Translate Bab 4 Analisis Real

Ryan Prasetya (3115111153)

Bagian 4.1. Limit Fungsi

Dalam bagian ini kami akan memperkenalkan ide penting dari limit fungsi. Ide dari fungsi f mempunyai sebuah limit L pada titik c adalah nilai f(x) mendekati L ketika x sangat dekat namun berbeda dari c. Tapi ini sangat penting untuk membuat secara teknis ide dari “dekat” dab ini berhasil dengan definisi    yang akan dijelaskan berikut. Untuk membuat sebuah arti dari limit fungsi f pada titik c, sangat penting dijelaskan bahwa f didefinisikan pada titik dekat c. tidak harus tepat pada titik c, namun cukup dekat dengan titik c untuk membuat pembelajaran menarik. Ini adalah alasan untuk definisi berikut

4.1.1 Definisi. Ambil A 

. Sebuah titik c 

adalah titik kumpul dari A jika untuk setiap   0

ada paling sedikit satu titik x  A, x  c dimana x  c   Definisi ini diartikan dengan cara lain dengan bahasa lain seperti : sebuah titik c adalah titik kumpul dari himpunan A jika setiap lingkungan- V (c)  (c   , c   ) dari c memuat paling sedikit satu titik dari A yang berbeda dengan c

Catatan Titik c mungkin saja anggota A maupun tidak, tapi bahkan jika itu ada di A, itu dihiraukan dalam menentukan apa itu merupakan titik kumpul dari A atau bukan, karena secara eksplisit kita membutuhkan ada titik di V (c)  A yang berbeda dari c untuk c menjadi titik kumpul dari A Untuk contoh, jika A:= {1,2}, maka titik 1 bukanlah titik kumpul A, jika memilih

 :

1 memberikan lingkungan dari 1 yang tidak memuat titik dari A yang berbeda dengan 1. 2

Hal yang sama juga terjadi untuk titik 2, jadi A tidak punya titik kumpul

4.1.2 Teorema Sebuah angka c 

adalah titik kumpul dari subset A dari R jika dan hanya jika ada

sebuah barisan ( a n ) di A dimana lim(an )  c dan an  c untuk setiap n

Bukti Jika c adalah titik kumpul dari A, maka untuk sembarang n memuat

paling sedikit

satu

titik

an

di

A

lingungan (1/n) V1/ n (c)

yang berbeda

dengan

c.

Maka,

an  A, an  c, dan an  c  1/ n mengakibatkan lim(an )  c

Konversnya, jika ada sebuah barisan ( an ) di A\{c} dengan

lim(an )  c , maka untuk

sembarang   0 ada J dunaba huja n  K , maka an  V (c ) , olehkarenanya lingkungan-

V (c ) dari c memuat titik a n , untuk n  K , dimana pada A dan berbeda dengan c Terbukti Contoh selanjutnya menegaskan bahwa sebuah titik kumpul dari sebuah himpunan bisa saja berada pada himpunan tersebut ataupun tidak

4.1.3 Contoh (A) untuk sebuah interval terbuka A1:=(0,1), setia titik dari interval tertutup [0,1] adalah titik kumpul dari A1. Catatan bahwa titik 0,1 adalah titik kumpul dari A1, namun tidak berada pada A1. Semua titik pada A1 adalah titik kumpul dari A1 (b) Sebuah himpunan berhingga tidak mempunyai titik kumpul (c) Himpunan takhingga

tidak mempunyai titik kumpul

(d)Himpunan A4:={1/n; n

} hanya mempunyai titik 0 sebagai titik kumpul. Tidak ada

titik pada A4 yang merupakan titik kumpul dari A4 (e) Jika I:={0,1}, maka himpunan A5 : I 

memuat semua angka rasional di I. Mengikuti

teorema 2.4.8, bahwa setiap titik di I adalah titik kumpul dari A5

Izzaty Amalia (3115111154)

Definisi Limit Kita sekarang menyatakan definisi yang tepat dari batas fungsi f pada titik c . Penting untuk dicatat bahwa dalam definisi ini, tidaklah menjadi masalah apakah jika f pada suatu titik c atau tidak. Dalam kasus ini, kita mengecualikan c dari pertimbangan dalam penentuan batas

4.1.4 Definisi.

Diberikan A  R , dan diberikan c menjadi titik kelompok A . Untuk fungsi , f : A  R bilangan real L menjadi limit dari f di c jika diberikan sebarang   0 yang

eksis dan   0 sedemikian rupa sehingga x  A dan 0  x  c   , then f ( x)  L   .

Keterangan (a). Karena nilai dari  biasanya tergantung pada  , kita kadang-kadang akan menulis     bukan  untuk menekankan ketergantungan ini. (b) Ketidaksetaraan 0  x  c ekuivalen dengan mengatakan x  c .

Jika L adalah batas f di c , maka kita juga mengatakan bahwa f konvergen ke L di c . kita sering menulis.

L  lim f ( x) atau L  lim f x c

x c

Kita juga mengatakan bahwa " f ( x) mendekati L sebagai x mendekati c ". (tapi perlu dicatat bahwa titik tidak benar-benar bergerak di mana saja.) dengan symbol f ( x)  L dengan x  c juga digunakan kadang-kadang untuk mengungkapkan fakta bahwa

f memiliki batas L pada c .

Jika batas f di c tidak ada, kita mengatakan bahwa f menyimpang di c . Hasil pertama kami adalah bahwa nilai L dari batas tersebut ditentukan unik. Keunikan ini bukan bagian dari definisi limit, tetapi harus disimpulkan.

4.1.5 Teorema Jika f : A  R dan jika c adalah titik kelompok dari A , maka f hanya dapat mempunyai 1 limit di c . Bukti. Misalkan nomor L dan L ' memuaskan Definisi 4.1.4. Untuk   0 , terdapat

  2  0 sedemikian sehingga jika x  A dan 0  x  c    2 , maka f ( x)  L   2 . Juga terdapat  '  2 sedemikian sehingga jika x  A dan 0  x  c   '  2 , maka

f ( x)  L '   2 . Sekarang diberikan (gak kebaca). Maka jika x  A dan 0  x  c   , Segitiga Ketimpangan menyiratkan bahwa

L  f ( x)  ( L ' f ( x))

L  L '  L  f ( x)  ( f ( x)  L')   2   2   Karena   0 adalah tak tentu, kita menyimpulkan bahwa L  L '  0 , sehingga L  L ' ' Definisi limit dapat sangat baik dijelaskan dalam hal lingkungan. (Lihat Gambar ....) Kami mengamati bahwa karena

V (c)  (c   , c   )   x : x  c    ketimpangan 0  x  c   setara dengan mengatakan bahwa x  c dan x milik  lingkungan V (c ) dari c . Demikian pula, ketimpangan f ( x)  L   adalah setara dengan mengatakan

bahwa f ( x) milik  lingkungan V ( L ) dari L . Dengan cara ini, kita memperoleh hasil pembaca berikut harus menulis argumen rinci untuk mendirikan teorema.

