Transformadas de Laplace

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ECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCION DEL PROBLEMA

PROBLEMA ALGEBRAICO

SOLUCION ALGEBRAICA

EDUARDO ESPIN O ZA RAM OS ;

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IMPRESO EN EL PERU

2da. Edición

15-10-97

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.

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DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos RONALD y JORGE, que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de sus prójimos.

PROLOGO En la presente obra intitulada “ Transformada de Laplace ” en su 2da. Edición, he dado un trato especial al estudio de esta materia por ser de uso cotidiano en las carreras profesionales de Ciencias Matemáticas e Ingeniería. Expongo una teoría concreta con problemas que motivan la solución de otros ejercicios que se proponen. La selección de los temas en cada capítulo es a base de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y con las sugerencias brindadas por los colegas del área de matemáticas de las diversas universidades de la capital. El libro empieza con el estudio de las funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, la Transformada de Laplace y sus propiedades, las funciones especiales, la transformada inversa y concluye con las aplicaciones en la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales. La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento del Cálculo Diferencial e Integral y de las Series de Potencias. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas por sus sugerencias y apoyo en la realización de esta obra. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra.

Eduardo Esplnoza Ramos.

INDICE C A PITU LO I Pag. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Conceptos Básicos. Definición de Transformadas. Condición suficiente para la existencia de L{F(t)}. Funciones Seccionalmente Continuas. Funciones de orden exponencial. Teorema de existencia de L{F(t)}. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales. Tabla de Transformada de Laplace. Propiedades de la Transformada de Laplace. Transformada de Laplace de la multiplicación por potencia de t " . Transformada de Laplace de la división por t. Transformada de Laplace de la derivada. Transformada de Laplace de integración. Aplicación de la Transformada en la Evaluación de Integrales. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.

1 2 3 3 7 10 12 14 15 19 21 24 27 29 32 56

C A PITU LO II 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Función Periódica. Función Escalón Unidad. Función Impulso Unitario. Función Gamma. Propiedades de la Función Gamma. Función Beta. Propiedades de la Función Beta. Función Bessel. Propiedades de la Función Bessel. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.

72 75 81 82 83 87 87 89 93 96 144

C A PIT U L O III Pag 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Transformada Inversa de la Laplace. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace. Transformada Inversa de Laplace de derivada. Transformada Inversa de las Integrales. Transformada Inversa de Laplace de la división por S. Transformada inversa de Laplace por el método de las fracciones parciales. Formula del desarrollo de Heaviside. Definición de la Convolución de las Funciones. Teorema de la Convolución. Teorema de Convolución para las Transformadas Inversas. La Función Error. Función Complementaria de Error. Las Integrales del Seno y Coseno. La Integral exponencial. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.

169 170 173 174 175 176 177 179 180 182 186 187 187 187 188 220

C A PITU LO IV Pag, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Aplicación de la Transformada de Laplace en la Solución de la Ecuación Diferencial. Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales por el método de la Transformada de Laplace. Una Ecuación Integral. Una Ecuación Integral - Diferencial. Resortes Acoplados. Redes Eléctricas. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios y Problemas Propuestos. Apéndice.

234 238 241 242 245 249 252 285 304

CAPITULO I

1.

C O N C E PT O S BÁSICO S.

1.1

Introducción.-

En el cálculo elemental se estudió la derivación e integración los cuales gozan de la operación de

linealidad, es decir:

~ r [ af dx

(*) + /%?(*)] = a 4dx- f ( x ) + P 4dx~ g(x )

J [ccf'(x) + /3g(x)]dx = a J f ( x ) d x + / fj g(x)dx

donde a y p son constantes reales arbitrarías. La integral definida de una suma también goza de la operación de linealidad, es __________________________ _______________ decir: J | a f {x) + Pg(x)]dx = a j f ( x ) d x + p j g(x)dx

La operación de linealidad de la derivación e integración transforman esencialmente una función en otra expresión por ejemplo:

— x i =3x2 dx

,

f x*dx = ^— +c J 4

,

f x*dx = 4 . Jo

nosotros estamos interesados en una integral impropia que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s, al cual se le llamará Transformada de Laplace, es decir, que la transformada de Laplace es una operación que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s. I

1.2

Definición.-

Sea F: [O,00 > —»R, una función definida para t > O, entonces a la función f definida por:

f+CO f/) / (.v) = I e “ F(t)dt = lim e s,F(t)dt JO ¿J— >+goJo Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el límite exista. Simbólicamente a la transformada de Laplace de F se denota por: L { F ( t ) \ , es decir: f+GO L{F’(0 } = | e s'F(t)dt = f ( s )

Ejemplo.-

Calcular L{F(t)}, donde F(t) = t Solución

J

>+co /. • j fh 1(¡ sí ,, sl L e~s'F(t)dt = í e s't dt = lim [ e~s' t d t = lim (-------------- —) /

0

Jo

= lim [ ( ¿>_»+co

be - s b

„ -sb

b~>+ o p J o

s

O

i i - ) - (O — - ) ] = o - o + — = — $ S

Z{r} = — , .v Observación.-

h~*+fx>

para s > 0.

El uso del símbolo de

lim F ( t ) f h b~*+a>

vamos a reemplazar por la

#+«> notación F ( x ) / 0 , es decir: p+oo L{t} =

te " d i = ( -

t€ s

e

//+o +0o0 I1 s 2 >/o 1 0 = ~s J ' y>0

Entendiéndose que en el límite superior, cuando t -* +00, e s! —> 0, para s > 0.

1.3

Condiciones Suficientes para la Existencia de L {F{t)\ .La integral impropia que define la Traasformada de Laplace no necesariamente 1 t2 converge, por ejemplo; ni L{—} m L{e } existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L{F(t)} son que F(t) sea continua por tramos o seccionalmente continua para t > 0 y además que sea de orden exponencial para t > T.

1.4

Funciones Continuas por Tramos o Seccionalmente Continuas. Definición.-

La función F: [a,b] -» R, es continua por tramos o seccionalmente continua en [a,b] s i :

i.

Existen puntos en [a,b] tal que: a - ¡o - h ^ t2 o+

a —>o +

F{ 2+)= lim F{2 + h) = lim 0 = 0 A -»0+

A—>o+

además F(t) es continua V t e salvo en t = 1,2. Luego F(t) es una función continua por tramos en . Observación.-

Ejemplo.-

Toda función continua en [a,b] es continua por tramos en [a,b].

Determinar si la función F(t) = ln(/2 + 1) es continua por tramos en [0,CO>. Solución

La

función

F(t ) = ln(/2 +1)

es continua V t e R, en particular es continua,

V t ¿ 0 entonces F(t) = ln(/2 + 1 ), es continua por tramos en [0,+oo>.

Solución 5

F ( 2+) = lim F(2+A ) = lim A ± l = +*, h-,0* A->0* h 4-h F(2~ ) = lim F ( 2 - h ) = lim A-»(T A-*0“ -A

continua por tramos.

Observaclón.-

1.

Si F es una función continua por tramos en [a,b], entonces dicha función es l-b integrable en [a,b] es decir: 3 f F(t)dt Ja

En efecto: como F es continua por tramos en [a,b], con discontinuidad en í„ y posiblemente en a,b.

Entonces a la integral

f* F ( t ) d t , se define como: Ja

fb ftfí-h ft,-h fh-h I F ( t) dt = lim[\ F ( í )d t + I F(t)dt+...+ \ F{ t)dt \ Ja h—>0~a+h Jt„+h J/.+A

como este limite siempre existe, entonces 3

6

f* F(t)dt Ja

2.

1.5

Si F y G son dos funciones continuas por tramos en [a,b], entonces el producto también es continua por tramos en [a,b], (Probar: queda como ejercicio).

Funciones de Orden Exponencial.Definirión.-

La función

F:

[0,+oo> -» R, es de orden exponencial si existen

constantes c > 0 y a tal que |F (í)| á c e a ' , V t > 0.

Ejemplo.-

Toda función constante es de orden exponencial. En efecto:

Sea F una función constante => 3 c > 0 tal que (Ffí)) < c , V t > 0 entonces \ F ( t ) \ ú c e ot . Es decir que F es de orden exponencial haciendo a = 0. Ejemplo.-

Determinar si la función F(t) = eat c o s b t , es de orden exponencial. Solución

Como |cosf>/| < 1,

V t > 0

entonces

e“'|cosdí| 0

de donde

jeM cosór| < eat => |F (í)| < eM . Luego F(t) = em eos bt es de orden exponencial tomando c = 1 y a = a. 7

Propiedades.1.

Si F: [0,+oo> —> R es una función seccionalmente continua en [0,+oo>, entonces: I) La función F es de orden exponencial siempre que existe a e R

tal que

lim —t j t = 0 .

ii)

F(t) La función F no es de orden exponencial si: lim — — = oo . / *f £•

Ejemplo.-

Determinar si la función F(t ) = t n es de orden exponencial para « e Z , V t > 0. Solución

FU) t" lim —— = l i m / >oo (>

p ic a n d o la regla de L’Hospital

t" n(n-\)(n-2)...2.\ 1 n! 1 «! = lim —- = ------------------------ lim — - = ——lim —— = ——(0) = 0, V a > 0 i e a" I a " < ^ e ca a " por lo tanto F ( t ) = / " es de orden exponencial V/ > 0

Ejemplo.-

.2 Determinar si la función F(t) = e es de orden exponencial. Solución

FU) e' lim —— = lim f— >00 C /— FO T1€

= lim e

/— >Q C *

2 ,

= +oo

Luego la función F(t) no es de orden exponencial. 2.

