transformée en z

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La transformée en Z

⑦ LA TRANSFORMEE EN Z

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⑦ LA TRANSFORMEE EN Z..............................................................................................................1 I. TRANSFORMEE DE LAPLACE DES SIGNAUX DISCRETS ....................................................1 I.1. RAPPELS SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE :................................................................................1 I.2. CAS DES SIGNAUX DISCRETS: ...........................................................................................................2 Résultat mathématique fondamental:................................................................................................2 Première formulation :......................................................................................................................2 Seconde formulation : .......................................................................................................................2 II. LA TRANSFORMATION EN Z......................................................................................................4 II.1. DÉFINITION : ..................................................................................................................................4 II.2. CONVERGENCE :.............................................................................................................................4 Résultat: ............................................................................................................................................4 Preuve: ..............................................................................................................................................5 II.3. CALCUL DE LA TRANSFORMEE EN Z (CAS MONOLATERAL) :...........................................................5 Calcul direct à partir de la définition :.............................................................................................5 A partir de la seconde formulation de la transformée de Laplace : .................................................6 II.4. LIEN AVEC LA TRANSFORMEE DE LAPLACE : ..................................................................................6 III. PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE EN Z :.........................................................................7 P1 Linéarité : ....................................................................................................................................7 P2 Produit de convolution : ..............................................................................................................7 P3 Produit:........................................................................................................................................7 P4 Translation temporelle : ..............................................................................................................7 Avance temporelle (cas monolatéral) :.............................................................................................8 Retard temporel (cas monolatéral) :.................................................................................................8 P5 Translation complexe : ................................................................................................................9 P6 Théorème de la valeur initiale : ..................................................................................................9 P7 Théorème de la valeur finale :.....................................................................................................9 P8 Multiplication par tn : ................................................................................................................10 P9 Dérivation par rapport à un paramètre : ..................................................................................10 P10 Sommation ou "intégration discrète": .....................................................................................10 IV. INVERSION DE LA TRANSFORMEE EN Z ............................................................................11 IV.1. DIVISION SELON LES PUISSANCES DE Z-1 :....................................................................................11 IV.2. RESOLUTION DE L’EQUATION AUX DIFFERENCES : ......................................................................12 IV.3. DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES:....................................................................................12 Pôles et zéros: .................................................................................................................................12 Décomposition, modes:...................................................................................................................12 Pôles simples réels: zi est réel....................................................................................................13 Pôles simples complexes: zi est complexe. ...................................................................................13 Pôles multiples:...............................................................................................................................13 IV.4. METHODE DES RESIDUS : ............................................................................................................15 V. MODES ET POLES.........................................................................................................................17 V.1. CAS DE POLES SIMPLES:................................................................................................................17 V.2. CAS DES POLES DE MULTIPLICITE >1: ...........................................................................................20 V.3. MODES DOMINANTS ET MODES AUXILIAIRES :..............................................................................22 VI. LIEN AVEC LA TRANSFORMEE DE FOURIER ...................................................................23

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VII. LA TRANSFORMEE EN Z ET LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES ..........................23 VII.1. SYSTEMES LINEAIRES ET EQUATIONS RECURRENTES : ...............................................................24 VII.2. LES DIFFERENTS TERMES D'UNE REPONSE : ................................................................................24 Réponse libre : ................................................................................................................................24 Réponse forcée :..............................................................................................................................25 Fonction de transfert: .....................................................................................................................25 VII.3. TRANSFORMEES DE LAPLACE ET TRANSFORMEES EN Z USUELLES ....................26 ⑦ EXERCICES .....................................................................................................................................27

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Dans le chapitre sur les distributions, nous avons étudié la manière de traiter la distribution de Dirac δ(t) ainsi que le peigne de Dirac. Ce dernier nous à permis de modéliser de façon plus pratique les signaux périodiques et aussi une catégorie de signaux que nous avons appelés les signaux discrets. Ces derniers sont à la base de toute la théorie du signal moderne, de ce que nous entendons parfois appeler le "numérique". Dans ce domaine, un cas particulier est toujours celui des systèmes linéaires invariants (SLI) pour lesquels en continu nous avons étudié la transformée de Laplace. En discret cette transformée n'est pas aussi intéressante telle quelle et demande un changement de variable, c'est ce qui va donner naissance à la transformée en z. Celle-ci n'est donc pas à proprement dit une nouveauté et son étude reprend point par point ce qui a été fait lors de l'étude de la transformée de Laplace.

