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M´ ethode des ´ el´ ements nts finis : trei treill llis is plan planss ` a nœud nœudss arti articu cul´ l´ es es Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans D´ eparte epa rtement ment G´ enie eni e M´ ecaniq eca nique ue et Produ Pro ducti ctique que
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 24 mars 2006 – 29 mars 2011
Table des mati` eres Introduction
3
1
Matrices ´ el´ ementaires
3
2
Exemple 1 : treillis soumis ` a une force nodale
6
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3
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4.5
´ Enonc´ e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . ´ Etude ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . . Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´ Enonc´ e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . ´ Etude ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Premier cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Assemblage et calcul des d´e placements inconnus 4.4.2 Efforts normaux dans les ´el´e ments . . . . . . . . 4.4.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deuxi`eme cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Assemblage et calcul des d´e placements inconnus 4.5.2 Efforts normaux dans les ´el´e ments . . . . . . . . 4.5.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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tre mat exemple exemple exemple
R´ ef´ erences
. 1 2 3
. . . .
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8 8 9 9 10 10 10
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Programmes Maple
5.1 5.2 5.3 5.4
6 6 7 7 7 8 8
Exemple 3 : treillis soumis ` a une variation de temp´ erature
4.1 4.2 4.3 4.4
5
. . . . . .
Exemple 2 : treillis soumis ` a une force nodale
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4
´ Enonc´ e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . ´ Etude ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . . Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14
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14 14 15 15 16
3
Treillis plans ` a nœuds articul´es
Introduction Un treillis est un ensemble de poutres droites ( ´ ees entre elles par des rotules ( nœuds). el´ ements) reli´ Les liaisons ext´erieures sont des rotules et des appuis simples. Les charges sont des forces port´ees par les rotules, des gradients thermiques et des d´eplacements d’appui. La force int´ erieure dans une section droite se r´ eduit ` a l’effort normal . Le treillis est plan si : – Le plan O ; x, y est un plan de sym´etrie pour toutes les sections droites. – Les forces appliqu´ees sont situ´ees dans le plan O; x, y .
{
}
{
}
On suppose que les d´ eplacements sont petits.
1
Matrices e ´l´ ementaires
Soit (i
→ j ) un ´el´ement de treillis plan de section droite constante (figure 1).
´ ement i Figure 1 – El´
→ j
L est la longueur de l’´el´ement et A l’aire de sa section droite.
(xi , yi ) et (x j , y j ) sont les coordonn´ees des nœuds de l’´el´ement. Le vecteur unitaire n port´e par l’axe de la poutre est d´efini par :
1 nx ny
=
L
− x = cos θ − y sin θ
x j y j
i
i
,
L2 = (x j
2
−x ) i
+ (y j
2
− y ) i
(1.1)
o`u θ est l’angle que fait n avec l’axe x. eriau. E et α sont respectivement le mo dule de Young et le coefficient de dilatation du mat´ L’´el´ement est soumis `a un effort normal N (positif : traction, n´egatif : compression) et `a une variation de temp´erature ∆T constante.
4
M´ ethode des ´ el´ ements finis
(ui , vi ) et (u j , v j ) sont les d´eplacements nodaux (figure 2).
Figure 2 – D´eplacements ´el´ementaires Les efforts aux extr´emit´es de l’´el´ement sont (figure 3) : en i
− N n
,
en j
N n
(1.2)
Figure 3 – Efforts ´el´ementaires Diff´erentions la relation : L2 = (x j
2
− x ) i
+ (y j
2
−y ) i
(1.3)
Il vient : 2 L dL = 2 (x j
− x ) (dx − dx ) + 2 (y − y ) (dy − dy ) i
j
i
j
i
j
(1.4)
i
d’o` u l’expression de l’allongement unitaire suivant n : dL 1 εn = = L L
(
x j
soit :
− x ) (dx − dx ) + ( y − y ) (dy − dy ) L L
1
εn =
L
i
j
( nx (u j
j
i
i
j
i
− u ) + n (v − v ) ) i
y
j
(1.5)
(1.6)
i
Cet allongement unitaire est dˆ u `a l’effort normal (loi de Hooke) et `a la variation de temp´erature : N + α ∆T EA
εn =
(1.7)
L’effort normal s’´ecrit en fonction des d´eplacements nodaux : N = E A (εn
− α ∆T ) EA = ( n (u − u ) + n (v − v ) ) − EA α ∆T L x
j
i
y
j
soit : N =
EA L
−
nx
−n
y
nx
ny
(1.8)
i
ui vi u j v j
−
EA α ∆T
(1.9)
5
Treillis plans ` a nœuds articul´es
On en d´eduit :
{f } = [ k ] {u} − {f } nod
avec :
− −
nx ny nx ny
{f } = N nod
[k] =
EA L
− −
nx ny nx ny
−
nx
−n
y
th
,
{ }=
ui vi u j v j
u
n2x
= sym. − − }= ∆
nx
{f
th
nx ny n2y
EA L
ny
E A α
(1.10a)
(1.10b)
2
−n −n n −n n −n x
x
x
y
2
y
y
n2x
nx ny n2y
nx ny nx ny
T
(1.10c)
(1.10d)
{f } est le vecteur force nodal (N). {u} est le vecteur d´eplacement ´el´ementaire (m). nod
[ k ] est la matrice de rigidit´e (N/m).
