Transformada Z

TRANSFORMADA Z 

 Ing. Juan Sacerdoti

  Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2003 V 2.07 

 ÍNDICE TRANSFORMADA Z 1.- INTRODUCCIÓN  1.1- SISTEMAS Y SEÑALES 1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES 1.1.2.- VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA 1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO) 1.1.2.2.- SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO) 1.1.2.3.- SISTEMAS SISTEMAS CON PERTURBACIONES 1.1.2.4.- EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES 1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS 1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 1.2.1.1.- DEFINICIONES DE SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A) 1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN A/D 1.2.1.2.2.- CONVERSIÓN D/A 1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA 1.2.3.- SISTEMA CAUSAL 1.2.4.- SISTEMA ESTABLE 1.2.5.- SISTEMAS LINEALES 1.2.6.- SISTEMAS INVARIANTES 1.3.- TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA 1.3.1.- QUE ES UNA TRANSFORMADA 1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES 1.4.- APLICACIONES DE TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI  1.5.- SEÑALES PARTICULARES 1.6.- ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI   2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA  2.1.- TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT   2.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA  2.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA (ROC)   2.4.- NOTACIÓN   2.5.- REDUCCIÓN A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER   3.- TRANSFORMADA ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES   3.1.- ESCALON UNITARIO u[n]  δ [n]     3.2.- IMPULSO UNITARIO δ   3.3.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES

  4.- PROPIEDADES  4.1.- LINEALIDAD   4.2.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO   4.3.- DESPLAZAMIENTO DESPLAZA MIENTO z – a  4.4.- MODULACIÓN DE SUCESIÓN EN TIEMPO  4.4.1.- MODULACIÓN MODULACIÓN CON a n  4.4.2.- MODULACIÓN MODULACIÓN CON eiα α n   4.5.- CAMBIO DE ESCALA ESCALA  4.5.1.- GENÉRICO   4.5.2.- INVERSIÓN EN z  4.6.- TZ DE LA DIFERENCIA FINITA   4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA   4.6.2.- SEGUNDA DIFERENCIA   4.7.- TZ DE LA SUMA FINITA  4.8.- DERIVADA DE LA TZ  4.9.- PRIMITIVA DE LA TZ  4.9.1.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1 ,r 2 )  4.9.2.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1 ,∞  ∞ )   4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS.   4.11.- CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES  4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA  4.13.- RESUMEN DE PROPIEDADES   5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL  5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CAUSAL  5.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL  5.3.- CAMPO DE CONVERGENCIA DE LA CAUSAL  5.4.- NOTACIÓN   5.5.- PROPIEDADES DE LA CAUSAL  5.5.1.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DE LA CAUSAL   5.5.2.- DIFERENCIAS FINITAS  5.5.2.1.- CAUSAL DE LA PRIMERA DIFERENCIA  5.5.2.2.- CAUSAL DE LA SEGUNDA DIFERENCIA  5.5.3.- CONVOLUCIÓN DE LA CAUSAL  5.5.4.- TEOREMA DE RIEMANN Y COROLARIOS  5.5.5.- TEOREMA DEL VALOR INICIAL  5.5.6.- TEOREMA DEL VALOR FINAL  5.6. RESUMEN DE PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL 6.- APROXIMACIÓN ENTRE LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 6.1.- ERRORES DE LA APROXIMACIÓN  6.2.- RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE  LAPLACE 6.3.- APROXIMACIÓN DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS 6.4.- APROXIMACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES EN DIFERENCIAS  FINITAS 6.5.- APROXIMACIÓN DE INTEGRALES CON CON SUMAS FINITAS 6.5.1.- INTEGRALES DE RIEMANN  6.5.2.- INTEGRALES IMPROPIAS

7.- APLICACIONES 7.1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS 7.1.1.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS SIN CONDICIONES INICIALES 7.1.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS CON CONDICIONES INICIALES 7.2 .- APLICACIONES A SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES. (TDLI) 7.2.1.- SISTEMAS SISTEMAS TDLI EN EL CAMPO z 7.2.2.- EJEMPLOS DE TDLI  7.3.- APROXIMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES EN   DIFERENCIAS FINITAS 8.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA  9.- EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADAS ZETA

 Agradecimientos: Se agradece a todos los docentes y alumnos que han aportado observaciones observaciones y comentarios al texto, especialmente a mi ayudante Juan Pablo Frías.

TRANSFORMADA ZETA

1.– INTRODUCCIÓN  La Transformada Zeta (TZ) es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras. La TZ es un ejemplo más de Transformada, como lo son la T ransformada de Fourier para el caso de tiempo discreto y las Transformada de Fourier y Laplace para el caso del tiempo continuo. La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. Se introducen en primer término algunos elementos de Sistemas y Señales.

1.1.- SISTEMAS Y SEÑALES 1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES Se llama Sistema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales (construidos por el hombre) como mecanismos, máquinas, circuitos etc. Un Sistema está sometido a la excitación de una Señal de Entrada o de Control (causa) a la cual le responde transformándola en una Señal de Salida (efecto). Las señales de Entrada y de Salida son funciones de una o más variables. El modelo de un Sistema para analizar y diseñar el comportamiento  causa- efecto se puede representar por el siguiente esquema:

Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingeniería: electricidad, mecánica, comunicaciones, astronáutica, aeronáutica, naval, control de procesos químicos, construcciones, etc.

Los problemas que se presentan en el estudio de Sistemas son dos: Análisis y Síntesis

 Análisis: Dado un Sistema sometido a una entrada determinada  X  analizar que salida Y  produce.  X   S

→  → 

Y 

Síntesis: Dadas una entrada X y una salida Y determinadas diseñar el Sistema que transforma una en otra.  X    Y  

→  → 

S

Ejemplos simples de Sistemas son:

 Ejemplos de Sistemas  

Entrada

Sistema

Salida

Presión en el acelerador

Automóvil

Velocidad del automóvil

Acciones del conductor: Giro del volante Presión en el acelerador Freno etc. Fuerza vibratoria excitatriz

Automóvil

Movimiento del automóvil

Sistema vibratorio

Movimiento vibratorio del cuerpo

Movimiento de la Luna

Mar

Altura mareas

Programa de mecanizado

Central de mecanizado

Pieza mecanizada

Tensión eléctrica

Circuito eléctrico

Corriente eléctrica

Corriente eléctrico

Circuito eléctrico

Tensión eléctrica

Energía Hidráulica o Térmica etc

Sistemas de generación y distribución de energía

Energía Eléctrica

Energía combustible

Cohete

Movimiento

Onda electromagnética

Radio

Emisión de la voz

Onda emitida

Radar

Información sobre la posición de objetos

Luz

Cámara fotográfica

Fotografía

Ritmo cardíaco

Equipo para electrocardiograma

Electrocardiograma

Ingreso de Materias Primas, temperatura, humedad, etc

Proceso químico

Producto químico

Recursos minerales y orgánicos, Producción de alimentos y equipos, polución y Reproducción humana

Sociedad

Crecimiento de población

1.1.2.- VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA Los modelos de sistemas usuales tienen diferentes formas de clasificarse: 1.- Sistema de Lazo Abierto: Sin Control 2.- Sistema de Lazo Cerrado o con realimentación: Con Control 3.- Sistemas con Perturbaciones cuyas características se describen a continuación.

