TRANSFORMASI KOORDINAT 2D.docx

TRANSFORMASI KOORDINAT 2D METODE AFFINE Transformasi Affline 2D adalah transformasi yang sering digunakan untuk mentransformasikan nilai-nilai koordinat dari suatu sistem koordinat dua dimensi ke sistem koordinat dua dimensi lainya. Penentuan nilai suatu transformasi ditentukan berdasarkan ketersediaan data koordinat titik-titik sekutu dari masing-masing sistem dua dimensi dan teknik hitungan penentuan parameter transformasi. Parameterparameter transformasi yang dihasilkan dari kedua metode tersebut relatif sama, akan tetapi ketelitian ( standar kesalahan ) pada 1 sigma untuk metode implisit relatif lebih baik. Proses transformasi affine meliputi translasi, rotasi, perbesaran skala, dan pemotongan yang dioperasikan secara bersamaan. Transformasi affine tidak mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y. Transformasi Affine mengaplikasikan 6 buah parameter transformasi yang terdiri dari: 

2 parameter faktor skala



2 parameter translasi



1 parameter rotasi



1 parameter koreksi non-ortogonalitas antara sumbu-x dan sumbu-y

Model matematika transformasi Affine untuk mentransformasikan sistem (x,y) ke sistem (X,Y) adalah:  Model matematika transformasi Affine untuk mentransformasikan sistem (x,y) ke sistem (X,Y) adalah:

X  ax  by  c Y  dx  ey  f Dengan parameter transformasi: a, b, c, d, e, dan f.

(3.1)

 Dalam notasi matriks persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:

L  AX

(3.2)

dimana:

X  L  Y 

 x y 1 0 0 0 A    0 0 0 x y 1

a  b   c X    d  e   f

 Bila nilai parameter transformasi a, b, c, d, e, dan f diketahui maka koordinat suatu titik dalam sistem (x,y) dapat ditransformasikan ke sistem (X,Y) dengan menggunakan persamaan (3.1) atau (3.2)  Bila nilai ke 6 parameter transformasi belum diketahui maka harus dicari terlebih dahulu dengan menggunakan minimal 3 buah titik sekutu, karena 1 buah titik sekutu menghasilkan 2 buah persamaan, sehingga 3 titik sekutu akan menghasilkan 6 persamaan.  Pemecahan ke 6 parameter transformasi dapat dilakukan dengan salah satu metode numerik, misalnya dengan metode invers matriks. Karena

L  AX Maka X dapat dipecahkan dengan:

X  A 1 L

APLIKASI HITUNG PERATAAN KUADRAT TERKECIL 

Jika banyaknya titik sekutu yang digunakan lebih dari 2 buah maka parameter a, b, c, d, e, dan f dipecahkan menggunakan hitung perataan kuadrat terkecil metode parameter (L=F(x)) dimana L merupakan matriks pengamatan, dan X merupakan matriks parameter.



Dengan adanya ukuran lebih maka persamaan transformasi Affine harus disusun sebagai berikut:

X  Vx  ax  by  c Y  Vy  dx  ey  f

(3.3)

Dalam notasi matriks persamaan diatas ditulis sebagai berikut: L + V= A X

(3.4)

dimana: L = matriks pengamatan =

V = matriks Koreksi =

Vx  Vy   

X = matriks parameter =

A = matriks desain =

X  Y   

a  b   c   d  e   f

 x y 1 0 0 0  0 0 0 x y 1  



Berdasarkan prinsip kuadrat terkecil, matriks parameter X diperoleh dari: X = (ATA)-1 ATF

(3.5)

Matriks Variansi-Kovariansi Parameter: xx =

ˆ 02 (A A) T

-1

(3.6)

dimana:

ˆ 02 = V V / df T

(3.7)

dengan df = derajat kebebasan 

Parameter transformasi yang diperoleh dari hasil hitung perataan selanjutnya digunakan untuk mentransformasikan koordinat titik-titik lain dari sistem (x,y) ke sistem (X,Y) dengan menggunakan persamaan (3.1) atau (3.2)



Koordinat titik hasil transformasi dapat dihitung ketelitiannya dengan menggunakan hukum perambatan kesalahan:

 J  J LL

T

(3.8)

XX

dimana:



LL

= matriks variansi-kovariansi koordinat hasil transformasi

= J

 XY   Y2 

= matriks turunan parsial

=



 X2   XY

XX

 L  a 

L b

L c

L d

= matriks variansi-kovariansi

L e

L  f 

Parameter transformasi =

 O2 (A A) T

-1

Contoh: Diberikan data sebagai berikut: Titik

X

Y

X

y

A

-133,000

0,003

0,764

5,960

B

0,001

112,993

5,062

10,541

C

112,998

0,003

9,663

6,243

D

0,001

-112,999

5,350

1,654

E

?