Wahyu widyastuti (3115111166)

4.1.6Teorema Misalkan f : A  R , dan misalkan c adalah titik kumpul dari A, maka pernyataan berikut adalah ekuivalen: ( )

(i).

(ii).Untuk setiap lingkungan- V ( L ) dari L, terdapat lingkungan- V (c) dari c sehingga jika

x  c merupakan titik sebarang pada V (c)  A , maka f ( x) termasuk V ( L) . Sekarang kami berikan beberapa contoh yang mengilustrasikan aplikasi dari definisi limit.

4.1.7Contoh a. Untuk menjadi lebih eksplisit, misalkan f ( x) : b untuk semua x  R. Kita akan buktikan ( )

bahwa

.

Jika diberikan   0 , kita misalkan  : 1(pada kenyataannya, semua  positif akan memenuhi syarat tersebut). Dengan demikian, jika 0 | x  c | 1 , maka kita dapatkan | f ( x)  b |  | b  b |  0   . Karena   0 adalah sebarang, kita simpulkan berdasarkan Definisi 4.1.4 bahwa ( )

.(?)

b. Misalkan g ( x) : x untuk semua x  R. Jika   0 , misalkan  ( )   . Maka jika 0 | x  c |  ( ) , maka kita mempunyai | g ( x)  c |  | x  c |   . Karena   0 sebarang,

maka kita ( )

berkesimpulan bahwa

. (?)

c. Misalkan h( x) : x 2 untuk semua x  R.Kita ingin membuat selisih | h( x )  c 2 |  | x 2  c 2 |

lebih kecil dari suatu   0 yang diberikan dengan pengambilan x yang cukup dekat dengan c. Untuk itu, kita perhatikan bahwa x 2  c 2  ( x  c)( x  c) . Selain itu, jika | x  c | 1 , maka | x |  | c | 1 sehingga | x  c |  | x |  | c | | x |  | c |  (2 | c | 1) | x  c | --- (1)

Selain itu suku terakhir ini akan lebih kecil dari 

asalkan kita mengambil

| x  c |  / (2 | c | 1)| x  c | . Akibatnya, jika kita memilih





   2 | c | 1

 ( ) : inf 1,

maka jika 0 | x  c |  ( ) , pertama akan berlaku bahwa | x  c | 1 dengan demikian (1) adalah valid. Selanjutnya, karena | x  c |  / (2 | c | 1) , maka | x 2  c 2 |  (2 | c | 1) | x  c |  

Karena kita mempunyai pilihan  ( )  0 untuk sebarang pilihan dari   0 , maka dengan demikian kita telah menunjukkan bahwa

d.

( )

. (?)

jika c > 0 Misalkan  ( x) : 1/ x bahwa

 ( x)

 ( x) 

1 1 1   c x c

untuk x> 0 dan misalkan c> 0. Untuk menunjukkan

, kita ingin membuat selisih

lebih kecil dari   0 yang diberikan dengan pengambilan x cukup dekat dengan c > 0. Pertama kita perhatikan bahwa 1 1 1 1   (c  x )  | x  c | x c cx cx

Untuk x > 0.

Nia Puspitasari (3115111184)

Untuk

. Ini digunakan untuk mendapatkan batas atas untuk syarat |

berlaku di beberapa lingkungan c. Khususnya, jika| untuk |

, lalu

(

)

yang

. Jadi

|

Oleh karena itu, untuk nilai-nilai ini kita memiliki x. | ( )

(2)

|

|

|

Untuk membuat istilah terakhir kurang dari |

|

. Dengan konsekuensi jika kita memilih ( ) Lalu, jika

|

itu sudah cukup untuk mengambil

|

|

|

*

+

( ), lalu akan diikuti |

valid, dan oleh karena itu, sejak | | ( )

Sejak kita memilih ( )

|

| |

(

|

jadi | ( )

) , itu

|

untuk sewenang-wenang pilihan dari

, kita dapat

menyimpulkan bahwa

e.) misal: ( ) | ( )

(

)

|

untuk

, lalu beri sedikit manipulasi aljabar

|

| (

)

|

|

| (

)

|

|

Untuk mendapatkan batas dari koefisien |

| kita membatasi x dari kondisi

. Untuk x di dalam interval, kita mempunyai (

)

(

)

, jadi | ( )

Sekarang untuk

|

|

|

|

|

|

, kita memilih ( )

Lalu jika

dan

|

*

+

( ), kita mempunyai | ( )

|

|

|

. sejak

adalah keputusan, pernyataan ini terbukti.

Kriteria berurutan untuk Limit Rumus penting yang mengikuti batas dari suatu fungsi adalah urutan terminologi lmit. Karakteristik ini memperbolehkan teori dari Chapter 3 untuk digunakan dalam pembelajaran limit suatu fungsi.

Teorema 4.1.8 (Kriteria Berurutan) Misal

dan misal c menjadi titik perkumpulan dari A, maka berikut ini setara

i) ii) untuk setiap uruta ( sebuah urutan ( (

) di A konvergen untuk c sehingga

untuk semua

,

)) konvergen ke L.

Delpi Batubara (3115115698)

4.1.8 Teorema (Sequential Kriteria) Misalkan f : A ~ R dan misalkan c menjadi titik kumpul di A. Kemudian, berikut ini adalah setara : (i) (ii) Untuk setiap barisan (xn ) di A yang konvergen ke c sehingga xn ≠c untuk setiap n є N, barisan (f(xn)) konvergen ke L. Bukti : (i) → (ii). Asumsikan f memiliki limit L di c, dan andaikan (xn) adalah sebuah barisan di A dengan

(

)

dan xn ≠ c untuk semua n. Kita harus membuktikan bahwa barisan (f (xn

)) konvergen di L. Misal diberikan ɛ > 0. Kemudian dari definisi 4.1.4, ada δ >0, sedemikian

hingga jika x є A, memenuhi 0 < | x – c| < δ, lalu f(x) memenuhi |f(x) – L< ɛ|. Sekarang kita menggunakan definisi deret konvergen untuk δyang diberikan untuk mendapatkan sebuah bilangan asli K(δ) sedemikian hingga jika n < K(δ), lalu | (