I. TRANSFORMEE DE LAPLACE DES SIGNAUX DISCRETS I.1. Rappels sur la transformée de Laplace : Pour un signal quelconque la transformée de Laplace (TL) est définie par :

p = σ + jω TL[x(t)] = X(p) =

+∞

∫

x(t) e− ptdt

−∞

Les mathématiques ayant largement développé les conditions d’existence et l’abscisse de convergence σ0 de cette transformée. Cette transformation est la transformée bilatérale. Grand nombre de signaux étudiés n’ont d’existence que pour t≥0. Ce sont les signaux causaux pour lesquels la définition devient :

p = σ + jω TL[x(t)] = X(p) =

+∞

∫

x(t) e− ptdt

0−

C'est la transformée de Laplace monolatérale qui est celle qui est utilisée par défaut. C'est en particulier celle dont les résultats sont portés dans les tables habituelles. La transformée de Laplace est une fonction de la variable complexe p et il existe une transformation inverse qui est une intégration dans le plan complexe :

p = σ + jω TL−1[X(p)] = x(t) = 1 2jπ

c + j∞

∫

X(p) eptdp

c − j∞

La transformée de Laplace est un outil puissant pour aider à résoudre les équations différentielles à coefficients constants avec ou sans conditions initiales. Largement utilisée dans l'étude des signaux continus et des systèmes continus linéaires invariants dans le temps, elle amène la notion de fonction de transfert qui permet de substituer à la lourde résolution de systèmes d’équations différentielles un calcul à base de polynômes pour lesquels les mathématiques fournissent un grand nombre d’outils. Lors de la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants la transformée qui est utilisée est la transformée monolatérale. Dans ce cas, causal ou non, le signal n'est pris en compte que sur l'intervalle de temps [0 ; +∞] et les théorèmes de la dérivation et de l'intégration permettent de tenir compte (pour les signaux non causaux) des conditions initiales éventuelles. G.BINET MdC 61

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I.2. Cas des signaux discrets: Un signal discret est modélisé mathématiquement par pondération d’une distribution peigne de Dirac par les échantillons {xk} du signal : +∞

∑ xk δ(t − kTs) ,

x(t) =

k = −∞

Ts étant l’intervalle entre deux échantillons successifs, appelée période d’échantillonnage. Nous nous contenterons des résultats pour des signaux à période d’échantillonnage constante. Résultat mathématique fondamental: La transformée de Laplace peut se généraliser a certaines distributions et en particulier aux distributions singulières comme la distribution de Dirac δ(t). Cette théorie permet de démontrer que:

TL[δ(t − t0) ] = e−pt0 Première formulation : En utilisant le résultat précédent pour calculer la transformée de Laplace d'un signal discret il vient immédiatement:

TL[x(t)] =

+∞

∑ xk e−pkT

s

k = −∞

Si nous ne prenons en compte que la partie t≥0 d'un signal (causal ou non), nous utilisons alors la transformée monolatérale définie par:

TL[x(t)] =

+∞

∑ xk e−pkT

s

k =0

remarque: ces expressions font intervenir des exponentielles en p et nous avons donc perdu, à ce stade, le côté polynomial de la transformée de Laplace. Seconde formulation : Ce paragraphe, fondamental du point de vue des mathématiques, l'est moins si nous nous fixons un objectif d'utilisation et d'application. Dans ce cours, il peut être ignoré dans une première lecture et ensuite repris pour compléter et renforcer sa culture mathématique. Il implique comme pré-requis de savoir conduire une intégration dans le plan complexe. Son application essentielle est de permettre de travailler sur des signaux discrets provenant de l’échantillonnage d’un signal continu xc(t). Nous nous limiterons aussi uniquement au cas de la transformée monolatérale:

x(t) =

+∞

+∞

∑ xk δ(t − kTs) = xc(t) ∑ δ(t − kTs)

k =0

TL[xc(t)] = Xc(p) =

k =0

+∞

∫

0−

xk = xc(t = kTs) = 1 2jπ

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xc(t) e− ptdt c + j∞

∫

c − j∞

TL−1[Xc(p)] = xc(t) = 1 2jπ

c + j∞

∫

c − j∞

Xc(p) eptdp

Xc(p) epkTs dp

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En utilisant la première formulation :

TL[x(t)] =

+∞

+∞



c + j∞

 Xc(p′) ep′kTs dp′ e− pkTs  c − j∞

∑ xk e−pkT = ∑  21jπ ∫ k =0 k =0  s



c + j∞  + ∞ −(p − p )kTs  1 1 ′ X ( p ) e d p = dp′ ∑  ′ 2jπ ∫ Xc(p′) ∫ c ′  k =0 − (p − p′)Ts 1 − e  c − j∞ c − j∞ 1 = Xc(p) ⊗ 1 − e− pTs Xc(p′) La fonction à intégrer dans le plan complexe est : . 1 − e−(p − p′)Ts

= 1 2jπ

c + j∞

[

]

L’intégration peut être réalisée de deux manières selon le contour d’intégration choisi. Les pôles de cette fonction sont séparables en deux classes : •

σ

Ceux provenant de Xc(p’) qui sont en nombre fini et situés dans le demi-plan gauche si xc(t) est stable.

•

ceux provenant de

-(p-p’)Ts 1 . Tels que e =1 ⇒ (p-p’)Ts=1 − e−(p − p′)Ts

j2kπ ⇒ p’=p+j2kπ/Ts. Ils sont en nombre infini.

Le contour d’intégration peut être fermé par la gauche ou par la droite en assurant la condition c z=e

=> |z|=1. L’axe

imaginaire du plan p est transformé dans le plan z en un cercle de rayon unité. Centre du plan p : p=0 => z=1. Le centre du plan p est transformé sur le point z=1. Demi-plan gauche : p=σ+jω avec σ |z|=eσTs0 => |z|=eσTs>1. Le demi-plan droit de Laplace se transforme en l’extérieur du cercle unité du plan z. Droite verticale : σ=cste => |z|=cste => z décrit un cercle. σ0 le cercle est à l’extérieur du cercle unité. Droite horizontale : ω=cste => Arg(z)=cste => z décrit une droite oblique passant par l’origine.