1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO) Los Sistemas Sin Control también llamados de  Lazo Abierto son los sistemas más sencillos caracterizados por una Señal de Entrada no afectada por una eventual modificación de la Señal de Salida , es decir la entrada no depende de la salida. El esquema que lo representa es

1.1.2.2.- SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO) Los Sistemas con Control  también llamados de  Lazo Cerrado o con realimentación son aquellos donde la Señal de Entrada es modificada o regulada también en función de la Señal de Salida Su esquema es:

1.1.2.3.- SISTEMAS CON PERTURBACIONES Los Sistemas con Perturbaciones son aquellos donde la Señal de salida es  afectada por fenómenos externos al Sistema. En general estas perturbaciones son indeseables porque hacen el sistema no predecible, por lo menos con buena aproximación. Las Perturbaciones pueden estar presentes tanto en los Sistemas sin o con Control. Se representan del siguiente modo:

En los Sistemas con Control pueden presentarse también perturbaciones o desviaciones producidas por los elementos componentes del mismo control.

1.1.2.4.- EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES Un ejemplo de un Sistema con Control con Perturbaciones, es él de una Antena dirigible con un movimiento angular y que puede recibir como Señales de Entrada, además de la Orden de Posición de Referencia, a perturbaciones externas, como por ejemplo fuerzas producidas por el viento, o también perturbaciones en el Control producidas por errores de lectura en las mediciones de la Señal de Salida o en el proceso del Computador. El esquema que representa el sistema es:

donde se distinguen los siguientes elementos que lo componen:

Sistema Base : Antena + Plataforma + Engranaje + Motor + Amplificador de Potencia Y: Señal de Salida:  Pert.:  A:  P:  E:  M:  AP:

Posición angular de la Antena Perturbación externa Antena Plataforma de la Antena Engranaje Motor Amplificador de Potencia

Sistema Control : Medidor de Posición de Antena + Comparador + Controlador  Med: Cmp: Ctrl:  X:  Pert. Med:

Medidor de Posición de la Antena (Potenciómetro) Comparador Controlador (Computador) Señal de entrada (Referencia ) Perturbación del medidor: Perturbación del Control

1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS 1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Las Señales y los Sistemas que las operan también se pueden clasificar como: 1.- De tiempo continuo (funciones continuas) que son las llamadas señales  analógicas. 2.- De tiempo discreto ( sucesiones) que son las llamadas señales  digitales. En los Sistemas se establece esta clasificación porque para ellos es necesario un tratamiento con modelos matemáticos diferentes para el Procesamiento de Señales y Resolución de Sistemas (o Circuitos) 1.- Para el caso de Tiempo Continuo se emplean las Transformadas de Laplace o la de Fourier . 2.- Para el caso de Tiempo Discreto se emplean las Transformadas Zeta o la transformada de Fourier Discreta (basada en la Serie de Fourier Exponencial). La razón principal  del empleo de la variable discreta es que permiten el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadoras digitales . Para ello finalmente se reduce la información a códigos binarios.

1.2.1.1.- DEFINICIONES DE SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO  Def: Señales de tiempo continuo o analógicos := Son funciones de tiempo continuo o analógicas Señales de tiempo discreto o digital := Son funciones de tiempo discreto (sucesiones) o digital  Señales de tiempo continuo    t ∈ R

 f:D⊂  ⊂ R   →  →  R

Señales de tiempo discreto Analógicas n ∈ Z ó N 

Digitales

f:D⊂  ⊂ N    →  →  R

 Def: Sistemas de tiempo continuo o analógicos := Son los Sistemas que procesan Señales de tiempo continuo o  analógicas Sistemas de tiempo discreto o digitales := Son los Sistemas que procesan Señales de tiempo discreto o digitales Sistema de tiempo continuo  t ∈ R

Sistema de tiempo discreto n ∈ Z ó N 

1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A) El Control de Procesos por Computadoras o Procesadores digitales hace necesario la conversión de la información analógica a digital y viceversa.

La primera conversión para ingresar datos de origen analógico al procesador digital se llama Conversión Analógica/Digital (A/D) y la segunda para alimentar la entrada analógica al Sistema Base desde el Computador de Control se llama Conversión Digital/Analógica (D/A)

1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN A/D La Conversión A/D significa tomar registros a intervalos discretos regulares de señales (eléctricas o de otra índole) consideradas variables de forma continua en el tiempo ( representables por números reales). Dichos valores discretos llamados  muestras conforman una sucesión cuyo dominio son los números enteros y su codominio los

 reales (fraccionarios).

Por ejemplo si se considera una función  f(t) continua , las muestras de la función, tomados a intervalos regulares de tiempo T  empezando de t =0 forman la sucesión de números reales (fraccionarios):

  f[0], f[T], f[2T], f[3T], ..., f[nT], ...

La ventaja fundamental de la variable discreta como ya se dijo, es que permite el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadoras digitales. Como los datos son números fraccionarios, entonces la Conversión A/D debe transformar dichos fraccionarios (o eventualmente enteros) a código binario. La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error en la señal de entrada.

 Aproximaciones de la Conversión A/D 1.- Aproximación por la conversión de la función continua (números reales) a función escalonada (   sucesión o función discreta sobre los números enteros o fraccionarios) En esta aproximación se presentan errores por exceso o por defecto según la forma de la señal de entrada. La aproximación depende esencialmente del período T de muestreo.

 2.- Aproximación por la conversión de un Código de número entero (o fraccionario) a Código Binario La aproximación al código binario depende a su vez de la cantidad de bits que se tomen para representar a los números enteros o fraccionarios en el procesamiento digital. Por ejemplo la suma de los errores de conversión A/D de una señal de tensión de 0 a 10 V lineal (recta) se representa en código binario de 4 bits

Cada salto de código binario representa un

1 24

10 V = 6.25 % * 10V que es la cota del error para una

conversión con 4 dígitos. Si se hubiera empleado un código de 16 bits la cota del error es

1 216

10 V =

0.001525890625 %*10 V

1.2.1.2.2.- CONVERSIÓN D/A La Conversión D/A es el proceso inverso p ara transformar los valores discretos en señales (eléctricas o de otra índole) de variable continua en el tiempo ( representables por números reales). Esto significa que las funciones son escalonadas con un período T.

1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA Un Sistema sin memoria es aquel cuya salida  depende solamente de la entrada en ese mismo instante de tiempo Por ejemplo: 1.- Un circuito eléctrico con una resistencia 2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias

y(t) = R x(t) y[n] = a x[n]

Un Sistema con memoria por el contrario es aquel cuya salida  no depende solamente de la entrada en ese mismo instante de tiempo sino también de entradas en instantes anteriores Por ejemplo: 1.- La tensión sobre un capacitor (incluido en un circuito eléctrico) 2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias

1

t

∫ 

x(τ) dτ C −∞ y[n] = a x[n] + b x[n– 1]

y(t) =

1.2.3.- SISTEMA CAUSAL Un Sistema es causal  cuando su salida depende solamente de la entrada presente y pasada y no depende de la entrada futura. En consecuencia, un sistema causal , se llama así porque a dos entradas de tiempo iguales hasta un instante dado le corresponden dos salidas iguales en ese mismo instante de tiempo (independencia de entradas futuras). Por ejemplo: 1.- El movimiento de un automóvil es causal porque no depende de acciones futuras del conductor. 2.- x[n] + y[n–1] = y[n] es causal porque sólo depende de x[n] y no de valores futuros: de x[n+1] , x[n+2],... 3.- x[n] + x[n+1] = y[n]  no es causal porque depende de x[n+1] En general en los sistemas donde las señales dependen del tiempo, son causales. En las aplicaciones prácticas donde el tiempo no es la variable independiente , los sistemas son  no causales. Por ejemplo procesamiento de imágenes, estudios demográficos estudio de la tendencia de los mercados de valores, etc. Un ejemplo de un sistema no causal para promediar valores con fluctuaciones de alta frecuencia tiene en cuenta los futuros como el dado por la siguiente ecuación: y[n] =

1 2p + 1

[ x[n+p] + x[n+p – 1] + ...+ x[n+1] + x[n] +x[n – 1] + x[n – (p – 1)] + x[n – p] ]

1.2.4.- SISTEMA ESTABLE Un Sistema estable es aquel cuya salida es acotada, es decir no diverge. A entrada acotada le corresponde una salida acotada. Un Sistema inestable es el caso contrario: a entrada acotada le corresponde una salida  no acotada.