Si F, G: [0, oo >—> R , son dos funciones de orden exponencial, entonces el producto de F y G son de orden exponencial.

8

En efecto: Como F y G son de orden exponencial => e x is te n a ,,a 2,y c¡,c2 > 0 , tal que: |F(r)| < c¡eai' y |G(f)| < c2e ai' ,V t > 0 |F (/).G (/)| = |F(i)||G (r)| < cxe a' ' .c2e a2' = q .c2e (ctl+CÍ2)' V t > 0, entonces |F(í).G (í)¡ < e m, entonces F (t). G(t) es de orden exponencial. 3.

Si F , G:[0,ao >—> R son dos (unciones de orden exponencial, entonces la suma de F y G es de orden exponencial. (Queda como ejercicio para el lector).

Ejemplo.-

Demostrar que la función / (í) = t" senkt es continua por tramos y de orden exponencial en [0,+oo >. Solución

Sea f ( t ) = / , ( / ) . f 2(t) = t ” senkt, donde / , ( ; ) = / ”, / 2 (/) = sento, la fiinción es continua V i e R, en particular / ’, (/) = / ” es continua en [0,+oo> por lo tanto f x(t) = t" es continua por tramos (por la propiedad que toda función continua en [a,ó]es continua por tramos en [a, ó ]). La función f 2 (t) = sen k t , es continua V / g 7?, en particular es continua en [0,+ o o >, por lo tanto f 2(l)

=

sen kt es continua por tramos.

Entonces como f ¡(t) = t" y / , ( / ) = scn/:í son continuas por tramos entonces f ( t ) = t " sen kt es continua por tramos ahora demostraremos que / , (t) = i "es de orden exponencial; para esto demostraremos que: f x(t) tn n\ l im—— = 0 , es decir: lim = li m— /— >«> e t-*a>e /-►®a e orden exponencial.

= 0 , entonces / j (t) = t

es de

9

Ahora demostraremos que f 2(t) = sen kt es de orden exponencial, para esto existen c y a , tal que | / 2 ( pem (sen kt\ ¿ 1 de donde |f 2 f/ )| < 1 = le01 tomando c = 1 , a = 0 se tiene que f 2(t) = sen Ai es de orden exponencial por lo tanto como f l (t) = t ” y f 2(t) = sen Ai son de orden exponencial, entonces: f ( t ) = t ” .sen Ai es de orden exponencial.

1.6

T e o r e m a .-

Si la función F: [0,+oo > -» /? , es seccionalmente continua y de orden exponencial a entonces 3 /(.«) = L{F(t)}, V s > a . Demostración

Por hipótesis se tiene que F(t) es de orden exponencial \ F (t ) \ 0 .

Además

f+áo L{F(t)\ =

Jo

por

propiedad

a = > 3 A /> 0 , tal que

|J F(t)dt | < ( V ( ' ) k '

pa e s'F(t)dt = lim

«->« Jo

e '’F ( t ) d t .

Luego |e_,,F (/)| = e W|F (/)|< M e sr.em , V t > 0 puestoque |F(/)|:£ M e M , V t^ O Es decir: |e''F (i)J < Me~is~aV ,V t >0, a esta desigualdad integramos de 0 hasta a.

r í e ~s,F(t)\dt< M e ~ U a)1dt = - —— e - {s- a)' / * Jo1 1 Jo s-a ¡o

j ‘ \e' s,F(t)\dt < ~ J ~ ( e (s~a)a ~ 1) Ahora tomamos límite cuando a -> +oo t ai i M jl/ lim \e slF(t)\dt < - ------ lim (e‘ (! a)fl - 1) = ------íi— >+oc)Jo S —OL t*-*+oo S CC 10

y

J0 \e s 0 3)

F(t) = sen at Solución f+aq f ( s ) = ¿{sena/} = I e st sen ai d t , integrando por partes. Jo , .v. sen a / + a eos a/ / +® „ f{s) = e ' ( )/ , para s > Q, e? s +a / o entonces:

4)

a f ( s ) = ¿{sen at} = —------s+ a

-> 0 , cuando t —> +«o,

,si s > 0

F(t) = cosat Solución En forma similar que la función anterior. / (.y) = ¿{cosa/} = Jo

e~sl eos at dt = — — - , si s > 0 s+ a

a Es decir: f ( s ) = ¿{cosa/} = — - , si s > 0 s+ a 13

Tabla de Transformada de Laplace de algunas Funciones Elementales.

F(t) k tn e at sen at

L{F(t)} = fts) s n\ — r> s>0 í "+1 1 ------ , s > a s-a a ^ ^ • 5>0

eos at s 2 +a 2 ’ S > 0 senh at 7s —a V

' s > la l

cosh at ebr sen at

s 2 - a 2 ’ S > la l a

ebt eos at

(s - b ) 2 + a 2 s-b

eb‘ senh a/

( s - b ) 2 +a 2 a

ebl cosh at

(s-b)2 - a 2 s-b (s-b)2 - a 2

Ejemplos.1)

Calcular L{F(t)} donde F(t) es dado:

F(t) = í 4 Solución 4 4! 24 L{F(t)} = L{t4} = — = — s s

14

2)

/ t = u + a => dt = du, reemplazando en la integral se tiene: f+QO

, , .

f+CO

L{G(t)\ =Jfl e~ G(u+a)du

=e

e ,uF(u)du = e~asf ( s )

por lo tanto: L{G(t)} = é~asf ( s ) .

Ejemplo.-

í ( í - 2)2 , t > 2 Hallar L{F(t)} si F(t) = 1 1 0 , t< 2 Solución -2s

Sea £{r3í = 4

s

= / ( í ) = > H F ( t ) } = e lsf { s ) = —

s

6e 2í

£{F(r){ = — 7

d.

Propiedad del Cambio de Escala. Sea F: [a,+oo> -» R, una ñinción continua por tramos y de orden exponencial. Si L\F(t)} = f ( s ) => L{F(at)} = - f ( s / a ) a Demostración

Aplicando la definición de Transformada de Laplace. f+OC> L{F(at)}= \ e ‘" F{aí )dt, calculando la integral se tiene: Jn u du sea u = at => t = — => dt = — a a

J

*+Qo 1 -+ R, continua por tramos y de orden

exponencial,

si

L{F(t)} = f(s),

entonces

dn L{tnF(t)} = (-1)" — L{F(t)}, para s > 0. V n e Z + ds 19

Demostración como

f+QO f ( s ) => f (v)= I Jo

L{F(t)}=

é~s'F(t)dt

aplicando la regla de Leibnitz para la derivada bajo el signo de integración se tiene: d d f+’/ . f+ G'(t) = F' '( t) L{F' ' (i)} = L{G' (Oí = s L{G(t) - G( 0+ )} L{F"(t)} = s L{G(t)} - F ' ( 0 +) = s L{F'(t)} - F' (0+) = í ( í L{F(t)} - F ( 0 +) ) - F ' ( 0 +) = s1L{F{t)} - 5 F (0+) - F' (0+) /. I{F "(O } = v2I{ F ( O } - 5 /r(0 +) - F '( 0 +)

Ejemplo.-

Apliqúese una transformada a la ecuación diferencial 4y ' ' ( t ) + y ( t ) - -2

1

sujeta y(0) = 0, y'( 0 )= —. 2

Solución

25

Primeramente aplicamos la transformada a ambos miembros de la ecuación diferencial. AL{y"(t)} + L{y{t)} = L { - 2} As1L { y ( t ) } - A s y m - A y ' ( 0 ) + L{y(t)} = - -

(4.v2 + l)Z ,{ y (f)} -0 -2 =

s

dedonde (4x2 + l)/.{v(í)} = '

s

-

¿{.v(0} = —(S~ ])

.v(4.v +1)

Generalizando.-

Si F ín~l): [0,+oo>-» /?, es una fimción continua y que F ín)(t) es una función continua por tramos y de orden exponencial. Entonces:

I { F (',)(O} = s"¿{E’( / ) } - s n"1F (0 +) - 5 ^ 2F ’(0+) - ...- s E ’("“2)(0+) - F (',- 1)(0+) »-l L { F (n) (t)} = .v" L{F(t)} - £ .r”~w F (i) (0+) 1=0

Ejemplo.-

Calcular L{t"} mediante la transformada de las derivadas. Solución

L{D”tn} = L{n!} = — , de donde se tiene: s

— = L { D y } = s"L{tn} - s n~lF(0+) - s n l F' (0+) - . . . - F (h- ' \ 0 +) s — = snL{ín} ~ 0 - 0 - .. .- 0 , porlotanto: L{tn] = ■n+1 p a r a s > 0

26

1.13

Transformada de Laplace de Integrales.Teorema.-

Consideremos una función F: [0,oo> —> R, continua por tramos y de orden exponencial, entonces:

Demostración Primero demostraremos que f F(u)du es de orden exponencial, es decir, como F Ja es de orden exponencial => 3 a, c > 0, tal que: |F (/)| < c em , V t > 0

