Trayectorias Ortogonales Definición

TRAYECTORIAS ORTOGONALES DEFINICIÓN: Trayector Trayectoria ia es una línea descrita en el espacio por un cuerpo en movimiento movimiento que puede ser una línea recta o curva y ortogonal se dice del ángulo de 90° que forman las líneas de la trayectoria trayectoria respecto a un plano es decir son perpendiculares. Ejemplo: una malla metálica, las líneas de una oja cuadriculada, cuadriculada, las líneas meridianas y paralelas del glo!o terráqueo, etc. "e a!la de proyección ortogonal, por otra parte, para nom!rar al resultado de di!ujar la totalidad de las rectas proyectantes perpendiculares so!re un cierto plano. #l reali$ reali$ar ar esta esta proyec proyecci% ci%n, n, se esta!l esta!lece ece un víncu vínculo lo entre entre los puntos puntos del compon componente ente proyectante y los puntos del elemento proyectado. Entonces anali$aremos su aplicaci%n en las las ecuaciones diferenciales. "i tenemos una grupo de curvas o la llamaremos familia de curvas y queremos allar la familia o grupo de curvas de tal forma que cada línea o miem!ro de las familias de curvas se intersecten con las otras formando un ángulo de 90°. "i e&is e&iste te esa esa nuev nueva a fami famililia a de curv curvas as ento entonc nces es se podr podría ía deci decirr que que son son mutuamente ortogonales o tam!i'n que la nueva familia de curvas es el conjunto de curvas ortogonales de la primera.

La solución general de una ecuación diferencial de primer orden generalmente contiene una constante arbitraria o constante de integración que se le llama parámetro. Cuando a esta constante o parámetro se le asigna diferentes valores obtenemos una familia uniparamétrica de curvas cada una de estas curvas es solución de la ecuación diferencial y todas juntas constituyen la solución general. Diríamos que una familia de curvas queda expresada matemáticamente mediante ! " #$ %$ C & ' ( )ue representa una curva en el plano xy$ si para c variable representa una familia de curvas entonces la totalidad de estas curvas se le llama familia de curvas con un parámetro* Donde a C se le llama parámetro de la familia. Dada una familia de curvas se anali+ara como encontrar una ecuación diferencial. De la familia de curvas que por lo general es derivado la ecuación tantas veces como ,aya constantes que despejar. -jemplo

(etermine una ecuaci%n diferencial cuya soluci%n general sea la familia de curvas.

Ejemplo

DETERMINACION DE TRAYECTORIAS ORTOGONALES:

(ada una familia de curvas de la forma f)&, y, c*+ 0 se encuentra su ecuaci%n diferencial de la forma: y+ f)&, y*, "e encuentra las trayectorias ortogonales resolviendo su ecuaci%n diferencial:

−1 y + f  ( x , y ) ! "e sa!e que una curva dada que pasa por un punto:  P ( x , y ) , tienen en - la pendiente :

f  ( x , y ) , la pendiente de la trayectoria ortogonal que pasa por 

 - de!erá ser en ese punto recíproca y negativa de

f  ( x , y ) , es decir: :

−1 f  ( x , y ) !

-ues esta es la condici%n para que dos curvas en - sean

perpendiculares. n vector (! "# es ortogonal en (!

−1  P

#

APLICACIÓN DE TRAYECTORIAS ORTOGONALES EN LOS CAMPOS ESCALAR Y VECTORIAL Se denomina campo a toda magnitd !"#ica c$o %alo& depende de n pnto en el plano o en el e#pacio $ del in#tante 'e #e con#ide&e( Si la magnitd de)nida a#" en n pnto del e#pacio e# e#cala&* el campo e# e#cala&+ #i !e&a %ecto&ial #e&"a n campo %ecto&ial( Po& ejemplo #e toma la tempe&at&a en di!e&ente# pnto# de n adito&io con ai&e acondicionado* la tempe&at&a tomada jnto a la #alida del ai&e #e&, di!e&ente a la tempe&at&a tomada en n pnto alejado del mi#mo* o a ot&a tomada en la pe&ta del local( El local #e&"a n campo e#cala& de tempe&at&a( CAMPO ESCALAR.n ejemplo de campo e#cala& e# el de alt&a# en n plano topog&,)co* cando o/#e&%amo# e#o# plano# ap&eciamo# la# c&%a# de ni%el o lga&e# geom0t&ico# en lo# 'e la alt&a e# la mi#ma( La# c&%a# de ni%el* o lga&e# geom0t&ico# en lo# 'e la magnitd &ep&e#entada e# la mi#ma* #e denomina con ca&,cte& gene&al l"nea# i#1timica#* en lo# campo# llamado# con#e&%ati%o# de denominan l"nea# de potencia(

