Transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de control

TRANSFORMADA DE LAPLACE – Aplicación a la teoría de control Introducción El presente trabajo pretende introducir conceptos básicos de la Teoría de Control Clásica y la aplicación de la Transformada de Laplace para resolver problemas simples de Sistemas de Lazo abierto.

Transor!ada de Laplace Si tenemos una función f(t dependiente del tiempo! de"nida para todo t#$! multiplicamos la misma por un valor y se inte%ra desde cero a in"nito como se muestra& − st 

e

f ( t ) dt =¿ L {f ( t ) } ∞

∫¿

 F ( s)=

0

Si dic'a inte%ral i nte%ral eiste! da como resultado una función de"nida en el dominio )s*! y la denominamos la transformada de Laplace de la función ori%inal. +e la misma forma! la función ori%inal es la transformada inversa de la función resultante& −1

 L

 F ( ) }= f ( ) { F  s

t 

Con esta 'erramienta! se resuelven ecuaciones diferenciales

y problemas de valor inicial si%uiendo los pasos& •

•

•

,rimer paso& transformamos transformamos la ecuación )difícil* en una ecuación simple (llamada subsidiaria Se%undo paso& resolvemos la misma simplemente con ecuaciones al%ebraicas  Tercer  Tercer paso& la solución solución de la ecuación ecuación se obtiene obtiene al aplicar la transformada inversa de la ecuación -ue ya fue trabajada.

Este cambio de operaciones de cálculo a operaciones al%ebraicas se denomina cálculo operacional. operacional.

Transor!ada de la deri"ada de #t$ En trminos %enerales! la derivación de funciones corresponde a la multiplicación de transformadas transformadas por )s*. Si f(t es continua para t#$ y derivable y eiste su transformada de Laplace! esta es&  L { f ' }= s L { f  } }−f ( 0)

,odemos etenderlo a la se%unda derivada L { f  }= s ( s L { f  }− f ( 0) )− f  (0 )

 L {f  }= s L { f  }− f  (0 ) ' ' 

' 

' ' 

' 

' 

L { f  }= s  L { f  }− s f (0 )−f  (0 ) ' ' 

2

' 

/inalmente! si la función es derivable n veces! su transformada será  L {f  } =s  L { f  }− s n

n− 1

n

f ( 0)− s

n−2  ' 

n− 1

f  ( 0)−( … ) − f 

( 0)

Linealidad de la transor!ada de Laplace +ecir -ue es una operación lineal! es a"rmar -ue para cual-uier par de funciones f(t) y g(t)! cuyas transformadas eistan! y cual-uier par de constantes a y b! se cumple& ∞

∫ e− ( a f ( ) +b g( )) dt 

 L {a f ( t )+ b g (t ) }=

st 

t 

t 

L {a f ( t ) + b g ( t ) }= a L { f (t ) } + b L { g(t ) }

0

Con"olución Si bien la adición de transformadas no presenta nin%0n problema como ya se mostró! la multiplicación de las mismas no es tan simple. La transformada de la multiplicación de funciones! por lo %eneral! no es i%ual al producto de sus transformadas L {f ( t ) } L { g(t ) } ≠ L { h( t ) }

Si f ( t ) g(t )= h( t )

,ara resolver este problema! utilizamos el teorema de la Convolución& si dos funciones f(t) y g(t) presentan sus transformadas / y 1! el producto de las mismas será 23/1! donde 2 es la transformada de la convolución de las primeras! h(t) t 

∫ f ( ) g( − )dτ 

h( t )= ( f ∗g ) ( t )=

τ 

1

τ 

0

Siste!as de control El control automático 'a sido vital en el avance de la in%eniería y l a ciencia y se lo puede encontrar como una parte inte%ral de sistemas de ve'ículos! sistemas robóticos! procesos industriales modernos y cual-uier proceso -ue re-uiera controlar la temperatura! 'umedad! presión! 4ujo! entre otros. El primer trabajo si%ni"cativo fue el re%ulador de velocidad centrífu%o de  5ames 6att para su má-uina de vapor! en el si%lo 78999. 8arios aportes fueron realizados en a:os posteriores! 'asta -ue alrededor del ;demás! la misma contempla sistemas con una sola entrada y salida. 2acia ;