Transformasi Laplace
March 23, 2018 | Author: Ernitafrl | Category: N/A
Short Description
Transformasi Laplace...
Description
BAB VII TRANSFORMASI LAPLACE 1. Transformasi Laplace Definisi Misalkan F(t)
suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh: `
L {F(t)} =
e
st
F (t ) dt = f(s)
0
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingg ( ) maka `
L{F(t)} =
e
st
F (t ) dt
0
p
e st F (t )dt = Lim p 0
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusya. Teorema Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0 t N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
1
Nomor 1.
F(t) 1
L{F(t)} = f(s)
2.
t
3.
t2
4.
tn
5.
n = 0,1,2,3,…. e at
1 , s>0 s2 2 ,s>0 s3 n! ,s>0 s n 1
6.
sin at
1 , s>0 s
1 , s>0 sa
a , s>0 s a2 s , s>0 2 s a2 a , s> a 2 s a2 s ,s> a 2 s a2 2
7.
cos at
8.
sinh at
9.
cosh at
Contoh Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut: 1. F(t) = 1 L {F(t)} = L{1}
=
e
st
(1) dt
0
p
e st dt = Lim p 0
e st = lim p s 1
p
0
1 1 0 = lim p se se
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
2
1 s
=
2. F(t) = t
e
L{F(t)} =
st
t dt
0
p
e st tdt = lim p 0
p
1 t. d (e st ) = lim p s 0 p
1 te st e st dt = lim p s 0 st te e st = lim p s s 1
1
1
p
0
1
= 0 o s s =
1 s2
3. F(t) = e at
L{F(t)} =
e
st
e at dt
0
p
e ( s a ) t dt = Lim p 0
=
1 lim e ( s a ) t s a p
=
1 1 1 lim ( sa )0 ( s a ) p e ( s a ) e
=
1 sa
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
p 0
3
4. F(t) = sin at
L{F(t)} =
e
st
sin at dt
0
p
e st = Lim p 0
=
=
1 d (cos at ) a
1 1 Lim cos at.e st cos atd (e st ) p a a 0
p
0
p
1 s Lim cos at.e st cos at.e st dt p a a p
1
s
0
1
cos at.e st e st . d (sin at ) = Lim p a a0 a
p
0
1 cos at.e st s2 (e st sin at sin at.d (e st ) = Lim p a a 0
1 cos at.e st s2 (e st sin at sin at. se st ) = Lim p a a 0 2 1 cos at.e st s2 e st sin at s 2 = Lim p a a a
=
0
p
p
= Lim p
p
p
0
p
sin at. se 0
a2 1 s cos at .e st 2 sin at.e st 2 2 a s a a
st
p
)
0
p
0
a a s2 2
5. F(t) = cos at
L{F(t)} =
e
st
cos at dt
0
p
e st = Lim p 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
1 d (sin at ) a
4
=
=
=
1 1 cos at.e st cos atd (e st ) p a a 0
Lim
1 s cos at.e st cos at .e st dt p a a p
p
0
p
Lim
1 s Lim cos at .e st p a a
e 0
st
0
1 . d (sin at ) a
p
0
p 1 s st st cos at.e 2 (e sin at sin at .d (e st ) = Lim p a a 0
p
0
p
1 cos at.e st s2 (e st sin at sin at. se st ) = Lim p a a 0 1 s s2 cos at.e st 2 e st sin at 2 = Lim p a a a
p
p
sin at. se 0
a2 1 s cos at.e st 2 sin at.e st = Lim p a 2 s 2 a a
=
st
0
p
)
0
p
0
a a s2 2
2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0 t N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace-ny f(s)
ada untuk semua s > . Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
3. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
5
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah 1) Sifat linear Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F 1 (t ) dan F 2 (t ) adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-masing f1 ( s ) dan f 2 ( s ) , maka: L{c 1 F1 (t ) +c F2 (t ) } = c 1 f1 ( s ) + c 2 f ( s ) Bukti:
e
L{c 1 F1 (t ) +c F2 (t ) } =
st
{c1 F1 (t ) c2 F2 (t )}dt
0
=
0
0
st e c1 F1 (t )dt
p
= c1 e
st
0
e
st
c1 F2 (t ) dt
F1 (t ) dt c2 e st F2 (t ) dt 0
= c1 f1 ( s ) c2 f 2 ( s ) Contoh 1. L{5t-3} = L{5t} – L{3} = 5 L{t} – 3 L{1} =5
=
1 1 3 2 s s
5 3 s2 s
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t} = 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t} =6
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
2 2 5 2 s 4 s 4 2
6
=
12 10 2 s 4 s 4 2
