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March 23, 2019 | Author: Art Sceno | Category: Truss, Physics, Physique et mathématiques, Mechanical Engineering, Structural Engineering
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M´ ethode des ´ el´ ements nts finis : trei treill llis is plan planss ` a nœud nœudss arti articu cul´ l´ es es Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans D´ eparte epa rtement ment G´ enie eni e M´ ecaniq eca nique ue et Produ Pro ducti ctique que

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 24 mars 2006 – 29 mars 2011

Table des mati` eres Introduction

3

1

Matrices ´ el´ ementaires

3

2

Exemple 1 : treillis soumis ` a une force nodale

6

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3

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4.5

´ Enonc´ e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . ´ Etude ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . . Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ Enonc´ e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . ´ Etude ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Premier cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Assemblage et calcul des d´e placements inconnus 4.4.2 Efforts normaux dans les ´el´e ments . . . . . . . . 4.4.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deuxi`eme cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Assemblage et calcul des d´e placements inconnus 4.5.2 Efforts normaux dans les ´el´e ments . . . . . . . . 4.5.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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tre mat exemple exemple exemple

R´ ef´ erences

. 1 2 3

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8 8 9 9 10 10 10

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Programmes Maple

5.1 5.2 5.3 5.4

6 6 7 7 7 8 8

Exemple 3 : treillis soumis ` a une variation de temp´ erature

4.1 4.2 4.3 4.4

5

. . . . . .

Exemple 2 : treillis soumis ` a une force nodale

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4

´ Enonc´ e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . ´ Etude ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . . Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14

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14 14 15 15 16

3

Treillis plans ` a nœuds articul´es 

Introduction Un  treillis  est un ensemble de poutres droites ( ´ ees entre elles par des rotules ( nœuds). el´ ements) reli´ Les liaisons ext´erieures sont des rotules et des appuis simples. Les charges sont des forces port´ees par les rotules, des gradients thermiques et des d´eplacements d’appui.   La force int´ erieure dans une section droite se r´ eduit ` a l’effort normal . Le treillis est plan si : –   Le plan O ; x, y  est un plan de sym´etrie pour toutes les sections droites. – Les forces appliqu´ees sont situ´ees dans le plan O; x, y .

 {

}

 {

}

On suppose que  les d´ eplacements sont petits.

1

Matrices e ´l´ ementaires

Soit (i

→  j ) un ´el´ement de treillis plan de section droite constante (figure 1).

´  ement  i Figure 1 –  El´

→  j

L  est la longueur de l’´el´ement et A  l’aire de sa section droite.

(xi , yi ) et (x j  , y j ) sont les coordonn´ees des nœuds de l’´el´ement. Le vecteur unitaire  n  port´e par l’axe de la poutre est d´efini par :

  1 nx ny

=

L

 − x  = cos θ  − y sin θ

x j y j

i

i

,

L2 = (x j

2

−x ) i

+ (y j

2

 − y ) i

(1.1)

o`u θ  est l’angle que fait  n  avec l’axe x. eriau. E  et α  sont respectivement le mo dule de Young et le coefficient de dilatation du mat´ L’´el´ement est soumis `a un effort normal  N  (positif : traction, n´egatif : compression) et `a une variation de temp´erature ∆T   constante.

4

M´ ethode des ´ el´ ements finis 

(ui , vi ) et (u j , v j ) sont les d´eplacements nodaux (figure 2).