{f } est le vecteur force ´equivalent au gradient thermique (N). th
Remarque 1 : la matrice de rigidit´e peut se mettre sous la forme :
[k] =
[¯]
k [k¯]
−
−[k¯] avec
EA n2x [k¯] = L nx ny
[k¯]
nx ny n2y
(1.11)
egale `a : Remarque 2 : la matrice de rigidit´e est ´
[k
]= 0
nx ny
0 0
0
nx ny
1 −1 −1 1 0 EA L
nx
ny
0
0
0
nx
ny
(1.12)
(1.13)
ou :
[k
]= 0
nx ny
0
nx
0 0
0 0
0 0
nx ny
−n
−n
y
y
nx
EA L
1 0 −1
0 0 0 0
0
−1 0 1 0
− 0
0 0 0 0
nx ny
ny nx
0 0
0 0
0
0 0
nx ny
ny nx
−
a (` a un coefficient pr`es ind´ependant des d´eplacements Remarque 3 : l’´energie de d´eformation est ´egale ` et de leurs d´eriv´ees) : 1 EA ε2n L EA εn α ∆T L 2 1 = u T[k] u u T f th 2
E def =
{}
− { }−{ } { }
(1.14)
Le travail des forces ext´erieures se r´eduit au travail des forces nodales : W ext = u
T
{ } {f } nod
(1.15)
6
M´ ethode des ´ el´ ements finis
L’´energie potentielle est ´egale `a : E pot = E def
− W
ext
(1.16)
La matrice de rigidit´e est la matrice hessienne (ou matrice de Hess) de l’´energie de d´eformation par rapport aux d´eplacements nodaux (programme tre mat) : kij =
∂ 2 E def ∂u i ∂u j
(= k ji )
(1.17)
Le vecteur des efforts aux nœuds est le gradient de l’´energie de d´eformation par rapport aux d´eplacements nodaux : f nod,i =
2
∂E def ∂u i
(1.18)
Exemple 1 : treillis soumis ` a une force nodale
2.1
´ Enonc´ e
Le treillis plan `a noeuds articul´es repr´esent´e sur la figure 4 est compos´e de trois poutres de mˆeme nature et de mˆeme section droite. Soient E le module de Young du mat´eriau et A l’aire des sections droites. Le noeud 1 est articul´e et le nœud 3 repose sur un appui simple dont la normale est horizontale. Le noeud 2 porte une charge de composantes (0 , P ). Application num´ erique : on donne :
A = 100 mm2 , L = 0.2 m , E = 200000 MPa , P =
2.2
Figure 4 – Exemple 1
−10000 N
Partition des degr´ es de libert´ e
Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :
{U
L
}= u2 v2 v3
,
{U
}=
S
u1 v1 u3
d’o` u
{ } }= { } =
{U
U L U S
On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :
{DDL
}=
→ 0 → 0 → 1 → 2 → 0 → 3
u1 v1 u2 v2 u3 v3
u2 v2 v3 u1 v1 u3
7
Treillis plans ` a nœuds articul´es
2.3
´ Etude ´ el´ ementaire
– coordonn´ees nodales :
– ´el´ement 1
nœud 1 2 3
→2:
x
0
y L
L
0
0
−L
√
√ 12 , n
caract´eristiques : L 2 , A , E , nx =
{ddl − 1
– ´el´ement 3
2
→1:
}= 3
→2:
EA
√ 2 2L
1 1 1
1
1
}=
→ 0 → 3 , → 0 → 0 √
u3 v3 u1 v1
[k3−1 ] =
EA 2L
3
2
}=
→ 0 → 3 → 1 → 2
u3 v3 u2 v2
[k3−2 ] =
,
0 0 0
1 1 1
− − 0 1 0 1
0
caract´eristiques : L 2 , A , E , nx =
{ddl − 2.4
[k1−2 ] =
,
1 −1 −1
− − 1 1 1 1
caract´eristiques : 2 L , A , E , nx = 0 , ny = 1
{ddl − – ´el´ement 3
→ 0 → 0 → 1 → 2
u1 v1 u2 v2
− √ 12 −1 −1 =
y
EA
√
2 2L
−
√ 12 , n
y
1 1 −1
−
0 0 0 0 =
1 1 1 1
− −1 −
0 1 0 1
√ 12 −1 −1 −1 −1 1 1
1 1
Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus
Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F nod,L :
{ } {
EA
√
2 2L
2 0
− u 0 −√ v = P
0 1 2 1 1 1+ 2
−1 −
