Transformada Z
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. GUZMÁN DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E INVESTIGACIÓN
CONTROL DIGITAL UNIDAD 2
TRANSFORMADA Z ALUMNO :
ING. JOSÉ SALVADOR JIMÉNEZ SILVA
PROFESOR :
M.C. GUSTAVO OCHOA MATA. SEPTIEMBRE 2013
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno aplicará la transormada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido:
• Introducción. • Propiedades de la transormada Z. • La transormada Z inversa. • Solución de ecuaciones en dierencia mediante la transormada Z. • Ejercicio. • Matlab.
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno a lumno aplicará la transformada transformada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido:
• Introducción. • Propiedades de la transormada Z. • La transormada Z inversa. • Solución de ecuaciones en dierencia mediante la transormada Z. • Ejercicio. • Matlab.
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno aplicará la transormada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido:
• Introducción. • Propiedades de la transormada Z. • La transormada Z inversa. • Solución de ecuaciones en dierencia mediante la transormada Z. • Ejercicio. • Matlab.
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno aplicará la transormada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido:
• Introducción. • Propiedades de la la transformada Z. • La transormada Z inversa. • Solución de ecuaciones en dierencia mediante la transormada Z. • Ejercicio. • Matlab.
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno aplicará la transormada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido:
• Introducción. • Propiedades de la la transformada Z. • La transformada Z inversa. • Solución de ecuaciones en dierencia mediante la transormada Z. • Ejercicio. • Matlab.
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno aplicará la transormada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido:
• Introducción. • Propiedades de la la transformada Z. • La transformada Z inversa. • Solución de ecuaciones en diferencia diferencia mediante la transformada Z. • Ejercicio. • Matlab.
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno aplicará la transormada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido:
• Introducción. • Propiedades de la la transformada Z. • La transformada Z inversa. • Solución de ecuaciones en diferencia diferencia mediante la transformada Z. • Ejercicio. • Matlab.
Transforma ransformada da Z: Objetivo: El alumno aplicará la transormada z como herramienta para el estudio de los sistemas discretos.
Contenido: • Introducción.
• Propiedades Propiedades de la transformada transformada Z. • La transformada Z inversa. • Solución de ecuaciones en diferencia diferencia mediante la transformada Z.
• Ejercicio. • Matlab.
Introducción:
En la actualidad muchas aplicaciones de la electrónica involucran el “análisis digital digit al de datos” datos”. Como Como son los reproductores de de video, sonido, camaras digitales, teleonos teleonos celulares, celulares, televisores, computadoras y decodifcadores entre otros muchos aparatos, para el almacenamiento, almace namiento, control y reproducci reproducción ón de los mismos.
Para utilizar el procesamiento de señales digitales se necesita codifcar las señales, de tiempo continuo continuo a discreto, discreto, ya en el plano digital se podra desarrollar y manipular manipular los algoritmos de control para su optimo uncionamiento.
Señal: Es el resultado de la medición de una cantidad ísica que varía con el tiempo o espacio, y lleva asociado un signicado propio que contiene inormación inormación que se desea dese a extraer o modicar de acuerdo a requerimientos. requerimientos. Muestreo: Es la conversion de una señal de variable continua a otra de variable discreta, será el resultado de tomar “muestras” de la señal continua en ciertos instantes de tiempo, por medio de un muestreador.
Retenedor: Dispositivo que convierte la señal muestreada en una señal continua aproximadamente, la cual es aplicada al muestreador.
Señales Elementales De La Variable Discreta
Señales Elementales De La Variable Discreta
Señales Elementales De La Variable Discreta
La transormada Z es una herramienta para los sistemas en tiempo discreto, lo que la transormada de Laplace es para los sistemas en tiempo continuo continuo.. Ambas son utiles utiles para el análisis de ciertas cier tas propiedades y determinan determ inan “el comportamiento comportami ento”” de los sistemas sistemas sujetos a una entrada, tanto tanto para tiempo discreto y continuo.
La transormada transormada Z nos brinda mayor mayor acilidad para resol ver problemas problemas en el tiempo discreto, discreto, ya que cambia cambia al domidominio de la recuencia compleja, compleja, simplifcando simplifcando operaciones y análisis de los sistemas.
