Tratamiento Estadistico de Datos Experimentales

TRATAMIENTO ESTADISTICO DE DATOS EXPERIMENTALES 1. Teoría eoría de de Error Errores es 1.1.

Defnición de Error  

Cualquie Cualquierr medic medición ión lleva asociado asociado consigo consigo un error, error, es decir decir no existe existe manera de medir el valor real o verdadero de nada, por lo tanto se puede deci decirr que que el error experimental  es la cuantifcación de la incertidumbre realizada en una medición. Entonces un valor verdadero vendría a ser el mejor valor obtenido por una persona experimentada y que usa un procedimiento bien comprobado. 1.2.

Precisión y Exactitud

Debido Debido a la existencia existencia del error error experime experimental ntal en un anlisis anlisis químico químico lo mejor mejor que se puede !acer !acer es la repetición repetición de un tipo tipo de medida medida varias veces. "plicando cuidadosamente cuidadosamente esta t#cnica que la experiencia experiencia nos dice que es confable, se puede conocer la  precisión de  de la medida que vendr a ser la cuantifcación cuantifcación de la reproducibilidad reproducibilidad de un resultado$ resultado$ si los valores concuerdan muc!o entre sí, se dice que la medida es precisa. "l medir la misma cantidad por di%erentes m#todos se gana gana confanza de lo cerca que se est del valor verdadero, verdadero, si los resultados resultados concuerdan entre entre sí, sin sin embargo embargo no es una prueba prueba defnitiv defnitiva a de que que los result resultados ados sean sean exactos. &a exactitud es entonces una una medida de la proximidad proximidad del valor medido al valor verdadero o conocido. 'na medida puede puede ser reproducible reproducible pero errónea, en este caso, la precisión precisión es buena, pero la exactitud es mala. (ambi#n (ambi#n se puede tener medidas poco reproducibles reproducibles pero en torno al valor correcto, siendo la exactitud exactitud buena pero la precisión mala. &o ideal es que el procedimiento sea preciso y exac exacto to a la vez, vez, por por tant tanto o es casi casi impo imposi sibl ble e que que exis exista ta exac exacti titu tud d sin sin preci precisió sión, n, pero pero siempr siempre e existe existe la posibi posibilid lidad ad de que que !aya !aya preci precisió sión n sin exactitud. 1.3. 1.3.

Tra rata tami mien ento to de da dato tos s en seri series es con con poco pocos s valo valore res s

1.3.1.

Intervalo de Confanza

El intervalo intervalo de confanza confanza es una expresión expresión que indica indica que es probable probable que la verdadera media, ), est# a una cierta distancia de la media medida . Ejemplo: *i el intervalo de confanza es del +-, para un nmero infnito

de experimentos se esperaría que el +- de los intervalos de confanza incluyan la media poblacional. 1.3.1.1. 1.3.1.1. !todo !todo de t"#tudent  t"#tudent 

El estadístico t de *tudent es usado para expresar intervalos de confanza y para comparar los resultados de di%erentes experiencias, e%ectuar predicciones estadísticas de series de mediciones que contengan pocos valores. *e defne/ Intervalo de Confanza:

Donde/

0 valor medio para la serie fnita )0 valor medio que se espera cuando se !a llevado la serie a un nmero infnito de mediciones s0 desviación estndar de la serie fnita n0 nmero de mediciones de la serie fnita  (abla 1/ 2"&34E* DE ( DE *('DE5(

6ay que tener en cuenta que los 7grados de libertad8 estn re%eridos a 9n:1;. &os valores de t, intentan compensar el !ec!o de que y) di%ieren y que s solo es una aproximación del valor de < 9desviación estndar de la población;. &os limites de confanza y la prueba t presuponen que los datos siguen una distribución gaussiana Ejemplo: *e determina el contenido en !idratos de carbono de una

glucoproteina/ 1=.>, 11.+, 1?., 1=.@ y 1=.A g de !idratos por 1 g de proteína. 6allar el intervalo de confanza del +-. Solución / De las A medidas se calcula 01=.AB y s 0.B De la tabla 1 el valor de t para intervalos de confanza de +- con B grados de libertad es =.1?= El intervalo de confanza del +- es/

" medida que aumenta el nivel de confanza, el tamao del intervalo debe aumentar tambi#n y con%orme aumenta el nmero de mediciones la magnitud del intervalo disminuye 9 se acerca a ); 1.3.1.2. !todo Cn

ara determinar un intervalo de con%ianza para ) tambi#n se puede emplear el rango 4, cuya expresión es/ Donde/ 40 4ango, es la di%erencia entre el valor mayor y menor de una serie Cn0 ultiplicador del rango *i los valores de las mediciones no incluyen un valor exageradamente alto o bajo, el intervalo de confanza calculado con este m#todo estar de acuerdo con el obtenido a partir de la t de *tudent, si se emplea el mismo nivel de confanza.  (abla=/ 2alores de Cn

1.3.2.