Figure 2  – D´eplacements ´el´ementaires  Les efforts aux extr´emit´es de l’´el´ement sont (figure 3) : en i

− N n

,

en j

N n

 

(1.2)

Figure 3  – Efforts ´el´ementaires  Diff´erentions la relation : L2 = (x j

2

 − x ) i

+ (y j

2

−y ) i

(1.3)

Il vient : 2 L dL = 2 (x j

− x ) (dx  − dx ) + 2 (y  − y ) (dy  − dy ) i

 j

i

 j

i

 j

(1.4)

i

d’o` u l’expression de l’allongement unitaire suivant  n  : dL 1 εn  = = L L

(

x j

soit :

− x ) (dx − dx ) +  ( y  − y ) (dy − dy ) L L

1

εn  =

L

i

 j

 ( nx (u j

 j

i

i

 j

 

i

 − u ) + n  (v − v ) ) i

y

 j

(1.5)

(1.6)

i

Cet allongement unitaire est dˆ u `a l’effort normal (loi de Hooke) et `a la variation de temp´erature : N   + α ∆T  EA

εn  =

 

(1.7)

L’effort normal s’´ecrit en fonction des d´eplacements nodaux : N  =  E A (εn

− α ∆T ) EA = ( n  (u − u ) + n  (v  − v ) ) − EA α ∆T  L x

 j

i

y

 j

soit : N  =

EA L

−

nx

−n

y

nx

ny

(1.8)

i

  

ui vi u j v j

 − 

EA α ∆T 

 

(1.9)

5

Treillis plans ` a nœuds articul´es 

On en d´eduit :

{f  } = [ k ] {u} − {f  } nod

avec :

− − 

nx ny nx ny

{f  } = N  nod

[k] =

EA L

− − 

nx ny nx ny

  − 

nx

−n

y

th

  

,

  { }= 

ui vi u j v j

u

n2x

  =  sym. −    − }= ∆  

nx

{f 

 

th

nx ny n2y

EA L

ny

 E A α

  

(1.10a)

(1.10b)

2

−n −n n  −n n −n  x

x

x

y

2

y

y

n2x

nx ny n2y

nx ny nx ny



(1.10c)

 (1.10d)

{f  }  est le vecteur force nodal (N). {u}  est le vecteur d´eplacement ´el´ementaire (m). nod

[ k ] est la matrice de rigidit´e (N/m).

{f  }  est le vecteur force ´equivalent au gradient thermique (N). th

Remarque 1  : la matrice de rigidit´e peut se mettre sous la forme :

[k] =

 [¯]

k [k¯]



−[k¯]   avec

EA n2x [k¯] = L nx ny



[k¯]

nx ny n2y



 

(1.11)

egale `a : Remarque 2  : la matrice de rigidit´e est ´

[k

  ]= 0

nx ny

0 0

0

nx ny

    1 −1  −1 1 0 EA L

nx

ny

0

0

0

nx

ny



 

(1.12)

  

(1.13)

ou :

[k

  ]= 0

nx ny

0

nx

0 0

0 0

0 0

nx ny

−n

−n

y

y

nx

  

EA L

1  0 −1

0 0 0 0

0

−1 0 1 0

  −  0

0 0 0 0

nx ny

ny nx

0 0

0 0

0

0 0

nx ny

ny nx



a (` a un coefficient pr`es ind´ependant des d´eplacements Remarque 3  : l’´energie de d´eformation est ´egale ` et de leurs d´eriv´ees) : 1  EA ε2n L EA εn α ∆T L 2 1 = u T[k] u u T f th 2

E def  =

{}

− { }−{ } { }

(1.14)

Le travail des forces ext´erieures se r´eduit au travail des forces nodales : W ext  = u

T

{ } {f  } nod

 

(1.15)

6

M´ ethode des ´ el´ ements finis 

L’´energie potentielle est ´egale `a : E pot  =  E def 

 

− W 

ext

(1.16)

La matrice de rigidit´e est la matrice hessienne (ou matrice de Hess) de l’´energie de d´eformation par rapport aux d´eplacements nodaux (programme  tre mat) : kij =

∂ 2 E def  ∂u i ∂u j

(=  k ji )

(1.17)

Le vecteur des efforts aux nœuds est le gradient de l’´energie de d´eformation par rapport aux d´eplacements nodaux : f nod,i  =

2

∂E def  ∂u i

(1.18)