[F(u)du < f |F(i/)|í/« < c f eaudu = — e au / Ja

Ja

Ja

Ct

= — (ea t - e m ) < — em a

CC

OL

entonces í F(u)du es de orden exponencial. •"a

Por lo tanto 3 L{ í F(u)du} es decir: Ja

L{ í F(u)du) = í e~s' (\ F(u )du )dt = lim í e s‘ ( ¡ F(u)du)dt Ja J0 Ja /rt— >+*0 Ja integrando por partes. dw = F(t)dt

w= f F(u)du Ja

v =-

dv = e~a dt f' e L{ \F( u)du }= lim [ Ja

to —►■Poo

f S

Ja

F{u)du

!h ' 0

—s

1f o „ +e~5'F(t)dt] S »0

1 f° 1 f'" „ = — (0 - \ F ( u ) d u ) + lim e~ F(t)dt S

Ja

tn—>+co S J 0

27

1 f° 1 f +“ 1 f+* -«■/ 1 f" = - F (« )rfí/+ H e~s,F{t)dt = - J e F(t)dt — \ F{t)dt S *a

S *0

0

L {\ 'F (u )d u ) = - ¿ { F ( f ) } - - f > ( / ) / * Jo

Observación.-

í

.V J o

Cuando a = 0 se tiene: £ {F (/)} = /(* )= >

/(■') =^ .1

Jo

Generalizando.1 f" £ {f f ... f F(t/)rfW...¿u} = — ¿{ F (í)} ~ — f >(») L{t senf} = —^ .v+1 (í +1) ex l J íl 1 2.V 1 L{ t sen tdt) = — ¿{sen f} — t sen t dt = —(—= z-) — (eos 1- sen 1) í

Í J0

Cx

2

L{\ t sea td t} = —r------r (í +1)

S

(í

+1)

í

eosl - sen l

d2 tx d2 2 L l t 2 f í s e n í dt} = (-1 )2 — ^ L { \ t s e n t d t ) = — —(■ , , Ji ds2 Xh ds ( í + 1) d r

8s

= T * ~ 7 1

ds

¡T 3 "+

( í + 1)

T, 2 ( x j, 8(5y2 - l ) L{t2 \ t sen tdt} = — i Ji (í +1)

1.14

c o s l-s e n l^

8(5.v2 —l)

2

, 2 , ..4

í

(>v + 1)

c o s l- s e n l

,

í 2 (c o sl-s e n l) y

3

2 (c o s l-se n l) ------------í

Aplicación de la Transformada de Laplace en la Evaluación de Integrales.-

Sea F: [0,+oo> -> R; una (unción continua por tramos y de orden exponencial, entonces.

Í

+QO e s F(t)dt = f ( s ) , tomando límite cuando s -+ 0,

se tiene: 29

lim J

e 11F(t )dt = lim f ( s )

.V—>0 0

de donde

5—>0

f+«

]F(í)dt=f(0)

...( * )

siempre que la integral sea convergente. La expresión (*) es útil en la evaluación de integrales. Ejemplo.-at

1)

Evalúe la integral Solución

h

Aplicando la división en t y luego la definición ¿{sen bt} = —— — = f ( s ) s ¿ +b¿ sen bt r+a> u /+°t’ k s L { - ¡ - } =\j(u)du = du = arctg— / = — - arctgbis 2 b

tomando límite cuando s - > a se tiene: 7n1 s [+x -« ------ssnht dt = lim (— - arctg—)

lim I e i— >u ®

t

Solución 30

¿{sení} = ^yí— => ¿{rsení} = —— ¿{sen/} = —- ( - J — ) = —r — ^ r s +1 ds ds r + 1 (í + 1) 2s L{t sen t } = —5

5-, ahora aplicamos la definición de transformada

(■v + 1 )

f+" . s, 2s J e t sen tdt = —;----- r , tomando límite cuando s - > 3 se tiene: 0 (s2 + 1)2 f+“3 _ a 2s lim I e t sen tdt = lim —5----- rJ-» 3 0

s -> 3 ( . í

+1)

f « _3( 6 3 I e t sen t dt = ----- = — 0 100 50 3)

>cos6í-cos4r Calcular la integral I ------------------dt ». t Solución Calculando la transformada de la función. ¿{eos 61 - eos 4/} = 2 * — y ~ 7 7 = f (f ) s +36 s +16 ahora aplicamos la transformada de la división

L{

ceos o s661í-c - cos4r os4í r°° r™ uu 7 }=l t k +36

u — — )du m +16

1 •> 1 i t m 1 u 2 +36 Ia = [ U n ( u 2 + 3 6 ) - l l n ( t / 2 +16)] / = -ln (-^ — - )

2

2

' *

2

u

+16 *

1 í +36 1 .v +16 = 0 ——ln(—-------) = —ln(—------ ) 2 s +16 2 s +36

31

L{eos6t—cos4í^ _ J_ [n( |V_ + 16}t aplicando la definición de traasformada t 2 s + 36 cos6/-cos4< t f+oc' lint l e *-> / eos at = / 7 . ---------------t í (2*)! (2*)! oo

/

24

24+w

n SP *O t / eos at = 7 , -------------------- , tomando Transformada de Laplace se tiene: tí (2*)¡

00

/

*VA

24 #24+#i

®

/

iv 4

24

35

=

.. L{t

7)

Y ~ ,

(-1 ) V * (2* + «)!

_________________________

(2Ar)!

í 21+"+‘

x - (-l)l a2k (2k +n)\

eosa t } - 2 ^

(2kv

x2k+n+l

^ r^sen2 / , ,j2+41 Demostrar que L{ } = —1 .In(— :—) t 4 s Solución ¿{sen2 í}

= -^-¿{1-cos2í} =

— J—

2 .v s + 4

2

) = f(s)

Ahora aplicamos la transformada de la división. sen2 1

« T

r+K- 1 1

1■ l

u

r t - —

1

1

,

/+0

i )du' i {'*u - 2 H u + 4 )l/-

-íw -r^ V r-o -rW -A i- jm ^ ) 4 u +4 1 4 ^ +4 4 sen2 í

1

í 2+4

L{ --------} = —ln(— 5—) t 4 í

8) Calcular

e' -cosí

L{ ------------ } Solución

¿ {e '-co s/}= I{e '}-¿ {c o s /} = —-------- J- — = í-

1 r +l

f(s)

mediante la transformada de la división se tiene: I{ 36

e'

- eos í j

f +0° 1

}=£

(—

u

,

1

,

/+»

- - ^ ) r f « = [ l n ( K - l ) - - ln ( « + 1 ) ] / ,

u —1 / .V —1 V i2 + 1 - i - T T - / . -° -l» (7 ? - ) - t o ( 2 _ _ ) Vm + i Ví + i 1

¿í

9)

e'-c o sf .V i2 +1. ; } = ln(------ — ) t í -1

Demostrar que:

L { e ax [' eaxF(x)dx} = Jo

s+a

Solución Sea L{F(x)} = f(s) aplicando la propiedad de traslación se tiene: L{ea*F(x)} = f ( s - a ) , aplicando la transformada de la integral se tiene: ft j’ — q\ L{ I eftxF(x)dx) = -—• , ahora aplicamos la propiedad de traslación, se tiene: Jo s L{e~ax f ettxF(x)dx) = Jo s +a .«x 10)

« T,c o s a t- c o s b t% 1 , , s 2 +b2 Demostrar que: L{ } = —ln(—s 5-) t 2 s+ a Solución ¿(eos at - cosóí} = , * 2 — s+a s+b

= f(s)

Ahora aplicamos la transformada de la división

L{

eos at ai - c o s b t r°° f 00 u 7 1 = 1 (—----t u +a

u u +1

r)du

1 x x 1 = [ - ln ( « +a ) - - l n ( « ¿ L

x

x z®1 1 u + a /' +b ) ] / = - l n ( — ------ ) ' v 2 u112 + b 2 't *

37

1

s2+a2

1

s2 +b 2

= ° - 7 ln < 1 “ T 7 ) = T ln ( - I —

2

H

11) Hallar

s

+b

2

s+ a

T )

c os a t - c o s b t 1 s2 +b2 ■ '“7 m y' t 2 s¿ + a l

¿{ J t e 2,sentdt} Solución

¿{sen t } = -=----- , aplicando la transformada de la multiplicación por t. í +1 d d 1 2í ¿{í sen/« ¿{e2,í sen t } = --------- ------ y , aplicando la transformada de la integral

[(J ~ 2) +1] ¿ { f e2,t sent d t ) = — 2^ 22) 2 Jo

12)

- 2) + 1]

Calcular L {te2,f ' ( t ) } Solución Sea L { f( t) } = y/(s) => L{f' {t)} = s y r ( s ) - f ( 0 ) aplicando la propiedad de traslación

¿{e27 '(0 ) = ( i - 2 M í - 2 ) - / ( 0 ) ahora aplicamos la transformada de la multiplicación por t. L { t e 2' f ' ( t ) } = - ^ r L{e2' f ' ( t ) } = - ^ - ( ( s - 2 ) W( s - 2 \ - f m ds ds

= -y/ (s - 2) - (í - 2)y/ '(í - 2) 38

I3) Calcular

'>1 Solución

/

/

/

9-1 * (.í - 1) +1 s-1

L{e (c o sí-1)} = L{e c o sí} -¿ { e } = --------2---- -------- -- / ( - v)

aplicando la transformada de la división e' ( c o s í - 1) U—

f+o°

u- 1 1 }=[ +

1 , - ( - l n [ (u -l> + IJ-lu (u

V («-d 2V + i . rr = Q a -ln i Ví,9_i)2 + 1 = ln(. , y- 1 * +1 ) W— 1 ' s S -1 J ( s - 1)2 + 1

= .