Prue$as de #i%nifcancia

*e utiliza un test t   para comparar un conjunto de medidas con otro, y decidir si son o no di%erentes. *e fja una probabilidad arbitraria de +Apara concluir si las medias de los = conjuntos son di%erentes, y aunque no es posible decidir estadísticamente cual media es la ms correcta, es posible saber si la di%erencia es o no signifcativa y buscar así la %uente del error que !aya originado la di%erencia. Existen ? casos/ Caso 1& Comparación de un resultado medido con un valor  'conocido(

*i t calculada F t tabulada a un nivel de confanza del +A- se considera que los dos resultados son di%erentes.

Ejemplo: *e compró un carbón que contenía ?.1+- p de azu%re, se

quería ensayar un nuevo m#todo analítico y los nuevos valores medidos %ueron ?.=+, ?.==, ?.?, ?.=?- p de azu%re, arrojando 0 ?.=>  y s0 .B1 Gconcuerda este resultado con el valor conocidoH

De la tabla 1 para ? grados de libertad y un nivel de confanza del +A- t tabulada0 ?.1I=, se puede concluir que el resultado obtenido es di%erente del valor conocido. Caso 2& Comparación de medidas replicadas

En este caso tenemos = conjuntos de medidas, cada una con su propia incertidumbre. *ean 1 y =  las = medias consideradas, s 1 y s= las desviaciones normales asociadas y n1 y n=  el nmero respectivo de mediciones realizado en cada serie. *e supone que < de cada m#todo es prcticamente el mismo. donde

&a t tabulada se calcula para 9

; grados de libertad. *i t

F t tabulada 9+A-;, la di%erencia es signifcativa. Ejemplo: &a masa del gas 5 = obtenido a partir del aire es calculada

1

0=.?111 g

con s10 .1B?  9para n10 @ medidas;. &a masa del gas 5 =  obtenido químicamente es =0 =.=++B@ g, con s =0 .1?I 9n=0 I medidas;.

 0 .1= 0 =.= ara 1? grados de libertad t es signifcativa.

tabulada

est entre =.==I y =.1?1, la di%erencia

*i la < no es la misma para los = conjuntos de medidas

El m#todo para determinar si la di%erencia entre las desviaciones estndar poblacionales es o no signifcativa, se denomina prueba J. El valor de la relación se determina colocando el mayor valor de las dos s en el numerador. *e consulta el cuadro de valores de J, si este valor es menor que el calculado la di%erencia es signifcativa entre s 1 y s=  (abla ?/ 2alores de J para un nivel de +A- de probabilidad

Caso3& Comparación de pares de medidas

*e trata de = m#todos di%erentes, con los que se !ace una sola medida usando di%erentes muestras. Ejemplo: Consideremos el contenido de colesterol de > conjuntos de plasma sanguíneo !umano medido por = t#cnicas distintas. uestra de plasma #todo 1 #todo = Di%erencia 9di; 1 1.B> 1.B= .B = =.== =.?I :.1> ? =.IB =.>@ .1@ B 1.+@ 1.I .1@ A 1.1? 1.+ .B > =.?A =.=A .1

0 di%erencia media

n0 nmero de pares de datos 0 .1== 0

0 1.=

t tabulada 0 =.A@1 para A grados de libertad, las = t#cnicas no son signifcativamente distintas. 1.).

Clasifcación de Errores

1.).1.