Exemple 1 : treillis soumis ` a une force nodale

2.1

´ Enonc´ e

Le treillis plan `a noeuds articul´es repr´esent´e sur la figure 4 est compos´e de trois poutres de mˆeme nature et de mˆeme section droite. Soient E   le module de Young du mat´eriau et A   l’aire des sections droites. Le noeud 1 est articul´e et le nœud 3 repose sur un appui simple dont la normale est horizontale. Le noeud 2 porte une charge de composantes (0 , P ). Application num´ erique  : on donne :

A  = 100 mm2 , L  = 0.2 m , E   = 200000 MPa , P  =

2.2

Figure 4  – Exemple  1

−10000 N

Partition des degr´ es de libert´ e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :

{U 

L

  }=  u2 v2 v3

,

{U 

  }= 



u1 v1 u3

d’o` u

 { }  }= { } = 

{U 

U L U S 

On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :

{DDL

  }= 

 → 0   → 0   → 1  → 2   → 0  → 3

u1 v1 u2 v2 u3 v3

u2 v2 v3 u1 v1 u3

   

7

Treillis plans ` a nœuds articul´es 

2.3

´ Etude ´ el´ ementaire

– coordonn´ees nodales :

–   ´el´ement 1

nœud 1 2 3

→2:

x

0

y L

L

0

0

−L

√ 

√ 12 , n

caract´eristiques : L 2  , A , E , nx  =

{ddl − 1

–   ´el´ement 3

2

→1:

  }=  3

→2:

EA

√  2 2L

1 1 1

1

1

  }= 

 → 0   → 3 ,  → 0  → 0 √ 

u3 v3 u1 v1

[k3−1 ] =

EA 2L

3

2

  }= 

 → 0   → 3  → 1  → 2

u3 v3 u2 v2

[k3−2 ] =

,

0 0 0

1 1 1

− − 0 1 0 1

0

caract´eristiques : L 2  , A , E , nx  =

{ddl − 2.4

[k1−2 ] =

,

1 −1 −1

 −  − 1 1 1 1

caract´eristiques : 2 L , A , E , nx  = 0  , ny = 1

{ddl − –   ´el´ement 3

 → 0   → 0  → 1  → 2

u1 v1 u2 v2

− √ 12 −1 −1 =

y

EA

√ 

2 2L



√ 12 , n

y

1  1 −1

 −  

0 0 0 0 =

1 1 1 1

− −1 −

0 1 0 1

√ 12 −1 −1 −1 −1 1 1

1 1

Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F nod,L  :

{ } {

EA

√ 

2 2L

2 0

  −  u  0  −√   v  = P 

0 1 2 1 1 1+ 2

−1 −

d’o` u (programme  exemple 1) : PL = 2 EA

u2  =

−0.050mm v3  =

2.5

}

,

v2  =

PL = EA

2

2

0

v3

√ 

PL (1 + 2 2) = 2 EA

−0.191mm

−0.100mm

Efforts normaux dans les ´ el´ ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) : N 1−2  =

EA

1

1 v2 2

√  √ 2 u − √ 

L 2

2

=





√ 2 2

= 7071 N

−v ) = − P 2   = 5000N 1 1  P  √ 2 EA N  −  = √  √  u  + √  ( v − v ) = =  − 7071N 2 L 2 2 2 N 3−1  =

3

2

EA ( 2L



2

3

2

3



8

M´ ethode des ´ el´ ements finis 

2.6

Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : –  nœud 1 :  1  = F  F 1x  =

−N  −  n −  + N  −  n − 2

1

− √ 12 N  −  = P 2 = −5000N

,

1

1

2

2

3

1

3

1

  d’o` u

√ 12 N  −  + N  −  = −P   = 10000N

F 1y =

1

2

3

1

–  nœud 3 :  3  = F 

−N  −  n − − N  −  n −

F 3x  =

3

1

3

1

3

2

3

2

  d’o` u

− √ 12 N  −  = − P 2   = 5000N 3

2

erifi´e : Remarque  : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x  + F 2x  + F 3x  = 0