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Droite oblique passant par l’origine : Ces droites correspondent dans l’étude de systèmes continus à des pôles à amortissement constant :

p = −ζω 0 ± jω 0 1 − ζ 2 ⇒

Re(p) ζ =± = cste si ζ = cste Im(p) 1− ζ2

2 ⇒ z = e −ζω0Ts e ± jω0 1−ζ Ts

z décrit des cardioïdes partant de z=1. Ces courbes sont moins simples à utiliser que les droites du plan p.

III. PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE EN Z : pTs

Le changement de variable z = e

fait que nous allons retrouver toutes les propriétés de la

transformée de Laplace. Nous nous intéresserons plus particulièrement à la transformée monolatérale qui ne prend en compte que la partie t≥0 d'un signal. P1 Linéarité : La TZ obéit au principe de superposition : ∀α et β ∈C TZ[ αx(t) + β y(t)]= α TZ[x(t)] + β TZ[y(t)]. P2 Produit de convolution :

  TZ[y(t) ⊗ x(t)] = ∑ ∑ yk − n xn  z− k = ∑∑ yk − n xnz− k = k n n k 

∑∑ ymxnz−(m + n) n m

= ∑ xnz− n∑ ymz− m = TZ[y(t)].TZ[x(t)] n

m

TZ[x(t) ⊗ y(t)]= TZ[x(t)].TZ[y(t)]. Propriété déjà connue pour la TL : la TZ d’un produit de convolution est le produit des TZ. P3 Produit: Le produit de deux distributions singulières n'existant pas mathématiquement, le produit de deux signaux discrets en tant que produit de deux distributions n'a pas de sens. Nous pouvons cependant définir un signal discret dont les échantillons sont le produit des échantillons de deux autres signaux. Cette définition physiquement cohérente avec le cas continu ne lui est pas équivalente mathématiquement. Nous aurons ainsi une différence majeure avec le cas continu: la transformée en Z d'un "produit" de deux signaux discrets n'est pas la convolution des transformées en Z. P4 Translation temporelle : L'étude est séparée artificiellement en deux cas: l'avance et le retard. Ce sont ces théorèmes fondamentaux qui permettent de prendre en compte les conditions initiales d'un problème traité avec la transformée monolatérale. L’opération de translation temporelle d’un signal d'une période d'échantillonnage est symbolisée par l’opérateur q

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Avance temporelle (cas monolatéral) : n

q x(t) = x(t+Ts) q x(t) = x(t+nTs) avec n>0. Schématisons l'avance d'une période d'échantillonnage:

x1 x0

x2

x-1

x-2

t=0

x1 x4

x0

x3

x5

x-2

x2

x-1

signal d'origine

x4 x3

x5

t=0 signal avancé de Ts

Calculons la transformée en Z du signal avancé d'une période d'échantillonnage:

TZ[ q x(t) ] = x1 + x2 z−1 + x3 z− 2 + x 4 z− 3 + .... = =z

+∞



+∞



m =1

m =0



+∞

+∞

k =0

m =1

∑ xk +1 z− k = ∑ xm z− (m −1)

∑ x m z− m = z  ∑ x m z− m − x 0 

[

]

TZ q x(t) = z TZ[x(t)] − z x0

D'où la relation:

De proche en proche nous pouvons généraliser cette formule au cas d'une avance de n périodes d'échantillonnage:

[

]

n −1

TZ qn x(t) = znTZ[x(t)] − zn ∑ xm z− m m =0

Retard temporel (cas monolatéral) : -1

-n

q x(t) = x(t-Ts) q x(t) = x(t-nTs) avec n>0 Prenons le schéma pour un retard d'une période d'échantillonnage:

x1 x0 x-2

x-1 t=0

x1 x2

x4 x3

x0 x5

signal d'origine

x-2

x-1

x2

x4 x3

x5

t=0 signal retardé de Ts

Calculons la transformée en Z du signal retardé d'une période d'échantillonnage:

[

TZ q

−1

]

x(t) = x −1 + x0 z−1 + x1 z− 2 + x 2 z− 3 + .... =

+∞

+∞

k =0

m = −1

∑ xk −1 z− k = ∑ xm z− (m +1)

+∞

 +∞  = z−1 ∑ x m z− m = z−1  ∑ x m z− m + z x −1  m = −1 m =0  D'où la relation:

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[

]

TZ q−1x(t) = z−1 TZ[ x(t) ] + x−1

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De proche en proche nous pouvons généraliser cette formule au cas d'un retard de n périodes d'échantillonnage:

[

]

TZ q− n x(t) = z− n TZ[ x(t) ] +

n

∑ x− m

m =1

z− (n − m)

Les deux formulations sont semblables et sont de première importance dans les applications de la transformée en Z car elles permettent de prendre en compte les conditions initiales d'un problème. cas bilatéral: Beaucoup plus simple mais d'intérêt pratique moindre le calcul est identique dans le cas de l'avance (n>0) et du retard (n 1 ⇒ mode divergent.