¿{£W

- i ) } = ln( 1

14)

Hallar

r

la

í -1

)

y l(s - l)2+ l

Transformada

de

Laplace

de

la

(unción

FU) = í 2J jcsenjcPor la propiedad de linealidad

T r 3' sen* r3' s e n * , , f senr , , L{\ dx} = L{\ -------d x } - L { \ dx} X Jo X Jo X mediante el ejercicio (16) se tiene:

42

ñt gpji x

...(1 )

1

1

¿ { I —---- dx} = ~ arctg(-) Jo x s s

. . . ( 2)

ahora aplicamos la propiedad de cambio de escala. Si L{F(t)} = f(s) entonces L{F{at)) = — f ( - ) , es decir: a' a ^ f 's e n x . , 1 1 ^ f^ se n r . , 1 ,3 V Si L{I dx} = —arctg — =s>L{| —dx} = —arctg(—) Jo X X S Jo X s x Luego reemplazamos (2) y (3) en (1). , r 3' sen x 1 3 1 1 1 , 3 1 L {I dx} = —arctg arctg—= —(arctg— arctg—) Jt x x x s s x s x 3 i_ 1 ~~ 1 2.v = —arctg( j - r ) = -a rctg (— ) S 1+ 2 i s +3 s s

^ . Calcular

T . f ' x co sx + e senx , , L{\ --------------------------dx} Jo X Solución

r , r ' x 2 c o s x + e “* senx , , r, t ' e x senx,., L{\ --------------------------dx} = L{\ (xeosx + ------------ )dx} Jo X Jo X aplicando la propiedad de la integral se tiene: r ' x 2 cosx + e *senx r' f e x senx L{\ --------------------------dx} = L { \ x c o s x d x } +L{\ -------------dx} Jo X Jo Jo X aplicando la transformada de la integral

I{

r ' x 2 cosx + e 1 senx 1 l e * senx --------------------------dx) = - I { x c o s x } + - L { ------------ } ... (1) Jo X S S X

aplicando la transformada de la multiplicación y la división. £{xcosx} = —^-Z.{cosx} = — ) = —7— V dx ds s 2 +1 (.v + 1)

L{e

sen x r™ —— } = | L{e x Jj

— (2)

r® du / se n x } = | - j —- = arctg(u + l) J* (m+ 1) +1 s

= arctg(oo)- arctg(,v+1)

n 2

arctg(.v+l)

... (3)

ahora reemplazando (2) y (3) en ( 1): f ' x 2 co sx + e * senx 1 .v2 - l n 1 L{\ -------------------------- dx} = - ( —5-----r ) + T " — arctg(.v+l) 'Jo x x (s2 + l)2 2.v x Dado una función G(t) donde L{G(t)} = g(s), cuando s > a. Entonces demostrar que para una constante T > 0. L{G(t + T)} = e s,( g ( s ) -

fT e Jn

G(t)dt)dt, s > a , T > 0. Solución

f 00 L{G(í + T)} = I e~srG(t + T)dt por definición de transformada. Jo Sea u = t + T, para t —» Q, entonces T t —> oo, entonces /i ->

oo

L{G(t + T)} = JJ e s,G(i + T)dt = JJ é s(^ r)G(ii)dfi fon

= e st

fer-

e suG(U)du = e st[\ J

t

Jo

fT

e s,4G ( u ) d u - \ Jo

e~Sf*G(u)du]

=

[ J V " G(t)dt - f e " * G(i )dt] = e * [g (x ) - f e ' * G(í ) [ ( s - 2) 2„ + 1]2 í [ ( í - 2) + 1]

L{t F(t)) = -------=> [ ( f - 2) + 1]

J»/

|

< F (f)* } = - (

a

L{ f f F(f) du = tdv, además se tiene cuando —> oo, v —> oo ahora reemplazando se tiene: ‘® sen u ,

u = t;

v = 1 y cuando u

f * sen ív r® sen tv f+® „ f ® sen ív — tdv^ L { [ — dv) = l e % — dvyt

J

® . senív

n

1 O =

e

y

f°° 1 f00 -«

dírfv = J —J e 1y O

sen tv dt dv

f® 1 r® 1 v —L{senívWv = — ----- T-dv •’i v Ji v \ 1 feo

d v y d i - l - J e-»dtdv l v

= r l l { e " ,v}dv = r - . ^ — dv Ji v fl v Í + V 1 f°o 1

1

1

V

/x

1

1

1

/ = 0 — ln----- = -ln (.v + l) = —J (-----------)dv = —lns 1 v 5+v s v+ 5 1 .y 5+1 s .

25)

P»e Demostrar que J o

-ir

-e

-6 t

dt = ln2

/ Solución

Calculando I{ --------------}, se tiene: t e 3'- e ~ 6'

r» 1 } = Jf (—

1

L{e y - e

S+ 6

£{------------- } =-ln(------ ) , por definición se tiene: t

48

5+3

i i ------------- -- / ( 5) s + 3 5+6

/oo J d ^ tln íu + ^ - l n l u + ó ) ] ^

,«« + 3., 3 /» 3 /°° „ , ,5s + + 3, = ln( - ) / = 0 - l n ( ---- -) tt-f 6 / j j +6 0^* — 0

61} =

M

~31

~(it

£

f» _st e - e I e . 0 t m

lim J e j— >o •>

.

e

5+ 6 dt = ln(------ ), tomando limite cuando s -> 0, se tiene í+ 3

-3 1

-e

~6t

, ,

s+ 6 dt = lim ln(------ ) í->o í+ 3

t

-it

f xe

'o

26)

-e

-6/ dt = ln2

í

°°e ; senf tt Demostrar que: J dt = — í 4 Solución Calculando la Transformada de Laplace: L {— n *} . 1 sen t r°° du /°° n ¿{sen/} = - j - => L{— — }= I —— - = arctgu / = —-arctg.? í+ 1 t *s u + 1 ' s L ¿{sení} =

f 00 e~sl sen t n ----- ------ dt = - - a rc tg í, tomando límite cuando s -> 1, se tiene:

f® _ sení ;r lim I e . dt = lim( o t j-»i 2 /• roo ooe •7)

27)

Calcular fJ e a!

senr t

senóí

n n n arctg.?) = — - arctg 1= — - — 2 2 4 tt

dt = — 4

dt, siendo a y b constante positivas. Soliicién

Calculando la Transformada de Laplace de ¿{ se^

|

49

,

A

r ,senAr} = f°°—=----bdu r

¿{senAf} = -5 T => L{ s 2+b 2

i* u 2+b 2

t

u ¡ n = arctg—/ b‘ * 2

s arctg—

r ,sen Ai. n , í, L{— — } = - - a r c t g ( - )

t

¡“> I e

i

sen Ai

0

lim s —*a

t

Jv-

?r s dt = — -arctg(—) , tomando límite cuando s - » a se tiene:

2

senAí t senAf

I e 0

28)

b

b

n s dt = /im(----- arctg(—)) í-»o 2 A a arctg(—) A

r

dt

í

2

Evaluar la integral

. -t 2 too e sen t -dt Solución

sen2 i Calculando la Transformada de Laplace de ¿{— — }

¿{sen2 /} = j ¿{1 - eos 2t} = i ( i - - j i - ) = /(.r) sen2 í 1 r* 1 !(— )=- [

1 M = 7 ln—2

4

/

u

1

/«'

1 = 0 - 7 ln

u +4' ‘

4

1

,

/* + 4 )] /^

j 2 +4

sen i 1 í 2 +4 ¿ {— }- - H f® J e o

50

sen i t

1 s +4 dt = —ln(— 5—) , tomando límite cuando s -> 1 4 s

A

*> e Í j-»i o

I o 29)

sen í t

1 s +4 dt = —lim ln(— 5—) 4s->i s

sen2 1 1 . _ dt = “ ln5 t 4

Demostrar que:

| “> l-c o s t n — dt = — Solución

1 -co sí Calculando la Transformada de Laplace L{— p — }

L { l-c o sí} = - — £ — = f ( s ) s sr + 1 1 -c o s í rr 1 u 1 £ {— :— » - J , ( - - p 7 7 ) * - n » - j w .

- ll 2

1

-co sí

1 -C O S Í

ir +1

' 4

2

.yz

1

Ia + iH /,

+1

1 , ,.v2 + l ) = —ln(— 5—)

("*> 1

M2 + 1

¿{----- j— } = J —ln(— j—)du . integrando por partes 1 u2 +l /“ = - [ u ln(—- y - ) + 2 arctg u] J ^

n

s . ,v2 + l j ln< ~ J ~ ) -

2

arctg .y

aplicando la Transformada de Laplace f°° 1 -c o sí I e ----- 5— dt Jo _ t

7T j s2 + l , . ln(— 5—) - 2 arctg.v, tomando limite cuando s -> 2 2 s

0

51

foo \ COSI . . K S. s2+ l lim \ e~ *-----5— dt = lim[—— —ln(— 5—) - 2 arctgj] *o o t2 í->o 2 2 6 J S2

1 - CO SÍ

tT

f,0 — / 2r — rfí = - 2- o » 1-C O S Í

Í'> 30)

Jt

-o = 2 7T

5— rfí = í2 2

f 00 c o s u - e “ + sen« Calcular la integral J --------- —-----— du Solución

Calculando la transformada L{

c o s u - e " + senu

s I 1 ¿ { c o su -e " + sen u l = —--------------+ —----j 2 + ] .v- 1 j 2 + l

L {-

f (s)

1

[ u 1 1 - } = | (—3----T+ —2-----)du Js V + 1 « - I u 2 + V

= |^-ln (u 2 + l ) - l n ( « - l ) + a c t g u |/ ” = [ ^ l n ( - “ +1 ) + arctg u] / ^ 2 (tí “ 1) n . 1 , , s 2 +1 = (0 + - j ) - y l n ( - — jp -) +arctg j

