Transformation en z

Abdelkader BENHARI

TRANSFORMATION EN Z

La transformée en Z est un outil mathématique de traitement de signal, qui est l'équivalent discret de la transformée de Laplace. Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.

----------------------------------------------------The Z transform is a mathematical tool for signal processing, which is the discrete analogue of the Laplace transform. It is used among others for the calculation of digital filters with infinite impulse response and automatic modeling of dynamic systems discretely.

Transformation en z

1. Rappels 2. signal causal discret 3. Définition de la transformée de z

4. Transformées en z usuelles 5. Propriétés de la transformée en z 6. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale 7. Retour aux Equations récurrentes

A.BENHARI

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1. Rappels Séries entières : On appelle série entière toue série dont le terme général est un = an.zn où ( an ) est une suite réelle ou complexe et où z est une variable complexe (il s’agit en fait d’un polynôme à coefficients et variable complexe dont le degré peut être infini) Remarque : il existe un réel R 0 appelé rayon de convergence tel que :  si | z |< R , la série converge   si | z |> R , la série diverge Echantillonnage d’un signal : Soit x(t) un signal causal ( nul pour t < 0). Considérons x(0), x(1), x(2), ….,x(n), …. On obtient alors une suite de réels. On dit que l’on a échantillonné le signal x(t) avec 1 comme période d’échantillonnage . Remarque : si on considère x(0), x(T), x(2T), …., x(nT) ,on obtient le signal échantillonné, sa période d’échantillonnage est T . Le nouveau signal obtenu : x:¥ → ¡ n → x ( n) Est un signal discret.

ou

x :{0, T , 2T , .......} → ¡ nT → x(nT )

2. signal causal discret Si le temps varie de façon continue, le signal est représenté par une fonction de la variable réelle t. Il s’agit d’un signal analogique ou continu. Si le temps varie de façon discontinue , le signal est représenté par la suite (x n) n de ses valeurs aux différents instant tn. il s’agit d’un signal discret ou numérique. Comme pour un signal continu, un signal discret est dit causal si : pour tout n, n < 0 , x(n) = 0 On parlera de transformée de z d’un signal discret causal ou d’une suite causale.

3. Définition de la transformée de z A.BENHARI

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Définition La transformé en z du signal discret causal défini par : n  xn = x(n) n  est la fonction X de la variable complexe z définie par : +∞

X ( z ) = ∑ x( n).z − n n=0

X est une fonction de la variable complexe z Remarque a- Pour un signal non causal , on définit la transformée en de n  x(n) n par : ∞

X ( z ) = ∑ x( n).z − n −∞

b- La transformé en z de la suite numérique (xn ) est la somme d’une série entière de la variable . il se pose donc le problème de convergence de la série . c- On note indifféremment X(z) ou (Zx)(z) ou Z [x(n)] 4. Transformées en z usuelles a. Suite de Dirac i. La suite de Dirac ( ou suite canonique) est la suite d définie par :  d (0) = 1 y  2  d (n) = 0 pour n ≠ 0 ∞

(Zd)(z) =

∑ d (n).z

−n

= d (0).z 0 =1

1

n =0

Conclusion :

-2

-1 0

1

2

4 t

3

-1

( Zd)( z) 1 =

Transformée en z de la suite canonique retardée de k (k * ) y 2 dk est définie par (d k )(k ) = 1  1 (d k )(n) = 0 pour n ≠ k -2

-1 0

∞

( Zd k )( z ) = ∑ d k (n).z − n = d k (k ).z − k = z − k

1

2

t

k

-1

n =0

−k Conclusion : ( Zd k )( z ) = z

2 b. Echelon unité discret

y

1

A.BENHARI -2

Page 4 -1 0 1 -1

2

3

4 t

Il est défini par : u (n) =1 si n ≥ 0  u (n) = 0 si n < 0

n∈Z

On a : ∞

∞

( Zu )( z ) = ∑ u (n).z − n = ∑ z − n n =0

n=0 –1

On reconnaît la série géométrique de raison q = z Cette série converge si | z –1| < 1 , soit | z | > 1 et ∞ 1 z z−n = = ∑ −1 1− z z −1 n =0 Remarque : la fonction échelon –unité est parfois notée e

Conclusion : La transformée en z de l’échelon unité discret est : ( Zu)( z) =

z ; pour | > z| 1 z −1

Remarque : De même que la multiplication par la fonction échelon unité U permet d’obtenir une fonction causale , la multiplication d’une suite par la suite u(n) permet d’obtenir une suite causale. y 4 c- Rampe unité causale discrète n  nu(n) Elle est définie par r(n) = nu(n) pour tout n , n  3 ∞

