Transformadas de Fourier con MATLAB.docx

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA, UNIDAD ZACATENCO

Prácticas de laboratorio 5to semestre COMUNICACIONES ANALÓGICAS

“Transformadas de Fourier con MATLAB”

 Introducción Teórica: Transformada de Fourier La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condiciones de Dirichlet): 

Que la señal sea absolutamente integrable, es decir:



Que tenga un grado de oscilación finito.



Que tenga un número máximo de discontinuidades.

La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define como:

Y su antitransformada se define como:

He mencionado al principio que la transformada de Fourier se usa con señales aperiódicas. Con la invención de la función delta(t) a principios de este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una señal periódica: Sabiendo que Y que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad:

Obtenemos que

De esta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, esto es:

Ya que

Luego para una x(t) periódica se cumple que:

Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar que su espectro de magnitud F () es una función par de  y su espectro de fase () es una función impar de  Si f(t) es real, entonces, se tiene

F ( )  F * ( ) F * ( )  F ( ) e  ( ) F ( )  F ( ) e j (  ) F ( ) e j (  )  F ( ) e  j ( ) F ( )  F ( )

 ( )   ( )

La transformada de Fourier es un operador donde para cada

se tiene

,

,

El espacio

consta de las funciones cuadráticamente integrables: y es un espacio de Hilbert con el producto

interno

el cual determina a la norma transformada de Fourier:

. Se tiene las propiedades siguientes de la

.



.



La transformada inversa de Fourier es también un operador , donde para cada

se tiene

El adjetivo ``inversa'' está justificado por las siguientes relaciones de inversión: .

  

. .

Propiedades suplementarias de la transformada de Fourier son las siguientes:

,

aquí es la k-ésima derivada de f y cumplen los importantes Teoremas de Convolución:

donde

así como también la identidad de Parseval:

Algunos ejemplos de transformadas son los siguientes:

Además se

 Objetivo: Verificar la procedencia de la transformada de Fourier por medio de la experimentación en MATLAB y relacionarlas con las series de Fourier  Desarrollo: Durante la sesión en el laboratorio, realizamos códigos en los que se pudiera apreciar la gráfica de la transformada de Fourier continua de una señal rectangular, la cual es la gráfica de una función Sampling o muestreo (es decir el seno sobre su argumento), en función del periodo en su representación discreta, donde podemos ver la derivación de la transformada dado el espectro de magnitud de la serie de Fourier correspondiente de la función original, a) caso a, T=1/4 A=1; d=1/20; T=1/4; n=-20:1:20; x=(A*d/T)*sinc(n*d/T); stem(n,x); grid; title('Espectro de frecuencia de la señal rectangular');

b) Caso b A=1; d=1/20; T=1/2; n=-40:1:40; x=(A*d/T)*sinc(n*d/T); stem(n,x); grid; title('Espectro de frecuencia de la señal rectangular'); xlabel('w')

Gráficas correspondientes:

Espectro de frecuencia de la señal rectangular 0.2

0.15

0.1

0.05

0

-0.05 -20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

30

40

a) Espectro de frecuencia de la señal rectangular 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04 -40

b)

-30

-20

-10

0 w

10

20

 Conclusiones:

Por medio de la visualización de las gráficas resultantes de los experimentos en MATLAB verificamos la procedencia de la transformada de Fourier de una señal dada la cual se puede interpretar como la respuesta en frecuencia de cualquier señal, la cual proviene de los espectros de fase y magnitud originados de la serie de Fourier de la señal original, en el software apreciamos adecuadamente a los espectros presentes en la gráfica de la función muestreo, por lo que deducimos su relación con los espectros y por ende con la frecuencia.