 Ejemplos:

Sistemas estables

Sistemas inestables

1.2.5.- SISTEMAS LINEALES Los Sistemas regidos por funciones lineales (en particular sistemas de ecuaciones lineales) son los modelos más sencillos y de mayor aplicación en la ingeniería. La condición de linealidad implica que a una combinación lineal de entradas le corresponde la combinación lineal de salidas. Esto es la propiedad de superposición de sistemas.

Sistema de Tiempo Continuo Lineal  x 1 (t ) → y1 (t ) 



x 2 ( t ) → y 2 ( t )

⇒

a x1(t) + b x2(t)

→ a y1(t) + b y2(t)

Sistema de Tiempo Discreto Lineal  x 1 [ n ] → y 1 [n ] 



x 2 [n ] → y 2 [n ]

⇒

a x1[n] + b x2[n]

→ a y1[n] + b y2[n]

En resumen los Sistemas Lineales son modelos regidos por  Ecuaciones Lineales . Ecuaciones diferenciales lineales en el caso de Sistema de tiempo continuo y Ecuaciones en Diferencias lineales en el caso de tiempo discreto.

1.2.6.- SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO Los Sistemas lineales son invariantes en el tiempo , cuando cumplen las condiciones:

x(t)

→ y(t)

x[n]

→ y[t]

⇒

x(t-a)

→ y(t-a)

⇒

x[n-a]

→ y[n-a]

Estos Sistemas son los regidos por  Ecuaciones Lineales con

Coeficientes Constantes

1.2.7.- MEDIDAS RELATIVAS A LAS SEÑALES En los modelos de señales se emplean algunas medidas ligadas a ellas. Una medida genérica en un espacio E de sucesiones es la norma || x ||p correspondiente para un real p ≥ 1 , así  definida

 Def:  E:= { x[n] } +∞

|| x || p := (  ∑ | x[n] |  p  ) 1/p

 p ≥  ≥ 1

 n = −∞

 p = +∞  ∞ 

|| x ||+∞  ∞   := sup n∈ Z | x[n] |

En particular se destacan por su aplicación 3 de estas medidas que se llaman acción, energía y amplitud . +∞

  p=1

|| x1 || :=

∑

| x[n] |

acción

 n = −∞ +∞

  p=2

|| x 2 || := (  ∑ | x[n] |  2  )  ½

energía

 n = −∞

 p = +∞  ∞ 

|| x ||+∞  ∞ 

:= supn∈Z | x[n] |

amplitud 

1.3. – TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA Las Transformadas en general y la Transformada Zeta (TZ) en particular son modelos matemáticos que se emplean entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales y Resolución de Circuitos Digitales. En el párrafo siguiente se recuerda el concepto de Transformada.

1.3.1.- QUE ES UNA TRANSFORMADA  Dadas dos Estructuras (E T)  y (E’ T’) conformadas por los espacios  E y  E’ dotados respectivamente de las Leyes de Composición Interna T  y T’ , se llama Transformada a una aplicación biyectiva :  f: E →  →  E’ que establezca un Isomorfismo entre dichas Estructuras .

T: ExE →  →  E (a,b) →  →  c

T’: E’xE’ →  →  E’ (a’,b’) →  →  c’  f: E ↔  ↔  E’ f ∈ biyectiva  a ↔  ↔  a’  b ↔  ↔  b’  c = a T b ↔  ↔  c’ = a’ T’ b’

 Las estructuras isomorfas (E T)  y (E’ T’) se comportan en forma análoga, hecho que permite obtener  usando la transformada  f  (función biyectiva) de puente, el resultado de una composición interna en una de ellas T , conociendo la de T’ , o viceversa.  Apoyándose en la analogía el resultado de T en E se obtiene en forma indirecta en 3 pasos:

2.- componiendo

 f: a ↔  ↔  a’  b ↔  ↔  b’ T’: (a’,b’) →  →  c’ = a’T’b’

3.- antitransformando

 f -1: c’→  →  c = a T b

1.- transformando

 El uso de la transformada, por supuesto, se justifica siempre y cuando el camino indirecto de: transformación, composición y antitransformación sea más sencillo que el camino directo de la composición T . Un ejemplo simple de la idea de transformada es el cálculo logarítmico para el producto de dos números reales positivos.

 E = R+ T = •  • R  +

E’= R T’ = + R

•  • R  : R+ xR+ →  →  R+ (a,b) →  →  c = a •  •  b

+ R : RxR →  →  R (La,Lb) →  →  Lc = La + Lb

 L: R+ ↔  L∈ biyectiva ↔  R  a ↔  ↔  La  b ↔  ↔  Lb  c = a •  •  b ↔  ↔  Lc = La + Lb

1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES La Transformada Zeta es una aplicación entre un espacio de Sucesiones (funciones discretas) y un espacio de Funciones Analíticas (desarrollables en serie de Laurent). La función que los liga es la Serie de Laurent cuyos coeficientes son los elementos de la Sucesión de origen. La importancia del modelo de la Transformada Zeta radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficiente constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

 a0 y[n] + a1 y[n–1] +...+ a k y[n–k] = x[n]   Ecuaciones en Diferencias Lineales

↔  ↔ 

Y(z) [ a0 + a1 z  –1 + ... + a k z  –k ] = X(z)

↔  ↔ 

Ecuaciones Algebraicas Lineales

 con coeficientes constantes Esta Transformada se usa ampliamente en el Estudio de Sistemas digitales (como computadoras),

El modelo que se procesa resuelve en su esencia Ecuaciones en Diferencias donde se emplea la Transformada Zeta. Ecuaciones en diferencias se emplean también en economía , crecimiento de poblaciones, biología, etc. y en problemas de la misma matemática.

1.4.- APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI  La Transformada Zeta es de particular aplicación sobre los Sistemas de Tiempo Discreto Lineales e  Invariantes. (TDLI)

1.5.- SEÑALES PARTICULARES Dos señales de uso frecuente en los Sistemas TDLI son el Escalón Unitario y el Impulso Unitario.

 Def: Impulso Unitario δ  δ:  Z →  →  R 0  n ≠ 0  n →  →   1  n = 0  Def:- Escalón Unitario u: Z →  →  R 0  n < 0  n →  →   1  n ≥ 0

1.6.- ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI  Los elementos de un Sistema TDLI son 3: 1.- Suma. 2.- Producto por una Constante. 3.- Demora (Delay)

 Ejemplos:

los circuitos siguientes con las ecuaciones que l os representan:

  x[n] + y[n–1] = y[n]

b x[n] + a y[n–1] = y[n] 

Obs.: Los Sistemas TDLI que incluyan elementos Delay necesitan memoria para computar oportunamente los valores y[n –1] , y[n–2], etc.