∞

n =0

n =0

( Zr )( z ) = ∑ r (n).z − n = ∑ n.z − n

2

∞

1

= ∑ nz.z − ( n +1) n =1

=

∞

∑ (−n)(− z ).z

-2

− ( n +1)

n =1

∞

= − z.∑ (− n) z

-1 0

1

-1

− ( n +1)

n =1 ∞

d −n d  z  (z ) = − z   dz  z − 1  n = 0 dz

( Zr )( z ) = − z.∑

 −1  =− z   ( z − 1)²  z = ( z − 1)² Conclusion La transformée en z de la rampe unité causale discrète est : ( Zr)( z) =

A.BENHARI

z pour | > z| 1 ( z −1)²

Page 5

2

3

4 t

d- Signal n  n² u(n) Il est défini par c(n) = n² u(n) pour tout n  +∞

+∞

+∞

+∞

n =0

n =0

n=0

( Zc)( z ) = ∑ c (n).z − n = ∑ n ².z − n = ∑ nr ( n) z − n = − ∑ −nr (n) zz − n −1 n =0

+∞

d d (r (n).z − n ) = − z. ( Zr ( z )) dz n =1 dz

= − z.∑ or ( Zr )( z ) =

z d d  z  z +1 et ( Zr ( z )) =  = − ( z − 1)² dz dz  ( z − 1)²  ( z − 1)3

On obtient ( Zc )( z ) =

z ( z + 1) ( z − 1)3

Conclusion : La transformée en z du signal n  n² u(n) est :

( Zc)( z) =

z (z +1) pour | > z| 1 ( z −1) 3

y e- Signal n → a u ( n)

(a ≠ 0)

n

1 1

Il est défini par : f ( n) = a u (n) pour tout n, n ∈ Z n

+∞

+∞

( Zf )( z ) = ∑ f (n).z − n = ∑ a n .z − n n=0

n=0

n

+∞ a =∑  n =0  z  Cette série converge si a | | | a | , alors : z

-2

-1

0 1

n

+∞ 1 z a ( Zf )( z ) = ∑   = = a z−a n=0  z  1− z

Conclusion : La transformée en z du signal

A.BENHARI

n→ a un n( est )

Zf : (=z)( )

z pour > z | | a| | z −a

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2

3

t

5. Propriétés de la transformée en z a. Linéarité Propriété Si f et g sont deux signaux causaux discrets admettant des transformées en z alors (Z(f+g))(z) = (Zf)(z) + (Zg)(z) (Z(kf))(z) = k (Zf)(z) , k réel b. Multiplication par a n z Si g(n) = a n .f(n) , alors ( Zf )( z ) = ( Zf )   a c- Translation Suite retardée Soit f un signal causal discret admettent une transformée en z Le signal discret retardé de k, k , est défini par : g(n) = f(n –k) u(n – k) Propriété ( Zg )( z ) z .(= Zf)(− z )k ( gretardédek )

Suite en avance Soit f un signal causal discret admettent une transformée en z Le signal discret en avance de k, k , est défini par : g(n) = f(n + k) u(n + k) Ce n’est pas en général un signal causal sauf si f(0) = …= f(k – 1) = 0 y 2

1

Exemple avec k = 2

-3

-2

-1 0

1

2

3

-1

A.BENHARI

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4

5 t

Propriété 1 ( Zg )( z ) = z k .( Zf )( z ) Propriété 2 Soit le signal causal h défini par : h(n) = f(n + k) u(n) i = k −1   ( Zh)( z ) = z k  ( Zf )( z ) − ∑ f (i ) z −i  i =0   Remarque et application a) Transformée en z d' une suite avancée. Théorème : Soit une suite a n une suite , A ( z ) sa transformée en z . On appelle suite avancée de 1 unité de la suite an la nouvelle suite bn définie par : Alors : Z (an +1 ) = z.( Z (an ) − a0 )

preuve :

corollaire : Z (an + 2 ) = z 2 .Z (an ) − a0 z 2 − a1 z preuve :

b) Equations récurrentes Exemple : On considère l' équation :

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En appliquant la transformation en z , nous obtenons : (1) Or :

et :

enfin :

En reportant ces résultats dans (1) , nous obtenons :

Soit :

Posons :

On cherche la transformée en z réciproque de A ( z ) . Pour cela , on pose :

et on décompose B ( z ) en éléments simples :

A.BENHARI

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On trouve :

d' où :

et :

6. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale Théorème de la valeur initiale Si les limites existent , alors : lim f (n) = f (0) = lim ( Zf )( z ) n →0

| z|→+∞

Théorème des la valeur finale Si les limites existent et si les modules des pôles de (Zf)(z) sont inférieurs ou égaux à 1 alors : lim f ( n) = f (0) = lim ( z −1)( Zf )( z ) n →+∞

| z| →+1

7. Transformée en z inverse a. Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z , la suite x(n), n est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X On note : (Z-1X)(n) = x(n) (Zx)(z) = X(z) équivaut à (Z-1X)(n) = x(n) b. Propriété On admet les propriétés suivantes i. Pour une fonction X : z  X(z) donnée, si l’original existe, alors elle est unique ii. Linéarité : (Z-1(X + Y)) = (Z-1X) + (Z-1Y) (Z-1(kX) = k(Z-1X) , k  c- Méthode de recherche de l’originale Pour retrouver les originaux , on utilise essentiellement trois méthodes : X (z) X ( z) X ( z ) ou voir z zk On décompose en éléments simples A.BENHARI

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( Lorsque le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur ) et ensuite on utilise le tableau des transformation usuelles et les propriétés de la transformation en z. On exprime X(z) en fonction de z-1, puis on décompose en éléments simples On développe en série entière X(z) en écrivant : +∞

X ( z ) = ∑ an z − n et on a : x( n) = an n =0

Remarque Les trois types d’éléments simples le plus fréquemment rencontré sont : z z z , et z −1 z − a ( z − 1)² Rappel z : u(n) z −1 z Original de : a n u ( n) z−a z Original de : n.u(n) ( z − 1)² Original de

d- Recherche d’originaux par décomposition en éléments simples Exemple 1 Recherche de l’original de X(z) = On décompose X(z) en éléments simples . 1 a b −1 1 X ( z) = = + = + ( z − 2)( z − 3) z − 2 z − 3 z − 2 z − 3 Et on écrit : z  z   −1  X ( z ) = z −1  − +z    z−2  z −3 Comme le facteur z-1 correspond à un retard de 1 et z  n  z  n −1  Z −1   = 2 u ( n) , Z   = 3 u ( n)  z−2  z −3 On obtient l’original de X(z) :

x(n) = ( −2n −1 + 3n −1 )u (n − 1)

Exemple 2 z3 − 3z ( z + 3)( z − 1)² On remarque que le degré du numérateur étant égal au degré du dénominateur , on Recherche de l’original de : X ( z ) =

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décompose en éléments simples . X ( z) z2 − 3 a b c = = + + z ( z + 3)( z − 1)² ( z − 1)² z − 1 z + 3 5 3 −1 = 2 + 8 + 8 ( z − 1)² z − 1 z + 3 X ( z) =

−1 z 5 z 3 z + + 2 ( z − 1)² 8 z − 1 8 z + 3

d ' ou 5 3  −1  x(n) =  n + + (−3) n  u (n) 8 8  2  si n < 0 alors x(n) =0 5 3  −1 n  si n  0 alors x(n) =  n + + ( −3)  8 8  2 

e- Expression de X(z) en fonction de z-1 Exemple : Recherche de l’original de X(z) = En divisant numérateur et dénominateur par z² , on obtient 1 X ( z) = −1 1 − 3z + 2 z −2 Expression que l’on va décomposer en éléments simples en posant t = z-1 1 1 2 1 = = − 1 − 3t + 2t ² (1 − 2t )(1 − t ) 1 − 2t 1 − t On revient à la vriable z : 2 1 z z X ( z) = − =2 − −1 −1 1− 2z 1− z z − 2 z −1 X (t ) =

On obtient l’original de X(z) : x(n)= ( 2.2n –1 )u(n) = (2n+1 –1 )u(n)

f- Recherche d’originaux à l’aide des séries entières Reprenons la définition de la transformée en z du signal causal discret x : A.BENHARI

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+∞ 1 1 ( Zx)( z ) = ∑ x(n) z − n = x(0) + x(1) + ... + x(n) n + ... z z n =0

La transformée en z de la suite numérique (x(n)) est la somme d’une série entière de la variable Rechercher l’original c’est déterminer les coefficients x(0), x(1), x(2),…,x(n) de +∞

la série

∑ x ( n) z

−n

n =0

Exemple 1 Recherche de l’original de :