)

|

ɛ. Maka barisan(f (xn

)) konvergen di L. (ii) → (i). Pembuktian kontradiktif. Jika (i) tidaklah benar,ada sebuah ɛ0 sekitaran Vɛ0 sedemikian hingga berapa pun sekitaran- δ yang kita pilih, akan ada sedikitnya satu bilangan xδ di A ∩ Vδ(c) dengan xδ≠ c sedemikian hingga (xδ) ≠Vδ(L). Sejak untuk setiap n є N, sekitaran- (1/n) di c yang terdiri dari sebuah bilangan xn sedemikian hingga: dan

Kita dapat menyimpulkan bahwa barisan xnkonvergen di c, tapi barisan (f (xn )) tidak konvergen di L. Sehingga kita telah menunjukkan bahwa jika (i) tidak benar, maka (ii) juga tidak benar. Maka kesimpulannya adalah (ii) implikasi (i). Kita akan lihat di bagian berikutnya bahwa banyak dari sifat-sifat limit fungsi dasar dapat dibentuk dengan menggunakan properti yang berhubungan untuk barisan konvergen. Sebagai contoh, kita tahu dari pekerjaan kita dengan barisan bahwa jika (x n) adalah setiap barisan yang konvergen ke bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2.

Anindya Diva P. (3115126496)

4.1.10 contoh

(a)

. / tidak ada di IR. Seperti pada contoh 4.1.7 (d) ambil φ(x) = 1/x untuk x >0. Namun, di sini kita

mempertimbangkan c=0. Argumentasi di contoh 4.1.7 (d) salah jika c = 0 sejak kita tidak dapat memperoleh batas seperti pada contoh itu. Tentunya, jika kita mengambil barisan (x n) dengan xn=1/n untuk n ϵN, lalu lim(xn) = 0, tapi φ(xn) = 1/(1/n) = n. seperti yang kita tau, barisan (φ(xn)) = (n) tidak konvergen di R, karena tidak dibatasi. Maka, menurut teori 4.1.9(b),

. / tidak ada di R.

Bunyi teori 4.1.9 (b): Fungsi f tidak memiliki limit di c jika dan hanya jika ada barisan (xn) di A dengan xn≠ c untuk semua n ϵ N sehingga barisan (xn) konvergen ke c tetapi barisan (f (xn)) tidak konvergen di R.

(b)

sgn(x) tidak ada.

Ambil fungsi signum (sgn) didefinisikan sebagai

Sgn (x) = +1 untuk x > 0 0 untuk x = 0 -1 untuk x < 0 Perhatikan bahwa sgn (x) = x/|x| untuk x = 0 F (LihatGambar 4.1.2.) Kami akan menunjukkan bahwas gn tidak memiliki batas pada x = 0. Kita akan melakukan hal ini dengan menunjukkan bahwa ada barisan (xn) seperti lim (xn) = 0, tapi seperti (sgn (xn)) tidak konvergen.

Ambil xn = ( -1 )n/n untuk n ϵ N sedemikian hingga (xn) = 0. namun, sejak sgn(xn) = ( -1 )n untuk n ϵ N hal tersebut seperti pada Contoh 3.4.6 (a) bahwa (sgn (xn)) tidak konvergen. Oleh karena itu sgn(x) tidak ada. Contoh 3.4.6 (a) berbunyi: Barisan X = ( -1 )n divergen. Sub barisan X’= (( -1 )2n )= (1,1,..) konvergen ke 1 dan sub barisan X” = (( -1 )2n-1 ) = (-1,-1,...). oleh karena itu, kita simpulkan X divergen. (c )

sin(1/x) tidak ada di R

Ambil g (x): = sin (1 / x) untuk x ≠0 (Lihat Gambar 4.1.3.) Kami akan menunjukkan bahwa g tidak memiliki limit di c = 0, dengan memperlihatkan dua barisan (xn) dan (yn) dengan xn ≠ 0 danYn ≠ 0 untuk semua n ϵ N dan seperti lim (xn) = 0 dan lim (yn) = 0, tapi seperti lim (g(xn)) ≠ lim (g (yn)).

Kita mengingat dari kalkulus bahwa sin t = 0 jika t = nπ untuk n ϵ Z, dan sin t = +1 jika t = ½ π + 2πn untuk n ϵ Z. Sekarang ambilxn = 1/nπ untuk n ϵ N sehingga lim (g(xn)) = 0. Selain itu, ambil yn = (½ π + 2πn)

-1

untuk n ϵ N. Lalu lim (yn) = 0 dan (g(yn)) = sin (½ π +

2πn) = 1 untuk semua n ϵ N, sehingga lim (g(yn)) = 1. Kita simpulkan bahwa

sin (1/x)

tidak ada.

Annisa Ramalika Hanani (3115126497) 1.

2.

Latihan Bagian 4.1 Tentukan keadaan pada | (a) |

|

(b) |

|

(c) |

|

, untuk setiap

(d) |

|

, untuk setiap

Tentukan keadaan pada | (a) |√ (b)

3.

|√

|

Misalkan c menjadi titik kumpul dari

Misalkan

( ) dan ( )

Tunjukan 5.

| yang akan menjamin bahwa:

|

Buktikan bahwa 4.

| yang akan menjamin bahwa:

Misalkan

(

dan

. | ( )

jika dan hanya jika .

jika dan hanya jika

) dimana

, dan ( )

(

)

untuk

.

|

.

, tunjukan bahwa | ( )

Untuk setiap titik

|

|

pertidaksamaan ini untuk membuktikan bahwa 6.

Misalkan menjadi interval di ,

7.

Tunjukan bahwa

8.

Tunjukan bahwa

9.

Gunakan salah satu, definisi limit

|. Gunakan untuk setiap

,

( )

. Tunjukan bahwa

.

untuk √

√ untuk atau limit “Sequential Criterion”, untuk

menentukan limit berikut. (a) (b) (c)

| |

(d) 10.

Gunakan definisi limit untuk menunjukan bahwa. (

(a)

)

(b) 11.

Tunjukan bahwa limit berikut tidak ada. (a) (b)

√

(

) ( ))

(

(d)

13.

)

(

(c)

12.

(

)

Misalkan fungsi

memiliki limit

didefinisikan oleh ( )

(

Misalkan

dan

) untuk

di 0, dan

( )

, kemudian

(b) Tunjukan dengan contoh bahwa jika

( )

, tunjukan bahwa

sedemikian sehingga

(a) Tunjukan bahwa jika

. Jika

, kemudian

( ( ))

.

