TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LIQUIDAS

MECANICA DE LOS FLUIDOS 5 TRASLACION Y ROT ROTACION ACION DE MASAS LIQUIDAS Ing. Alejandro Mayori

5 TRASLACION TRASLACION Y ROT ROTACION ACION DE MASAS LIQUIDAS 5.1 Introd Introducción ucción - Estu Estudi dio o Flu Fluid idos os some meti tid dos a mo movi vim mie ient ntos os de traslación tra slación o rotación con acelera aceleración ción constante - Fl Flui uid dos est stá án en en equ equililib ibrrio rel ela ativ ivo o - La Lass par partí tícu cula lass de de los los fl flui uido doss no no se se mue muevven - Fl Flui uido doss est está án libr libres es de te tens nsio ione ness cor corta tant ntes es

5.2 Movimiento Horizontal - La superficie libre del fluido adopta forma plano inclinada - La pendiente plano se determina por :

a (aceleracion lineal de recipiente)  tan q =  g (aceleracion de la gravedad) 

Equilibrio en porción de fluido

 F 1  F 2  ma x    Va x   P 1 A  P 2 A 

 

 Ala x   g 

   g 

 P 1  P 2 l 

Ala x



   g 

ax

a x

   P    a x  g   x El signo (-) se debe a que x aumenta en el sentido que P disminuye  Además

 P 1  P 2 l 



 h1   h2 l 

tan q  

 tan q   a x  g 

 

 g 

a x

5.3 Movimiento vertical - La superficie libre del fluido adopta forma plano plano - Presión incrementa o disminuye

a(aceleracion del recipiente)  p = ℎ (1 − g (aceleracion de la gravedad)  +

La ecuación básica de la estática de fluidos expresa que:

 P         g   z 

Para un movimiento con una aceleración az

a z   P     ( g   a z )   (1  )  g   z 

dP    (1 

a z   g 

 P

z 





0

0

)dz   dP     (1 

a z   g 

)dz 

dz aumenta en el sentido que dP disminuye, entonces: +

 P    (1-

az   g 

) z 

EJEMPLO:

Hallar la presión en un líquido contenida en un recipiente que se mueve verticalmente : a) Cuando sube con una aceleración de 4,9 m/s². b) Cuando baja con una aceleración de 4,9 m/s². c) Cuando el depósito cae. d) Cuando el depósito sube con una aceleración igual a la gravedad. e) Cuando el depósito sube con una retardación igual a la gravedad.

Ejemplo: Un recipiente con agua se mueve con igual aceleración horizontal y vertical de 4,90 m/s². Hallar la ec de presiones y la presión en los puntos A, B y C del recipiente. En la dirección x: 4,9  P  a     x  1000kg / m3 ( )  500kg / m3 9,8  x  g 

En la dirección y: a 4,9  P  )  1500kg / m3   (1  y )  1000kg / m3 (1   g  9,8  y

dP  

 P   P  dx  dy  x  y

  dx  1500dy  dP  500

Para un punto en la superficie libre del fluido: dP   0 

Como:

dy dx



1 Pendiente de las 3

líneas de igual presión (SUPERFICIES)

  dx  1500dy dP  500

Integrando de Po a P, de 0 a x, y de 0 a y tenemos:

 P    P 0   500 x  1500 y Para un punto en la superficie del fluido P=0 Entonces para (x,y)=(1,2 m , 0,7 m) la presión es cero P=0 , de la ecuación anterior se obtiene: 2

0   P 0  500(1,20)  1500(0,70)   P 0  1650kg / m

Con este valor de Po,

 P   1650kg / m   2  500 x  1500 y

Esta ecuación da el valor de la presión en cualquier punto en el interior del fluido

Presión A (0 , 1,20 m). El fluido no alcanza este punto   P   0 A

Presión en el punto B (0 , 0)   P  B  1650kg / m

2

Presión en el punto C (1,2 m , 0)  P C   1650kg / m2  500kg / m3 (1,2m)