3 3.1

,

F 1y  + F 2y  + F 3y = 0

−2 LF  − LF 

,

1x

2x

 + LF 2y  = 0

Exemple 2 : treillis soumis ` a une force nodale ´ Enonc´ e

Le treillis plan repr´esent´e sur la figure 5 est compos´e de trois poutres de mˆeme section. Soient E  le module de Young du mat´eriau et A  l’aire des sections droites. Le nœud 1 est articul´e et le nœud 2 repose sur un appui simple dont la normale est horizontale. Le nœud 3 porte une charge d’intensit´e ( P,  3 P,  0). Figure 5   – Exemple  2 Application num´ erique  : on donne :

A  = 100 cm2 , E   = 200000 MPa , L  = 0.7 m , P  =

3.2

−120 kN

Partition des degr´ es de libert´ e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :

{U 

L

  }=  v2 u3 v3

,

{U 

  }= 



u1 v1 u2

d’o` u

 { }  }= { } = 

{U 

U L U S 

v2 u3 v3 u1 v1 u2

   

9

Treillis plans ` a nœuds articul´es 

On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :

{DDL

3.3

  }= 

 → 0   → 0   → 0  → 1   → 2  → 3

nœud 1 2 3

x

y

0 0

0 L

L

0

´ Etude ´ el´ ementaire

– coordonn´ees nodales :

–   ´el´ement 1

→2:

caract´eristiques :  L , A , E , nx  = 0  , ny = 1

{ddl − 1

–   ´el´ement 1

2

→3: 1

–   ´el´ement 2

  }= 

 → 0   → 0  → 0  → 1

u1 v1 u2 v2

[k1−2 ] =

,

EA L

0 0 0

0 1 0 1

0



 −  

0 0 0 0

0 1 0 1

caract´eristiques :  L , A , E , nx  = 1  , ny = 0

{ddl − →3:

3

  }= 

 → 0   → 0 ,  → 2  → 3 √ 

u1 v1 u3 v3

[k1−3 ] =

EA L

2

3

  }= 

 → 0   → 1  → 2  → 3

u2 v2 u3 v3

[k2−3 ] =

,

1  0 −1

0 0 0 0

0

caract´eristiques : L 2  , A , E , nx  =

{ddl − 3.4

u1 v1 u2 v2 u3 v3

EA

√  2 2L

−1 0 1 0

0 0 0 0

  

√ 12 , n = −√ 12 y

1 −1 −1

 −  −

−1 −1 1 1 1

1

1 1 1 1

1 1 1

− −

Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F nod,L  :

{ } {

1 + 2√ 2  1

EA

√ 

2 2L



d’o` u (programme  exemple 2) : v2  = u3  =

4PL EA

=

v   0   − 1 √  −1 u = P     

1 1+2 2 1

−1

3 PL

−0.168 mm

EA ,

}

=

2

3

1

v3

−0.126 mm √   (7 + 6 2) P L

v3  =

EA

3 P 

=

−0.650 mm

10

M´ ethode des ´ el´ ements finis 

3.5

Efforts normaux dans les ´ el´ ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) :

N 2−3  =

3.6

N 1−2  =

EA v2  = 3 P  = L

N 1−3  =

EA u3  = 4 P  = L

1

−480 kN  √  − v ) = −3 2 P  = 509 kN

1 √  √  u − √  ( v 2 2 L 2 EA

3

−360 kN

3

2

Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : –  nœud 1 :

 1  = F 

F 1x

−N  −  n − − N  −  n −   d’o`u  = −N  −  = −4 P  = 480 kN , F  = −N  −  = −3 P  = 360 kN 1

1

2

1

2

1

3

1

3

1y

3

1

2

–  nœud 2 :  2  =  N 1−2  n1−2 F  F 2x

− N  −  n −   d’o`u 1  = − √  N  −  = 3 P  = −360 kN 2 2

2

3

2

3

3

erifi´e : Remarque  : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x  + F 2x  + F 3x  = 0

4 4.1

,

F 1y  + F 2y  + F 3y = 0

,

LF 3y

− LF 

2x

 = 0

Exemple 3 : treillis soumis ` a une variation de temp´ erature ´ Enonc´ e

Le treillis plan `a noeuds articul´es repr´esent´e sur la figure 6 est compos´e de trois poutres de mˆeme mat´eriau et de mˆeme section droite.