La magnitd 'e mide la m,2ima %a&iaci1n de na !nci1n e#cala& con#ide&ada con na %a&iaci1n de la po#ici1n de denomina g&adiente( Siendo # #entido 3acia lo# %alo&e# c&eciente# de la magnitd e#cala& 'e #!&e la %a&iaci1n( En el ca#o de n campo e#cala& de alt&a# el g&adiente no# indica&"a la l"nea de m,2ima pendiente* dato 'e no# pe&mite conoce& po& donde di#c&&i&"a el aga de la# ll%ia# en na monta4a o po& donde #e de/e&"a tende& na l"nea de ten#i1n el0ct&ica con mejo& e)cacia( CAMPOS VECTORIALESLo# campo# m,# e#tdiado# #on lo# campo# %ecto&iale# pe#to 'e %i%imo# inte&accionando con ello#( Lo# campo# 'e ma&can la# inte&accione# 'e oc&&en en la nat&ale5a #on campo# de !e&5a# ent&e lo# 'e tenemo#• •

Campo g&a%itato&io(6 c&eado po& la inte&acci1n ent&e ma#a# Campo elect&omagn0tico (6 c&eado po& la inte&acci1n ent&e ca&ga# 7el0ct&ico #i la# ca&ga# e#t,n en &epo#o $ magn0tico #i e#t,n en mo%imiento8

.n a#pecto impo&tante de lo# campo# elect&o#t,tico# e# 'e en la &egi1n ent&e lo# elect&odo# tend&emo# conjnto# de pnto# geom0t&ico# 'e p&e#entan el mi#mo %alo& del potencial( A e#a# #pe&)cie# 'e cmplen e#e &e'e&imiento #e le# llama #pe&)cie# e'ipotenciale#* $ la pe&pendicla& a e#a #pe&)cie mo#t&a&, la di&ecci1n del campo el0ct&ico* de ace&do con lo# a&gmento# mencionado# ante&io&mente( En e#to# campo# la# !e&5a# #&gen #in #opo&te mate&ial $ tienen n alcance in)nito( La #pe&)cie de n mate&ial condcto& e# #iemp&e na #pe&)cie e'ipotencial( .na l,mina condcto&a pede #e& ca&gada negati%a o po#iti%amente #eg9n la conectemo# al /o&ne po#iti%o o negati%o de na !ente de pode&* $ a#" el condcto& #e con%ie&te en n elect&odo $ en ne#t&o o/jeto ca&gado 'e gene&a n campo el0ct&ico al&ededo& de 0l(

/1/2"31E".  2as trayectorias ortogonales, a simple vista parecen un pro!lema e&clusivamente geom'trico, sin em!argo en aplicaciones más específicas, vemos que las familias ortogonales tienen interpretaciones propias del campo al que se les aya aplicado.  2as aplicaciones más importantes de las trayectorias ortogonales están en la física en su utili$aci%n para apro&imar mapas de campo el'ctrico, magn'tico, o de temperatura.

 Esta aplicaci%n de las ecuaciones diferenciales nos permite visuali$ar el concepto de líneas de fuer$a, situaci%n que no e&iste en la realidad, sin em!argo es posi!le de imaginar al aplicar las trayectorias ortogonales.

4342356#78#: ttp:.slidesare.netcemepntrayectorias;ortogonales. ttp:pre$i.comy&!o$mruniversidad tecnol%gica de -ereira? aplicaci%n de las ecuaciones diferenciales de primer orden >trayectorias ortogonales.  impgeometricostop pdf aplicaciones de primer orden trayectorias ortogonales.     