  P C   1050kg / m

2

5.4 Mov Rotación ( Recipientes Abiertos) - La superficie libre del fluido adopta forma paraboloide de revolución - Un plano vertical x origen corta superficie libre según una parábola - Ecuación de la parábola (vértice en el origen)

y

w 2 x 2 = 2g 

5.4 Mov Rotación ( Recipientes Cerrados) - Al girar los recipientes aumenta la presión - Incremento presión entre un punto situado en el eje y otro en el mismo plano horizontal pero a una distancia x es

p

w 2 x 2 = 2g 

 p w 2 x 2 == 2g  

MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

Recipientes abiertos Recipientes cerrados

Coordenadas cilíndricas  P   P   P  dP   dr  d q   dz  r  q   z 

Para el elemento diferencial

 F  

 H 

0

 P   PdA  ( P  dr )dA  ma  0 r   P     PdA  ( P  dr )dA  (dAdr )w 2 r   0 r   g 

Sin presión adicional Con presión adicional

Entonces:

 P    2  w  r  r   g 

y

 P         g   z 

 P   P   P  dP   dr  d q   dz  r  q   z   P  0 q 

Pero

dP   w  rdr    gdz  2

Integrando:

2

 P  

2

 w  r  2

   gz  C 

Si r=0, z=zo; P=Po  C    P 0   gz 0  P    P 0    g ( z 0  z ) 

1 2

w 2 r 2

En la superficie libre del fluido P=Po obtiene la ec de la forma de la superficie y de la forma de las superficies de igual presión 1

  P 0   P 0    g ( z 0  z )  w 2 r 2 2

De donde: 2

 z    z 0 

2

w  r 

2 g 

ECUACIÓN DE UN PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN

Las superficies de igual presión son paraboloides de revolución

Volumen paraboloide de revolución es la mitad del volumen del cilindro circunscrito a dicho paraboloide. a) Eje de giro está fuera del recipiente: Parte del paraboloide se forma dentro del recipiente. b) El recipiente se tapa sin añadir presión: El paraboloide se considera sobre la tapa del recipiente tangente a ella

c) El recipiente se tapa añadiendo presión adicional: Esta se considera como una altura sobre la tapa del recipiente; sobre dicho nivel se forma el paraboloide.

EJEMPLO. Un depósito de forma cilíndrica de 4 m de altura y 2 m de diámetro contiene aceite hasta 3,2 m de altura. A cuantas rpm debe girar el recipiente alrededor de su eje para que el aceite alcance el borde superior? Volumen paraboloide = Volumen cilindro /2 2

 z  

2

w  r 

2 g 

 h  w  

2 gh r 

2

 w  

2(9,81m / s )(0,8m) 1m

 3,96rad / s

1rev 60 w   (3,96rad  / s )( 2 rad  )  3,96 rpm 1 min 2 

w   37,83rpm

60 s EJEMPLO: Un cilindro de 1,8 m de diámetro y 2,70 m de altura se llena completamente con glicerina de densidad 1,60 y al taparlo se añade al depósito una presión de 2,50 kg/cm². El material de que está hecho el cilindro tiene 13 mm de espesor con un esfuerzo admisible de trabajo de 850 kg/cm². Determinar a qué velocidad máxima se puede hacer girar el recipiente sobres su eje sin que se rompa. SOLUCIÓN: De la figura se puede deducir que la presión será máxima en el borde inferior externo del cilindro El esfuerzo tangencial en un cilindro de radio r, con presión interna P es:

  

Pr  t 

t es el espesor del material de que está hecho el cilindro

La presión que puede soportar el recipiente será:

  P  

 .t  r 

2



(850kg / cm )(1,3cm) 90cm

 12,3kg / cm2

Con la configuración del problema:

 12,3kg / cm   h  2,50kg / cm  2

2

1

2 2

   g w  r  2 g 

Reemplazando los datos del problema:

12,3kg / cm  1,6 gr / cm (270cm)  2,5kg / cm  2

3

2

1 2

(1,6 gr / cm 3 )w 2 (8100cm 2 )

De donde se obtiene

w   38rad / s  363rpm

En el caso de las bombas y turbinas la rotación de una masa en un fluido, o en caso que gire el recipiente que lo contiene, se genera un incremento en la presión entre un punto situado en el eje y uno a una distancia X del eje en el mismo plano horizontal; y esta dada por :Y el aumento de la altura de presión será Que es una ecuación parecida a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. La velocidad lineal Vy el termino da la altura de velocidad.