Figure 6  – Exemple  3 Soient E  et α  respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du mat´eriau. Soit A  l’aire des sections droites.

11

Treillis plans ` a nœuds articul´es 

Les nœuds 1, 2 et 4 sont li´es `a l’ext´erieur par une rotule. Premier cas de charge  : la structure est soumise `a une variation de temp´erature ∆ T . Deuxi` eme cas de charge  : la poutre (2

− 3) est soumise `a une variation de temp´erature ∆T .

Application num´ erique  : on donne :

A  = 100 mm2 , L  = 0.1 m , E   = 200000 MPa , α  = 10−5 K−1 , ∆T  = 100 K

4.2

Partition des degr´ es de libert´ e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :

{U  } = L

  u3 v3

,

{U 

  }= 



u1 v1 u2 v2 u4 v4

   

  { }  }= { } =  

d’o` u

{U 

u3 v3 u1 v1 u2 v2 u4 v4

U L U S 

On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :

   }=  

 → 0   → 0   → 0   → 0  → 1   → 2  → 0  → 0

nœud 1 2 3 4

x

y

0

0 0

{DDL

4.3

    

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4

´ Etude ´ el´ ementaire

– coordonn´ees nodales :

–   ´el´ement 1

→3:

L L 2L

√ 

L L

caract´eristiques : L 2   , A , E , α , nx  =

{ddl − 1

3

  }= 

–   ´el´ement 2

 → 0   → 0  → 1  → 2

u1 v1 u3 v3

→3:

[k1−3] =

EA

√  2 2L

1  1 −1

√ 12 , n

y

=

−1 −1 −1 −1 {f  − 1 1 −1 − 1 1 1 1 1 1

√ 12

th,1−3

caract´eristiques :  L , A , E , α , nx  = 0  , ny = 1

} = √ 12 EA α ∆T 

−1 −1  11 

12

M´ ethode des ´ el´ ements finis 

{ddl − 2

3

–   ´el´ement 3

4.4 4.4.1

 → 0   → 0  → 1  → 2

u2 v2 u3 v3

→4:

{ddl − 3

  }= 

4

[k2−3] =

EA L

0 0 0

0 1 0 1

0

 −  

0 0 0 0



0 1 0 1

{f 

th,2−3

} = E A α ∆T 

caract´eristiques :  L , A , E , α , nx  = 1  , ny = 0

  }= 

 → 1   → 2  → 0  → 0

u3 v3 u4 v4

[k3−4] =

EA L

1  0 −1

0 0 0 0

0

−1 0 1 0

0 0 0 0

  

{f 

th,3−4

} = E A α ∆T 

Premier cas de charge Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F th,L  :

{ } { } 1 + 2√ 2 1 u  1 √ 2 − 2 EA √ 2 v = 2 E A α ∆T  √ 2 + 2 √  1 1 + 2 2 2L 3

3

d’o` u (programme  exemple 3) :

√ 

u3  = ( 2 4.4.2

− 2) L α ∆T  = −0.0586 mm

v3  =

,

√ 

2 L α ∆T  = 0.1414 mm

Efforts normaux dans les ´ el´ ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) : N 1−3  =

√  − EA α ∆T  = ( 2 − 2) EA α ∆T  = −11716N √  EA N  −  = v − EA α ∆T  = ( 2 − 1) EA α ∆T  = 8284 N L √  EA N  −  = (−u ) − EA α ∆T  = (1 − 2) EA α ∆T  = −8284N L EA

2

4.4.3

1

1 u3  + v3 2 2

√  √  L 2

3

√ 

3



3

4

3

Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : –  nœud 1 :

 1  = F  F 1x  =

 0  −1  01 

−N  −  n − 1

3

1

3

  d’o` u:

√  − √ 12 N  −  = ( 2 − 1) EA α ∆T  = 8284 N 1

3

–  nœud 2 :

 2  = F 

F 2x  = 0

,

F 2y

–  nœud 4 :

,

F 1y =  F 1x  = 8284 N

−N  −  n − √   d’o`u :  = −N  −  = (1 − 2) EA α ∆T  = −8284N 2

2

3

2

3

3

 4  =  N 3−4  n3−4   d’o` u: F  F 4x  =  N 3−4  = (1



√ 

2) EA α ∆T  =

erifi´e : Remarque  : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x  + F 2x  + F 4x  = 0

,

−8284 N

F 1y  + F 2y  + F 4y = 0

,

,

L F 2y

F 4y = 0

− L F 

4x

 = 0

−1 0  10 

13

Treillis plans ` a nœuds articul´es 

4.5 4.5.1

Deuxi` eme cas de charge Assemblage et calcul des d´ eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [ K LL ] U L = F L  : EA

√ 

2 2L

{ } { }

1 + 2√ 2

 

1 1+2 2

√ 

1

u3 v3

=  E A α ∆T 

0 1

d’o` u (programme  exemple 3) : u3  = 4.5.2

1

− √ 2 L α ∆T  = −0.0207 mm

v3  =

,

2

3

− √ 2 L α ∆T  = 0.0793 mm 2

Efforts normaux dans les ´ el´ ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) : N 1−3  =

1

1 u3  + v3 2 2

EA L

√ 2 √ 

√ 



=

1

EA N 2−3  = v3 L

2

− √ 2 EA α ∆T  = 5858N 2

− √ 2 EA α ∆T  = −4142N

− EA α ∆T  = 2 √ 2 − 1 EA N  −  = EA α ∆T  = 4142 N (−u  ) = L 2 3

4.5.3

4

3

Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) : –  nœud 1 :  1  = F 

F 1x  =

√  1− 2

− √ 12 N  −  = 1

3

2

–  nœud 2 :

−N  −  n −   d’o`u : EA α ∆T  = −4142N , 1

 2  = F  F 2x  = 0

,

F 2y

–  nœud 4 :

3

1

3

F 1y =  F 1x  =

−4142N

−N  −  n −   d’o`u : √ 2 − 1 = −N  −  = EA α ∆T  = 4142 N 2 2

2

3

2

3

3

 4  =  N 3−4  n3−4   d’o` F  u:

F 4x  =  N 3−4  =

√ 2 − 1

EA α ∆T  = 4142 N

2 erifi´e : Remarque  : l’´equilibre de la structure est v´ F 1x  + F 2x + F 4x  = 0

,

F 1y  + F 2y  + F 4y  = 0

,

,

L F 2y

F 4y  = 0

− L F 

4x

 = 0

14

M´ ethode des ´ el´ ements finis 

5

Programmes Maple

Les programmes suivant se trouvent dans le fichier  treillis.txt. 5.1

tre mat

# calculs e ´l´ ementaires restart:with(linalg): # allongement unitaire eps:=(nx*(uj-ui)+ny*(vj-vi))/L; # e ´nergie de d´ eformation Edef:=EA*eps^2*L/2-eps*EA*alpha*DT*L; # matrice de rigidit´ e k:=hessian(Edef,[ui,vi,uj,vj]); # efforts nodaux fnod:=grad(Edef,[ui,vi,uj,vj]); # remarque k:=jacobian(fnod,[ui,vi,uj,vj]); # vecteur d^ u au gradient thermique fth:=-jacobian(fnod,[DT]);

5.2

exemple 1

restart:with(linalg): # application num´ erique #L:=200;E:=200000;A:=Pi*30^2/4;P:=-10000; # matrice de rigidit´ e KL:=matrix([[2,0,-1],[0,2,-1],[-1,-1,1+sqrt(2)]]): KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L); # vecteur FL FL:=vector([0,P,0]); # calcul des d´ eplacements nodaux UL:=linsolve(KL,FL); #evalf(%);