X ( z) =

1 1 − z −1

Etant donné que 1 = 1 + z −1 + z −2 + ... + z − n + ... −1 1− z On a : x(n) =1 pour tout n, donc x est l’échelon unité discret. Exemple 2 : Recherche de l’original de :

z+3 z−2 X(z) peut s’écrire soue la forme : X(z) = A + = 1 + = 1 + 5 . X ( z) =

  2 n  1 1 1  1 2 2 2 =  = 1 + +   + ... +   + ...    z − 2 z  1 − 2  z  z  z  z   z 1 2 22 2n −1 = + + 3 + ... + n + ... z z² z z Donc 1 2 22 2n −1 X ( z ) =1 + 5.( + + 3 + ... + n + ...) z z² z z On obtient : x(0) = 1 , x(1) 5 , x(2) = 10, ….., x(n) = 5.2n-1 Remarque : On aurait pu obtenir directement x(n) en remarquant que : X(z) = + d’où x(n) = 2n .u(n) + 3 .2n-1u(n-1) 7- Retour aux Equations récurrentes

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Ces équations sont aussi appelés équations aux différences , sont obtenues directement pour des systèmes discrets ou par discrétisation d’équations différentielles linéaires à coefficients constants. 1) Equations récurrentes d’ordre 1 Ce sont des équations du type ay(n+1) + by(n) = x(n)

ou

ay(n) + by(n-1) = x(n)

avec a et b deux réels donnés

Exemple  x (n + 1) − 2 x(n) = 2n.u ( n) Résoudre   x (0) = 1 •

On peut calculer pas à pas les valeurs de x(n) x(1) = 2x(0)+0 = 2 x(2) = 2x(1) + 2 = 6 etc….

•

On utilise la transformé en z pour déterminer x(n) Transformée en z de x(n) : X(z) Transformée en z de x(n+1) : z(X(z) – x(0)) ( formule de l’avance) Transformée en z de 2n.u(n) : L’équation s’écrit alors : z(X(z) –1) – 2X(z) = On donc : 2z z X ( z) = + ( z − 2)( z − 1)² z − 2 On décompose

2z en éléments simples : ( z − 2)( z − 1)² 2z a b c = + + ( z − 2)( z − 1)² z − 1 ( z − 1)² z − 2 −2 −2 2 = + + z − 1 ( z − 1)² z − 2 d ' où  −2 −2 2  2 X ( z) = z  + + +  z − 1 ( z − 1)² z − 2  z − 2 −2 z −2 z 3z = + + z − 1 ( z − 1)² z − 2

On cherche l’original de X(z) : Original de : 2n.u(n) Original de : n.u(n) Original de : u(n) A.BENHARI

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Conclusion : x(n) = (-2 –2n + 3.2n ).u(n) 2) Equations récurrentes d’ordre 2 du type : ay(n) + by(n-1) + cy(n-2) = x(n) a, b et c sont des réels donnés , x et y des signaux causaux discrets, x est connu et on cherche y Exemple y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2) = d(n)

Remarque : Les conditions initiales sont données implicitement par le fait que y est un signal causal , donc y(-1 ) = y(-2) = 0 de ce fait nous pouvons appliquer aux deux membres de l’équation la transformée en z d’un signal causal ( pour n  0) On peut comme au paragraphe précédent calculer pas à pas les valeurs de y(n) y(0) ) = d(0) =1 y(1) = 3y(0) = 3 Transformée en z de y(n) : Y(z) , de y(n-1) : z-1Y(z) , de y(n-2) : z-2Y(z) et (Zd)(z)= 1 Notre équation s’écrit alors : Y(z) – 3 z-1Y(z) + 2z-2Y(z) = 1 d’où +1 −1 z 2z + =− + 1 1 z −1 z − 2 2( z −1 − 1)( z −1 − ) z − 1 z −1 − 2 2 n n+1 On en déduit : y(n) = (-1 + 2(2 ))u(n) = (-1 + 2 )u(n) pour n  0 Y ( z) =

1

=

−1

3) Equations récurrentes d’ordre 2 du type : ay(n+2) + by(n+1) + cy(n) = x(n) Exemple y(n+2) 3y(n+1) + 2y(n) = d(n)

avec y(0) = 0 et y(1) = 0

Transformée en z de : y(n) : Y(z) , de y(n+1) : z(Y(z) – y(0)) et celle de y(n+2) : z²(Y(z)-y(0)- z-1y(1)) = z²Y(z) L’équation s’écrit alors : z² Y(z) – 3zY(z) + 2Y(z) = 1 Ce qui nous donne : A.BENHARI

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1 −1 1 = + ( z − 1)( z − 2) z − 1 z − 2 −z z = z −1 + z −1 z −1 z−2 n-1 conclusion : y(n) = (-1 + 2 )u(n-1) y( z) =

A.BENHARI

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