d’o` u (programme exemple 1) : PL = 2 EA
u2 =
−0.050mm v3 =
2.5
}
,
v2 =
PL = EA
2
2
0
v3
√
PL (1 + 2 2) = 2 EA
−0.191mm
−0.100mm
Efforts normaux dans les ´ el´ ements
Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) : N 1−2 =
EA
1
1 v2 2
√ √ 2 u − √
L 2
2
=
−
P
√ 2 2
= 7071 N
−v ) = − P 2 = 5000N 1 1 P √ 2 EA N − = √ √ u + √ ( v − v ) = = − 7071N 2 L 2 2 2 N 3−1 =
3
2
EA ( 2L
2
3
2
3
8
M´ ethode des ´ el´ ements finis
2.6
Actions de liaison
Les actions de liaisons sont calcul´ ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : – nœud 1 : 1 = F F 1x =
−N − n − + N − n − 2
1
− √ 12 N − = P 2 = −5000N
,
1
1
2
2
3
1
3
1
d’o` u
√ 12 N − + N − = −P = 10000N
F 1y =
1
2
3
1
– nœud 3 : 3 = F
−N − n − − N − n −
F 3x =
3
1
3
1
3
2
3
2
d’o` u
− √ 12 N − = − P 2 = 5000N 3
2
erifi´e : Remarque : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x + F 2x + F 3x = 0
3 3.1
,
F 1y + F 2y + F 3y = 0
−2 LF − LF
,
1x
2x
+ LF 2y = 0
Exemple 2 : treillis soumis ` a une force nodale ´ Enonc´ e
Le treillis plan repr´esent´e sur la figure 5 est compos´e de trois poutres de mˆeme section. Soient E le module de Young du mat´eriau et A l’aire des sections droites. Le nœud 1 est articul´e et le nœud 2 repose sur un appui simple dont la normale est horizontale. Le nœud 3 porte une charge d’intensit´e ( P, 3 P, 0). Figure 5 – Exemple 2 Application num´ erique : on donne :
A = 100 cm2 , E = 200000 MPa , L = 0.7 m , P =
3.2
−120 kN
Partition des degr´ es de libert´ e
Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :
{U
L
}= v2 u3 v3
,
{U
}=
S
u1 v1 u2
d’o` u
{ } }= { } =
{U
U L U S
v2 u3 v3 u1 v1 u2
9
Treillis plans ` a nœuds articul´es
On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :
{DDL
3.3
}=
→ 0 → 0 → 0 → 1 → 2 → 3
nœud 1 2 3
x
y
0 0
0 L
L
0
´ Etude ´ el´ ementaire
– coordonn´ees nodales :
– ´el´ement 1
→2:
caract´eristiques : L , A , E , nx = 0 , ny = 1
{ddl − 1
– ´el´ement 1
2
→3: 1
– ´el´ement 2
}=
→ 0 → 0 → 0 → 1
u1 v1 u2 v2
[k1−2 ] =
,
EA L
0 0 0
0 1 0 1
0
−
−
0 0 0 0
0 1 0 1
caract´eristiques : L , A , E , nx = 1 , ny = 0
{ddl − →3:
3
}=
→ 0 → 0 , → 2 → 3 √
u1 v1 u3 v3
[k1−3 ] =
EA L
2
3
}=
→ 0 → 1 → 2 → 3
u2 v2 u3 v3
[k2−3 ] =
,
1 0 −1
0 0 0 0
0
caract´eristiques : L 2 , A , E , nx =
{ddl − 3.4
u1 v1 u2 v2 u3 v3
EA
√ 2 2L
−1 0 1 0
0 0 0 0
√ 12 , n = −√ 12 y
1 −1 −1
− −
−1 −1 1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1
− −
Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus
Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F nod,L :
{ } {
1 + 2√ 2 1
EA
√
2 2L
−
d’o` u (programme exemple 2) : v2 = u3 =
4PL EA
=
v 0 − 1 √ −1 u = P
1 1+2 2 1
−1
3 PL
−0.168 mm
EA ,
}
=
2
3
1
v3
−0.126 mm √ (7 + 6 2) P L
v3 =
EA
3 P
=
−0.650 mm
10
M´ ethode des ´ el´ ements finis
3.5
Efforts normaux dans les ´ el´ ements
Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) :
N 2−3 =
3.6
N 1−2 =
EA v2 = 3 P = L
N 1−3 =
EA u3 = 4 P = L
1
−480 kN √ − v ) = −3 2 P = 509 kN