Treillis plans ` a nœuds articul´es 

5.3

exemple 2

restart:with(linalg): # application num´ erique # L:=700;E:=200000;A:=10000;P:=-120e3; # matrice de rigidit´ e KL:=matrix([[1+2*sqrt(2),1,-1],[1,1+2*sqrt(2),-1],[-1,-1,1]]): KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L); # vecteur FL FL:=vector([0,P,3*P]); # calcul des d´ eplacements nodaux UL:=linsolve(KL,FL); #evalf(%);

5.4

exemple 3

restart:with(linalg): # application num´ erique #L:=100;E:=200000;A:=100;alpha:=1e-5;DT:=100; # matrice de rigidit´ e x:=1+2*sqrt(2): KL:=matrix([[x,1],[1,x]]): KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L); # vecteurs F x:=E*A*alpha*DT/2: FLcas1:=vector([(sqrt(2)-2)*x,(sqrt(2)+2)*x]); FLcas2:=vector([0,E*A*alpha*DT]); # calcul des d´ eplacements nodaux ULcas1:=linsolve(KL,FLcas1); ULcas2:=linsolve(KL,FLcas2); # map(evalf,ULcas1); # map(evalf,ULcas2);

15

16

M´ ethode des ´ el´ ements finis 

R´ ef´ erences [1]   J. H. Argyris et  H.-P. Mlejnek –  Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik , Vieweg, 1986. [2]   J.-L. Batoz et   G. Dhatt –   Mod´ elisation des structures par ´el´ements finis, Volume 1. Solides  es, 1990. ´ elastiques , Herm` [3] — ,   Mod´ elisation des structures par ´ el´ements finis, Volume 2. Poutres et plaques , Herm`es, 1990. [4]   A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre et   C. Laberge –   R´esistance des  ´ ´ de l’Ecole Polytechnique de Montr´eal, 2002. mat´eriaux , 3 ´ed., Editions [5]   L. Chevalier –   M´ ecanique des syst` emes et des milieux d´ eformables. Cours, exercices et probl`emes corrig´ es , Ellipses, 2004. [6]   G. Dhatt, G. Touzot et   E. Lefran¸ es, 2005. cois  –  M´ ethode des ´ el´ ements finis , Herm` [7]   F. Frey  –   Trait´ e du g´ enie civil, Volume 1. Analyse des structures et milieux continus. Statique  appliqu´ee , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998. [8] — ,  Trait´ e du g´ enie civil, Volume 2. Analyse des structures et milieux continus. M´ ecanique des  structures , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000. [9]   F. Frey et   J. Jirousek  –   Trait´e du g´enie civil, Volume 6. M´ethode des ´el´ements finis , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2001. [10]   D. Gay et   J. Gambelin –   Une approche simple du calcul des structures par la m´ ethode des  ´ el´ements finis , Herm`es, 1989. [11] — ,  Dimensionnement des structures. Une introduction , Herm`es, 1999. [12]   J.-F. Imbert  –  Analyse des structures par ´el´ements finis , 3 ´ed., C´epadu`es, 1995. [13]   S. Laroze –  M´ ecanique des structures, Tome 2. Th´ eorie des poutres , 2 ´ed., Eyrolles/Masson, 1988. [14]  A. Portela  et  A. Charafi –  Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach , Springer, 2002. [15]   J. S. Przemieniecki  –  Theory of matrix structural analysis , Dover, 1986. [16]   W. Weaver et  J. M. Gere  –  Matrix analysis of framed structures , 3 ´ed., Van Nostrand Reinhold, 1990. [17]   C. Wielgoz –   Cours et exercices de r´esistance des mat´eriaux : ´elasticit´e, plasticit´e, ´el´ements   finis , Ellipses, 1999. [18]   W. Wunderlich et   W. D. Pilkey –  Mechanics of structures. Variational and computational  methods , 2 ´ed., CRC PRESS, 2003.

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