Aplicaciones • Comportamiento de las unciones de transerencia en tiempo discreto.
• Ecuaciones de dierencia para procesamiento de señales.
• Análisis y caracterizacion de los sistemas LTI
Propiedades:
Transformada Z Inversa:
Solución de Ecuaciones en Diferencia Mediante la Transformada Z:
Ejercicio: 1. Calcular la transormada Z de Sen(wkT) Senoidal
con las ecuaciones de Euler tenemos que: e jwkT − e 2 j
jwkT
e jwk T + e
jwkT
−
sen(wkT ) =
−
cos(wkT ) =
∞
Z[x(kT )] =
X (z ) =
∞
k
x(kT )z
−
=
k=0
∞
−
=
1 = 2 j
(1 −
e jwT z 1 )k − (e −
jwT
−
z 1 )k =
−
k=0
z 1 ) − (1 − e jwT z 1 ) 1 − z 1 e jwT − z 1 e jwT + z 2 e
jwT
−
−
−
−
−
−
−
1 2 j
z 1 (e jwT − e jwT ) 1 − z 1 (e jwT + e jwT ) + z
1 = 2 j
z [2 [2 jsen (wT )] 2 z − z [2 [2cos(wT )] + 1
−
−
∴
e jwk T − e
−
−2
−
Z[sen(wkT )] =
=
jwk T
−
1 1 jwT 2 j 1 − e z
−1
k
−
.z
2 j
k =0
∞
(
=
k
sen(wkT ).z
k =0
1 2 j
=
2
1
−
1−e
jwT z −1
−
z 1 (e jwT − e jwT ) 1 = 2 j 1 − z 1 (e jwT + e jwT ) + z
z 2 z 2
=
−
−
zsen(wT ) z 2 − 2zcos(wT ) + 1
−
−2
z (e jwT − e jwT ) 1 2 2 j z − z (e jwT + e jwT ) + 1
zsen(wT ) z − 2zcos(wT ) + 1 2
−
−
−
CONVERSION DE LAPLACE A Z
Se sabe que una funci´ o n en el tiempo esta definida: on
∞
x
∗
(t) =
x(kT ) kT )δ (t
−
kT ) kT )
k =0
sacando sacando su transformada transformada de Laplace Laplace
∞
L[x
∗
(t)] = X ( X (s) =
x(kT ) kT )e
−kT
s
k=0
Por medio de la transformada de Laplace se puede obtener la transformada Z solamente Z se defin define e
como: eT s = z
sustituyendo s tenemos:
lnz T aplicandola aplicandola en la transformada transformada de Laplace, Laplace, obtenemos obtenemos la transformada transformada Z s=
kT )] Z[x(kT )]
= X ( X (z ) = X ( X (s)/(eT s ) = X ( X (s)/(z ) =
=
=
X ( X (z ) =
∞
(
−kT
x(kT ) kT )e
lnz T
k =0 ∞
−klnz
x(kT ) kT )e
k =0 ∞
x(kT ) kT )elnz
k =0 ∞
k =0
−k
x(kT ) kT )z
−k
)
RELACIÓN DEL PLANO S CON EL PLANO Z
La estabilidad absoluta como la relativa de un sistema de control en lazo cerrado en tiempo continuo e invariante con el tiempo queda determinada por la localización de polos en lazo cerrado en el plano s. Como se sabe, s abe, las variables complejas s y z están relacionadas, por lo tanto la localización de los polos y ceros en el plano z se relaciona con plano s. El comportamiento de un sistema de control control en tiempo discreto dependerá del período perío do de muestreo T, T, que puede modifcar mod ifcar la localizacion de polos y ceros en el plano z
Dado que la variable compleja S está ormada de una parte real σ y una parte imaginaria ω, tenemos: s Z
=σ + =
x
+
jω yi
sustituyendo sustituyendo en la l a relación de ambas variables: Z
sT
=e
σ T
∠θ
=e =
e
=
e
σ T
(σ + jω )T
=e
σT
jωT
e
[ cos θ + i senθ ]
Dado que es σ es negativo en el semiplano izquierdo del plano s, en z corresponde a: T
σ
e
Z
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