.

. mungkin tidak punya limit

di c. 14.

didefinisikan melalui pengaturan ( )

Misalkan dan ( )

jika

(a) Tunjukan bahwa

jika

adalah rasional,

adalah irasional. memiliki limit di

.

(b) Gunakan argumen “sequential” untuk menunjukan bahwa jika tidak memiliki limit di c.

, kemudian

15.

Misalkan

, menjadi interval terbuka di ,

tunjukan bahwa

memiliki limit di c jika dan hanya jika

. Jika

dibatasi dari

ke ,

memiliki limit di c, dan

limit tersebut sama. 16.

Misalkan

, menjadi interval tertutup di ,

tunjukan jika

memiliki limit di c kemudian

contoh bahwa tidak ada pengaruh jika

. Jika

dibatasi dari

ke ,

memiliki limit di c. Tunjukan melalui

memiliki limit di c kemudian

memiliki limit

di c.

Bagian 4.2, Teorema Limit Definisi 4.2.1 Misalkan

,

, dan ambil

mengatakan bahwa dan konstan

menjadi titik kumpul dari A. Kita ( ) dari c

dibatasi pada lingkungan c jika setiap lingkungan sedemikian sehingga | ( )|

( ).

untuk setiap

Dini Amalia (3115126501)

Teorema 4.2.2 Jika A  R dan f: A

R mempunyai limit pada c

R, maka f adalah batas beberapa sekitaran

pada c. Bukti : Jika L maka | ( )

, maka untuk , ada beberapa seperti jika | ; sejak ( digunakannya hukum 2.2.4 (a)).

|

|

,

Hukum 2.2.4 jika a, b  R, maka | (a) || | | || | | ( )|

| |

| ( )

|

( ) Oleh karena itu, jika , maka | ( )| | | . Jika cA, kita ambil M=| | , jika cA kita ambil M := sup {| ( )| | | ++ . Itu mengikuti bahwa jika x∊A∩ ( ), maka | ( )| . Ini menunjukkan bahwa f adalah batas sekeliling ( ) pada c. Definisi selanjutnya adalah persamaan untuk definisi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada barisan yang diberikan dibagian 3.2 ( Teorema Limit )

Definisi 4.2.3 Misal AR dan missal f dan g menjadi fungsi yang digambarkan pada A ke R. kita gambarkan penjumlahan f+g, pengurangan f-g, dan perkalian fg pada A ke R menjadi fungsi yang diberikan oleh (f + g)(x):=f(x) + g(x),

(f - g)(x):=f(x) - g(x),

(fg)(x):=f(x)g(x)

Untuk semua xA. Selanjutnya jika b R, kita gambarkan perkalian bf menjadi fungsi yang diberikan oleh (bf)(x):=bf(x) untuk semua x  A Akhirnya, jika h(x)≠0 untuk x  A, kita gambarkan pembagian f/h menjadi fungsi yang diberikan oleh ( )

. /( )

( )

untuk semua x  A

Teorema 4.2.4 Misal A  R, misal f dan g menjadi fungsi pada A ke R, dan misal c  R menjadi titik kumpul pada A. Selanjutnya, misal b  R. (a) Jika

, maka : ( (

)

(

,

)

(

,

(b) Jika h : A → R, jika h(x) ≠ 0 untuk semua x ϵ A dan jika

) ) , maka

( ) Bukti Satu bukti pada teorema ini adalah sama pada teorema 3.2.3. Sebagai alternative, itu bisa dibuktikan menggunakan teorema 3.2.3 dan 4.1.8. Untuk contoh, misal ( ) adalah sembarang barisan di A seperti untuk n dan ( ). Itu mengikuti dari teorema 4.1.8 yaitu ( (

))

,

( (

))

Teorema 3.2.3 (a) Misal dan menjadi barisan bilangan asli yang convergen pada x dan y, berturut-turut, dan misal . Maka barisan barisannya X + Y, X – Y, X . Y dan cX barisan ke x + y, x – y, xy, dan cx, berturut-turut.

(b) Jika konvergen ke x dan nol yang konvergen ke z dan jika x/z.

adalah barisan pada bilangan asli bukan maka barisan pembagian X/Z konvergen ke

Teorema 4.1.8 ( standar contoh ) Misal

dan misal c menjadi titik kumpul pada A. maka mengikuti persamaan

(i) (ii)

Untuk setiap barisan ( ) di A konvergen ke c seperti n barisan ( ( )) konvergen ke L.

untuk semua

Dengan kata lain, definisi 4.2.3 mengimplikasikan bahwa (

)(

)

(

) (

) untuk n

Oleh karena itu, aplikasi dari teorema 3.2.3 menghasilkan ((

)(

))

, (

) (

)-

,

( )-,

( )-

Akibatnya, mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa (

)

((

)(

))

Bagian lain pada teorema ini terbukti di persamaan cara. Kita tinggalkan secara detail untuk pembaca. Keterangan (1) Kita catat bahwa, di bagian (b), asumsi penjumlahan bahwa buatan. Jika asumsi tidak benar, maka limit

adalah

Mungkin atau tidak mungkin ada. Tetapi tetap jika limit ini ada, kita tidak bisa menggunakan teorema 4.2.4 (b) untuk menghitung itu. Teorema 4.2.4 (b) Jika h : A → R, jika h(x) ≠ 0 untuk semua x ϵ A dan jika

, maka

( ) (2) Jika A  R, dan missal titik kumpul pada A. jika,

menjadi fungsi pada A ke R dan misal c menjadi

Kemudian mengikuti dari teorema 4.2.4 dengan argument induksi bahwa

Dan

n

Di keterangan-keterangan, kita menarik kesimpulan bahwa jika maka

dan

( ( ))

Fahmadiyah Annissa (3115126505)

Contoh 4.2.5 (a) Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti hasil ini bahwa

, kemudian

dan jika

c > 0, maka (b)

(

)(

)

Ikuti dari Teorema 2.4.2 bahwa (

)( (

(c)

(

)

)(

( )

(

))(

(

))

5.4

)

Jika berlaku Teorema 4.2.4 b, maka =

(

)

(

)

Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e

(

)

) tidak sama dengan 0,

maka Teorema 4.2.b berlaku. (d) dan h(x) = 3x-6 untuk x є R maka tidak dapat digunakan teorema

Jika diberikan f(x) = 4.2.4b untuk mengevaluasi

( )

( ) ( )

(

karena )

Bagaimanapun, jika x ≠ 2, maka (

)(

)