T,ctua »gii u , n i1 ,. . jí 2 +1 ti o s1u4 - ee" *r +senw ¿{---------} = _ - - ln (—— (—r -— -), + arctg s 2 2 s 2- l s + \ definiendo la Transformada de Laplace 52

’°°

c o s u - e " +senu

J

e '

o

u

k du = — 2

1 .v2 + I ln (—5----------- )+ arctgs 2 V . - 2.Y+1 5

tomando límite cuando s—>0 c o s w -e " + s e n u n 1 í 2 +1 du - lim[— - —ln(—5--------------------------------- ) + arctg .y] u »o 2 2 ,v - 2 . Y + 1

-

tr lim e Í-»0J0

r

c o s u - e + sen« n n ---------------------- du = — - 0 + 0 = — Jo u 2 2

31)

Demostrar que: f°° - st

e

Jo

1-C O SÍ

,

K

S

S

•

— dt = —+ —ln(— ) - 2 arctg s f2 2 2 5+1

Solución £ { l-c o s /} = - — 5l — = f ( s ) s sr +1 I-C O S Í

í

t° °

1

1

U

,

1 U2 ,oo 1 í2 = —ln (—2------ ) / =O——ln (—5------)

2 V+1 '*

L{

1- c o s í t

,0 0

} = I ( - — 2— ) * = [ l n ( « ) - - l n ( u 2 + 1) ] / Jí M « +1 2 *

2

V+1

1 s +1 } = - ln (— y ~) = g(s) -2 s¿

1-c o s f 1 r® k +1 L{---- 5— } = — I ln (— 5— t 2 Js u

>integrando por partes

1 -c o s í

1

u 2 +1 ,a> ln (~~¿T~) + 2 *"*8 «1 / ,

|

7t

V

¿{— ~2— } =

COSÍ

¿{■■- ■-■■;■}= —+ —ln (—5 ) - 2 arctg s .definiendo la Transformada de Laplace r 2 2 j 2 +1 f 00 I e

Jo 32)

1 -c o t . n s . , s" — ;— dt = —+ —ln (—=

,2

.

2 2 V+1

f°° -2/

Evaluar la integral J te

„ ) - 2 arctg .1

sen tdt . Solución r-!--------

. ¿{ísení} =

d Tt . 1 , 1 . 2s Lfsení} = - — ( - y — ) = —;----ds ds s +1 (.v +1)

aplicando la definición de transformada

I"00 si 2j I te-----sen tdt = —:--------- tomando límite cuando s-+2, se tiene: 0 (.y + 1)

f“ -*>sen tdt = lim —; 2s

lim I e í-» 2 0

í:0 te

-2/

s-*2 ( s

r

+1)

4 4 sen tdt = —r = — .v2 25 * op £ ^

COS í

33) Evaluar la integral I ---------- — dt

Jo

í

Solución 54

L{éT2' -c o s t} = —l- r — T — = f ( s ) s +2 s + i

[ln (u + 2) - ^ ln (m2 + 1 ) ] / > L 2

/ J = O- ln ( - í ^ 2) t r +1 ' s 2 +1

1 ^ 1 = —ln ( - J ———— ), aplicando la definición de transformada se tiene: 2 V + 4s +4 r - - * (e~2f~cosr)df Jo

1^

í

2

t

2 +1

í2 +4í +4

7. f°° e -st* 2-------------------= (e - e o s t)dt _1 //m in ( --------— í +1 j lim * r 2 *->o í +4í + 4

í ->o Jo

rx e ~2'- c o s í , , „ rf/ = - l n 2 Jo t /*co

34) Evaluar la integral j

_ e~ 't senh tdt Solución

L{t senh/} =

d d i 2s ¿{senh r} = — (—5 ) = ■ ds ds V - i (,?2 - i) 2

aplicando la definición de transformada 2í f o> " ' senh tdt = lim —:------r-, tomando límite cuando s—>2 í->2 ( í - 1)

0

te ' senh tdt = 7/m J->2

íe

-2f

2í ~ 1)

senh tdt =

55

1.16

Ejercicios Propuestos.-

I. 1)

Demostrase que / ( / ) = t *, es de orden exponencial cuando t->*>; V e R .

2)

¿La función f { t ) = t ' es de orden exponencial en [0,+oo >? Rpta.

3)

¿Es /"(í ) = / sen - continua por tramos en [0,+oo > ? t Rpta.

4)

No es de orden exponencial

Si es continua por tramos en [0,+oo >

¿Cuales de las siguientes funciones son continuas por tramos en [0,+ »> ? Razónese la respuesta.

a.

í+ 1 /(0 = — í-1

b.

„ f(t)=

c.

f ( t ) = ey‘

d.

/(í) = í2

Rpta.

a.

5)

t-2 2.— ~ í —t —2

no es continua por tramos en [0,+oo >.

b.

' es continua por tramos en [0,+oo >.

c.

no es continua por tramos en [0,+*> >.

d.

es continua por tramos en[0,+oo > .

Demostrar que paracualquier numeroreal a , F(t) = e m f ( t )

es continua por

tramos en [0,+oo >, siempre que f lo sea. 6)

56

Demuéstrese que las fimciones dadas son continuas por tramos y de orden exponencial en [0,+oo >

a.

f U ) = t n costo

b.

d.

1-senfo / ( / ) = --------------/

f(t) —

e.

1 eos kt

n , f ( t ) = t cosh/

c.

1~~s /(/) = ' /

, f.

. c o s r-c o s h / / ( / ) = ----------------x

7)

Demostrar que el producto de dos funciones continuas por tramos en [0,-H» > es una función continua por tramos.

8)

Hallar la transformada de Laplace L{F(t)} si:

a.

f ( t ) = t 2 eos/

b.

f ( t ) = t 2e' eos/

c.

f(t) =(2t-3)e~

d.

/ ( / ) = 3e~'cos2/

2 s3—6j /w -^ rn jr

n p ,,...

c-

f(s)=

~3e% , 3 s-l

*•

d-

9)

^ ^2 ^ Demostrar que Lít 2sen /} = —^----- r (s2 + l)3

10)

Demostrar que ¿{eos3 /} =

11)

, Halla ¿ ( r eos/}

_ /w -

2(s -

l)3 - 6( s - 1) [(, . , ) i +1r

3s+3 f ( s ) - — ---------j +3s+.r

S^S + ^ + 9 ) ( .r + 1)

Rpta. f ( s ) =

6j 4 - 3 6 j 2 + 6 ——3---- 3— (j

12)

Halla ¿{

sen2 / eo s/

t

}

+ 1)

1 / +9 Rpta. f ( s ) = - l n ( —-----) 8 s +1 57

13)

Halla ¿{sen(a + /)}

14)

Calcula ¿{eos2 A/}

15)

Demostrar que:

a.

¿{cosh2 (at)} =

í

cosa + .y. sena Rpta. /(.v) = s 2 +1 Rpta. / ( . v ) = V + ™ ) 2 s s + 4h

2 - 2 a 2

s ( s 2 - 4 a 2)

b.

¿{senh2 (ai)} = í (í

2 - 4 a 2)

c.

a (.v2 + 2 a 2) ¿{cosa/, sen at) = — ------- — s +4a

d.

¿{cosa/.cosa/} = —-------.y + 4 a

e.

¿{senh (a/).sen (a/)} = 4^ — ■4 j +4a

f.

¿{senh (a/), eos (at)} =

16)

Hallar la transformada de Laplace de F(t) si F(t)

it , /<

~U,/>

b.

, d F(t ) = te — (sen2/) dt 0

c.

F(t)

ísent , t < l n "10, /> 2n

, re y

;r 3;r ¿•(0 = eos/ , — < t < — 2

O

e.

t , i4

I

d r-lf' e -/ cos3tdt F(t) = — dt2 58

^ ,yH+ 4a

2

3tt , / >y

-3 /f' I / eos 4 tdt ■'o

f.

F(t) = e

h.

F(t ) = te'

J /—

(e z< sen t)dt

1 7 )'

Si / (í) = L { f (/)}, demostrar que para r >0

18)

Demostrar que : L{t senbt] =

19)

„ , senf 1 Demostrar que: ¿{ } = arctg — t s

20)

Calcular L{F(t)) si:

a.

F(t ) = e *' J t sen 2tdt

6bs2 - 2b* (s2 +b2)3

sen2r -------t

( í 2 + 6 í +13)2 s+3 Rpta. F(s) = arctg (—■— ) 2

b.

F(t) = e

21)

^.11 t.V e sen2í , . Calcular L{| ------------- dt} Jo t

22)

Halla L{

sen3 í

Rpta. F(s) =

. 1 ,n Rpta. F (?) = —( 2 2

arctg

3 1 Rpta. / ( s ) = —arctg 4 s

}

t

s + 3. ) 2

1

3 arctg. (—) 4 s

Sugerencia: sen3 t = 3 sen t - sen 3í (em —e bt)2

23)

Halla L{

}

24)

Halla L{

25)

Evaluar ¿{sen kt.coskt]

sen t + sen t , --------- e }

1

...

