Tribologija - seminarski 2

5.4 Potisni ležajevi Dejstvo potisnih ležajeva zavisi o postojanja konvergentnog procjepa između posebno oblikovane ili nagnute plohe i prateći ravnu površinu spojnice. Pomak relativnog klizanja će prisiliti ulje između površina koje se dodiruju i proizvesti površinski pritisak. Na Sl. 10, površinske brzine su U1 i U2.

Slika 10 Sa konstantnim viskozitetom ( jednačina 5.7 ),postaje: (

)

μ

i

(

sa

,

(

)

Reynolds-ova

)

jednačina,

(

)

Ova jednačina nije riješena analitički, ali numeričke analize i digitalni računari mogu je koristiti za rješavanje određenih slučajeva. Uobičajna je praksa da se pretpostavi da nema bočnog istjecanja, tj. ležišta beskonačne dužine l tako da su brzina w i jednaki nuli. Jednačina ( 5.23 ) je tada pojednostavljena (

)

(

)

(

) (

(

)

Integrirajući )

Za ležajeve ( Slika 5.10 ) sa debljinom filma na ulazu h 1 i izlazu h2, nagib je Neka je

(

)i

.

. Dalje

1

(

) ∫[( (

)

(

) ]

) [ )

(

]

Granični uslovi: p = 0 za x = 0 i x = b se koriste za dobijanje: ( (

) ) (

(

) )

( (

) ) [

( (

) )]

(

)

gdje se kasnije odnose na minimalnu debljinu filma h2. Ukupno opterećenje P je dobijeno integracijom na površini. Obrađivane ili montirane plohe unutar tolerancija koje su potrebne za mali ugao α je teško postići i prema tome su plohe obično zaokrenute. Veza između dužine osovine xp, i ostalih varijablih može se dobiti prije nego što se desi bočno istjecanje, faktori korekcija za izvedene količine su utvrđeni eksperimentalno i dostupni su, na primjer, u ESDU-82029. Teorija za ravne plohe ukazuje da se maksmimalna nosivost postiže položajem osovine na xp = 0,578b, ali nosivost ne postoji ako je kretanje obratno. Za ležišta sa obrtanjem, prirodan položaj je središnji, xp = 0,5b, ali teorija ravne plohe ukazuje nultu nosivost za ovaj položaj. Međutim, ležajevi sa središnjim zakošenjima i navodno ravnim površinama se uspješno koriste godinama.

5.4.1 Ravne osovine Najjednostavniji oblik potisnog ležaja je ravna osovina ili rukavac. U nekim slučajevima odvajanje filma maziva je nepromjenljive debljine i na bilo kojem dobijenom poluprečniku pritisak je konstantan, tj. gradijent pritiska je moguć u radijalnom pravcu. Ako je ulje ubrizgano u unutarnje rubove potisnih ležajeva strujat će po zavojnoj putanji prema vanjskom obodu kako rotira vratilo. Očito je, kako god, postojanje filma zavisi u cjelosti o uljnom pritisku na ulazu, i da će ovaj pritisak uveliko usmjeriti moć nošenja ležajeva. Za potrebe proračuna konstrukcije može se pretpostaviti da je film u stanju čistog smicanja.

Numerički primjer Vertikalno vratilo prečnika 75 mm miruje u ležaju sa prirubnicom. Ako su završetak vratila i površina ležaja potpuno ravne i pod pretpostavkom da su odvojene uljnim filmom debljine 0,025 mm, odrediti moment potreban za obrtanje vratila, i snagu kojom će se savladati otpor viskoziteta uljnog filma. Koeficijent viskoziteta ulja je μ = 40 · 10-3 Pa s.

2

Rješenje: Neka je h - debljina filma; r1 - poluprečnik vratila; ω = π·n/30 = 25·π rads-1 - ugaona brzina vratila. Dalje - brzina smicanja na poluprečniku r; μ·ω·r/h - napon smicanja na poluprečniku r. Uzimajući u obzir osnovni prsten poluprečnika r i širine dr,

i tako da je ∫ (

)

ili μ = 40 · 10-3 Pa s; h = 0,025 · 10-3 m; ω = 25 · π = 78,54 s-1 r1 = 75 · 10-3 m Prema tome (

)

i Odnoseći se na ležaj sa prirubnicom u prethodnom primjeru, ako je - površina ležaja; 3

N - brzina rotacije s-1; p - pritisak ležaja u jedinici površine, pretpostaviti da je ravnomjeran; f - koeficijent trenja. odnosno da je ležaj ravna osovina (

)

(

)

Izjednačavajući dobijenu vrijednost T sa jednačinom ( 5.26 )

tj.

ili

5.4.2. Učinak gradijenta pritiska u pravcu kretanja Na početku, jednostavne vrste potisnih ležišta, teško su uspijevale zadržati debljinu filma. Kod uvođenja gradijenta pritiska u pravcu kretanja,odnosno po obodu, ležišta tipa osovine ili rukavca, postignut je mnogo veći maksimalni pritisak između površina, i opterećenje koje se prenosi znatno se povećava.Michell ( radeći samostalno u Australiji i Kingsbury u USA ) je prvi ponudio potpuno rješenje protoka maziva između površina strme ravni. Rezultati su važni i mogu se prikazati uzimajući u obzir klizni ležaj u kojem debljina filma varira linearno u pravcu kretanja ( slika 5.11 ).