(

)

(

)

(

)

Maka dari itu

Catatan bahwa fungsi ( ) (e)

(

)

mempunyai limit di x= 2 meskipun tidak ada definisinya

tidak terdapat di R

Tentu saja

= 1 dan

. Bagaimanapun, ketika H = 0, tidak dapat

digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi 4.1.10a, fungsi ( )

. Dalam faktanya, lihat contoh

tidak mempunyai sebuah limit di x = 0. Kesimpulan mengikuti juga

dari teorema 4.2.2 ketika fungsi( )

tidak terbatas dipersekitaran x = 0 ( )

(f) jika p adalah sebuah fungsi polynomial, maka

( )

Biarkan p menjadi fungsi polynomial di R maka ( )

untuk semua x є R. Berdasarkan Teorema 4.2.4

dan fakta bahwa

, maka ,

( ) (

)

-

(

)

(

)

(

)

= = ( ) ( )

Karena

( ) untuk setiap fungsi polynomial p

(g) jika p da q adalah fungsi polynomial di R danjika q(c) ≠ 0 maka ( ) ( )

( ) ( )

Ketika q(x) adalah sebuah fungsi polynomial, berdasarkan dari sebuah teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real nol di q(x)] maka jika

(

(

)

(

dan jika

), maka q(x) ≠ 0. Karenanya,

) kita dapat definisikan ( )

[bilangan real

( ) ( )

Jika c tidak nol di q(x), maka q (c) ≠ 0, dan mengikuti dari bagian (f) bahwa ( )

( )

. Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b untuk

menyimpulkan bahwa ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6

Fajar Nur Rahman (3115126506)

Teorema 4.2.6 , misalkan suatu fungsi f : A  B (suatu fungsi f dari A memetakan ke

Diberikan B) dan diketahui

( )

sebagai titik tumpul pada A. Jika

, dan

untuk semua

ada, maka

Bukti : Memang, jika

, maka itu mengacu pada teorema 4.1.8 (Teorema Kriteria

Pengurutan : misalkan suatu fungsi f : A  B (suatu fungsi f dari A memetakan ke B) dan diketahui

sebagai titik tumpul pada A, maka berikut ini ekuivalen dengan : (i) (ii) untuk setiap barisan (xn) pada A dan konvergen ke c sehingga xn ≠ c untuk

semua

, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L) bahwa jika (xn) adalah beberapa barisan

dari bilangan real sehingga c ≠ xn

untuk semua

c, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L. ketika

dan jika barisan (xn) konvergen ke ( ) (

mengacu pada teorema 3.2.6 (Teorema 3.2.6 : jika (

jika

)

untuk semua

(

, maka

untuk semua )

, maka itu

) adalan barisan konvergen dan ) bahwa

.

Kita dapat berargumen sebuah analogi pada Teorema Apit 3.2.7 (Diketahui bahwa X=(xn) , Y=(yn), dan Z=(zn) adalah barisan dari bilangan real sehingga xn ≤ yn ≤ zn untuk semua

, dan terdapat lim (xn) = lim (zn). Maka Y=(yn) adalah konvergen dan lim (xn) =

lim (yn) = lim (zn)) (?). Kita tinggalkan pembuktian ini kepada pembaca.

Teorema 4.2.7 Teorema Apit 4.2.7 Diberikan diberikan

, misalkan suatu fungsi f, g, h:

sebagai titik tumpul dari A, jika

, dan jika Contoh 4.2.8 a)

, maka (

).

( )

( ) . (?)

, dan

( ) untuk semua

Misalkan ( ) untuk

untuk (

). Sejak pertidaksamaan ( )

(kenapa?) (?), itu memenuhi bahwa

. Sehingga

memenuhi untuk

itu memenuhi dari teorema apit 4.2.7 bahwa .

b)

. Itu akan dibuktikan nanti (lihat pada teorema 8.4.8) (Teorema 8.4.8 : Jika ada , maka kita mempunyai : (vii) ( )

(ix)

( )

( )

; (x)

( )

(viii)

;

) bahwa

untuk semua (

Karena c)

)

, itu memenuhi dari Teorema Apit bahwa

. Itu akan dibuktikan nanti (lihat pada teorema 8.4.8) (ada di bagian b teoremanya)

bahwa untuk semua .

Karena .

d)

/

, itu memenuhi dari Teorema Apit bahwa

/

Kita tidak dapat menggunakan teorema 4.2.4 (b) (Diberikan adalah sebuah fungsi A ke misalkan )

, dan terdapat

; (a) Jika

Jika ada h: A . /

jika

sebagai titik tumpul dari A. Selanjutnya,

dan

(

(ii)

)

(iii)

( )

untuk semua

, misalkan f dan g

(

, maka memenuhi : (i)

(

)

. (b)

(iv)

, dan jika

, maka

) untuk menyelesaikan limit ini (kenapa tidak?) (?). bagaimanapun, itu

memenuhi dari pertidaksamaan (1) pada bagian (c) bahwa (

)

untuk

Dan bahwa (

)

untuk

Sekarang misalkan ( ) misalkan ( ) ( )

(

untuk )

untuk dan ( )

( ) untuk

dan ( ) untuk

untuk

, serta juga

. Kemudian kita mempunyai

Sejak itu mudah terlihat bahwa .

bahwa e)

memenuhi dari Teorema Apit

/

.

/

Kembali lagi kia tidak dapat menggunakan teorema 4.2.4(b) untuk menyelesaikan limit ini. Bagaimanapun itu akan dibuktikan nanti (lihat Teorema 8.4.8) (Teorema 8.4.8 : Jika ada ( )

, maka kita mempunyai : (vii) ( )

(ix)

( )

; (x)

(viii)

( )

;

) bahwa

untuk dan bahwa untuk Kesimpulannya memenuhi (kenapa?) bahwa (

)

untuk semua

Tetapi semenjak Teorema Apit bahwa

. .

/

(

)

kita kembalikan lagi dari

/

Lazuardi Fajar P. (3115126514)

  1  (f) lim  x.sin     0 x 0  x   1 Misalkan f  x  = x.sin   untuk x  0 . Karena 1  sin z  1 untuk setiap z  R , x kita mempunyai pertidaksamaan

1  x  f  x   x.sin    x x untuk setiap x  R, x  0 . Karena lim x  0 , hal ini didapat dari Teorema Apit bahwa x 0

lim f  0 . Untuk grafiknya, lihat Gambar 5.1.3 atau sampul buku ini. x 0

Ada beberapa hasil yang berhubungan dengan Teorema 3.2.9 dan 3.2.10; hanya saja, kami akan menjadikannya latihan. Kami menyimpulkan bagian ini dengan sebuah hasil yang, dalam beberapa arti, sebagian kebalikan dari Teorema 4.2.6.

