5

Si se cumple que sen α

denadas (– 15; a) y ( b; – 24) respectivamente,

 A) 8 D) 13

C) 12 E) 16

Si se cumple que 15sen2a –14sena – 8=0 donde a es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante, calcule el valor de cotacosa.  A) –2,4 D) – 2,1

Si q es un ángulo en posición normal, cos θ = −

B) 10

sen 20 º − cos 70º +1,

además cot x < 0, calcule el valor de

3.

Si 2 tan α = 2 + 2 + 2 + ...  y a es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante, calcule − 2 (sen α + 4 sec α ) .

10.

Si se cumple que a y q son positivos y menores a una vuelta que cumplen 1 − sen θ +

sen θ − 1 + csc α = sen

3π 2

calcule cos2q+tan6a.  A) – 2 D) 1

B) –1

10

C) 0 E) 2

Trigonometría 11.

Si a y b  son ángulos cuadrantales, de modo que 0 < a < b < 2p, además senacos2b=1, sen α + sen β calcule . cos α + cos β  A) 0 D) 1/2

B) –1

 

 A) FVVV D) VFFF

C) 1 E) 2

 

calcule  A) – 2 D) 1

 1

sen α = − cos β − , 3

 A) 7 o 9 D) 7 o 8

15.

B) 9 o 12

C) 7 o 10 E) 6 o 7

tan

 x 2

 y + 2 cos  x +   . 2

B) –1

Si se cumple que . Señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. sec θ

− tan φ >  0  y

sen φ − cos θ tan θ <  0

11

C) 0 E) 2

Sean a y b ángulos en posición normal, tales que sus lados finales están en el tercer y segundo cuadrante, respectivamente. Si los sumandos de la expresión − tan 2 α + 4 tan α − 4 +

13.

C) VFVV  E) VFFV 

Si se cumple que sen x+sec y=0; 0