Por su *aturaleza

1.).1.1. +$solutos

5inguna medición se encuentra libre de error absoluto Ko sea de la di%erencia entre el valor determinado y el valor real. Cualquier medición que se realice, sin importar cun cuidadosa sea, estar sujeta a un margen de error absoluto y a una cierta incertidumbre en el valor fnal obtenido, sin tomar en cuenta su relación con el valor real. "sí el valor medido se expresa con un nmero limitado de ci%ras, y la ci%ra fnal, o signifcativa, reLeja la confabilidad de la medición Donde/ xi0un solo valor medido  (0valor real Ei0error absoluto en el valor de x i 1.).1.2. ,elativos

Es conveniente re%erir el error absoluto al valor verdadero, para poder comparar los resultados de las mediciones e%ectuadas, obteni#ndose así el error relativo Er. Ei es, una medida de la exactitud del valor de xi, pero la exactitud puede expresarse como error relativo ms que como error absoluto. 1.).2.

Por su -ri%en

1.).2.1. Crasos

&os errores crasos, espurios o accidentales poseen características bsicas semejantes a los errores sistemticos pero su magnitud es notablemente superior. *on bastante %ciles de detectar y así  eliminar. &a mayoría son personales y se atribuyen a descuidos, inaptitud o mala suerte. 3curren en muy raras ocasiones, y dan lugar a que el resultado difera muc!o dentro de una serie. 1.).2.2. Determinados

 (ambi#n llamados sistemticos, son errores que se reproducen si se repite el experimento exactamente de la misma manera, son originados por un %allo del diseo del experimento o por un %allo el equipo y pueden localizarse y corregirse, aunque puede ser que no sea %cil. uede que este tipo de error sea siempre positivo en algunos tramos, y siempre negativo en otros. 1.).2.2.1. En $alanzas de la$oratorio

*i se usa una balanza mono plato para la determinación de la masa de una sustancia el menor valor a determinar es .1 g mientras que si uso una balanza digital el menor valor es .1 g 9!ay incertidumbre así el instrumento tenga una lectura digital que no Lucta;. &a ltima ci%ra signifcativa 9la del extremo derec!o; en cualquier magnitud medida siempre tiene alguna incertidumbre. &a mínima incertidumbre es M1 en el ltimo digito. Es decir, para los equipos digitales el error instrumental se toma en la ltima ci%ra que aparece en la pantalla. "sí por ejemplo, si en la pantalla aparece 1=.B el error instrumental ser ± .1 y se debe reportar 1=.B ± .1. En los instrumentos de medida analógica, el error instrumental se estima de la siguiente %orma/ Donde " es la apreciación del instrumento y puede determinarse a partir de la di%erencia de las lecturas de dos valores marcados en el instrumento y el nmero de divisiones que existen entre ellos de acuerdo a/

1.).2.2.2. En utensilios volum!tricos

&a tolerancia es la incertidumbre proporcionada por el %abricante del instrumento de medida. &os utensilios y recipientes volum#tricos por la tolerancia de error en su graduación y a%oro se clasifcan en la %orma siguiente/ TOLERACIA TI!O " CLASE #A$ % #&$ 'medición de precisión(

&os utensilios y recipientes de medición de precisión deben cumplir con las tolerancias indicadas de acuerdo a su clase y capacidad nominal segn se indica en la (abla B. TOLERACIA TI!O ) 'medición aproximada(

 (odos los utensilios y recipientes de medición aproximada no deben tener una tolerancia mayor de N A- de la capacidad total nominal.  (abla B/ (3&E4"5CO"* E5 &" C""COD"D DE DO2E4*3* "4(OC'&3* DE &"P34"(34O3 *EQR5 *E"5 C&"*E 7"8 3 C&"*E 7P8

En los equipos volum#tricos, el error cometido en la lectura oscilan entre un ,A- del volumen leído, en equipos de precisión y un 1- en equipos menos precisos. 1.).2.2.3. En instrumentos %raduados sin especifcación de error 

Cuando se lee la escala de cualquier aparato, !ay que estimar  todas las lecturas con una aproximación de la d#cima de distancia entre dos divisiones. or ejemplo, en una bureta de A ml, que est graduada a .1 ml, se debe leer el nivel del líquido !asta .1 ml. Cuando se lee un valor de un sistema de medición, se considera prctico asi*nar un valor estimado dentro de un rango de un quinto de la división ms pequea de la escala involucrada 9incertidumbre en la lectura;. or ejemplo el volumen leído en una bureta, con la división ms pequea de .1 ml, puede aproximarse a M.= ml ms cercano, entonces se !aría una sola lectura de =B.>BM.= ml lo cual implicaría que una nueva lectura proporcionaría valores entre =B.>= y =B.>> ml. 1.).2.3. Indeterminados