Rpta. /(.?) = ln(

(s —a —b )2 ( s - 2a ) ( s - 2b)

„ 7 1 1 3 Rpta. f (s) = —arctg----------- arctg(------) 4 í-1 4 í-1 Rpta. f ( s ) = —-------j- , í > 0 í +4k 59

Halla L { F m . ú F ( t ) = e * \ ' t eos 4tdt 0

v—3)2 Rpta. /(.v) = ------ ——0 - 3 ) [ ( .r - 3 ) 2 +16]2

Hallar Z,{F(/)}si:

b.

F(t)l = = ,Í!e l \ e ''V sen2rdr *o

F (r) = e

f/ sen 2/ I dt

F(t) =- rll re 3í sen 2tdt

F (r)

Halla L{F(t)} si F ( t ) = ( SCní ’ t 4iz 3/r a

0

, t< a

F(t) =

,O

Demostrar que: L{ F' ”(t)} = s 3 L { F ( t ) } - s 2F ( 0 ) - s F ' ( 0 ) - F " ( 0 )

45)

Demostrar que:

46)

Calcular: ¿{

1*2/ Jo

flysenz

rx

(

(

Jo Jo

z

dz)dy)dx} 61

47)

Demostrar que:

48)

Calcular

49)

Demostrar que:

L{ S6n^ >} = ^ (-1) 1+ * - " ' S

(.r+a«)2 + ¿ 2

Z.{— f e a' F ( —)dt] , a * 0 . a Jo a

Rpta.

/ ( r ) = - -1

73)

Calcular L{

e~4'e o s / ~Z~T^ (l-e )

75)

74)

1- cosh/ Calcular L{------2-----} /

76)

Calcular L{

77)

d e b' sen2 / Calcular !{ / — (-------5------)} sin derivar. dt t

78)

Si L{F(t)} = H(s), calcular £{J dvj^F(u)du)

79)

Solo usando propiedades sin derivar calcular L{e

80)

(' d Calcular L { — (/ e

81)

64

¡V "a

e

sen2 /,

d 2t t — (e sen t)dt) dt

2

) d t), sin derivar solo usando propiedades.

Sea [0,oo> -» R una función de clase A. 1 t, t L{-e° F (-)), a> 0. a a

Si L{F(t)} = 0.

88)

Calcular

89)

Hallar la transformada de Laplace

90)

Hallar

« 1/2 cosu3/ í dw2

t Calcular L{— jr} e +e

Hallar Z,{/3 tgh(/)} V - ( - 1>"6 v ' ( - 1)"6 Rpta. f ( s ) = V ■■■ ■ X — — ------ r ~ ( s + 2«)4 ~ ( * + 2« + 2)4

96)

e Al sen/ Calcular L{-------- r —r} (l-e )

97)

Calcular ¿ { í”172^ / ) } si F (/) =

98)

Usando propiedades calcular la transformada

d f ^ d sen2 / !{/ — I — ( — =—)dt) dt it dt t

99)

Usando propiedades, calcular la transformada

£{e3,J |cos2

Jo 0

Hallar L{F(x)}

Rpta.

f ( s ) = ~ £ + \n2)(e~s - e~2s) s o

103)

.................eosyft ^ Hallar L{— = —} ■Jt

, Rpta.

,, „ e f ( s ) = — t=— ■ds

104)

Si I ñ |r , t>a

105)

Calcular la transformada de Laplace de la función

, calcular I { / f e A,+vF{y)dv} Jo

|'- l|í|J | si [|í|J es par F(t) = * iUH'-U l í' + ilJI iQl si s [l'l] es impar 106)

Calcular L{n{t + a y 1'2} sug. Es un el binomio de Newton.

107)

Si H(t) = '

t - NfN

si |p|J es par o cero

-[|f + l|]| si [|f|] es impar r6/

Calcular L{te

108)

Si G(t) =

'

"0 a l H(u)du},

( t - [ |í |])2

a> 0

si [|/|] es par o cero

l - ( r - [ |f |])2 si [|í|] es impar

Calcular L{tV 4' 4 - ( ¡G(u)du)} dt Jo 109)

Calcular L { ^ — ( t e ' )dt} 67

110)

Calcular L{

111)Calcular

1e

c os a t- c os b t te'

}

Rpta.

f' „ senu du) R pta. 0 u -

V

1 ( s - l ) 2+b 2 /(.v) = - l n ( - — r) 2 (s-ly+ a*

1 1 1 f ( s ) = —r arctg( ) + ---------------— s í -1 í(l + ( í - l ) )

1 112)

¡-it [ix | _ e~y Calcular L{\ dydx) Jo Jo y

113)

Calcular L{t ~y2 eosat1'2}

114)

Rpta.

/ (í) = J ^ e

, r ,e a'- e o s Calcular L{-------------} , a, b * 0

115)

Calcular

116)

Calcular L{te

117)

Calcular L{te' f t — (e2' sen t)dt)

Jo

x ,, d 2 r ~¡T]0e

"a

cos4 tdt)

dt

118)

Calcular L { t e 61 senhVF}

119)

sen Hallar la Transformada de Laplace L{t J -------------- dt}

120)

Hallar la Transformada de Laplace L{te~2' cos3í}

121)

Calcular L{t^s&nxdx)

122)

Calcular L{e~' (2 senh 2 t - 5 cosh 2t))

68

17 ,

s> 0

21 se” ?-lf dt}

Calcular L{tJ e

Calcular

L { ír e - j , « 3 r

Jo

/

m

-I

~ it

roo e - e Evaluar la integral J ------------- dt 0 t fa> señor - c o s b t Calcular la integral I ------------------ dt t feo ^ Evaluar la integral J t e ' eost dt

Demostrar que:

¡V r t senh/.sení n I e ------------- d t - — Jo t 8 -Jlt senór.senf n ------------dt = — «> t 8 e

Demostrar que:

2 fa» sen t n I — 5— dt = — r 2-

f®

Demostrar que: J t e

Calcular la integral

- i t {!

J te

-it

sent d t d t =

f00 -3* [* e cos4t dt du

Í

» ,, co sat -c os bt e ------------------dt >> t

Calcular la integral

r°o

e

rt l - e “ — - — dudt

r-' r¡

sen u

n dudt= — 4

11)

Demostrar que:

12)

Evaluar

13)

f00 2 -21 Evaluar I t e sen tdt o

14)

Evaluar J t e 2r senh tdt

Rpta.

4 —

15)

, fer e- 2 t - c o s í Evaluar J -------------- dt 0 t

Rpta.

-In2

J/=oJb=o

e

u

|«’C osh2í-cos4f -------------------- dt

J

r

Í

»

16)

1 —ln4

Rpta.

22 —— 125

2

, 1-c o s n í ntc s s s ----- ;— -dt = ----- H— ln(~5---- 7 ) -«.arctg(—), f2 2 2 í +n n

e

>>

+ V«eZ

Rpta.

y calcular

f+» 1- cosní j---- di

nn Rpta.

2

17)

Usando Transformada de Laplace calcular f°° J 0(u4 )du

18)

fcce -e Calcular J ---------5------- dx, usando Transformada de Laplace si a, b > 0.

Jq

0

19)

X¿

Usando Transformada de Laplace, calcular Rpta.

K

1

1

--------(---- =—+---- 5—), 0 < P < 1 2T(vP )> senP n 2

20)

70

f» senx + cosjc j dx, 0 < P < 1 x

Calcular i" e at\ 'dt 0

Pn eos----2

Rpta.

e*‘ ■Jn Z2y a

1

2v n

Í

cosóí - cos4f ____ *• eos ------------------dt

Rpta.

ln (-)

22)

C" sen4

t lP

e~s,F{t)dt = J e a F(t)dt+ I

o

o

Í3 P

e a F(t)dt + I e slF(t)dt+...

p

Como F(t) es una función segunda integral se tiene:

“2 p

periódicacon períodoP* 0,entonces a partir de la

t = u + p, t = u + 2p, t = u + 3 p ,. . entonces L{F(t)} = i * e suF(u)du+ ¡2P e~s(u+p) F(u +p)du + Jo

Jp

+ [iPe~s(u+2p)F(u + 2p)du+ ¡4P e~s(u+ip)F(u + 3p)du+... J 2p

J 3p

= ¡Pe - suF(u)du + e~5p [Pe~suF(u) du+e :isp [Pe~suF(u)du + ....... *0

*0

Jo

= (\ + e~sp +e~2sp + e - isp+...)[P e~m F(u)du

L{F(t)} = (l+e~** +e~2sp + e isp+ . . . ) j Pe ’uF(u)du ... (1)

pero se conoce que:

1 2 i. ------ = l + x + x +..., para |jc| < 1 1-JC

Luego l + e í p+e~2sp+...=----------

•••(2)

por lo tanto al reemplazar (2) en (1) se tiene:

u m } = j ^ í l e~SUF(u)du

••

\ Pe s,F(t)dt L { F U ) \ = ~ ------- — — l-e p 73

Ejemplo.-

Hallar la transformada de Laplace de la función que se muestra en la figura.

Solución La función F(t) del gráfico es periódica de período P = 2 es decir:

F ( /) =

Í1 si

0< i 0

su gráfico es:

La función /ua (t) es continua en , a pesar que n a (t) tiene un punto de discontinuidad en x = a, la Transformada de Laplace de f x ( t - a ) = fi, (a) es: f +o°

.

-

f+°°

U V a ( l )} = L e * t i { i - a ) d t = \ e * f i ( t - á ) d t + \ e ^ f i i t - a W *0 *U «'a r+» = 0+J e

¡¿(i-a) = J

1 e~aí = —- [ 0 - e ~ af] = —— s s e'* L{n(t-a)} = — 76

e

e st /+oo d t = —^ —j para sX)

Observación.-

Toda función F puede ser trasladada “a” unidades a la derecha del punto a. La función F(t)=sent

H(t) =

0

si t < 0

sen( t - a )

si t > a

En general dada una función F: [a.+oo>—»R, se puede trasladar a la derecha, de tal manera que la función valga cero en [0,a> y se define la función G(t) = t i ( t - a ) F ( t - a ) .