 2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA La definición de la Transformada Zeta se basa en el desarrollo de funciones complejas en Serie de Laurent. Se recuerda entonces el Teorema de Laurent .

 2.1.- TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT  Teorema de Laurent  F ∈ H  /  A(  r1 , r 2  ) γ   γ  (  I  ) ⊂  A

  

+∞   f (  n ) (  z − a ) n  F (  z ) =   n = −∞   F ( ς  ς  )  f (  n ) = 1  d ς  ς   γ   ( ς   2π  πi  γ   ς  − a ) n + 1 

∑

⇒  ⇒ 

∫ ∫ 

 A(r1, r 2 ) : Campo de CV (Anillo de CV)

Obs:  La Serie de Laurent (SL) dentro del Anillo de CV (Anillo de Convergencia) es simultáneamente CV  (Convergente) , CA (Absolutamente Convergente) y también CU (Uniformemente Convergente) para el Anillo  A(r 1+δ 1, r 2  – δ 2 ) con δ 1  y δ 2 arbitrarios y positivos  2.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA Dada una sucesión

{ f[n] } se define como su Transformada Zeta a la serie de Laurent  F(z)

 F ∈ H  /  A(  r1 , r 2  )   γ   γ  (  I  ) ⊂  A 

+∞   F (   z  )  f  [  n ]  z − n =    n = −∞  1   F ( ζ  ζ  ) ζ  ζ  n − 1  d ς  ς   f  [  n ]  =  2π  γ   γ    i π   

∑

⇒  ⇒ 

∫ ∫ 

 F : Transformada Zeta de la Sucesión f    f : Antitransformada de F Obs: Nótese que en la definición de Transformada Zeta 1.-

En la presentación de la serie se empieza con las potencias positivas

2.-

El centro del desarrollo de Laurent es a = 0

3.-

Se ha tomado por simplicidad y sin perder generalidad en el análisis a la Sucesión:  f[0], f[1], f[2], f[3],..., f[n],... en vez de  f[0], f[T], f[2T], f[3T],..., f[kT],... que representa un

cambio de escala:

 n = kT . Es decir:

+∞

F(z) =

∑

+∞

f(n) z – n =

n = −∞

∑

f(kT) z – kT

k = −∞

Un caso particular de esta definición es la llamada Transformada Zeta unilateral  también llamada Causal  que corresponde a las sucesiones que tienen todos los términos de la serie de p otencias positivas nulos, es decir la serie sólo está compuesta por los términos de potencias negativas y el término independiente. A la Transformada Zeta general se la denomina también como

Transformada Zeta bilateral  .

La Transformada Zeta unilateral  es la de mayor aplicación y es esencialmente similar a la general salvo detalles que se estudiarán por separado. Su utilidad mayor es análisis de los sistemas causales regidos por ecuaciones en diferencias y con condiciones iniciales ( es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo). La Transformada Zeta unilateral  de una sucesión  x[n]  se puede considerar como Transformada Zeta  bilateral  de la sucesión  x[n] u[n] 

 2.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA (ROC) El Campo de Convergencia de la

Transformada Zeta es el anillo:

 A(r1 , r 2 ) = { z: r1 < |z| < r 2 } En el caso de Transformada Zeta unilateral  el Campo de Convergencia es una Bola de centro

∞ y radio r:

   A(r1 , r 2 ) = B( ∞  ∞ ,r)

Obs: La abreviatura ROC para el Campo de Con vergencia proviene del inglés: Region of Convergence   2.4.- NOTACIÓN  La Transformada Zeta es una aplicación del conjunto de sucesiones { f[n] } sobre el conjunto de funciones complejas { F(z) }. Por la unicidad de la Serie de Laurent y unicidad del valor de una Serie la Transformada Zeta es biyectiva. La notación que se conviene es:

 f[n]  →  →  F(z)

donde se usará en general para las Sucesiones  f[n]  letras minúsculas, (como por ejemplo  f ,g ) con el argumento entre corchetes  [n]  y las correspondientes mayúsculas para las transformadas (en el ejemplo  F,G ) con el respectivo argumento entre paréntesis (z).

 2.5.- REDUCCIÓN A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER Partiendo de la definición de Transformada Zeta, se puede reducir a un caso particular de Transformada finita de Fourier:

Esta proposición se prueba tomando el Anillo de CV la circunferencia de gráfica

 F ∈ H  /  A(  r1 , r 2  )   γ   γ   (  I  ) ⊂  A 

+∞  iϕ f [n ] r − n e −inϕ F(r e ) =  n = −∞  1  iϕ n inϕ f [n ] = 2π I F(r e ) r e dϕ 

∑

⇒  ⇒ 

∫ 

: I = [α, α + 2π]

 3.- TRANSFORMADAS ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES   3.1.- ESCALÓN UNITARIO u[n]   Def.- Escalón Unitario u: Z →  →  R 0  n →  →   1 0 u[n] =  1

 n < 0  n ≥ 0 n 1

z −1

  3.2.- IMPULSO UNITARIOδ  δ   Def.- Impulso Unitario δ  δ:  Z →  →  R 0  n →  →   1

0 δ[n] =  1

 n ≠ 0  n = 0 ≠0 n =0

n

+∞

→ Λ(z) =

∑

δ(n) z-n = 1

n = −∞

Obs: La función δ[n] puede expresarse en función del escalón unitario: δ[n] = u [n] – u [n–1]

 z = r eiϕ ϕ  . Queda entonces:

  3.3.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES  f[n] 

 F(z)

 ROC 

1

u[n] 

1 1 − ( 1 /  z )

|z| >  > 1

 2

δ  δ [n]   

1

 z ∈ C 

  4.- PROPIEDADES Las propiedades de la Transformada Zeta están dadas por los siguientes teoremas:

 4.1.- LINEALIDAD T 1 .-

 f  [  n ]  → F (  z )  g [  n ]  → G(  z )

  

⇒  ⇒ 

a f[n] + b g[n]  →  →  a F(z) + b G(z)

+∞

 D.-

∑

+∞

( a f[n] + b g[n] ) z– n

= a

 n= −∞

∑

+∞

f[n] z– n + b

 n= −∞

∑

g[n] z– n

 n= −∞

= a F(z) + b G(z)

Obs: La ROC de la combinación lineal propuesta es la intersección de las respectivas ROC de f y de g:  A(f) ∩  ∩  A(g)   4.2.- DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO T  2  .- ∈kZ  f[n]  →  →  F(z)

⇒  ⇒  ⇒  ⇒  ⇒  ⇒ 

+∞

 D1 .-

∑

f[n–k] z– n

 n − k = p                           →   =

+∞

z – k  F(z) =

+∞

∑

f[p] z – (p+k) = z – k F(z)

p = −∞

n = −∞

 D 2 .-

f[n – k]  →  →  z– k F(z) f[n – 1]  →  →  z– 1 F(z) f[n + 1]  →  →  z F(z)

∑

 n + k = p

f[n] z – (n+k)                         →   =

n = −∞

En particular se tiene:

+∞

∑ p = −∞

f[p – k] z

– k 

 f[n–1]  →  →  z – 1 F(z)  f[n+1]  →  →  z F(z)

  4.3.- DESPLAZAMIENTO z – a n −1

T  3 

.-

→  f[n]  →  F(z)

∑

⇒  ⇒ 

C  n – 1 , k  a n–1– k f[ k+1]  →  →  F(z – a)

k = 0

1

γ  2πi ∫ 

 D.-

F(z – a) z n–1 dz =

1

γ  2 πi ∫ 

1

γ  2πi ∫ 

z −a = w          → =

F(w) (w+a) n–1 dw

n −1

F(w) [

∑

Cn – 1, k  wk  a n – 1 – k  ] dw

k = 0

n −1

=

∑

Cn–1,k  a n – 1 – k  f[ k+1]

k = 0

= a n–1 f[1] + C n – 1, k  a n – 2 f[2] + ...+ Cn–1, k  a n – 1 – k  f[ k+1] + ...+ f[n]

  4.4.- MODULACIÓN DE LA SUCESIÓN EN TIEMPO   4.4.1.- MODULACIÓN CON a n T  4 

.-

→  f[n]  →  F(z)

   

a n f[n]  →  →  F(z/a)

+∞

 D1  .-  na f[n]  →  →   f[n] (z/a) –n = F(z/a)  n= −∞

 D 2 .-

1 2πi

³ γ 

F(z/a) z n–1 dz

ς  ς  = z  /  a                           →   =

1 2πi

= an

³ γ  F(ζ) a

1 2πi

n–1

∫ γ  F(ζ) ζ

ζ n–1 a dζ n–1

dζ

= an f[n]

  4.4.2.- MODULACIÓN CON eiα α n  T’ 4’ 

.-

→  f[n]  →  F(z)

⇒  ⇒ 

α  ϕ  ϕ–  –α  α )  e +iα α n  f[n]  →  z) z =  ρ  w =  ρ  →  F(e–iα   ρ ρ eiϕ   ρ ρ ei( ϕ 

 D1 .- Este Teorema es corolario del anterior. e +iαn f[n] → F(z/e+iα ) = F(e–iα z) Obs.1:

La modulación de la sucesión con una exponencial compleja e +iαn f[n]

→ F(z/e+iα ) = F(e–iα z)

representa una rotación de en el plano complejo. Esto corresponde a un desplazamiento de la frecuencia de la  n Transformada de Fourier. En el caso de la modulación  a f[n]  →  →  F(z/a) esta, representa además de la rotación dada por el argumento de  a, una dilatación del módulo del complejo z en | a |.

 4.5.- CAMBIO DE ESCALA  4.5.1.- GENÉRICO T  5 

.-

f[an]  →  →  F(z1/a )

→  f[n]  →  F(z)

 ROC = A(r1 r 2 ) +∞

 D.-

f[a n]

∑

→

A(r11/a  r 21/a )

⇒  ⇒ 

f[a n] z

–n

an = p

     → =

n = −∞

+∞

∑ n = −∞

+∞

f[p] z

–p/a

=

∑

f[p] (z 1/a )–p = F(z1/a)

n = −∞

En cuanto a La ROC

{ z: r1 < | z | < r 2 }

⇒  ⇒ 

{ z: r11/a < | z |1/a < r 21/a }

  4.5.2.- INVERSIÓN EN z T’ 5  .Corolario

→  f[n]  →  F(z) :ROC = A(r1 r 2 )

: ROC ={ z: |z| < r }

⇒  ⇒ 

f[ – n] →  →  F(1/z) ) : ROC = A(r 2–1  r1 –1 )

⇒  ⇒ 

f[ – n] →  →  F(1/z) ) : ROC = {z: |z| > 1/ r}

 D1 .- Este Teorema es corolario del anterior.

 4.6.- TZ DE LA DIFERENCIA FINITA

  4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA T 6   .-

→  f[n]  →  F(z)

∆ f[n] := f[n+1] – f[n]  →  →  (z – 1) F(z)

⇒  ⇒ 

 D1 .- ∆f[n] := f[n+1] – f[n] → z F(z) – F(z) = (z–1) F(z)  D 2 .-

1

∫ γ 

2πi

(z –1) F(z) z n–1 dz =

1 2πi

∫ γ 

F(z) z n dz  –

1 2πi

∫ γ  F(z) z

n–1

dz

= f[n+1] – f[n]

  4.6.2.- SEGUNDA DIFERENCIA T’6   .-

→  f[n]  →  F(z)

∆ 2  f[n] :=∆ f[n+1] – ∆ f[n]  →  →  (z–1) 2 F(z)

⇒  ⇒ 

 D1.- [Aplicando T6]

∆2f[n] → (z–1) [(z–1) F(z)]

 D 2.- [Aplicando la definición de ∆2f[n] ]

∆2f[n] = f[n+2] – 2 f[n+1] + f[n] → (z 2 – 2 z + 1) F(z)

  4.7.- TZ DE LA SUMA FINITA p

T 7   .- f[n] →  →  F(z)

⇒  ⇒ 

∑

 f[n+k]  →  →  F(z)

k = 0

1 − z  p +1 1 − z

: z ∈ A(f) (Anillo de Convergencia de f)

p

 D1 .-

∑

f[n+k] = F(z) + z F(z) + z2 F(z) + z 3 F(z) + ... + z k  F(z)+...+ z p F(z)

k =0

= F(z)

1 − z p +1 1− z

 4.8.- DERIVADA DE LA TZ T 8 

.-

→  f[n]  →  F(z)

⇒  ⇒ 

n f[n] →  →  – z F’(z)

+∞

 D1 .- F(z) =

∑

f[n] z – n

 n = −∞

Como la SL es CU se puede derivar término a término en su ROC +∞

∑

F’(z) =

(– n) f[n] z

– (n+1)

 n= −∞ +∞

∑

– z F’(z) =

n f[n] z – n

 n = −∞

 D 2.-

1 2 πi

∫ γ 

– z F’(z) z n–1 dz =

1 2πi

∫ γ  – F’(z) z

n

dz

= – F(z) z

n

γ 

+ n

1 2πi

∫ γ  F(z) z

n–1

dz

= 0 + n f[n] La parte integrada es nula porque en el anillo de CV de la serie F(z) – F(z) z n

γ 

= – F(z) z n

A = ρe

i ( ϕ+ 2 π)

+ F(z) z n

A

= ρe iϕ

=0

 4.9.- PRIMITIVA DE LA TZ  4.9.1.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1 ,r 2 ) En el caso de la Región de CV  A(r1 ,r 2 )

T  9 .-

 f  [  n ] → F (  z )   Γ   Γ   (  I  =  [  ab ]) ⊂  A(  r1 , r 2  )

 D1 .- Llamando G(z) :=

z

∫  a

⇒  ⇒ 

 –

f[n+1] / n →  → 

 z

∫ ∫ a 

 F( ζ  ζ )  d ζ  ζ 

F(ζ) dζ

– z G’(z) = – z F(z) n g[n] = – f[n+1]

 D 2 .-

1

z

γ  ∫  2πi ∫ 

[

a

F(ζ) dζ ] z n–1 dz =

1

1

2πi n

z

[

∫  F(ζ) dζ ] z

n

a

z

La parte integrada es nula porque la función

G(z) :=

∫  a

α +π α

–

F(ζ) dζ

1 2πi

1

F(z) z γ  n ∫ 

n

dz =

es unívoca. Queda:

z

∫  a

F(ζ) dζ

←

– f[n+1] / n

 4.9.2.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1 ,∞  ∞ )  En el caso de la Región de CV A(r1 ,∞  ∞ )  el Teorema queda así:

T’ 9 .-

 f  [  n ]  →  F (  z )   γ   γ   (  I  ) ⊂  A(  r1 ,+∞ )

-- f[n+1] / n →  → 

⇒  ⇒ 

 z

∫ ∫∞ 

F( ζ  ζ )  d ζ  ζ 

Aplicando el Teorema anterior e invirtiendo el orden de integración::

 f  [  n ]  →  F (  z )   γ   γ  (  I  ) ⊂  A(  r1 ,+∞ )

f[n+1] / n →  →  –

⇒  ⇒ 

z

∫ ∞

F( ζ  ζ )  d ζ  ζ  =

∞

∫ ∫ z 

F( ζ  ζ )  d ζ  ζ 

 4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS. T 10 .-

+∞

 f  [  n ] → F (  z )    g [  n ] → G(  z ) 

⇒  ⇒ 

 k = −∞

∑

∑

f[k] z – k 

g[j] z – j

 j= −∞

k =−∞

+∞

+∞

=

f[k] g[n – k]  →  →  F(z) G(z)

+∞

+∞

 D1 .- F(z) G(z) =

∑

h[n] := f[n] * g[n] :=

∑

∑

f[k]

g[j] z – (k+j)

 j= −∞

k = −∞

Haciendo n – k = j +∞

=

∑

+∞

f[k]

k = −∞

+∞

=

∑

g[n– k] z – n

n = −∞

+∞

∑ ∑ k = −∞

f[k] g[n– k] z – n

n = −∞

Queda +∞

h[n]

=

∑

f[k] g[n–k]

k = −∞

 D 2 .-

1 2πi

∫ γ 

F(z) G(z) z n–1 dz =

1 2πi

+∞

∫ γ  ∑ = −∞ [

k 

+∞

=

∑ k = −∞

f[k] z – k  ] G(z) z n–1 dz

f[k] [

1 2πi

∫ γ  G(z) z

n–k–1

dz ]

+∞

∑

=

f[k] g[n–k]

k = −∞

  4.11.- CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES T 11 .-

 f  [  n ] → F (  z )    g [  n ] → G(  z ) 

f[n] g[n]  →  →  F(z)*G(z) :=

⇒  ⇒ 

1  2π  π i

 F ( ζ  ζ  )G (  z  / ζ  ζ  )

∫ ∫ 

ζ  ζ 

γ   γ  

d ζ  ζ 

+∞

∑

 D1.- f[n] g[n] → F(z)*G(z) :=

f[n] g[n] z – n

n = −∞

+∞

∑

=

[

n = −∞

1 2πi

+∞

∑

=

[

n = −∞

1

∫ γ 

2πi

1

[

∑

                   →  

1

[

F(ζ )G(z / ζ )

 D 2.-

1

→ F(z)*G(z) :=

ζ

=

1

ζ

2πi

∫ γ 

F(ζ )G(z / ζ )

ζ

dζ =

=

∫ γ 

2πi

∫ γ 

1

g[k] (

z

ζ

)– k  )

f[n] g[k] z – k  ζ – n+k –1 +∞

∑ ∫ γ  ∑ = −∞ = −∞ n

f[n] g[k] z – k 

ζ – n+k–1 dζ

k 

+∞

+∞

∑ ∑

n

ζ

∑

)(

k = −∞

+∞

0

dζ =

dζ

k = −∞

2πi

F(ζ )G(z / ζ )

–n

dζ ] τ n–1 dτ ] ] z – n

+∞

2πi n = −∞ n = k 

ζ –n+k –1 dζ = 

1

2πi

ζ

ζ

f[n] ζ

∑ ∑ 1

F(ζ )G( τ / ζ )

F(ζ )G (z / ζ )

n = −∞

n = −∞

1

dψ  ] z – n

n-1

F(ζ) ζ n –1 G(ψ ) ψ  n-1 dζ dψ  ] ] z – n

+∞

∑

+∞

=

2πi

+∞

(

∫ γ  G(ψ ) ψ 

∫ γ  [ 2πi ∫ γ 

∫ γ 

2πi

1

dζ ] [

1

2πi

n = −∞

f[n] g[n]

n–1

∫ γ 

2πi

+∞

τ  τ =ζψ 

=

∫ γ  F(ζ) ζ

f[n] g[k] z

–n

k = −∞

[

∫ γ  ζ

– n+k– 1

dζ ]

≠ k  1

+∞

∑

2πi n = −∞

f[n] g[n] z – n

 4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA T 12  .- f[n] = f[n–T]   f[0], f[1], f[2], ... , f[T–1] 

⇒  ⇒ 

f[n] u[n]  →  →  F(z) =

1  [ f[0] + f[1] z  –1 + f[2] z  –2 + ...+ f[T-1] z  –(T -1) ]  −T  1 − z

1 = 1 − z −T 

T − 1

∑

 k =0

  f[k] z– k

|z|>1

+∞

 D.-

∑

f[n] z – n =

+ f[1] z –1

f[0]

+ f[2] z –2

+ f[T –1] z – (T –1)

+ ...

n =0

+ f[T –1] z – (2T –1) +

+ f[0] z –T + f[1] z –(T+1) + f[2] z –(T+2) + ... + ... +

+ f[0] z – nT + f[1] z – (nT+1) + f[2] z – (nT+2) + ... + f[T –1] z – ((n+1)T – 1) + ... = =

La ROC es

f [0]

+

1 − z −T 1 1− z

f [1] z 1− z

−1

−T

[ f[0] + f[1] z

−T

+ –1

f [ 2] z 1− z

−2

+ ... +

−T

+ f[2] z –2 + ...

f [T − 1] z 1− z

− ( T −1)

−T

.

+ f[T–1] z – (T –1) ]

⇔ | z | >1

| z –T | < 1

 4.13. RESUMEN DE PROPIEDADES    f[n] =

1  2π  πi 

∫ ∫ I  

f[n]

F(z) +∞

F(z) z  n–1 dz

  F(z) = ∑ f[n] z  – n

1

a f[n] + b g[n]

a F(z) + b G(z)

 2

 f[n–1] 

 z  – 1 F(z)

 f[n+1] 

  z F(z)

 f[n–k] 

 z – k F(z)

 f[n+k] u[n] 

 z  k [F(z)– f[0]– f[1] z -1 – ... – f[k–1] z  –(k–1) ] 

 f[n–k] u[n] 

 z -k F(z)

C  n–1,k b n–1– k f[ k+1] 

 

 k∈ Z  2’  k∈ N   3

n −1

∑

 A(r1 ,r 2 )

 n = −∞

 A(f) ∩  ∩   A(g)  A(f)

   B( ∞  ∞ ,r)

F(z –b)

A(f , b)

k =0

 4   6 

a n f[n] 

 F(z/a)

 A(|a|r1 , |a|r 2 )

e +iα α n  f[n] 

 F(e–iα α  z)

 A(r1 ,r 2 )

 F(z1/a )

 A(r11/a , r 21/a )

 f[ – n] 

 F(1/z)

 A(r 2– 1 , r1– 1 )

∆ f[n] :=(f[n+1] – f[n]) u[n] 