•

si |zi| = 1 ⇒ ce qui était un mode borné dans le cas du pôle simple devient un mode divergent d'amplitude donnée par k. Généralisation: Le calcul précédent peut être généralisé à un pôle zi de multiplicité m quelconque. Sans détailler, nous

pouvons rapidement retracer les grandes lignes du raisonnement:

X(z) =

C z C z C z (..) = ... + i,1 + i,2 2 + ....... + i, m m + ........ m ( ) z − z i (z − zi ) (z − zi ) .......(z − zi ) ....

Ceci donne comme échantillons: k

k

xk =…….+ (.) zi + (.) k. zi +……..+ (.) k xk =…….+[(.) + (.) k. +……..+ (.) k

m-1

m-1

k

zi +…………

k

] zi +…………

où (.) désigne des coefficients à calculer. Si nous appelons mode associé au pôle de multiplicité m le terme: [(.) + (.) k. +……..+ (.) k

m-1

k

] zi = Pm-1(k). zi

k

k

il est constitué du produit d'un polynôme en k (Pm-1(k)) d'ordre (m-1) par la puissance zi . Pour les limites asymptotiques lorsque k→ +∞ nous aurons les trois points suivants: •

si |zi| < 1 ⇒ mode amorti.

•

si |zi| > 1 ⇒ mode divergent.

•

si |zi| = 1 ⇒ ce qui était un mode borné dans le cas du pôle simple devient un mode divergent d'amplitude bornée par Pm-1(k) équivalent à k

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m-1

lorsque k→ +∞.

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IV.4. Méthode des résidus : Toujours en se référant à la transformation de Laplace, la recherche des {xk} peut se faire par une intégrale d’inversion effectuée dans le plan complexe et dont la solution peut être obtenue par un calcul de résidus. Nous justifions ici les grandes lignes du calcul sans entrer dans les détails d’existence ou non du résultat. Cette formule d’inversion est valable dans le cas général c’est à dire aussi bien en TZ monolatérale qu’en TZ bilatérale et elle donne toujours le résultat de manière souvent simple malgré une formulation qui peut apparaître au premier abord comme étant compliquée.

X(z) =

+∞

+∞

k = −∞

k = −∞

∑ xk z− k ⇒ zn −1X(z) = ∑ xk zn − k −1 = ... + xn − 2 z1 + xn −1 + xn z−1 + xn +1 z− 2 + ..... n-1

On intègre z X(z) sur un contour fermé du plan z contenant tous les pôles de X(z). Ce contour peut être un cercle (C) de rayon R, parcouru dans le sens trigonométrique et appartenant au domaine de convergence R_ < R < R+ et donc contenant tous les pôles de la partie causale:

∫z

n −1

X(z)dz =

(C)

+∞

+∞

+∞

∑ ∫ x k zn − k −1dz = ∑ ∫ x n − m zm −1dz = ∑ ∫ x n − m zm dzz k = −∞ m = −∞ m = −∞ (C)

(C)

(C)

dz = jRe dα

jα

∫ (C)

[ ]

2π

2π

x n − m zm dz = ∫ x n − m R me jmα j dα = jxn − m R m ejm 0 z

pour m = 0

∫ (C)

jmα

xn − m zm dz = z

0

= 0 si m ≠ 0

2π

∫ (C)

=>dz/z = j dα

jα

Sur le grand cercle de rayon R : z = Re

x n dz = ∫ xn j dα = j2πx n = 0 z

∫z

n −1

X(z)dz

(C)

L’évaluation de l’intégrale se fait grâce au théorème des résidus : l’intégrale le long du contour est la n-1

somme des résidus de la fonction à intégrer (ici z X(z)) dans le contour choisi. Nous obtenons ainsi le résultat intéressant : x n = 21jπ

∫z

n −1

X(z) dz =

(C)

∑ résidus [ zn −1 X(z) ]

/ pôles de z n −1 X(z)

Les mathématiques nous donnent l'expression du résidu d’une fonction F(z) de variable complexe z par rapport à un pôle zi de multiplicité m qui est calculable par l’expression :

[

]

[

Résidu[F(z)]z = z = (m1−1)! d (m−1) (z − zi)mF(z) i dz z = zi

⇒

xn =

∑

n −1

/ pôles z X(z)

(m −1)

[

d(m −1) 1 (m −1)! dz(m −1)

[(z − z ) z i

m n −1

X(z)

]

z = zi n-1

remarque : La fonction que l’on cherche à intégrer est bien F(z) = z X(z). Les points singuliers intervenant dans le calcul des résidus peuvent être de deux origines : les pôles de X(z) et éventuellement des n-1

pôles à l’origine provenant du terme en z exemple:

X(z) =

pour n>0 deux pôles simples

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si celui-ci n’a pas été simplifié par X(z).

1 zn −1 avec a et b réels. zn −1X(z) = (z − a)(z − b) (z − a)(z − b) z1=a et z2=b ⇒ deux résidus à calculer.

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n −1 résidu en z = a: a (a − b )

résidu en z = b:

⇒ solution pour n ≥ 1:

n −1 n −1 n −1 n −1 xn = a + b = a −b (a − b) (b − a) (a − b)

pour n = 0 trois pôles simples résidu en z = a:

bn −1 ( b − a)

z1 = a et z2 = b et z3 = 0 ⇒ trois résidus à calculer.