Observación.

Si L{F(t)} existe para s > a > 0, entonces podemos Calcular L { n ( t - a ) F(t - a)} en función de L {F( t) }.

i)

Sea

Teorema.

F:

[0+,oo> —> R,

una

función

de

clase

A

entonces

L{n{t - a ) F ( t - a ) } = e~asL{F(t)} Demostración 77

Mediante la definición de transformada. L{/z(t-a)F(t-a)} =

[

Jo

e s'/i(t-a )F (í-a )d t

= J e s' n { t - a ) F ( t - a ) d í + \ e s' n ( t - a ) F ( t - a)dt o Ja F(t-a)dí Sea

. .. ( I )

t - a = z => t = a + z

fí = a ; z = 0 para < [í -> 00 ; z —> oo

... (2)

reemplazando (2) en ( 1) se tiene: L { A /(í-a )F (/-n )} = f a e - " F ( r - f l) d í = f +V Ja J0

=e

-a s

I +0° I e

. ,

-« i

F(z)dz =e

s, ->

R,

una función de

clase

L { n ( t - a ) F ( t ) } = e - a*L{F(t + a)} Demostración Mediante la definición de transformada se tiene: L { n ( t - a ) F ( t ) } = i e~a f i ( t - a ) F ( t ) d t \

= f e~s,f i ( t - a ) F ( t ) d t + f e~s' n ( t - a ) F ( t ) d t 0 'a =

f °°e~irF(t)dt a

78

... (1)

A

entonces

Sea t = z + a, cuando

... ( 2)

[r ->+oo ; z —» +oo

reemplazando (2) en ( 1) se tiene:

£ {/i(f -

a)F{t)} =

f +t0 e~ s'F(t)dt

Jo

=e

=

f +V

,(fl + z)F (a + z)dz

•'o

f+0° -az J-,, , vJ J e F(z +a) dz 'o

e " f ™e~ a‘F(t + a)dt = e asL { F ( t + a)} Jo

.-. L{ti ( í - a ) F ( l ) } = e - asL{F(í + a)} Observación.Sea F: [0,+oo> -> R, una ñmción de clase A, tal que:

F 7 / > - í F l(í) F ( , } - \ F 2(t)

5 ° -> R, es una función de clase A, tal que: a la función F(t) se expresa en la forma siguiente:

F (0 -

A

A

o

Fx(t) ,, si F2 ( /). , si a, < t < a , SI a 2 a » - i

79

Luego a la función F(t) se puede expresar en términos de la función escalón unidad. F(t) = Fx(t) + (F2{ t ) - F x{t))ti ( t - a l )+(F 3( t ) ~ F 2(t))fi (t - a 2) +...+(Fn( t ) - F n_l (t))n ( t - a n_j) Ejemplo.-

Escribir en términos de la función escalón unidad, la función.

F(t) =

jr

, si

14/ , si

0 E

donde e > 0, y que es muy pequeño. Su gráfica es:

ii Wt)

1

s

M 0

t

A la función f e {t), así definida se le denomina función impulso, y cuando e -* 0, la altura de la región rectangular sombreada crece indefinidamente y la base decrece, de tal manera que el área siempre es igual a 1, es decir: A = \¿ 'U ) d t = \

a la función

8 (/) =

lim f e (t) se denomina función impulso unitario o función

8—>0

Delta de Dirac, otra forma de definir la función 8(t) que frecuentemente es empleada en electrónica es:

5 ( 0 = lim ~ ( n (t) - n (t - e )) e-»0 £

Ahora calcularemos su Transformada de Laplace L { f . (/)} = \ \ - s' f A t ) d t = J V - / . ( o * + J V ' / . í o * •'O »o *#

= 1 Jo

" e " /* e"“ dt = - ------ / -= - ------ H Sí e e j'o «í l-e es

como S(í) = lim f e(l) => L{5(t)} = lim L{f„(t)} £ -> 0

e —>0

l-e ' 8 —>0

£ S

■= lim 8 —>0

se

=1 S

L{8(t)} = 1, además L{S(t - a)} ~ e"

2.5

La Función Gamma. Es una integral paramétnca definida por:

r(n ) 5= í ¡i” le udp Jo Esta integral es convergente para valores positivos n > 0, y para valores negativos n exceptuando los valores -1,-2,-3,-4.,., a la función Gamma también se denomina función factorial y se aplica en las ecuaciones diferenciales que admiten soluciones por seríes infinitas. Su representación gráfica es: 82

En la siguientes tabla se indica algunos valores de T(n) donde 0 < n < 1, calculados según ( 1) mediante series infinitas. N T(n)

0.1 9.5

0.2 4.59

La integral T(n) =

•"o

0.3 2.99

0.4 2.22

0.5

0.6 1.49

0.7 1.30

0.8 1.16

0.9 1.07

le tld[i, no define ningún valor n = 0, pero define los

valores de T(n) para todos los números reales de la siguiente forma: r(n ) = ( n - l ) r ( n - l )

2.6

Propiedades de la Función Gamma.

1.

r(n + l) = «r(n),

V n > -1 Demostración 83

Por definición de función Gamma se tiene:

r(n + l ) = í e

~

= í

"

•'O

lim P u'

/ j ne~,ldii=

•'O

p - + + oo»0

integrando por partes: =

\dw =n/ jn~1dn

[dv = e~udn

|

v = - e ~ >t

r(n + l)= lim [- f i ne f P n + n \ n"~le~fidfi] /?-»+QO

0

^0

CP

m+W

= lim - p ne~p + lim «I p n“ e~udp = 0 + w| p-~>+ 00

P~>+QO •*()

Jo

p n~xe~

.•.r(n + l) = nr(n)

2.

r (n + l) = n! , Vn e Z+ Demostración Aplicando repetidas veces la propiedad (1) T(n +

1) = «r(n)- n ( n - l)r(« - 1) = n(n - l)(n - 2)r(n - 2) = n(n -1 )(n - 2)(n -3)...(»-(«- l))r(l) = n(n - 1)(« - 2)(n - 3)... ,3.2.1 T(l) = « r(l) = «! Poo

Observación.

T (l)=

Jo

=

f 00 e _/Jrfu = l Jo

•r(i) = i

84

.•. r ( n + l) = »!

2.7

r+oo

Teorema.

Demostrar que:

2 y7i e“ du = —^~

Demostraclán \p

-

X1

\ p

2

-

Consideremos: /„ = I e * dx= I e y dy p Jo Jo y sea / = lim 1 p , el valor de la integral. p —>00

Luego I 2P I 2p =

=(jP e 0

JJ

JPJPe x

x dx) (\ Pe y dy) = •'o 'o ■'()

y dxdy

e (x +y 1dxdy, donde Rp es el cuadrado o ABC, de lado P

Sea /?] la región en el primer cuadrante, comprendida por la circunferencia de radio P. es decir :

JJ

e~{x +y )dxdy y sea R 2 la región en el primer cuadrante,

comprendida por la circunferencia de radio - J l P es decir:

JJe

(*'+y

*2 Luego :

JJ Rl

e .. , de donde: r ( —) = /i T e udyi= i i ~ ^ e ~ud¡i 2 Jo Jo

Sea n = x 2 => dft = 2xdx cuando x —0, ¡j = 0 y cuando x -> + oo; fx —> + *> 1 f +o° i/ „ r+® , r ( - ) = I ¡i e pdfi= I x e l

Jo

Jo

1 2

86

2 f+oo 2 Sj( — .2xdx = 2 \ e dx = 2(----- ) = - J ñ o

2

2.8

La Función Beta. A la función B : R x R + —» R, definida por la integral B(m,n) = f l dn ________ Jo_______________ donde m > 0, n > 0, se denomina función Beta.

2.9 1.

Propiedades de la Función Beta. B{ m, n)=B{ n, m) Demostración Por la definición de función Beta se tiene: B(m,n)=

Jo

sea Z = 1 - n => dz = ~d¡j. , además cuando

fi = 0 , z = 1 fX —

1

, z — u

B ( m , n ) =[ 1 n m- ¡ (1 - fi) ”_1dn = - ¡ ° z n- l ( l - z )m -1dz Jo

Jl

= f z " '1( 1 - z)m_1dz = B(n,m) Jo B ( m , n ) = B(n, m)

2.

