Transformasi Geometri

TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I TRANSFORMASI GEOMETRI

OLEH: 1. RATMI QORI

(06081181320002)

2. FAUZIAH

(06081181320015)

3. NYAYU ASTUTI

(06081281320018)

4. ISKA WULANDARI

(06081281320038)

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAR SRIWIJAYA 2014

PETA KONSEP

Matriks Koordinat Grafik

PETA KONSEP Penjumlahan & Pengurangan Matriks

Perkalian syar Matriks at

Determinan Matriks

Invers Matriks -

Garis Pers.kuadrarat Trigonometri

TRANSFORMA SI

PENGERTIAN

Translasi (Pergeseran)

Pengertian

Refleksi (Pencermina n)

Rotasi (Perputaran)

Dilatasi (Peskalaan/Perk alian)

Pengertian

Pengertian

T=(a,b)

Terhadap sumbu x atau sumbu y

Sejauh  dengan pusat (a,b)

Dengan pusat (a,b) dan faktor skala k

Terhadap titik (0,0)

Sejauh  dengan pusat (0,0)

Dengan pusat (0,0) dan faktor skala k

Terhadap garis y=x atau y=-x Terhadap garis y=mx+c

Pengertian

TRANSFORMASI GEOMETRI Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :   

Translasi (Pergeseran) Refleksi (Pencerminan) Rotasi (Perputaran)



Dilatasi (Penskalaan)

1.TRANSLASI / PERGESERAN Translasi adalah pemindahan atau pergeseran suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. a.Tranlasi oleh titik : Dari gambar disamping, terdapat titik (x,y) yang ditranlasikan oleh (a,b) maka di dapatlah sebuah titik baru (x’,y’). Jadi, untuk mencari hasil tranlasi (x,y) oleh titik (a,b) :

dimana : a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-) b.Tranlasi pada garis

Dari gambar disamping merupakan tranlasi pada garis y = mx+c terhadap (a,b) Sama halnya dengan translasi pada titik,

x ’=x +a atau y ’= y+ b y= y ’−b

x=x ’−a

atau

untuk mendapatkan hasil tranlasi garis y = mx + c oleh (a,b) sunstitusi x’ dan y’ ke persamaan garis tersebut, didapat:

CONTOH SOAL (translasi oleh titik): Tentukan koordinat bayangan titik A (2, 4) yang ditranlasikan oleh titik (3,6) Jawab : T =( 3 ) 6 A (2,4) jadi ,

A ’=(5,10)

A ’(2+3,4 +6)

CONTOH SOAL (tranlasi pada garis) Tentukan bayangan persamaan garis y + 2x +3 ditranlasikan oleh titik (3,2) Jawab : x ’=x +3 atau x=x ’−3 y ’= y atau y= y−2

Jadi, bayangannya adalah y ’−2=2 ( x ’−3 ) +3 y=2 x−1

2.REFLEKSI / PENCERMINAN Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan. Refleksi terhadap sumbu x Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu x, maka :

x ’=x

y ’=−y persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x ’=1. x+ 0. y y ’=0. x +(−1). y

atau dalambentuk matriks :

( xy '' )=(10 −10 )( xy )

Refleksi terhadap sumbu y

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y, maka :

x ’=−x y ’= y

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk : x ’=(−1). x +0. y

y ’=0. x +1. y atau dalambentuk matriks :

( xy '' )=(−10 01)( xy ) Refleksi terhadap garis y = x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=x, maka :

OA=OB atau x ’= y AP ’=BPatau y ’=x

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk : x ’=0. x +1. y

y ’=1. x +0. y atau dalambentuk matriks :

( xy '' )=(01 10)( xy)

Refleksi terhadap garis y = -x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=-x, maka

AP ’=BPatau−x ’= y atau x ’=− y OA=OB atau− y ’=x atau y ’=−x

persamaantersebut dapat ditulis dalam b entuk : x ’=0. x +(−1). y

y ’=(−1) . x +0. y atau dalambentuk matriks :

( xy '' )=(−10 −10 )( xy ) Refleksi terhadap (0,0)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap titik (0,0) maka:

OA=BP atau−x ’=x atau x ’=−x Dari gambar AP ’=OB atau –disamping y ’= y atau terdapat y ’=− y titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap

persamaantersebut garis x = h maka:dapat ditulis dalam bentuk : xUntuk ’=(−1). x +0. yx : sumbu

y ’=0. x +(−1). y OA=x dan OB=h atau dalambentuk matriks : AB=h –x AB=h0 – xx x BC ' ==−1 y' 0 −1 y OC=OB + BC

( )(

)( )

Refleksi terhadap garis x = h

x ’=h+ h – x

x ’=2 h – x Untuk sumbu y:

CP ’= AP

Refleksi terhadap garis y = k Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis y = k maka: Untuk sumbu x:

CP’= AP

x ’=x Untuk sumbu y:

OA= y dan OB=k

AB=OB – OA=k – y BC= AB=k – y

OC=OB + BC

CONTOH SOAL Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap

y ’=k +k – y garis x=7 , maka bayangan titik A adalah titik A’ dengan koordinat…. Jawab: A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’( a' , b ' ¿ a ' = −1 0 15 + 2(7) b' 0 1 8 0 ¿ −15 + 14 8 0