1 a (a − b )

résidu en z = b:

x0 =

⇒ solution pour n = 0:

résidu en z = 0: 1 ab

1 b (b − a)

1 1 + + 1 =0 a (a − b) b (b − a) a b

cas général ou comment se simplifier le travail : Une simple remarque permet d'éviter les états d'âme et de savoir quels sont les termes qu'il est utile de calculer. Repartons de l'hypothèse où X(z) est sous forme rationnel polynomial : nb

X(z) =

N(z) = D(z)

∑ b k zk

k =0 nb

∑ ai zi

i =0

na et nb sont respectivement les degrés du dénominateur et du numérateur. -1

nb

Nous pouvons nous ramener à une forme en z

na

en factorisant z

au numérateur et z

au

dénominateur : nb

∑ bk zk

N(z) k =0 X(z) = = n D(z) b

∑ ai z

i =0

i

nb

=

zn b ∑ bk zk − n b k =0 nb

zn a ∑ ai zi − n a

nb

∑ bk zk − n

nb = zn k =n 0 z a b

∑ ai zi −n

i =0

nb

∑ bk zk −n

b

b

= z(n b − n a) k =n 0 b

a

i =4 0 42443 1

∑ ai zi −n

a

i =0

F(z-1) -1

Nous faisons ainsi apparaître une fonction en z

-1

: F(z ) dont il est théoriquement aisé de calculer -1

l'original en utilisant la division polynomiale. Ceci nous permet d'affirmer que F(z ) est de la forme :

F(z−1) =

+∞

∑ fn z-n

n =0

et il est immédiat de voir que f0 = b0/a0 et nous savons calculer les autres coefficients mais

nous allons bien nous en garder compte tenu des remarques faites sur la méthode de la division polynomiale. Quelles en sont les conséquences sur le calcul d'inversion de X(z) ? Trois cas sont possibles : -1

1. numérateur et dénominateur de même degré en z : na = nb . X(z) = F(z )

⇒

xn = fn et nous devons

calculer tous les termes donc tous les résidus pour n ∈[ 0 ; +∞ ]. 2. numérateur de degré inférieur à celui du dénominateur : nb < na. Nous pouvons poser na-nb = d et : X(z) -d

-1

= z F(z ). Cette expression indique (P4) que x(t) est un signal presque identique à f(t) mais retardé de d périodes d'échantillonnage

⇒

le premier échantillon non nul de x(t) sera donc

xd = f0. En utilisant la méthode des résidus sur X(z), nous n'avons besoin de calculer les résidus que pour n ∈[ d ; +∞ ], ceux pour n < d donnant des échantillons nuls.

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3. numérateur de degré supérieur à celui du dénominateur : nb > na. Nous pouvons poser nb-na = c et : c

-1

X(z) = z F(z ). Cette expression indique (P4) que x(t) est un signal presque identique à f(t) mais avancé de c périodes d'échantillonnage

⇒

le premier échantillon non nul de x(t) sera donc

x0 = fd. En utilisant la méthode des résidus sur X(z) nous devrons donc calculer tous les termes pour n ∈[ 0 ; +∞ ]. Ici n'apparaît pas de simplification de calcul.

Ce qui est intéressant dans la pratique, ce sont surtout les cas 1 et 2 ( le cas 1 n'étant que le 2 avec d=0 ) qui permettent de savoir à priori le nombre d'échantillons nuls et donc inutiles à calculer ainsi que la valeur du premier échantillon non nul xd = f0 = b0/a0 ce qui fournit une vérification possible pour les calculs effectués. En reprenant l'exemple précédent : X(z) = soit d = 1

⇒

x0 = 0 et x1 = 1

⇒

z (z − a)(z − b) il était inutile de calculer x0 et nous vérifions bien que dans la

solution xn>0 nous obtenons x1 = 1 donc à priori pas d'erreur de calcul. Remarque : Le calcul d’un résidu pour un pôle simple ou multiple fourni le mode associé à ce pôle. La méthode des résidus est ainsi équivalente à celle de la décomposition en éléments simples et les calculs qu’elle demande ne peuvent être que plus simples.

V. MODES ET POLES Cette étude récapitule des résultats établis et anticipe sur des résultats qui seront revus par la suite. Dans l'étude de l'inversion de la transformée en Z soit X(z) → {xk} deux grandes méthodes s'associent à la notion de "modes": la décomposition en éléments simples et la méthode des résidus. Ces deux méthodes sont rigoureusement équivalentes et décomposent le problème en séparant les différents termes liés aux pôles de X(z).

V.1. Cas de pôles simples: Il y a deux raisons essentielles pour s'intéresser au cas particulier d'une fonction en z n'ayant que des pôles simples: c'est un cas simple à analyser et c'est, pratiquement, le cas le plus fréquent. Dans le cas de pôles simples, nous avons établi le résultat général suivant: un pôle simple zi dans k

l'expression de X(z) introduira un terme en (zi) dans la réponse temporelle. Ce terme est appelé un "mode". Cette notion est légèrement modifiée: •

zi réel: le mode est bien en (zi)

•

zi complexe: zi = |zi| e

jωTs .

k

On associe dans l'expression temporelle, le terme provenant du pôle

complexe conjugué. Le résultat donne un terme du type |zi| cos(ωkTs+ϕ) qui est appelé un mode k

oscillant (c'est en réalité la superposition de deux modes associés à deux pôles complexes conjugués).

