Transformée en z

G. Pinson - Physique Appliquée

Transformée en z - B22 / 1

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B22 - Transformée en z • Théorème du retard en notation complexe Notations

signal analogique

signal échantillonné

représentation analytique

v(t) = V.sin(ωt)

v(kT e) = V.sin(ωkT e)

représentation complexe

v(t) = V.e

j ω(k-1)Te

v[(k-1)Te] = V.e

j ωt

j ωkTe -j ωTe

= V.e

j ωkTe

v(kT e) = V.e -j ωTe

.e

= v(kT e).e

-j ωTe

Théorème : à un retard Te correspond une multiplication par e j ωTe

Soit : z = e

, que l’on note z

-1

Te p

ou, en notation de Laplace, e

• Transformée en z d'un signal échantillonné TF

δ(t − kTe ) →

T. de Fourier d'un Dirac retardé :

T. F. d'un signal échantillonné (cf §B14) : ye (t ) =

+∞

e − jωkTe = z− k

∑ y(kTe ).δ(t − kTe )

k = −∞

TF

→ Y (z ) =

+∞

∑ y(kTe ).z −k

k = −∞ Z

Définition de la transformée en z :

ye (t ) → Y ( z)

Application :

Y(z) = H(z).X(z)

xe(t)

H(z)

X(z)

ye(t) Y(z)

Connaissant la fonction de transfert en z d'un système numérique, on peut déterminer sa réponse à un signal d'entrée échantillonné quelconque par : xe(t) → X(z) → Y(z) → ye(t) • Propriétés (notation simplifiée : y(kT e) = yk ) - Linéarité : - Théorème du retard : - Dérivation arrière : - Intégration simple :

Z[y1 +y2 ] = Z[y1 ] + Z[y2 ] et Z[ay1 ] = aZ[y1 ] → z − n.Y (z ) x − xk − 1 1 − z−1 Z yk = k → Y ( z) = X (z ) Te Te yk = y k −1 + Te x k yk −n

Z

→ Y ( z) = z−1Y (z ) + Te .X ( z) ⇔ Y (z ) = Z

X (z ) 1 − z −1 T 1 + z −1 Z → Y (z ) = e . .X (z ) 2 1 − z −1

- Th. de la valeur initiale :

x k + x k −1 2 lim k →0 y k = lim z→ ∞ Y (z)

- Th. de la valeur finale :

lim k →∞ y k = lim z→ 1 1 − z−1 Y (z )

- Int., méthode des trapèzes : yk = y k −1 + Te.

- Convolution (cf plus bas) : x k * yk ISBN 2-9520781-0-6

(

Z

→

←  Z −1

Te

)

X (z ).Y ( z) http://www.syscope.net/elec/

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• Passage : H(jω) ou H(p) → H(z) - Méthodes de calcul : - lecture directe d'une table Transformées de Laplace → Transformées en z - méthode simplifiée : effectuer dans H(p) les changements de variable suivants : 1 − z−1 . dérivée (multiplication par p) : p→ Te 1 Te . intégrale (division par p) : → p 1 − z−1  ∆t  −  Te 

e − ∆t. p → z 2 1− z−1 - méthode des trapèzes (plus précise) : p → . Te 1+ z−1 - Cas d'un procédé réel Dans la pratique, non seulement le signal est échantillonné, mais il est aussi bloqué. Dans la fonction de transfert globale, il faut tenir compte de l’existence du " bloqueur d’ordre zéro " (BOZ). . retard pur :

1 − e −Te p , d’où l’on tire la règle p suivante, en notant HB la transformée d’un système échantillonné ET bloqué, et Z[ ] la transformée  H ( p)  en z lue dans la table ou calculée par changement de variable : HB (z ) = 1− z−1 .Z    p  • Passage : H(z) → H(jω) ou H(p) On sait (§B14) que la transmittance de celui-ci est : B0 ( p) =

(

Par changement de variable :

)

z → e jωTe = cosωTe + j sin ωTe

• Passage : H(z) ↔ équation de récurrence F. transfert en z :

H (z ) =

Y (z) A + A1 z −1 + A2 z−2 + ... = 0 X ( z) 1 + B1 z −1 + B2 z−2 + ...

↔ équ. aux différences : Y (z ) + B1 z−1Y ( z) + B2 z −2Y (z ) + ... = A0 X (z ) + A1 z −1 X ( z) + A2 z−2 X (z ) + ... ↔ équation de récurrence : yk = −B1 y k −1 − B2 y k − 2 − ... + A0 x k + A1 x k − 1 + A2 x k − 2 + ... • Passage : équation de récurrence → yk Immédiat, en calculant pas à pas la suite {yk} à partir de la connaissance : - de l'équation de récurrence - de la suite {xk} des échantillons d'entrée - de la ou des conditions initiales y0 , y1 , ... • Passage : H(z) → hk (réponse impulsionnelle discrète du système) - Par division de polynôme :

H (z ) =

N ( z−1 ) −1

D( z )

= h0 + h1 z −1 + h2 z−2 + h3 z−3 + ...

- Par transformée en z inverse (lire dans une table) - Par convolution (voir compléments). • Passage : hk → H(z) : par transformée de Fourier discrète (exemple : méthode utilisée ci-dessus dans le § Transformée en z d'un signal échantillonné) ISBN 2-9520781-0-6

http://www.syscope.net/elec/

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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------−aT e

signal causal

x(t) [x=0 pour t