B(m, n) =

r(»Q .r(n) r(m + n) Demostración

Por definición de la función Beta se tiene:

B(m, n) = j V - ' í l - t i ) n- ldti Jo sea g(t) = f ¡T x( [ - n ) n 1d f i , calculando su Transformada de Laplace se tiene: Jo por el teorema de convolución.

i(* « » - r w n » ,

- r M r w .- i

Sm+n

g(Ó = J V Jo

1(1-A0 "-1du =

r (ro+n) / m+"-'

r(m + n)

r(m + »)

Jo

.

r(w )r(« )

B(m, n) = ------------T(/n+n) 3.

f’/i 1 sen o

2«-i

0.cos

i

r(m )r(n)

0 dO = — B(m,n) = ------------2 2 T(m + n) Demostración

De la propiedad (2) se tiene:

Jo

T(m + n)

2

dz sea z = eos 9 => dz = -2 eos sen0 cos0 d 0 = -----

2

cuando 9 = 0,

z = 1;

0=y ,

z=0

J^sen 2" -1 0-cos2"-1 0 ¿0 = •'n í^s e n 2m"2 0.cos2"“ 2 0.sen0.cos0 ¿0 •»a

88

t'A

= I (1- c o s 2 0) m~l (eos2 8)n l x nQ.cos Qd9 Jo

1 f°n .«-1 z n- \dz , 1 f> , vm-l z n-1dz. = —1 B(m,n), = -T(m)r(n) = — I (1 -z ) = —J (1 - z ) 2 1 2 0 21 2r(wi + n) f ’A .■.J sen 0

2.10

0.cos

2n— i

6 dd

^

r(m )r(n)

= — B(m.n) = ------------2 2T(m+n)

La Función de Bessel. La ecuación diferencial de segundo orden de la forma t ly"' (O + ty'(t) + ( t 2 - p 2)y(t) = 0 ... ( 1), se llama ecuación diferencial de Bessel de orden p, con p > 0 .

Ahora buscaremos las soluciones en serie de potencias al rededor del punto t = 0, el cual es un punto singular regular. oo-

oo

Sea y ( 0 = t p ^ lant k = ' £ áant k+p , p7> 0 -

*=o

*=o

calculando las derivadas correspondientes se tiene: 00

v’(0 = 2 > + / > ) « t í*+/’~1 . k =o

oo

y

y " ( t ) = Y d(k + p ) ( k + p - i ) a k t k+p~l *=o

ahora reemplazando en la ecuación diferencial dada t 2' ¡ ¡ T ( k + p ) ( k + p - l ) a i t k+p-2 + t ' £ ( k + p ) a i l i+p- x + ( t 2 - p 2j £ a kt k+p = 0 k=0 K=0 *=0

¿ ( k + p){k + p - 1)ak t k+p + ^ ( k + p ) a k t k+p + ¿ a * *=0 K=0 t =0

akp 2t k+p = 0

t k+p+2

*=0 89

£ | ( k + p ) 2 - p 1]ai tl+p + Y ,a l tlí+p+1 =0 *=0

Af=0

poniendo en una misma potencia a t OO oo ' Z l i k + p ) 2 - P 2]ak t k+p + ^ i a k_2t l+p =0 k =0

K=2

poniendo los inicios iguales OO

00 (k + p ) 2 - P 2]akt k+p + £ a

k=2

K=2

(P 2 - P 2)a 0t p + ( 2 p+ \ ) a xt l+p +

00 ( 2 p + l ) a 1í l+p+ ^ 1 ^ +2p k)a k +a k_2]tk+p = 0 k=2

í«i = 0

\( 2p + \)ax = 0 l(* 2 + 2 p k ) a k + a k_2 = 0

k —2 => a 2 = —■

~ ~ k 2 + 2p k ’ V

k* 2

at>

2 (2 p + 2 )

k = 3 => a ,

a\

= 0=> a , = 0

3(2/7+ 3) A = 4 => a 4

£ = 5 => a ,

a2 , ,,2 ao --------------- = (-1) 4(2/>+4) 2.4.(2/7 + 2)(2/7+4)

5(2/7+5)

= 0= > a, = 0

¿ = 6 => a , = --------------- = ( - 1) 6(2/7+6) 2.4.6(2/7 + 2)(2/7+4)(2/7 + 6)

«M-l = ° * V * ^ l a

_2________________ 2.4.6.S...(2k)(2p + 2)(2p+A)...(2p+2k)

2*

(-1 )*« o 2.4.6.8...(2£)2* ( p + \ ) ( p + 2 ) ( p + 3 ) . . . ( p + k )

U

2 3 A 5 . . . k . 2 u ( p+ l ) ( p + 2 ) ( p + 3). .. (p+k)

(~ 1) *o z* ------------. k\- 2 (p + l)(p + 2) (p+3). .. (p+k) oo

v( 0 = t p X a *'* = HÍ

CQ

(

\

^

X 2*---------------2-------------- ' t ^ k l 2u (p + l ) ( p + 2). .. ( p+ k)

(í) = y ________ (~1)* flo_________ t 2t +P i=0t t 2n ( p + l ) ( p + 2). .. (p+k ) consideremos an = — — se tiene: 2pT ( p + l )

( ^

y . ______________ h

k' l Pl U n p + l ) ( P + l ) ( P + 2). . . ( p +k )

yU ) = Y — (- > 2*+' *=0 k\ T(p+ l )(p+l )(p + 2)...(p+ k) 2 ñ Esta función es una de las soluciones linealmente independiente de la ecuación diferencial de Bessel y es llamado “Función de Bessel de orden p y de primera clase” y denotaremos en la forma siguiente: 91

j (t) = y ----------------------^ ------------------------ (- ) u+p f ^ J { k + \)T{p + \).(p + \)(p + 2 ) . . . { p + k y 2 ’ a.

Deflnidón.

A la función de Bessel de primera clase y de orden n, denotaremos por J„U) y es definido por la serie.

^ * ! ( * + » )!r 2

si n = 0,

se obtiene

J 0(t) = X r ( —)2* *=o(* 0 2

Llamada función de Bessel de orden cero.

Observación.

■>,«> -

Se ha obtenido una solución linealmente independiente.

í

—

f-V * '

Í J r ( í + i ) n p + i ) . ( p + i ) ( ? + 2)...(p + * ) 2

se sabe que: (p + l)r(p+l) = T(p+2)

(p+2)r(p+2) = r(p+3) (P +3)T(p +3) =r(p+4)

{p +k)T{p+k) = r(p+k + \) de donde:

p 92

f ^ T ( k +\ ) n P+k + \) 2

p

f ^ k \ { p +k)\ 2

La segunda solución lineahnente independiente de la ecuación diferencial de Bessel es: j

, r, -” n

y 1 ( - 0 *_________ ak- p § r(^ + i)r(Á r-/7 + i) 2

.

, ,n - ' ()

y ^

(-1 )* K(k-p)\

2

Observación. Las funciones de Bessel de mayor utilidad son los de orden cero J 0(t) y las de orden uno, j , (t ) y son expresados así:

-^o(')=t t

~t(~)2 * y 4M-Z,! -- (~)2*+1 ( k '. y 2 £ ¿ k \ ( k + 1) 2

el gráfico de estas funciones es:

b.

Propiedades de la Función Bessel.

1.

J_„(t) = ( - l ) n J n( t ) , s i n e Z +

3.

5.

at ^ { r nJ n ( 0 } = - r nJ n+l(t) at

2n 2- ^n+\ ( 0 =

t

J „U) ~

4.

n - 0,

6.

yB_ ,( r ) - y „ +1(í) = 27¿(r)

93

7-

JX ( t) = i í sent

8'

9’

[HT sen í •/ ^ (0 = J — (— - co« 0 "

-~= J ^ cosr

Se conoce con el nombre de función generadora para las funciones de Bessel

Ejemplo.

Hallar L{J0(t )}, donde J0(t)es la función de Bessel de orden cero. Solución

J„(t) =

tn

t2

(1 —

2 "r(n + l)

t*

,

2-(2n+ 2) 2.4.(2»+2X2n+4)

í2

■/° (,) = l ' F

’ r4

r6

t6

_

2.4.6(2n+2X2n+4X2n+6)

r8

+ 2r 4r - ? 7 r 6r + 22.42.62.82 " ‘" t2

L { J 0( t ) ] - L { l

r4

í6

r

22.42.62 + 2 2.42.62.82

2 2 + 2 2A 2

"í

1

2!

4!

6!

8!

,

22. j 3

22.42. j 5

22.42.62. s 7

22.42.62.82. s 9

1 1 1 , 1.3 1 4 1J5 1 135.7 1 , - l ' - ' l V + 2á V -I T e V , + m S Í (7> - - 1 i

i

s

.-.i{y0(0 } = -

V í2 + i

1 /r+i

94

+...)

Ejemplo.

Calcular Z,{-— Solución

f

Ví 2 + i

¿ l 1 J b (0 } = { " ( - -

? =*

J* »

r !.—

= Un /x - ln

+ V ^ 2 +l|l/

V ^ 2+i

f 2 >/ ; = 0 - ln(— r r = r ) = »«(f ^ 4 ± i ) ti + ^Jn +1 í + Ví +1 ... ¿{2^ í í ) } = lni V Z H

Ejemplo.

Demostrar que: J°° í 2 70 (/)U -»0 (5

---- y —

y )

(5 + 1)

= 0 - 1 = -1

.-. \ ™t 2 J 0 ( t ) d l = - \

95

2.11

Ej ercicios Desarrollados.

1.

Muestre que la función F(t)cuya gráfica es la onda triangular que se muestra en 1

S

la figura, tiene como transformada de Laplace L{F(t)} = — tgh(—) ■ s

2

Si t e< 0,1 >=> i», = 1 ■=>F ( t ) = / Si t €< 1,2 >=> m 2 = -1

F(t) = 2 —t

(t, si / e < 0,l> Luego F(t) = •! ’ [2 - 1, si t e< 1,2 > donde F(t) es periódica de período p=2 f 1 e - ’, F(t) Jo dt l-e '

f Pe “ F(t)dt Jo como L{F(0 } = -

l - e ps

l-e 2

s

s2

10

s

s2

s

'*

1 e~U - 2e~s +1 l-e - 2í í 2 )- 2 r r - = 5- r t8h 1

f+QO fl /*+00 e s,F(t)dt = f /