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première conséquence: Pour un pôle simple donné, le mode temporel correspondant peut avoir trois comportements: •

il est amorti et tend asymptotiquement vers 0 lorsque k→+∞. C'est le cas si |zi| < 1 ⇒ le ou les pôles étudiés sont à l'intérieur d'un cercle de rayon 1 : le cercle unité. L'amortissement sera d'autant plus lent que le ou les pôles seront voisins du cercle unité.

•

il est divergent et tend asymptotiquement vers une limite non bornée lorsque k→+∞. C'est le cas si |zi| > 1 ⇒ le ou les pôles étudiés sont à l'extérieur du cercle unité. La divergence sera d'autant plus lente que le ou les pôles seront voisins du cercle unité.

•

il n'est ni convergent ni divergent et son amplitude reste bornée à une valeur non nulle lorsque k→+∞. C'est le cas si |zi| = 1 ⇒ le ou les pôles étudiés sont sur le cercle unité.

Ces résultats sont rappelés dans des cas simples par les figures ci-dessous. Lorsque les modes se superposent dans une expression temporelle, ils sont affectés de coefficients plus ou moins grands qui dépendent des zéros de la fraction X(z).

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La transformée en Z

V.2. Cas des pôles de multiplicité >1: Nous avons vu qu’un pôle zi de multiplicité m introduisait dans la solution un terme du type Pm-1(k).zi

k

que nous appelons mode associé au pôle de multiplicité m. Il est constitué du produit d'un polynôme Pm-1(k) k

d'ordre (m-1) en k par la puissance zi . Pour les limites asymptotiques lorsque k→ +∞ nous avons les trois points suivants: •

si | zi | < 1 ⇒ mode amorti.

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•

si | zi | > 1 ⇒ mode divergent.

•

si | zi | < 1 ⇒ ce qui était un mode borné dans le cas du pôle simple devient un mode divergent d'amplitude bornée par Pm-1(k) équivalent à k

m-1

lorsque k→ +∞.

Tout ceci est illustré par les quelques figures suivantes:

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La transformée en Z

V.3. Modes dominants et modes auxiliaires : Dans le cas de modes amortis, plusieurs modes peuvent se superposer dans l'expression temporelle. Il est évident que lorsque k→+∞ le mode qui a tendance à subsister est celui qui est le moins amorti et nous le qualifieront de dominant. •

lors de la comparaison de deux modes, on appellera mode dominant celui dont l'expression s'amortit le plus lentement. L'autre sera qualifié de mode auxiliaire.

•

le mode dominant correspond donc à un ou des pôles plus proches du cercle unité que dans le cas d'un mode auxiliaire. Par extension on parle aussi de pôle(s) dominant(s) et de pôle(s) auxiliaire(s).

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La transformée en Z

VI. LIEN AVEC LA TRANSFORMEE DE FOURIER La transformée de Laplace est un outil fondamental pour la théorie des signaux et systèmes linéaires invariants par translation dans le cas continu. La transformée en Z joue le même rôle pour les signaux et systèmes discrets. Pour les systèmes linéaires continus, nous avons aussi un outil très intéressant qui est l'approche fréquentielle liée à la manipulation mathématique de la transformée de Fourier et le lien entre la transformée de Laplace est simple à établir car il suffit d'appliquer l'identité p=jω. Cette manipulation n'est possible et n'a de sens que si nous avons le droit de faire σ=0 ce qui implique que l'axe imaginaire du plan complexe soit contenu dans le domaine d'existence (demi-plan) de la fonction en p étudiée. La transformée en Z n'est, comme nous l'avons rappelé au début, qu'une transformée de Laplace sur pTs

laquelle nous avons effectué un changement de variable complexe z = e jωTs

transformée de Fourier se fait en appliquant z = e

. Intuitivement donc, le passage à la

ce qui revient à faire décrire le cercle unité à la variable z.

Comme pour la transformée de Laplace, ce cas particulier n'a de sens que si le cercle unité appartient à l'anneau de convergence de la fonction en z étudiée. La transformée de Fourier d'un signal discret est périodique et de "période fréquentielle" égale à l'inverse de la période d'échantillonnage : fs=1/Ts. Cette propriété a été approchée dans ce qui précède de plusieurs manières rigoureusement équivalentes: •

Dans

le

TF[x(t)] =

sous-chapitre

XII.1.2

"seconde

formulation",

nous

avons

montré

que:

+∞

1  i   T Xc j2π(f + T )  xc(t) étant un signal continu qui est échantillonné, et x(t) le signal s   i = −∞  s

∑

échantillonné. Cette formule nous indique que la transformée de Fourier de x(t) est obtenue à partir de la transformée de Fourier de xc(t) qui est périodisée à la période 1/Ts puis nous ajoutons toutes les contributions. La transformée de Fourier de x(t) est donc périodique de période fréquentielle 1/Ts •

Dans le paragraphe XII.1.4 où nous avons montré que l'ensemble du plan Z correspondait à n'importe quelle bande du plan p de largeur 2π/Ts en pulsation soit 1/Ts en fréquence.