1 √ √ u − √ ( v 2 2 L 2 EA
3
−360 kN
3
2
Actions de liaison
Les actions de liaisons sont calcul´ ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : – nœud 1 :
1 = F
F 1x
−N − n − − N − n − d’o`u = −N − = −4 P = 480 kN , F = −N − = −3 P = 360 kN 1
1
2
1
2
1
3
1
3
1y
3
1
2
– nœud 2 : 2 = N 1−2 n1−2 F F 2x
− N − n − d’o`u 1 = − √ N − = 3 P = −360 kN 2 2
2
3
2
3
3
erifi´e : Remarque : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x + F 2x + F 3x = 0
4 4.1
,
F 1y + F 2y + F 3y = 0
,
LF 3y
− LF
2x
= 0
Exemple 3 : treillis soumis ` a une variation de temp´ erature ´ Enonc´ e
Le treillis plan `a noeuds articul´es repr´esent´e sur la figure 6 est compos´e de trois poutres de mˆeme mat´eriau et de mˆeme section droite.
Figure 6 – Exemple 3 Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du mat´eriau. Soit A l’aire des sections droites.
11
Treillis plans ` a nœuds articul´es
Les nœuds 1, 2 et 4 sont li´es `a l’ext´erieur par une rotule. Premier cas de charge : la structure est soumise `a une variation de temp´erature ∆ T . Deuxi` eme cas de charge : la poutre (2
− 3) est soumise `a une variation de temp´erature ∆T .
Application num´ erique : on donne :
A = 100 mm2 , L = 0.1 m , E = 200000 MPa , α = 10−5 K−1 , ∆T = 100 K
4.2
Partition des degr´ es de libert´ e
Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :
{U } = L
u3 v3
,
{U
}=
S
u1 v1 u2 v2 u4 v4
{ } }= { } =
d’o` u
{U
u3 v3 u1 v1 u2 v2 u4 v4
U L U S
On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :
}=
→ 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 2 → 0 → 0
nœud 1 2 3 4
x
y
0
0 0
{DDL
4.3
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4
´ Etude ´ el´ ementaire
– coordonn´ees nodales :
– ´el´ement 1
→3:
L L 2L
√
L L
caract´eristiques : L 2 , A , E , α , nx =
{ddl − 1
3
}=
– ´el´ement 2
→ 0 → 0 → 1 → 2
u1 v1 u3 v3
→3:
[k1−3] =
EA
√ 2 2L
1 1 −1
√ 12 , n
y
=
−1 −1 −1 −1 {f − 1 1 −1 − 1 1 1 1 1 1
√ 12
th,1−3
caract´eristiques : L , A , E , α , nx = 0 , ny = 1
} = √ 12 EA α ∆T
−1 −1 11
12
M´ ethode des ´ el´ ements finis
{ddl − 2
3
– ´el´ement 3
4.4 4.4.1
→ 0 → 0 → 1 → 2
u2 v2 u3 v3
→4:
{ddl − 3
}=
4
[k2−3] =
EA L
0 0 0
0 1 0 1
0
−
0 0 0 0
−
0 1 0 1
{f
th,2−3
} = E A α ∆T
caract´eristiques : L , A , E , α , nx = 1 , ny = 0
}=
→ 1 → 2 → 0 → 0
u3 v3 u4 v4
[k3−4] =
EA L
1 0 −1
0 0 0 0
0
−1 0 1 0
0 0 0 0
{f
th,3−4
} = E A α ∆T
Premier cas de charge Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus
Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F th,L :
{ } { } 1 + 2√ 2 1 u 1 √ 2 − 2 EA √ 2 v = 2 E A α ∆T √ 2 + 2 √ 1 1 + 2 2 2L 3
3
d’o` u (programme exemple 3) :
√
u3 = ( 2 4.4.2
− 2) L α ∆T = −0.0586 mm
v3 =
,
√
2 L α ∆T = 0.1414 mm
Efforts normaux dans les ´ el´ ements
Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) : N 1−3 =
√ − EA α ∆T = ( 2 − 2) EA α ∆T = −11716N √ EA N − = v − EA α ∆T = ( 2 − 1) EA α ∆T = 8284 N L √ EA N − = (−u ) − EA α ∆T = (1 − 2) EA α ∆T = −8284N L EA
2
4.4.3
1
1 u3 + v3 2 2