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-fungsi berikut ini. a. F(t) = 2t2 e-t b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t c. F(t) = (sin t – cos t)2 d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t e. F(t) = (2t + 2)3 f. F(t) = (sin t – 3)2
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e
at
F (t )} = f(s-a)
Bukti
e
Karena L{F(t)} =
st
F (t )dt
= f(s), maka
0
L{e
at
F (t )}
=
e
st
e at F (t ) dt
0
p
=
e
( s a ) t
F (t ) dt
0
= f(s-a) Contoh: 1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s) 2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a) 3. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
7
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =
F (t a), t a 0, t a
maka
L{G(t)} = e as f (s ) Bukti
L{G(t)} =
e
st
G (t )dt
0
a
0
a
st st = e G (t )dt e G (t ) dt
a
e
=
(0)dt e st F (t a )dt
st
0
e
=
a
st
F (t a ) dt
a
Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga
e
st
F (t a ) dt
=
a
e
s (u a )
F (u ) du
0
=e
as
e
su
F (u ) du
0
= e as f (s ) 4. Sifat pengubahan skala Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
e
Karena L{F(t)} =
st
F (t )dt
1 s f a a
maka
0
L{F(at)} =
e
st
F ( at ) dt
0
Misal u = at, du = a dt atau dt =
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
du a
8
Sehinga L{F(at)} =
e
st
F ( at ) dt
0
=
e
s a
u
F (u )
0
s a
u 1 = e a
=
du a
F (u )du
1 s f a a
5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} =
e
st
F (t )dt
= f(s), maka
0
L{F’(t)} =
e
st
F ' (t )dt
0
=
e
st
dF (t )
0
= e
st
F (t ) F (t ) d (e 0
= -F(0) + s e
st
st
p
)
0
F(t)dt
0
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s 2 f ( s ) sF (0) F ' ( s ) Bukti
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
9
st e F " (t )dt
L{F”(t)} =
0
e
=
st
d ( F ' (t ))
0
0
st st = e F ' (t ) F ' (t )d (e ) e
0
st st = e F ' (t ) s F ' (t )e dt
= e st F ' (t ) s[ sf ( s ) F (0)] = s 2 f ( s ) sF (0) F ' (0) Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F(t)} = f(s) maka L{F
(n)
(t )} = s
n
f ( s ) s n 1 F (0) s n 2 F ' (0) ... sF ( n 2 ) (0) F ( n 1) (0)
6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral
f (s) F ( u ) du s 0 1
Jika L{F(t)} = f(s) maka L 7. Perkalian dengan t n
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t
n
F (t )}
dn = (-1) f (s ) = (-1)f ( n ) ( s ) n ds n
Bukti.
Karena f(s) =
e
st
F (t )dt
maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
0
dibawah tanda integral, diperoleh:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
10
df d = f’(s) = ds ds
=
e
st
F (t )dt
0
s e
st
F (t ) dt
0
=
te
st
F (t ) dt
0
=-
e
st
{tF (t )}dt
0
= -L{tF(t)} Jadi L{tF(t)} = -
df f ' (s) ds
8. Sifat pembagian oleh t
F (t ) Jika L{F(t)} = f(s) maka L f (u ) du t 0
Bukti: Misal G(t) =
F (t ) maka F(t) = t G(t). t
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka
diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = -
d dg L{G (t )} atau f(s) = . ds ds
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh dg
f(s) = - ds . s
g(s) = -
f (u ) du
=
f (u ) du
s
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
11
F (t ) t
Jadi L
f (u ) du
s
9. Transformasi fungsi periodic 10. Sifat f(s) bila s
11. Teorema harga awal 12. Teorema harga akhir 13. Perluasan dari teorema harga awal 14. Perluasan dari teorema harga akhir
3. Transformasi Laplace Invers 3.1 Definisi 3.2 Ketunggalan Transformasi Laplace Invers 3.3 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers 4. Penggunaan Transformasi Laplace 4.1 Persamaan Differensial (PD) 4.2 PD Biasa dengan Koefisien Konstan 4.3 PD Biasa dengan Koefisien Variabel 4.4 PD Simultan 4.5 PD Parsial
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
12
View more...
Comments