4.2.9 Teorema Misalkan A  R , misalkan f : A  R dan misalkan c  R adalah sebuah gugusan titik. Jika

lim f  0 respectively,lim f  0 xc x c   maka ada sebuah daerah V  c  dari c sehingga f  x   0, respectively, f  x   0 untuk setiap x  A V  c  , x  c. Bukti. Misalkan L : lim f dan andaikan L  0 . Kita ambil   x c

1 L  0 pada Definisi 4.1.4, dan 2

mendapatkan sebuah angka   0 sehingga jika 0  x  c  

f  x  L  f  x 

dan x  A , maka

1 L . Untuk itu (kenapa?) didapat bahwa jika x  A V  c  , x  c , maka 2

1 L0 2

Jika L  0 , sebuah argumen yang sama terjadi. Latihan Bagian 4.2 12. Misalkan f : R  R sedemikian hingga f  x  y   f  x   f  y  untuk setiap x, y di R . Asumsikan bahwa lim f  L ada. Buktikan L  0 , lalu buktikan bahwa f mempunyai x 0

limit di setiap titik c  R . [Petunjuk: pertama, perhatikan bahwa f  2x   f  x   f  x   2 f  x  untuk setiap x  R . Perhatikan juga bahwa f  x   f  x  c   f  c  untuk x, c di R .]

Putri Rijkiyah (3115126519) 13. Misal

,

, dan

sebagai titik cluster dari A. Jika

dan jika | | menyatakan fungsi yang didefinisikan untuk buktikan bahwa 14. Misal bahwa

, ( )

| |

|

, dan untuk semua

oleh | |( )

ada, | ( )|

| sebagai titik cluster dari A. Selain itu, asumsikan , dan misalkan √

merupakan sebuah fungsi

oleh (√ )

yang didefinisikan untuk bahwa

√

√ ( ). Jika

ada, buktikan

√

Bagian 4.3: beberapa perpanjangan dari konsep limit Di bagian ini, kita akan menyajikan tiga jenis ekstensi dari gagasan tentang limit dari suatu fungsi yang sering muncul. Karena semua ide di sini erat sejajar dengan apa yang telah kami sajikan, bagian ini dapat dibaca dengan mudah.

Limit satu sisi Ada kalanya fungsi f mungkin tidak memiliki limit pada titik c, namun limit itu ada ketika fungsi dibatasi dalam selang di satu sisi pada titik cluster c. Contohnya, fungsi signum berdasarkan contoh 4.1.10 (b) yang diilustrasikan pada gambar 4.1.2, tidak memiliki limit ketika c=0. Namun, jika kita batasi fungsi signum pada selang (

), fungsi itu menghasilkan limit yang bernilai 1 ketika c=0. Sama halnya saat kita

batasi fungsi signum pada batas (

), fungsi itu menghasilkan limit yang bernilai -1

ketika c=0. Ini adalah contoh dasar dari limit kanan dan kiri ketika c=0.

4.3.1 Definisi Misal i.

dan Jika

(

adalah titik cluster dari himpunan

kemudian kita katakan bahwa

)

*

+

adalah suatu limit kanan dari f pada titik c

dan kita tulis: ( )

ii.

( )

Jika diberikan

ada sebuah

dengan

, kemudian | ( )

Jika

sehingga untuk semua

|

adalah titik cluster dari himpunan

kemudian kita katakan bahwa

(

)

*

+

adalah suatu limit kiri dari f pada titik c dan

kita tulis: ( )

Jika diberikan

ada sebuah , kemudian | ( )

sehingga untuk semua

dengan

|

Catatan (1)

dan

dikatakan limit satu sisi dari f pada c. Mungkin saja kedua

limit satu sisi itu tidak ada. Dan juga, mungkin saja salah satu darinya ada walaupun yang lain tidak ada. Sama halnya, pada kasus ( )

( ) ketika

, mereka mungkin ada

dan berbeda. (2) Jika A adalah selang dengan titik pangkal kiri c, kemudian lebih mudah terlihat bahwa mempunyai limit di c jika dan hanya jika dia mempunyai limit kanan di c. Selain itu, pada kasus ini

dan limit kanan

adalah sama. (situasi yang sama

muncul untuk limit kiri ketika A adalah selang dengan titik pangkal kanan c.)

Pembaca dapat menunjukkan bahwa f dapat mempunyai hanya satu limit kanan pada suatu titik (begitupun yang kiri). Ada hasil yang sesuai dengan bagian yang telah ditetapkan pada bagian 4.1 dan 4.2 untuk limit dua arah. Khususnya, keberadaan dari limit satu sisi dapat dikurangi untuk pertimbangan yang berurutan

Retno Kusuma P. (3115126523)

Theorem 4. 3. 2 Ambil A c R, jika suatu fungsi f : A → R, dan ambil c 𝞊 R menjadi titik kumpul dari A (c,∞). Lalu pernyataan- pernyataan yang equivalen : (i) (ii)

Untuk setiap barisan (

) itu konvergen ke c seperti

semua n 𝞊 N, barisan (f <

𝞊 A dan

> c untuk

) konvergen ke L.

Kita tinggalkan bukti dari hasil ini (dan rumus serta bukti dari hasil untuk batas disisi kiri) untuk pembaca. Kita tidak akan berikan jarak untuk menulis rumus dari satu sisi dari hasil lainnya di sub bab 4. 1 dan 4. 2. Hasil berikutnya berhubungan dengan notasi dari batas fungsi ke batas satu sisi. kita tinggalkan bukti diatas sebagai latihan.

Theorem 4. 3. 3 Ambil A c R, jika suatu fungsi f : A → R, dan ambil c 𝞊 R menjadi titik kumpul dari kedua himpunan A ∩ (c, ∞) dan A ∩ (-∞, c). Lalu

jika dan hanya jika

Contoh 4. 3. 4 (a) Ambil f(x) := sgn(x). Kita lihat contoh 4. 1. 10 (b) itu sgn tidak punya limit di 0. Hal tersebut jelas bahwa ( )

( )

Sejak limit disatu sisi berbeda, yang

juga mengikuti dari theorem 4. 3. 3 bahwa sgn(x) tidak punya limit di 0.

(b) Ambil g(x) :=

⁄

untuk x ≠ 0. ( lihat gambar 4. 3. 1.)