(z–1) F(z)

∆ 2 f[n] := ( ∆ f[n+1] –∆ f[n]) u[n] 

(z–1) 2 F(z)

5

f[an] 

 A(f)

6’

∆ f[n] := f[n+1] – f[n] 

(z–1) F(z) – z f[0] 

∆ 2  f[n] :=∆ f[n+1] – ∆ f[n] 

(z–1) 2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1] 

7 

 p

∑

1 − z  p + 1 1 − z

 F(z)

 f[n+k] 

 k = 0

8

n f[n]

 9

− f (  n + 1 )  n  f (  n + 1 )  n

10

 A(f)

– z F’(z)  z

∫ ∫ a  ∞ ∫∫  z 

   B( ∞  ∞ ,r)

A(f)  A(r1 ,r 2 )

ζ )  d ζ  ζ  F( ζ 

∞ )   A(r1 ,∞ 

F( ζ  ζ )  d ζ  ζ 

+∞

 f[n] * g[n] :=

∑

 f[k] g[n– k] 

 F(z) G(z)

 A(f) ∩  ∩   A(g)

 F(z) G(z)

   B( ∞  ∞ ,r)

 k = −∞

10’

( f[n] u[n] )*( g[n] u[n] ) :=  n

:= ∑ f[k] g[n– k]   k =0

11

  f[n] g[n] 

12

 f[n] = f[n+T] 

 F(z)*G(z):=

1  2π  πi 

∫ ∫ 

 F ( ζ  ζ  )G (  z  / ζ  ζ  )

γ   γ  

ζ  ζ 

 d ζ  ζ 

1  [ f[0]+f[1] z -1+...+f[T –1] z -(T-1) ]  −T  1 − z

 A(f) ∩  ∩   A(g) |z|>1

 5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL Los Sistema son del tipo causal  cuando su salida depende solamente de la entrada presente y pasada, es decir  no depende de valores futuros . En los Sistemas

TDLI causales donde se quiere analizar el efecto de condiciones iniciales, se hace por medio de la Transformada Zeta Unilateral  que se estudia a continuación:   5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CAUSAL  Def.- Función Causal  →   R  f: Z →

0   n →  →   ¯ f  [  n ] 

 n < 0  n ≥ 0

Es decir que una función causal cumple:

 f ∈ Causal := f[n] = f[n] . u[n]   5.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Dada una sucesión sucesión { f[n].u[n] } .

{ f[n]} se define como su Transformada Zeta unilateral a la Transformada Zeta de la

 F ∈ H  /  A(  r1 , r 2  )   γ   γ   [  I  ]  ⊂  A 

+∞   F (   z  )  f  [  n ]   z − n =    n = 0  1   F ( ζ  ζ  ) ζ  ζ  n− 1  d ς  ς   f  [  n ].u [  n ]  =  2π  γ   γ    i π  

∑

⇒  ⇒ 

∫ ∫ 

 F : Transformada Zeta unilateral de la Sucesión f [Causal]   f : Antitransformada de F Obs: Nótese que en la definición de la Transformada Zeta unilateral 1.- La serie sólo tiene las potencias negativas y el término independiente. 2.- El centro de desarrollo es siempre a = 0 como en la Transformada Zeta.

 5.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA El Campo o Región de Convergencia de la Transformada Zeta unilateral es una Bola de centro

∞ y radio r:

   A(r1 , r 2 ) = B( ∞  ∞ ,r)

  5.4.- NOTACIÓN  La notación para la Transformada Zeta unilateral es la misma que la adoptada para la Transformada Zeta

 f[n]  →  →  F(z) manteniéndose las convenciones sobre las letras minúsculas y mayúsculas para la sucesión y su transformada , como así también la de los corchetes y paréntesis para los respectivos argumentos.

 5.5.- PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA CAUSAL La mayor parte de las propiedades de la Transformadas Unilateral son las mismas que las de la Bilateral. Las propiedades específicas se desarrollan a continuación.

 5.5.1.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DE LA CAUSAL El teorema del desplazamiento en el tiempo para la

T’ 2  .- ∈ k N  ∩  ∩  f[n] u[n] →  →  F(z)

Transformada Zeta unilateral  tiene la siguiente forma:

⇒  ⇒ 

f[n+k] u[n] →  →  z  k [ F(z) – f[0] – f[1] z –1 – f[2] z – 2 - ... – f[k-1] z  –(k–1) ] 

⇒  ⇒ 

f[n– k] u[n] →  →  z – k F(z)

+∞

 D.-

f[n] u[n]

→  →  F(z) = ∑

f[n] z – n

 n = 0 +∞

f[n+k] u[n] →  → 

∑

+∞

f[n+k] z

–n

=z

k 

 n= 0

∑

f[n+k] z – (n+ k)

 n= 0

Cambiando n + k = p +∞

=z

k 

∑  n = k

Quedando

f[p] z – p

f[n+k] u[n] →  →  z k  [ F(z) – f[0] – f[1] z –1 – f[2] z –2 – ... – f[k-1] z – (k–1) ] En particular f[n+1] u[n] f[n+2] u[n]

→  →  z [ F(z) – f[0] ] →  →  z 2 [ F(z) – f[0] – f[1] z

–1

]

por otro lado en el caso de los desplazamientos negativos +∞

f[n – k] u[n] →  → 

∑

+∞

f[n – k] z

–n

=z

–k 

 n = 0

∑

f[n – k] z – (n– k)

 n = 0

Cambiando n – k = p +∞

=z

– k 

∑

f[p] z – p

 n = − k

Queda +∞

=z

– k 

∑

f[p] z – p

 n =0

f[n – k] u[n]

→  →  z

– k 

F(z)

En particular f[n – 1] u[n] f[n – 2] u[n]

→  →  z – 1 F(z) →  →  z – 2 F(z)

 5.5.2.- CAUSAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS  5.5.2.1.- CAUSAL DE LA PRIMERA DIFERENCIA T 6   .-

→  f[n]  →  F(z)

⇒  ⇒ 

∆ f[n] := ( f[n+1] – f[n] ) u[n]  →  →  (z – 1) F(z) – z f[0] 

 D1 .- ∆f[n] := ( f[n+1] – f[n] ) u[n] → z [ F(z) – f[0] ] – F(z) = (z – 1) F(z) – z f[0]

 5.5.2.2.- CAUSAL DE LA SEGUNDA DIFERENCIA T’6   .-

→  f[n]  →  F(z)

 D1.- [Aplicando T6]

⇒  ⇒ 

∆ 2 f[n] := ( ∆ f[n+1] – ∆ f[n] ) u[n]  →  →  (z – 1) 2 F(z) ) – z ( z – 2) f[0] – z f[1] 

∆2f[n] → (z – 1) [ (z – 1) F(z) – z f[0] ] – z ∆f[0] → (z – 1) [ (z – 1) F(z) – z f[0] ] – z [f[1] – f[0] ] → (z – 1)2 F(z) – [z (z – 1) f[0] – z f[0]] – z f[1] → (z – 1)2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1]

 D 2.- [Aplicando la definición de ∆2f[n] ] ∆2f[n] = f[n+2] – 2 f[n+1] + f[n] → z 2 [ F(z) – f[0] – f[1] z

–1

] – 2 z [ F(z) – f[0] ] + F(z)

→ (z 2 – 2 z + 1 ) F(z) – (z2 – 2 z) f[ 0] – z f[1] → (z – 1)2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1]

  5.5.3.- CONVOLUCIÓN DE CAUSALES T’10 .-

 f  [  n ] u [  n ]  → F (  z )  g [  n ] u [  n ]  → G(  z )

½ ¾ ¿

 n

⇒  ⇒ 

h[n] := ( f[n] u[n] ) * ( g[n] u[n] ) :=

∑

f[k] g[n– k]  →  →  F(z) G(z)

 k =0

 D1 .- Aplicando el producto de convolución general +∞

h[n] =

∑

f[k] u [k] g[n–k] u[n–k]

k = −∞

 n

=

∑

f[k] g[n– k]

 k =0

  5.5.4.- TEOREMA DE RIEMANN Y COROLARIOS. En una causal se cumple el Teorema de Riemann, cuya tesis enuncia que el coeficiente del término enésimo de una Causal  f[n]  tiende a cero cuando n tiende a +∞. Además un corolario inmediato es que si F(z) es una función racional (cociente de dos polinomios), el orden del numerador es menor o igual que el o rden del denominador.