4

Slika 5.11 Ovdje se klizač kreće ravnomjernom brzinom V i mazivom je odvojen od ležaja ili posteljice, protok se održava kretanjem klizača. Pretpostavlja se da su krajevi na ulazu i izlazu ispunjeni mazivom na nuli manometra. Neka je B širina ležaja u pravcu kretanja i uzeti u obzir jediničnu dužinu u smjeru okomito na brzinu V. Zanemareno je istjecanje, odnosno pretpostavlja se da je posteljica beskonačno duga. Neka je h = srednja debljina filma, h + e = debljina na ulazu, h - e = debljina na izlazu

𝜆 = debljina na oblasti X - X, na udaljenosti x od centra širine, tako da je 𝜆

(

)

Usvajanjem postupaka koji se koriste u mehanici fluida

Pretpostaviti da je x' vrijednost x na kojoj se javlja maksimalni pritisak, tj. dp/dx = o, a zatim, za kontinuitet toka (

)

(

)

5

tako da je (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Slično je i napon smicanja 𝜆

𝜆 tako da je 𝜆

[

𝜆

(

)]

Integriranjem jednačine ( 5.30 ), pritisak p na oblasti X - X je dat sa ∫

∫

𝜆

𝜆

gdje se x' i k smatraju konstantama. Kako je 𝜆 dobija se

𝜆

𝜆

(

)

𝜆 𝜆

𝜆

Konstante x' i k su određene iz uslova da je p = 0 kada je

tj. kada je 𝜆

odnosno 𝜆

. Dakle

i jednačina pritiska ima oblik 𝜆

6

Za maksimalnu vrijednost p pišemo

tj. 𝜆 Tada jednačina ( 5.33 ) ima oblik (

(

)

)

gdje a = e/h predstavlja odnos ležaja i površine posteljice.

5.4.3 Uvjeti ravnoteže Odnoseći se na Sl. 5.11, P predstavlja opterećenja na klizaču ( u jedinici dužine mjerene okomiti na pravac kretanja ) i F' predstavlja silu zatezanja koja je jednaka i suprotna tangencijalnom otporu F. Slično Q i Fr, su reakcije sila na uljnom filmu duž ležaja, tako da je sistem u ravnoteži ( neophodan uslov da posteljica ima dovoljno slobode da prilagodi svoj nagib tako da su zadovoljeni uvjeti ravnoteže ) pod djelovanjem četiri sile, P, Q, F' i Fr. Ponovo, P i F' su jednake i suprotne rezultanti djelovanja uljnog filma na klizaču, tako da je: ∫

(

)

∫

(

)

(

)

Za prethodno, jednačina ( 5.33 ) daje: ( ) 𝜆

(

𝜆)

i pisajući a = e/h, ovo se može svesti na (

)

Slično, za tangencijalnu silu zatezanja, jednačine ( 5.31 ) i ( 5.36 ) daju

7

∫

𝜆

∫

𝜆

∫

∫

𝜆

𝜆

i integriranjem između granica ± B/2, svede se na (

)

(

)

(

)

5.4.4 Koeficijent trenja i kritični nagib Ako je f stvarni koeficijent trenja klizača, možemo pisati

tako da je

Odnoseći se na ponovo na uvjete ravnoteže, pretpostavljajući da je α ugao u radijanima između klizača i površine posteljice ležaja, onda za ravnotežu imamo

Pošto je α veoma mali, možemo pisati sinα ≈ α i cosα = 1. Dalje, Fr je veoma mala u odnosu na Q, tako da je (

)

odnosno (

)

(

)

(

)

Kritična vrijednost α se javlja kada je Fr = 0, tj.

gdje je Φ ugao trenja klizača. Kada je α > Φ, Fr je tada negativna. Ovo je uzrokovano promjenom pravca istjecanja uljnog filma nalijeganjem na površinu posteljice.Kritična vrijednost data je jednačinom ( 5.39 ). Dakle