*e origina por e%ectos incontrolados, variables en cada medida. *iempre est presente y no puede ser corregido. Ejemplo/ cambios de temperatura, presión y !umedad en el ambiente del laboratorio$ Luctuaciones en la corriente$ que !aya una corriente de aire cerca de la balanza donde se va a pesar. Estos errores a%ectan sobre todo a la precisión. 1.).2.). +leatorios

3bedecen a Luctuaciones típicas de la experimentación. ueden tener di%erente magnitud, aunque en general no muy elevada.

ueden ser aleatoriamente por exceso 9positivas; o por de%ecto 9negativas; es decir, mayores o menores que la media. *e describen de acuerdo a la distribución normal de Qauss. 2. Redondeo 2.1.

Cira si%uiente mayor /ue 0

*i el digito que se va a eliminar en mayor que A, se aumenta en una unidad la ci%ra que queda, de la siguiente manera/ ?,B1=?7 2.2.

 ?,B1=B

BA>,?B8



 BA>,?A

I+,@16



 I+,@=



Cira si%uiente menor /ue 0

*i el digito que se va a eliminar es menor que A, no se !acen cambios en la ci%ra que queda, por ejemplo/ AA,>@2 2.3.

 AA,>@

1>,@@4



 1>,@@

==,?I1



 ==,?I



Cira si%uiente i%ual a 0

2.3.1.

Ciras #u$si%uientes *ulas

*i el digito que se va a eliminar es A, seguido de , se procede a mirar el siguiente digito, entonces si es impar se le aumenta una unidad y si es par no se !acen cambios. or ejemplo/ =?1,15! ?1,@

2.3.2.

 =?1,=



B@,?=52

 B@,?=



?1,>51



Ciras #u$si%uientes no *ulas

*i el digito que se va a eliminar es A, seguido de un nmero distinto de , el digito que se queda aumenta en una unidad. or ejemplo/ 1,=B

AB,@=58

 AB,@?



!. C"#ras s"$n"%&a'"(as 3.1.

Concepto

++,@>54

 ++,@@



1,=?57



*e considera que las ci%ras signifcativas de un nmero son aquellas que tienen el signifcado real o aportan alguna in%ormación. &as ci%ras no signifcativas aparecen como resultado de los clculos y no tienen signifcado alguno. &as ci%ras signifcativas de un nmero vienen determinadas por su error. *on ci%ras signifcativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error, adems son el nmero mínimo de dígitos que nos permiten tener la idea del valor real de una medición con la mayor exactitud posible. 3.2.

Ciras #i%nifcativas en una medición

*upóngase que se desea medir la longitud del objeto que se muestra en la fgura 1 utilizando dos reglas " y P. &a lectura en la regla 9"; indica que el objeto mide B.>A cm donde la ltima ci%ra no es segura, es incierta o dudosa. *in embargo, la lectura segn 9P; sólo permite expresar la longitud como B.@ cm y la ltima ci%ra es tambi#n dudosa. 5ótese que en el primer caso la longitud se puede reportar con un mximo de tres ci%ras signifcativas mientras que en el segundo caso con nicamente dos ci%ras signifcativas.

Figura 10.  Medidas experimentales

De modo que los resultados obtenidos directamente de una medición estn sujetos a incertidum+re 9margen de duda;, debido a que la escala de medición tiene un límite determinado por su sensibilidad. *e denominan ci%ras signifcativas del resultado de una medición, a las ci%ras exactamente conocidas ms la ci%ra incierta. El resultado de la medición anterior se debe reportar como B.@A M .1 cm o B.@ M .1 cm dependiendo de la regla utilizada lo cual da a entender que la incertidumbre absoluta est en las cent#simas o en las d#cimas y que su valor es de M 1 unidad en dic!a ci%ra$ en otras palabras, el valor real de la longitud medida debe estar entre B.>B y B.>> en el primer caso o entre B.> y B.@ en el segundo. 3.3.

-peraciones con ciras si%nifcativas

3.3.1.

En sumas y restas

*i los nmeros que se operan tienen igual numero de ci%ras signifcativas, el resultado puede tener mas, igual o menos cantidad de ci%ras signifcativas/ =,?B1 x 1:? N ?,=1> x 1:? A,AA@ x 1:?

@,AB> x 1:? : >,I1> x 1:? ,@? x 1:?