√ √ L 2
3
√
3
3
4
3
Actions de liaison
Les actions de liaisons sont calcul´ ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : – nœud 1 :
1 = F F 1x =
0 −1 01
−N − n − 1
3
1
3
d’o` u:
√ − √ 12 N − = ( 2 − 1) EA α ∆T = 8284 N 1
3
– nœud 2 :
2 = F
F 2x = 0
,
F 2y
– nœud 4 :
,
F 1y = F 1x = 8284 N
−N − n − √ d’o`u : = −N − = (1 − 2) EA α ∆T = −8284N 2
2
3
2
3
3
4 = N 3−4 n3−4 d’o` u: F F 4x = N 3−4 = (1
−
√
2) EA α ∆T =
erifi´e : Remarque : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x + F 2x + F 4x = 0
,
−8284 N
F 1y + F 2y + F 4y = 0
,
,
L F 2y
F 4y = 0
− L F
4x
= 0
−1 0 10
13
Treillis plans ` a nœuds articul´es
4.5 4.5.1
Deuxi` eme cas de charge Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus
Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F L : EA
√
2 2L
{ } { }
1 + 2√ 2
1 1+2 2
√
1
u3 v3
= E A α ∆T
0 1
d’o` u (programme exemple 3) : u3 = 4.5.2
1
− √ 2 L α ∆T = −0.0207 mm
v3 =
,
2
3
− √ 2 L α ∆T = 0.0793 mm 2
Efforts normaux dans les ´ el´ ements
Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) : N 1−3 =
1
1 u3 + v3 2 2
EA L
√ 2 √
√
=
1
EA N 2−3 = v3 L
2
− √ 2 EA α ∆T = 5858N 2
− √ 2 EA α ∆T = −4142N
− EA α ∆T = 2 √ 2 − 1 EA N − = EA α ∆T = 4142 N (−u ) = L 2 3
4.5.3
4
3
Actions de liaison
Les actions de liaisons sont calcul´ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : – nœud 1 : 1 = F
F 1x =
√ 1− 2
− √ 12 N − = 1
3
2
– nœud 2 :
−N − n − d’o`u : EA α ∆T = −4142N , 1
2 = F F 2x = 0
,
F 2y
– nœud 4 :
3
1
3
F 1y = F 1x =
−4142N
−N − n − d’o`u : √ 2 − 1 = −N − = EA α ∆T = 4142 N 2 2
2
3
2
3
3
4 = N 3−4 n3−4 d’o` F u:
F 4x = N 3−4 =
√ 2 − 1
EA α ∆T = 4142 N
2 erifi´e : Remarque : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x + F 2x + F 4x = 0
,
F 1y + F 2y + F 4y = 0
,
,
L F 2y
F 4y = 0
− L F
4x
= 0
14
M´ ethode des ´ el´ ements finis
5
Programmes Maple
Les programmes suivant se trouvent dans le fichier treillis.txt. 5.1
tre mat
# calculs e ´l´ ementaires restart:with(linalg): # allongement unitaire eps:=(nx*(uj-ui)+ny*(vj-vi))/L; # e ´nergie de d´ eformation Edef:=EA*eps^2*L/2-eps*EA*alpha*DT*L; # matrice de rigidit´ e k:=hessian(Edef,[ui,vi,uj,vj]); # efforts nodaux fnod:=grad(Edef,[ui,vi,uj,vj]); # remarque k:=jacobian(fnod,[ui,vi,uj,vj]); # vecteur d^ u au gradient thermique fth:=-jacobian(fnod,[DT]);
5.2
exemple 1
restart:with(linalg): # application num´ erique #L:=200;E:=200000;A:=Pi*30^2/4;P:=-10000; # matrice de rigidit´ e KL:=matrix([[2,0,-1],[0,2,-1],[-1,-1,1+sqrt(2)]]): KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L); # vecteur FL FL:=vector([0,P,0]); # calcul des d´ eplacements nodaux UL:=linsolve(KL,FL); #evalf(%);
Treillis plans ` a nœuds articul´es
5.3
exemple 2
restart:with(linalg): # application num´ erique # L:=700;E:=200000;A:=10000;P:=-120e3; # matrice de rigidit´ e KL:=matrix([[1+2*sqrt(2),1,-1],[1,1+2*sqrt(2),-1],[-1,-1,1]]): KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L); # vecteur FL FL:=vector([0,P,3*P]); # calcul des d´ eplacements nodaux UL:=linsolve(KL,FL); #evalf(%);