1 x Gambar 4. 3. 1 Grafik dari g(x) =

⁄

( x ≠ 0).

Pertama kita tunjukkan g tidak punya batas sisi kanan yang berhingga di c = 0 karena tidak dibatasi disetiap lingkungan kanan (0, δ) dari 0. Kita akan memanfaatkan ketidaksamaan

(1)

0 < t < e' . untuk t > 0,

Yang mana akan dibuktikan kemudian (lihat kesimpuan 8. l. l). itu diikuti dari (1) jika x > 0, lalu 0 < 1/x <

⁄

. Oleh karena itu, jika kita ambil x,. = 1/n, lalu g(x,.) > n untuk semua n ⁄

𝞊 N. Oleh karena itu, Namun,

⁄

memperoleh 0 < -1/x <

tidak ada di R.

. Memang, jika x < 0 dan kita ambil t = -1/x di (1) kita ⁄

. Sejak x < 0, ini diimplikasikan bahwa 0 <

semua x < 0. Itu akan mengikuti ketidaksamaan ini bahwa

⁄

.

⁄

< -x untuk

(c) Ambil h(x) := 1/(

⁄

) untuk x ≠ 0. (lihat gambar 4. 3. 2.) ⁄

Kita lihat dibagian (b) bahwa 0 < 1/x <

⁄

untuk x > 0, yang mana

⁄

Yang mana dimplikasikan bahwa

1 ⁄

Gambar 4. 3. 2. Grafik dari h(x) = 1/(

⁄

+ 1) (x ≠ 0).

Riska Ramanda S. (3115126524)

Karena kita telah melihat di bagian

(b) bahwa

maka dari analog

Teorema 4.2.4 (b) untuk batas kiri bahwa

Perhatikan bahwa untuk fungsi ini, baik batas satu sisi ada di R, tetapi mereka tidak sama.

Limit Tak Berhingga Fungsi f(x):= 1/x2 untuk x ≠ 0 (lihat gambar 4.3.3) tidak dibatasi oleh kitaran 0, sehingga tudak bisa mempunyai sebuah limit dalam arti definisi 4.14. sementara simbol ∞ (=+∞) dan -∞ tidak mewakili bilangan ril, itu terkadang berguna untuk dapat mengatakan bahwa “f(x)= 1/x2 menuju ∞ sebagai x

0”. Penggunaan +∞ tidak akan menimbulkan

kesulitan, asalkan kita berhati-hati dan tidak pernah menafsirkan ∞ atau -∞ sebagai bilangan ril.

Gambar 4.3.3

Gambar 4.3.4

2

Grafik dari f(x)=1/x (x ≠ 0)

Grafik dari f(x)=1/x (x ≠ 0)

Definisi 4.3.5 Anggap dan anggap c Kita katakan bahwa f menuju ke ∞ sebagai x

(i)

Jika

untuk

setiap |

(ii)

untuk

setiap |

sehingga

untuk

semua

untuk

semua

( )

Kita katakan bahwa f menuju -∞ sebagai x

Jika

c, ditulis:

( )

ada |

R menjadi titik cluster A.

( )

ada |

c, dan ditulis:

sehingga

( )

Contoh 4.3.6 ( )

(a)

Untuk, jika maka

diketahui, anggap

√ . Oleh karena itu jika

sehingga 1/x2 >

(b) Misalkan g(x) := 1/x untuk x ≠ 0 (lihat gambar 4.3.4)

| |

Fungsi g tidak menuju ∞ maupun -∞ sebagai x

0. Sebab, jika a> 0 maka g(x) <

untuk semua x < 0, sehingga g tidak menuju ∞ sebagai x

0. Sama halnya, jika

untuk semua x > 0, sehingga g tidak menuju -∞ sebagai x

maka g(x) >

. tapi sejak f(x) < g(x) untuk semua

selanjutnya bahwa jika Sehingga

, maka ada |

|

( ) dan

maka g(x) >

, .

.

Pembuktian (b) serupa.

Fungsi g (x) = 1 / x dipertimbangkan dalam Contoh 4.3.6 (b) menunjukkan bahwa mungkin berguna untuk mempertimbangkan satu sisi limit tak berhingga. Kami akan menentukan hanya batas kanan limit tak berhingga.

Definisi 4.3.8 Misalkan

dan misalkan f : A R. jika c

R adalah titik cluster dari himpunan

maka kita sebut bahwa f menuju ke ∞ [berturut-turut, - ∞] sebagai x

c dan kita tulis 0

1

Jika untuk setiap

( )

ada

maka ( )

sehingga untuk semua

,

( )

dengan

-

Safrielanita Deya W. (3115126526)

Contoh 4.3.9 ( )

(a) Ambil

⁄

Kita memiliki catatan di contoh 4.3.6(b) bahwa

tidak ada. Bagaimanapun, ini adalah soal yang mudah untuk membuktikan ( ⁄ )

( ⁄ )

dan

. ⁄

(b) Ini sudah ditunjukkan di contoh 4.3.4 bahwa fungsi ( ) dengan semua interval (

)

dengan esensi dari Definisi 4.3.1(i) bagaimanapun, saat ⁄

terlihat bahwa (Definisi 4.3.1 Ambil A (i)

Jika

⁄

. Dimana limit kanan dari

for

tidak dibatasi

dengan ⁄

⁄

tidak ada

untuk

sudah

sesuai dengan Definisi 4.3.8. dan ambil

. (

adalah titik kumpul dari himpunan

dapat dikatakan bahwa

)

adalah limit kanan dari

*

+ maka

di c dan tulis

( ) jika diberikan semua semua

( )

terdapat sebuah maka | ( )

dengan

|

sedemikian untuk )

Limit di Tak Hingga Ini juga diperlukan sekali untuk member definisi dari limit sebuah fungsi sebagai . Definisi sebagai

adalah sama.

Definisi 4.3.10 Ambil

Andaikan (

dan ambil

dapat mengatakan bahwa

adalah limit dari

)

untuk sebagian

Kita

dan ditulis

( ) jika diberikan semua | ( )

disana ada

( )

seperti itu untuk semua

lalu

| Pembaca harus mencatat kemiripan antara 4.3.10 dan definisi dari limit sebuah deret. Kami meninggalkan ini untuk pembaca untuk membuktikan limit dari

unik sewaktu-waktu saat mereka ada. Kami juga memiliki criteria contoh untuk limit ini;

itu dapat hanya dalam keadaan

. Ini dapat digunakan notasi dari limit sebuah deret

divergen yang pantas (lihat Definisi 3.6.1 Ambil (xn) sebuah deret bilangan-bilangan riil. (i)

Dapat dikatakan bahwa (xn) cenderung menuju untuk semua

( )

dan tulis

jika

disana terdapat sebuah bilangan asli K(α) sedemikian jika

( ) maka (ii)

dan tulis lim( )

Dapat dikatakan bahwa (xn) cenderung menuju untuk semua

jika

disana terdapat sebuah bilangan asli K(β) sedemikian jika

( ), maka Dapat dikatakan bahwa (xn) adalah divergen dengan wajar dalam kasus kita ( )

memiliki salah satu dari

( )

.)