*i los nmeros que se operan tienen di%erente numero de ci%ras signifcativas, el que posee menor numero de ci%ras signifcativas es el que limita la cantidad de ci%ras signifcativas del resultado, si es necesario se !ace uso del las reglas de redondeo. B@?,=1I N @=,B? ABA,>B8  ABA,>A 

3.3.2.

En multiplicación y división

El nmero de ci%ras signifcativas del resultado queda limitado por el numero que posea la menor cantidad de ci%ras signifcativas. A,B>@ . 1 :B x 1.@1 . 1 :A +,?B . 1 :+ 3.3.3.

En potenciación y radicación

El resultado debe tener igual cantidad de ci%ras signifcativas que la base. 9=.++;= 0 I.+B 3.3.).

9?.B1;.A 0 1.IA

En exponenciales y lo%aritmos

El logaritmo en base 1 de n es el numero a, cuyo valor es tal que n 0 1a. &og n 0 a



n0 1a

'n logaritmo consta de la &ara&'erís'"&a y de la )an'"sa. &a característica es la parte entera, y la mantisa es la parte decimal/ &og A@1 0 =,@A>>

Característica 0 = $ antisa 0 ,@A>> or lo tanto el numero de dígitos de la )an'"sa del &ogS 0 numero de ci%ras signifcativas de S/ &og 9!*451 x 1:I; 0 :@,4621 El numero de dígitos del antilogS 0 numero de ci%ras signifcativas en la )an'"sa de S. 1?,214 0 1*64 x 1?

3.3.0.

En ormulas con ciras constantes

&as ci%ras constantes en una operación se toman como si tuvieran la misma cantidad de ci%ras signifcativas del nmero que tenga la mayor cantidad de ci%ras signifcativas dentro de la operación. or ejemplo/ = x =,>B

 =, x =,>B 0 A,=I T x 1,B@



 ?,1B x 1,B@ 0 B,>=



4. Pro+a$a&",n de errores de'er)"nados ).1.

En sumas y restas

El error absoluto de la suma o di%erencia de dos o ms magnitudes es la suma de los errores absolutos de dic!as magnitudes/ δ q

≈

δ  X  + δ Y 

 X  − Y ⇒ δ q

≈

δ  X  + δ Y 

q

=  X  +

q

=

Y

⇒

Ejemplo: En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se

quiere !allar la masa total del líquido. *e conocen/ 10 masa del matraz 1 N contenido 0 AB M1 g m10 masa del matraz 1 0 @= M1 g =0 masa del matraz = N contenido 0 +B M= g m=0 masa del matraz = 0 +@ M 1 g &a masa del líquido ser/  0 1 K m1 N = K m= 0 1?11 g *u error/ U 0 U1 N Um1 N U= N Um= 0 ?= g El resultado se expresara/  0 1?11 M ?= g ).2.

En multiplicación y división

El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos/

q

=  X  * Y  ⇒

δ q

≈

q

δ  X 

 X 

+

δ Y 

Y 

El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos/ q=

 X 

⇒

δ q

Y 

≈

q

δ  X 

+

 X 

δ Y 

Y 

Ejemplo: ara medir la altura de un rbol 7&8, se mide la longitud de su

sombra &1, la altura de un objeto de re%erencia &= y la longitud de su sombra &?. or semejanza/  L  =  L1 *

 L 2  L3

4ealizadas las medidas resultan/ &1 0 = M = cm &= 0 1. M .B cm &? 0 1.? M .= cm or tanto/  L = 200 * 

100 10

= 2000cm

*u error ser/ δ  L

≈

 L

δ  L1

 L1

+

δ  L2

 L 2

+

δ  L3

 L3

2 =

0.4 +

200

0.2 +

100

10.3

δ  L =

0 91 N .B N =;- 0 ?.B& 0 = M @ cm ).3.

3.4 100

* 2000 = 68

En potenciación y radicación

Dato inicial/ S MVx sea/ q 0 Sn El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el error relativo de la magnitud. δ q

q

).).

=

n*

δ  X 

 X 

En exponenciales y lo%aritmos

Dato inicial/ S MVx sea/ q 0 1S El error relativo de un exponencial es el producto del logaritmo natural por el error relativo de la magnitud δ q

q

=  Ln(10 ) *

δ  X 

 X 

Dato inicial/ S MVx sea/ q 0 &ogS El error relativo de un logaritmo el el producto de la inversa del logaritmo natural por el error relativo de la magnitud.

δ q

1 =

q

).0.