5.4
exemple 3
restart:with(linalg): # application num´ erique #L:=100;E:=200000;A:=100;alpha:=1e-5;DT:=100; # matrice de rigidit´ e x:=1+2*sqrt(2): KL:=matrix([[x,1],[1,x]]): KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L); # vecteurs F x:=E*A*alpha*DT/2: FLcas1:=vector([(sqrt(2)-2)*x,(sqrt(2)+2)*x]); FLcas2:=vector([0,E*A*alpha*DT]); # calcul des d´ eplacements nodaux ULcas1:=linsolve(KL,FLcas1); ULcas2:=linsolve(KL,FLcas2); # map(evalf,ULcas1); # map(evalf,ULcas2);
15
16
M´ ethode des ´ el´ ements finis
R´ ef´ erences [1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek – Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik , Vieweg, 1986. [2] J.-L. Batoz et G. Dhatt – Mod´ elisation des structures par ´el´ements finis, Volume 1. Solides es, 1990. ´ elastiques , Herm` [3] — , Mod´ elisation des structures par ´ el´ements finis, Volume 2. Poutres et plaques , Herm`es, 1990. [4] A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre et C. Laberge – R´esistance des ´ ´ de l’Ecole Polytechnique de Montr´eal, 2002. mat´eriaux , 3 ´ed., Editions [5] L. Chevalier – M´ ecanique des syst` emes et des milieux d´ eformables. Cours, exercices et probl`emes corrig´ es , Ellipses, 2004. [6] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefran¸ es, 2005. cois – M´ ethode des ´ el´ ements finis , Herm` [7] F. Frey – Trait´ e du g´ enie civil, Volume 1. Analyse des structures et milieux continus. Statique appliqu´ee , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998. [8] — , Trait´ e du g´ enie civil, Volume 2. Analyse des structures et milieux continus. M´ ecanique des structures , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000. [9] F. Frey et J. Jirousek – Trait´e du g´enie civil, Volume 6. M´ethode des ´el´ements finis , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2001. [10] D. Gay et J. Gambelin – Une approche simple du calcul des structures par la m´ ethode des ´ el´ements finis , Herm`es, 1989. [11] — , Dimensionnement des structures. Une introduction , Herm`es, 1999. [12] J.-F. Imbert – Analyse des structures par ´el´ements finis , 3 ´ed., C´epadu`es, 1995. [13] S. Laroze – M´ ecanique des structures, Tome 2. Th´ eorie des poutres , 2 ´ed., Eyrolles/Masson, 1988. [14] A. Portela et A. Charafi – Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach , Springer, 2002. [15] J. S. Przemieniecki – Theory of matrix structural analysis , Dover, 1986. [16] W. Weaver et J. M. Gere – Matrix analysis of framed structures , 3 ´ed., Van Nostrand Reinhold, 1990. [17] C. Wielgoz – Cours et exercices de r´esistance des mat´eriaux : ´elasticit´e, plasticit´e, ´el´ements finis , Ellipses, 1999. [18] W. Wunderlich et W. D. Pilkey – Mechanics of structures. Variational and computational methods , 2 ´ed., CRC PRESS, 2003.
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