Teorema 4.3.11 Ambil

, ambil

, dan andaikan (

)

untuk beberapa

. Lalu

pernyataan berikut setara: (i) (ii)

Untuk semua deret (xn) di

(

) sedemikian bahwa lim(xn) =

, deret (

(xn)) konvergen ke L. Ditinggalkan untuk pembaca untuk membuktikan teorema ini dan untuk memformulasi dan membuktikan hasil kawan mengenai limit dengan

.

Warih Pratiwi (3115126530)

Contoh 4.3.12 (a) Ambil ( )

⁄

.

Ini soal dasar untuk membuktikan bahwa Gambar 4.3.4)

( ⁄ )

( ⁄ ) (Lihat

(b) Ambil ( )

⁄ ( ⁄

Pembaca sebaiknya membuktikan bahwa

)

( ⁄

) (Lihat

Gambar 4.3.3)

Satu langkah yang dilakukan ini adalah untuk membuktikan jika ⁄

⁄

( ⁄

Dapat dilihat bagian (a), ini menyatakan bahwa

Hanya sebagai ini tepat untuk dapat dikatakan bahwa

( )

)

. sebagai

ini sesuai untuk memiliki hubungan dugaan sebagai memperlakukan kasus dimana

ini dapat

.

Definisi 4.3.13 Ambil

, dan andaikan (

, ambil

Dapat dikatakan bahwa

)

untuk beberapa

.

- sebagai

,

,

cenderung untuk

dan ditulis ,

-

.jika diberikan semua maka ( )

( )

disana terdapat

,

( )

sedemikian untuk semua

-.

Seperti sebelumnya ada kriteria yang berurutan untuk limit ini.

Teorema 4.3.14 Misalkan

dan anggaplah bahwa (

, misalkan

)

untuk beberapa

Kemudian pernyataan berikut adalah sama (equivalent): ,

i.

ii. Untuk setiap urutan ( ,

) di ( ( (

))

) seperti lim(

)

, kemudian lim( (

-

Kemudian hasil selanjutnya ada di analog dari Teorema 3.6.5

))

Teorema 3.6.5 Misalkan (

) dan ( ) sebagai urutan dari bilangan real positif dan anggaplah bahwa

untuk beberapa

, kami mempunyai ( )

(2) (

Kemudian

)= +

( )= +

jika dan hanya jika

Bukti. Jika (2) berlaku, terdapat

seperti

, untuk semua Maka kami memiliki .

/

(

) untuk semua

.

Teorema 4.3.15 Misalkan

dan anggaplah bahwa (

, misalkan

Misalkan lebih lanjut bahwa ( )

untuk semua

)

untuk beberapa

dan untuk beberapa

,

kami mempunyai ( ) ( ) i. Jika

maka

ii. Jika

maka

jika dan hanya jika jika dan hanya jika

Bukti i. Sejak

hipotesis menunjukkan bahwa ada ( )

sehingga

untuk setiap

( )

Oleh karena itu kami memiliki .

/

( )

( )

(

) ( ) untuk semua

kesimpulan yang didapat bukti ii serupa Kami menyerahkan kepada pembaca untuk merumuskan hasil analog seperti

Arum Wulandari (3115115684)

4.3.16 Contoh (a) lim xn =

untuk n

N.

, dari

misal g(x) := xn untuk x {0, ), kita mempunyai g (x) = x

n

, misal K

x > . karena

sup{1,

}. Untuk semua x > K,

adalah sebarang, oleh karena itu

= . (b) lim xn

for n

, n bilangan genap, and lim xn = - for n

, n bilangan ganjil.

Akan kita buktikan n bilangan ganjil, n = 2k+1 dengan k = 0, 1, · · ·. Diketahui

,

misal K

inf{ , -1}. Untuk setiap x < K, kemudian karena (x 2)k 1, kita memiliki xn = (x 2)k x x< .

karena

adalah sebarang, oleh karena itu lim xn = - .

(c) misalkan p:

fungsi polinomial.

p(x) := anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0. ketika

=

if an > 0, dan

= - jika an < 0.

benar, misal g(x} := xn dan menerapkan teorema 4.3.15. karena

Oleh karena itu lim (p{x)/g(x)) =an. Since lim g = , penegasan ini mengikuti dari teorema 4.3.15. (d) misalkan p adalah fungsi polinomial pada bagian (c). ketika lim p =

[berturutan, - ]

Jika n adalah bilangan genap [berturutan, bilangan ganjil] and an > 0.

Latihan 1. Buktikan teorema 4.3.2. 2. Berikan sebuah contoh fungsi yang memiliki batas kanan tapi tidak memiliki batas kiri pada titik 3. Misalkan . ( )

| |

for

Tunjukan bahwa

( )

( )

4. Misalkan c x

(c,

dan misalkan f didefinisikan untuk x

). Tunjukan bahwa

(c,

) dan f(x) > 0 untuk semua

jika dan hanya jika

.

5. Evaluate the following limits, or show that they do not exist.

6. Buktikan teorema 4.3.11. 7. Misalkan f dan g memiliki limits in R as x

dan f (x) g (x) untuk semua x (a, ).

Buktikan bahwa ( )

8. Misal f didefinisikan pada (0, ) untuk . Buktikan bahwa

jika dan

. /

hanya jika

9. Tunjukan jika f: (a, )

( )

sedemikian sehingga

dimana

,

( )

ketika

10. Buktikan teorema 4.3.14. ( )

11. Misalkan ( ) ( )

dimanaL > 0, dan

( )

. Tunjukan bahwa

. Jika L = 0, tunjukan dengan contoh bahwa kesimpulan ini

mungkin gagal. 12. Cari fungsi f and g pada (0, ) sedemikian sehingga . dan

(

0 untuk semua x

) (0,

13. Misal f dan g pada (a, bahwa

dan

. Dapatkah anda menemukan fungsi tersebut, dengan g(x) > ), sedemikian sehingga

. /

) dan misalkan

dan l

.Buktikan