•

jωTs

Dans ce paragraphe où pour passer à la transformée de Fourier on fait, si cela est possible, z=e

ce

qui revient à faire décrire par z le cercle de rayon unité. En décrivant ce cercle unité on a pour z une périodicité telle que ωTs=2π soit f=1/Ts.

VII. LA TRANSFORMEE EN Z ET LES EQUATIONS AUX DIFFERENCES La transformée en z est un outil mathématique qui, dans le domaine du traitement de signal, offre une approche pour la résolution des équations aux différences (ou équations récurrentes) qui décrivent les SLI ( Systèmes Linéaires Invariants par translation ). Comme pour la transformée de Laplace, je pense utile de présenter sommairement l'application aux SLI bien que cela relève d'autres cours qui traitent plus spécifiquement ce sujet ( filtrage, automatique,….)

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La transformée en Z

VII.1. Systèmes linéaires et équations recurrentes : Un système linéaire invariant discret d'entrée x(t) et de sortie y(t) (x(t) et y(t) sont des signaux discrets) a un comportement décrit par une équation récurrente coefficients constants :

y(t) = b0 x(t) + b1 x(t − Ts) + ... + bm -1 x(t − (m - 1)Ts) + bm x(t - mTs) - a1 y(t − Ts) + ... + a n -1 y(t − (n − 1)Ts) + a n y(t - nTs) Avec une écriture plus réduite:

y(t) =

m

n

∑ bm x(t − mTs) − ∑ ai y(t − iTs)

k =0

i1 =14 4244 3

terme de récurrence

ou, avec comme convention a0 = 1 : n

m

i=0

k =0

∑ ai y(t − iTs) = ∑ bk x(t − mTs) ième

L'équation aux différences est du n

ordre en y

⇒

le système est d'ordre n.

En prenant la TZ de l’équation et en tenant compte des conditions initiales sur y(t) : n  m −i  −k  * −1  ∑ a i z Y(z) − Ci (z ) =  ∑ bk z X(z) i = 0  k =0  *

-1

,

Ci (z ) incluant les conditions initiales du problème, y-1 y-2, y-3,…... Nous pouvons alors exprimer Y(z) avec une notation polynomiale : m

∑ bkz−k

Ci*(z−1) B*(z−1) Ci*(z−1) X(z) + n = * −1 X(z) + * −1 A (z ) ∑ a iz − i ∑ aiz−i A (z )

Y(z) = k =n0

i =0

i =0

-1

En effectuant les opérations nécessaires pour exprimer le tout en fonction de z et non de z :

Y(z) =

B(z) X(z) + A(z) 1424 3 Régime forcé

CI(z) A(z) 123 Régime libre

VII.2. Les différents termes d'une reponse : Les relations précédentes montrent que la résolution d'équations récurrentes linéaires à coefficients constants se ramène ainsi à un simple calcul d'inversion de la transformée en z avec une forme rationnelle de polynômes pour laquelle l'approche des résidus est toute indiquée. Les formulations précédentes font apparaître deux termes qui se superposent :


un terme qui dépend de l'excitation du système, il fait intervenir X(z), c'est la réponse forcée.




Un terme qui ne fait intervenir que les conditions initiales du problème, CI(z), c'est la réponse libre. Réponse libre :

YL(z) =

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CI(z) A(z)

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La transformée en Z

Le dénominateur est A(z), il y a donc n pôles qui sont caractéristiques du système et auxquels on peut associer n modes complexes. Cette réponse ne dépend donc pas de l'excitation mais uniquement des conditions initiales. Réponse forcée :

YF(z) =

B(z) B(z) NX(z) X(z) = A(z) A(z) DX(z)

Le dénominateur de la fonction de transfert est A(z).DX(z) donc deux catégories de pôles :


Les pôles correspondant à A(z) = 0. Ils sont caractéristiques du système et les modes qui leur sont associés donneront dans la réponse les termes dits du régime transitoire.




Les pôles correspondant à DX(z) = 0. Ils sont caractéristiques du type d'excitation et les modes qui leurs sont associés donneront dans la réponse les termes dits de régime permanent.

Remarque : Cette séparation transitoire – permanent n'est possible que si les pôles du système et ceux de l'excitation sont différents. Dans le cas contraire, la solution est globale et les pôles identiques donneront des modes pour des pôles de multiplicité > 1 . Fonction de transfert: Le système est complètement caractérisé par la connaissance de son équation récurrente c'est à dire par la connaissance des jeux de coefficients {ai} et {bk}. En prenant X(z) = 1 et CI(z) = 0 nous obtenons une fonction H(z) équivalente à la donnée de l'équation récurrente : la fonction de transfert:

H(z) =

B(z) A(z)

L'interprétation physique de celle-ci est : si x(t)=δ(t), X(z)=1

⇒

y((t) = h(t), Y(p) = H(p).