?

1,746

9,354

F

?

?

5,329

9,463

Titik E dan F akan ditentukan koordinatnya dalam sistem (X,Y) dengan menggunakan titik A, B, C, dan D sebagai titik sekutu. Gunakan hitung perataan parameter untuk memecahkan parameter transformasi Affine 2D !

Penyelesaian: (1)

Susun Matriks A dan L

A( 8 x 6 )

(2)

x A 0   xB  0  xC  0

yA

1

0

0

0 yB

0 xA 1 0

yA 0

0

0 xB

yB

yC 0

1 0 0 xC

0 yC

Hitung parameter transformasi, X

0 1  0  1 0  1

L( 8 x 1 )

XA Y   A XB    YB   XC     YC 

a b   c X  ( AT A) 1 AT F     d  e   f (3)

Hitung

ˆ O2 :

V TV ˆ   0,02313213369 r 2 O

V( 8 x 1 )

(4)

Hitung



 25,37152   0,82220      137,183    0 , 80994    25,40166     150 , 723  

dengan

 0,101   0,049      0,086    0 , 057    0,117    0 , 030     0,086     0,043



XX

:

2 2 T 1 ˆ ˆ   . Q   .( A A ) O XX O XX ( 6 x 6 )

 5,8.104  3,02.10 7    3,04.10 3  0   0  0  (5)

3,02.107 5,8.10 4

 3,04.103  3,6.10 3

0 0

 3,6.10 3

0,043

0

0 0 0 4

    0   3,04.10 3   3,6.10 3   0,043  0 0

0 0

0 0

5,8.10 3,02.10 7

3,02.10 7 5,8.10 4

0

0

 3,04.10 3

 3,6.10 3

Hitung/transformasikan titik E dan F :

L  AX XE   xE Y  0 E    XF   xF     YF  ( 4 x 1 )  0 (6)

yE

1

0

0

0

0

xE

yE

yF

1

0

0

0

0

xF

yF

a b 0   85,193    85,470  c 1      5,803  0 d     1 ( 4 x 6 )  e   85,337     f  ( 6 x1)

Hitung ketelitian titik E dan F hasil transformasi :

 J  J LL

T

XX

 ˆ 2  ˆ  XY   LL( 4 x 4 ) ˆ X X   ˆ X Y XE

E E

E E

E

ˆ X Y ˆ 2 ˆ Y X ˆ Y Y

F

E F

YE

E

F

E F

ˆ X X ˆ Y X ˆ 2 ˆ X Y E

F

E

F

XF

F F

ˆ X Y ˆ Y Y ˆ X Y ˆ 2

E F

E F

F F

YF

     

J (4 x6)

 X E  a   Y E  a  X  F  a  Y F  a 

J(4 x6)

 xE 0   xF  0

J (4 x6)

X E b Y E b X F b Y F b

X E c Y E c X F c Y F c

X E d Y E d X F d Y F d

yE

1

0

0

0 yF

0 xE 1 0

yE 0

0

0 xF

yF

1,746 9,354  0 0  5,329 9,463  0  0

X E e Y E e X F e Y F e

0 1 0  1

0 0 1,746 9,354 1  1 0 0 0  0 5,329 9,463 1 1

0

0

0 0,012 0  0,019  0 0,019 0 0,012  LL( 4 x 4 )   0,012 0 0,013 0    0,012 0 0,013  0 Koordinat titik E dan F adalah :

X E  85,193  0,019 YE  85,4700  0,019 X F  5,8030  0,013 YR  85,3370  0,013

X E  f   Y E  f  X F   f  Y F  f 

TUGAS MATA KULIAH FOTOGRAMETRI NUMERIK

Jurusan Teknik Geodesi Fakultas Teknik Universitas Winaya Mukti

Disusun oleh : ARYAN HADIYANA 4122.3.13.13.0011

JURUSAN TEKNIK GEODESI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WINAYA MUKTI BANDUNG 2014