 Ln(10)

*

δ  X 

X 

En ormulas con ciras constantes

Dato inicial/ S MUS sea/ q 0 %9x; una %unción cualquiera *i S se mide con un error US y se utiliza para calcular q 0 %9x;, el error absoluto de q viene dado por/ δ q =

∂ F ( x) ∂ X 

* δ  X 

*i en cambio sea/ q 0 "W %9x; El error absoluto del producto de una constante por una %unción es igual al producto de la constante por el error absoluto de la %unción. δ q =  A

/n&",n

*

∂ F ( x) ∂ X 

* δ  X 

Pro+a$a&",n de- error Inde'er)"nado In&er'"d/)0re /n&",n In&er'"d/)0re

5. Des&ar'e de (a-ores d/dosos +ara &a-&/-o de +ro)ed"o

'na base importante para desarrollar una mejor precisión y exactitud para las mediciones, es la que nos sirve como criterio para determinar si una serie de mediciones contiene o no un valor o una serie de valores que se desvíen lo sufciente de los dems valores como para justifcar su rec!azo. Debido a la existencia de varias t#cnicas usadas en el rec!azo de los valores, se debe de tener en consideración la cantidad de estos valores para la aplicación de un criterio de rec!azo que sea proporcional a la cantidad de estos valores en la serie de datos$ siendo ms estricto con%orme aumente el nmero de mediciones 9valores;. " continuación se desarrollara el m#todo para el rec!azo de los resultados en una serie de mediciones comprendidas entre ? y 1 valores. Como primer paso, en el m#todo a desarrollar, se deben de ordenar los valores en %orma creciente y se debe determinar el rango 9el rango es la di%erencia entre el valor ms alto y el valor ms bajo;. &uego se debe !allar la di%erencia entre el valor ms bajo y el valor siguiente, esta di%erencia se divide entre el rango.

*i el cociente excede el valor estipulado, siendo este valor dependiente del numero de valores, se rec!azaría el valor ms bajo. Despu#s de ello se calcula el nuevo rango y se sigue el mismo procedimiento !asta que el valor ms bajo y el valor ms alto sean aceptados. 2alores del cociente de exclusión X a un nivel de probabilidad de .+ N de de'er)"na&"ones

.3

? .+B B .@> A .>B > .A> @ .A1 I .B@ + .BB 1 .B1 Ejemplo ": En el anlisis de un mineral de !ierro que consto de 1 determinaciones, se tienen los siguientes valores porcentuales/ =?.B= =?.A1 =?.A= =?.A= =?.A? =?.A? =?.AB =?.A> =?.A> =?.>I *e procede a determinar los valores rec!azados/ • *e analiza el valor ms bajo 9=?.B=-; 23.51 − 23.42 23.68 − 23.42

•

X.+ para 1 or lo tanto se acepta el valor ms bajo *e analiza el valor ms alto 9=?.>I-; 23.68 − 23.56 23.68 − 23.42

•

= 0.35 < 0.41

= 0.46 > 0.41

X.+ para 1 or lo tanto se rec!aza el valor ms alto *e analiza el valor ms bajo 9=?.B=-; de los valore restantes 23.51 − 23.42 23.56 − 23.42

= 0.64 > 0.44

X.+ para + or lo tanto se rec!aza el valor ms bajo Como el valor ms alto es =?.A>- y este valor se repite, este valor ser aceptado *e analiza el valor ms bajo 9=?.A1-; • 23.52 − 23.51 23.56 − 23.51

= 0.20 < 0.47

X.+ para I or lo tanto se acepta el valor ms bajo • &a serie corregida tiene a!ora I valores que van desde =?.A1- a =?.A>Calculando el promedio/  P  =

23.51 + 2 * 23.52 + 2 * 23.53 + 23.54 + 2 * 23.56 8

= 23.53%

Ejemplo ): *e analizo el contenido de plata en 1 aleaciones de este metal y se

obtuvieron los siguientes resultados/ 1>.1> 1>.=1 1>.=+ 1>.?A 1>.?@ 1>.?@ 1>.?+ 1>.?+ 1>.?+ >.AI

Calculando el promedio sin aplicar el m#todo de rec!azo de una serie de mediciones/  P  =

16.16 + 16.21 + 16.29 + 16.35 + 2 *16.37 + 3 *16.39 + 16.58 10

= 16.35%

6. "0-"o$ra#ía

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