La fonction de transfert H(z) est la TZ de la réponse impulsionnelle avec conditions initiales nulles. Nous retrouvons un résultat établi lors de l'étude du produit de convolution : Y(z) = H(z).X(z)

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⇔

y(t) = h(t) ⊗ x(t)

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La transformée en Z

VII.3. TRANSFORMEES DE LAPLACE ET TRANSFORMEES EN Z USUELLES Ce sont des tables de transformées monolatérales ( prise en compte de t ≥ 0 ) Pour les signaux échantillonnés, T est la période d'échantillonnage. * attention: δ(t) n'a pas la même signification physique en continu et en discret. Le δ(t) "discret" n'est pas obtenu par échantillonnage du δ(t) "continu". Le même problème est rencontré pour e(t) l'échelon d'Heaviside.

G(p)

g(t)

G(z)

1

δ(t) *

1

e-pkT

δ(t-kT) *

z-k

1 p

e(t) *

z z −1

1 p

zT

t

2

1 1 p − Ln (a ) T

(z − 1) 2

at/T

∀a∈C

Pour a>0 uniquement

1 p+a

e-at

1

te

(p + a ) 2 ω

p 2 + ω2 p p 2 + ω2

ω (p + a ) 2 + ω 2 p+a (p + a ) 2 + ω 2

z z−a

-at

sin(ωt)

cos(ωt)

z z − e −aT

z Te −aT

(z − e −aT )2 z sin(ωT ) z 2 − 2z cos(ωT ) + 1

z 2 − z cos(ωT ) z 2 − 2z cos(ωT ) + 1

e-at sin(ωt)

ze−aTsin(ωT) z2−2ze−aTcos(ωT)+e−2aT

e cos(ωt)

z2 −ze−aT cos(ωT) z2 −2ze−aT cos(ωT)+e−2aT

-at

Sauf indication contraire, la transformée en z utilisée est la transformée monolatérale.

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La transformée en Z - exercices

⑦ EXERCICES Exercice 1 : En appelant T la période d'échantillonnage, calculer les transformées en z des signaux du tableau fourni en annexe du cours ainsi que leurs domaines de convergence (La première se calcule directement, les suivantes peuvent soit se calculer directement, soit se déduire les unes des autres en appliquant le bon théorème). -at

;a∈C

1.a

x(t) = e

1.b

x(t) = e(t)

1.c

x(t) = t

1.d

x(t) = t e

1.e

x(t) = e

1.f

x(t) = sin(ωt) ; ω ∈ R

1.g

x(t) = cos(ωt) ; ω ∈ R

1.h

x(t) = e

1.i

x(t) = e

-at

jωt

;a∈C

;ω∈R

-at

sin(ωt) ; a ∈ C; ω ∈ R ;

-at

cos(ωt) ; a ∈ C; ω ∈ R ;

Exercices 2 : inversion de la transformée en z avec la méthode des résidus. Ces exercices ont uniquement pour but de se familiariser avec les techniques de calcul d'inversion de la transformée en Z. On y remarquera que les exercices "à la main" deviennent vite lourds d'où la nécessité de travailler avec un logiciel. Le plus important n'est donc pas de savoir faire ces calculs, sinon dans les cas simples, mais plutôt de savoir prévoir la forme du résultat et de l'interpréter. On appliquera systématiquement la méthode suggérée en cours en décomposant le travail en étapes : 1.

étape 1 : d = deg(dénominateur) – deg(numérateur)

⇒

en déduire le premier échantillon non

nul. 2.

étape 2 : équation caractéristique, pôles de la TZ. En déduire l'allure de la solution (modes)

3.

étape 3 : recherche du résidu (mode) associé à chaque pôle

4.

étape 4 : vérifier les valeurs évidentes Exercice 2.1 : (pôles simples réels)

X1(z) =

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z+3 (z - 0,2) (z + 0,5)

;

X2(z) =

4 z2 - 6z + 3 (z - 0,2) (z + 0,5)

;

3 2 X3(z) = 4 z + 2 z − 3 z + 6 (z - 0,2) (z + 0,5)

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La transformée en Z - exercices

Exercice 2.2 : (pôles simples réels multiples)

X1(z) =

z+3 (z - 0,2)2 (z + 0,5)

;

X2(z) =

3 (z - 0,2)3 (z + 0,5)

;

X3(z) = z + 2 2 …..; (z + 1)

2 1 X4(z) = z + 2z + (z − 1)3

Exercice 2.3 : (pôles complexes)

X1(z) =

3z + 2 (z - 0,6 z + 0,36) 2

;

X2(z) =

z +1 (z2 + 1)

;

X3(z) =

1 (z - 0,2) (z2 - 0,6 z + 0,36)

Exercice 3 : Un exemple d'équation récurrente Un système linéaire invariant de signal d’entrée x(t) et de signal de sortie y(t) a un comportement caractérisé par la fonction de transfert :

0,8 ( z + 2 ) H(z) = 2 z ( z - 0,2 )2 1°) Quelle est l’équation récurrente associée au système ? 2°) En l'absence de conditions initiales on veut calculer la réponse du système lorsque l'entrée est un échelon. 1. Expliquer pourquoi yk = 0 pour k = 0 , 1 , 2 2. Calculer yk pour k ≥ 3 3°) L’excitation x(t) est nulle mais le système a une condition initiale non nulle : y-1= 1. A partir du 2°), écrire la relation entre Y(z) et y-1 . En déduire, dans ce cas, yk pour k ≥0.

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