8

prema tome

i stoga

5.5 Rukavac ležišta 5.5.1 Geometrijski oblici i stvaranje pritiska Kod jednostavnog rukavca ležaja, položaj rukavca je direktno povezan sa vanjskim opterećenjem. Kada je ležaj dovoljno snabdijeven uljem i kada je vanjsko opterećenje jednako nuli, rukavac će se rotirati koncentrično unutar ležaja. Međutim, kako se opterećenje povećava rukavac se sve više pomjera u ekscentričan položaj, čime se formira uljni film u obliku klina gdje se pojavljuje opterećenje prećeno pritiskom. Ekscentricitet e je mjeren od centra ležaja Ob do centra vratila Oj, kako je prikazano na Sl. 5.12. Mogući maksimalni ekscentricitet jednak je radijalnom zazoru c, ili polovini početne razlike kod prečnika, cd, i to je hiljaditi dio prečnika.Pogodno je da se koristi odnos ekscentričnosti, koji je definisan ε = e/c. Kada je ε = 0, opterećenje ne postoji, i ε ima maksimalnu vrijednost 1,0 u slučaju kada bi vratilo trebalo dodirivati ležaj pod izuzetno velikim opterećenjem.

Slika 5.12 Debljina filma h varira između ( )i ( ). Dovoljno precizan izraz za srednje vrijednosti se dobija iz geometrije prikazane na Sl. 5.12. Sa slike 9

poluprečnik rukavca je r, dok je poluprečnik ležaja r + c, i mjeri se suprotno od položaja hmax. Udaljenost ili ( ) , odakle je (

)

(

)

Oblik pravolinijske koordinate iz Reynolds-ove jednačine, jednačina ( 5.7 ), je pogodan za korištenje. Ako se uzme da je početak koordinata u bilo kojem položaju O na površini ležaja, tako da je osa X tangenta, a osa Z je paralelna osi rotacije. Rotiranjem ležaja javlja se površinska brzina U1 duž ose X. Površinske brzine su prikazane na Sl. 5.13.

Slika 5.13 Površina vratila ima brzinu Q2 stvarajući sa osom X ugao čija je tangenta δh/δx, čiji je kosinus otprilike 1,0. Stoga su komponente U2 = Q i V2 = U2 · ( δh/ δx ). Uvrštavanjem ovih pojmova, Reynolds-ova jednačina ima oblik *

(

)

(

(

)

)+

(

) (

)

gdje je U = U1 + U2. Isti rezultat se postiže ako se položaj koordinata uzme duž površine rukavca sa tangentom X. Reynolds pretpostavlja beskonačnu širinu ležaja, stvarajući δp/ δz i w = 0. Zajedno sa konstantom μ, ovo pojednostavljuje jednačinu ( 5.43 ) (

)

(

)

Reynolds je predstavio rješenje u nizu, koje je objavljeno 1886. 1904, Sommerfeld je došao do odgovarajuće zamjene koja mu je omogućila da integriranjem dođe do približnog rješenja. Rezultat je

10

*

( (

) ( ) (

) )

+

(

)

Rješenje se naširoko koristi, zajedno sa eksperimentalno određenim faktorom istjecanja, za korigovanje konačne dužine ležaja. Predstavljeno je kao Sommerfeld rješenje ili rješenje za dugačka ležišta. Novija ležišta su generalno manja od onih koja su se koristila prije. Omjer dužine i prečnika je manji od 1,0. Ovo stvara veći protok i na kraju istjecanje je u cjelosti mnogo veće. 1929, Michell i 1930, Cardullo su predložili da se izraz δp/ δz iz jednačine ( 5.43 ) zadrži, a da se izraz δp/ δx odbaci. Ocvirk 1952, zanemarujući paraboličnost, pritisak izazvan protokom brzine U, dobio je Reynolds-ovu jednačinu u istom obliku koju su predložili Michell i Cardullo, ali sa većim izjednačavanjem. Dobijeni oblik (

)

(

)

U odnosu na jednačinu ( 5.44 ), jednačina ( 5.46 ) se lako integrira, i dovodi do opterećenja, kao što su bezdimenzionalni parametri, uključujući dužinu, što je korisno u konstruisanju i planiranju eksperimentalnih rješenja. Koristit će se kod preostalih izvođenja i razmatranja načela koja su uključena. Ako ne postoji ekscentričnost vratila i ležaja, onda h i δh/ δx nezavise od z i jednačina ( 5.46 ) će se morati integrirati dvaput da se dobije

Za granične uslove δp/ δz = 0 za z = 0 i p = 0 za z = ± ½. Što je prikazano na Sl. 5.14. Tako da je (

)

(

)

Nagib δh/ δx = δh/ δ(rΘ) = (1/r)/ δh/ δΘ i iz jednačine ( 5.42 ), δh/ δx = -( c · ε · sinΘ )/r.

11

Slika 5.14 Uvrštavajući u jednačinu ( 5.47 ), dobijamo (

)

(

)

(

)

Ova jednačina ukazuje na to da će se pitisak širiti radijalno i aksijalno kao što je prikazano na Sl. 5.14; aksijalno širenje će biti parabolično. Najslabiji pritisak će se javljati na sredini plohe z = 0, na uglu (

√

)

(

)

i vrijednost pmax se može dobiti uvrštavanjem Θm u jednačinu ( 5.48 ).

12