( )(

)( ) ( ) ( )( )

( )

¿ −1 8 A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’( −1,8 ¿ Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis

x=7

adalah A’(

−1,8 ¿ b.Refleksi pada garis sama halnya dengan rotasi oleh titik, hanya saja hasil rotasi di substitusikan ke persamaannya. Misalkan garis Ax + By+c =0 direfleksikan terhadap : a . s umbu x

e. t itik (0,0)

Dengan : x ’=x dan y ’=− y

Dengan : x ’=−x dan y ’=− y

bayangannya

adalah

:

A (x )+ B(−y )+c=0

bayangannya

adalah

A (−x)+ B(− y)+ c=0

b. s umbu y

f. garis x=h

Dengan : x ’=−x dan y ’= y

Dengan : x ’=2 h – x dan y ’= y

bayangannya

adalah

:

A (−x)+ B( y )+c=0 c.

g.

Dengan : x ’= y dan y ’= x

adalah

adalah

garis y =k

:

bayangannya

adalah

A ( x )+ B(2k – y)+c =0

garis y =−x 3.ROTASI / PERPUTARAN

Dengan : x ’=− y dan y ’=−x

Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat

bayangannya adalah tertentu Di dalam segitiga OAP :   



:

Dengan : x ’=x dan y ’=2 k – y

A ( y )+B ( x)+c=0 d.

bayangannya

A (2 h – x )+ B( y)+c=0

garis y =x

bayangannya

:

:

OA=OP cos−¿ x=r cos Rotasi dengan pusat (0,0) AP=OP sin−¿ y=r sin Di dalam segitiga OBP : +¿ OB=OP ’ cos ¿ +¿ x ’=r cos ¿ x ’=r cos cos−r sin sin x ’=x cos− y sin +¿ BP ’=OP ’ sin ¿ +¿ y ’=r sin ¿ y ’=r sin cos +r cos sin

:

x ’=x cos− y sin y ’=x sin+ y cos

dalam bentuk matriks : θ ( xy '' )=(cos sin θ

)( )

−sinθ x cos θ y

Rotasi dengan pusat M(a , b)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang dirotasikan dengan pusat M(a,b) maka:

x ’ – a=(x – a)cos−( y – k)sin

y ’ – b=( x – b)sin +( y – b)cos

CONTOH SOAL

Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90 o dengan pusat rotasi di A(1,2) dilengkapi dengan gambarnya! Jawab: P(3, -5) = P(a, b)

A(1, 2) = A(x, y) a’ = (a – x) cos a – (b – y) sin a + x b’ = (a – x) sin a + (b – y) cos a + y

a’ = (3 – 1) cos 90o – (-5 – 2) sin 90o + 1 = 0 + 7 + 1 = 8 b’ = (3 – 1) sin 90o – (-5 – 2) cos 90o + 2 = 2 + 0 + 2 = 4 Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P’(8, 4)

4.DILATASI / PENSKALAAN Dilatasi dengan pusat (0,0) Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (0,0) maka:

OP ’=k x OP−  

OP ' =k OP

OP 1' OP ' x ' = → =k → x ' =kx OP 1 OP x P ' P 1' OP ' y' = → =k → y '=ky PP1 OP y persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x ’=k . x +0. y

y ’=0. x +k . y atau dalambentuk matriks : Dilatasi dengan pusat (a,b)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (a,b) maka:

x ’=a+ k ( x – a) y ’=b+k ( y – b)

CONTOH SOAL: Tentukan persamaan peta dari garis

3 x−5 y+ 15=0

oleh dilatasi terhadap

pusat O(0,0) dengan faktor skala 5! Jawab: 3 x−5 y+ 15=0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka: 1 x' x' = 5 0 x = 5 x → x = 5 y' 0 5 y 5y y 1 y' 5 1 1 Sehingga diperoleh x= x ' dan ¿ y ' . Maka bayangannya adalah : 5 5 1 1 ' 3( x ' )−5( y )+15=0 5 5 3 5 ' x ' − y + 15=0 5 5 3 x '−5 y '+ 75=0 → 3 x−5 y+ 75=0

( ) ( )( ) ( ) ( )

()

LATIHAN SOAL 1. Bayangan persamaan lingkaran x2+y2=25 oleh translasi T = adalah …

(−13)

2. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7.-8). Bayangan kurva y = x 2 + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah…. 3. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran 90o adalah…. 4. Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. karena dilatasi [0, -2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’… 5. Persamaan bayangan parabola y =3x2 – 6x + 1 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut +1800 adalah … 6. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan titik B apabila titik B dirotasikan 7. Bayangan titik P(3,5) oleh translasi

[ ] −2 3

adalah….

8. Bayangan garis y=2x -3 yang dicerminkan terhadap garis y=-x adalah…. 9. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) dengan faktor sekala -

1 2

adalah….

10.Hasil transformasi matriks

[ ] 2 4 3 5

terhadap titik B(2,3) adalah….

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika 3A untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1. .Jakarta:Erlangga http://www.academia.edu/5672247/BAB_18_Transformasi_Geometri_fixs http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/