T 13  .- Teorema de Riemann. ∀  ∀  n < 0 f[n] = 0 (Causal)  f[n]  →  →  F(z)    F(z)∈ CV/ B( ∞  ∞ ,r)

⇒  ⇒ 

f[n]   n → → 0    +∞

⇒  ⇒ 

F(z) =

 N  n (  z )  D p (  z )

⇒  ⇒ 

n ≤  ≤  p

⇒  ⇒ 

# ceros ≤  ≤  # polos

+∞

 D.-

La convergencia absoluta de la Serie de Potencias

F(z) =

∑

f[n] z –n sobre

  asegura el  B( ∞  ∞ ,r)

 n = 0

teorema de Riemann que el módulo del término enésimo tiende a cero. Un corolario es que para una función racional: cociente de dos polinomios

F(z) =

N n ( z) D p (z)

para que pueda

  desarrollarse en  B( ∞  tiene que satisfacerse  n ≤  ∞ ,r) ≤   p es decir el orden del numerador es menor o igual que el orden del denominador. Esto implica que el número de ceros es menor o igual que el número de polos.

 5.5.5.- TEOREMA DEL VALOR INICIAL T 14 .-

∀  ∀  n < 0 f[n] = 0 (Causal)  f[n]  →  →  F(z)

F(z)   z → → f[0]  +∞

⇒  ⇒ 

[ f[0] ∈ Acotada

⇒  ⇒ 

+∞

 D.-

f[n]

→  →  F(z) = ∑

f[n] z – n = f[0] + f[1]

 n= 0

1 z

+ ... + f[n]

⇒  ⇒ 

1 zn

+...

F(z) ∈ Estable ]      → f[0] z → +∞

Pasando al límite para z tendiendo a infinito todos los términos tienden a cero salvo el primero. Como corolario inmediato se deduce para la Causal : f[0] ∈ Acotada ⇒ F(z) ∈ Estable

 5.5.6.- TEOREMA DEL VALOR FINAL T 15 .-

∀  ∀  n < 0 f[n] = 0 (Causal)  f[n]  →  →  F(z)   ∧ r ≤   F(z)∈ CV/ B( ∞  ∞ ,r) ≤ 1

(z – 1) F(z)   z→1→ f[+∞  ∞ ]  = lim  f[n] 

⇒  ⇒ 

 n→ +∞

+∞

 D.-

f[n] u[n] →  →  F(z) =

∑

f[n] z – n

 n = 0 +∞

f[n+1] u[n] →  →  z F(z) – z f[0] =

∑

f[n+1] z – n

 n = 0 +∞

∑

–n

[ f[n+1] – f[n] ] z

= z F(z) – z f[0] – F(z) = (z – 1) F(z) – z f[0]

 n= 0

Pasando al límite cuando z → 1 +∞

∑

[ f[n+1] – f[n] ] = lim (z – 1) F(z) – f[0] z→1

 n = 0

Desarrollando el primer miembro de la igualdad  n

+∞

∑

[ f[n+1] – f[n] ] = lim

n →+∞

 n = 0

∑

( f[k+1] – f[k] )

 k = 0

= lim ( f[n+1] – f[n] )+ ( f[n] – f[n–1] ) + … +( f[2] – f[1] ) + ( f[1] – f[0] ) n → +∞

= lim f[n+1] – f[0] n →+∞

= f[+∞] – f[0] Resulta entonces f[+∞] – f[0] = lim (z – 1) F(z) – f[0] z →1

f[+∞] = lim (z – 1) F(z) z →1

 5.6. RESUMEN DE PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL

f[n] u[n]  f[n] u[n]=  2’  k∈ N  6’ 10’

1  2π  πi 

³ ³ I  

F(z) z  n–1 dz

F(z)

ROC 

+∞

  F(z) =⌠ f[n] z – n

   B( ∞  ∞ ,r)

 n= 0

 f[n+k] u[n] 

 z  k [F(z)– f[0]– f[1] z – 1 – ... – f[k–1] z  –(k–1) ] 

 f[n–k] u[n] 

 z – k F(z)

∆ f[n] := ( f[n+1] – f[n] ) u[n] 

(z–1) F(z) – z f[0] 

∆ 2 f[n] := ( ∆ f[n+1] –∆ f[n] ) u[n] 

(z–1) 2 F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1] 

   B( ∞  ∞ ,r)    B( ∞  ∞ ,r)

( f[n] u[n] )*( g[n] u[n] ) :=  n

 F(z) G(z)

:= ∑ f[k] g[n– k] 

∞ ,r)    B( ∞ 

 k = 0

11 12

  f[n] g[n]   f[n] = f[n+T] 

 F(z)*G(z):=

1  2π  πi 

∫ ∫ 

γ   γ   

 F ( ζ  ζ  )G (  z  / ζ  ζ  ) ζ  ζ 

 d ζ  ζ 

1  [ f[0]+f[1] z – 1+...+f[T –1] z –(T– 1) ]  −T  1 − z

  ∞ ,r)  B( ∞ 

|z|>1

6.- APROXIMACIÓN ENTRE LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Como ya se ha dicho en la Introducción , el control de procesos por computadoras o procesadores digitales hace necesario la conversión de la información analógica a digital (A/D) y viceversa (D/A).

La ventaja fundamental de la variable discreta, es que permite el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadoras digitales. La Conversión A/D significa captar registros a intervalos discretos regulares de señales continuas en el tiempo (eléctricas o de otra índole representables por números reales). Dichos valores discretos llamados  muestras conforman una sucesión de números enteros.

A partir de una función  f(t) de variable continua (real), las muestras de la función, tomados a intervalos regulares de tiempo T  empezando de t = 0 se forma la sucesión :

  f[0], f[T], f[2T], f[3T], ..., f[nT], ...

Por otro lado a partir de la sucesión  f[nT]  se puede la construir una  función de variable continua tomando el valor  f[nT]  como constante en cada intervalo de tiempo amplitud T :  t∈ [ nT (n+1)T[  . Esta  función escalonada es la  aproximación de la señal de entrada  f(t) . Desde el punto de vista matemático la función escalonada fe(t) :=

∑

f[nT] pulso[nt] =

∑

escalonada

 fe(t) de variable continua puede representarse como:

f[nT] [u[nT] – u[(n+1)T]

La relación entre las funciones de variable continua,  f(t) y  fe(t) permite establecer métodos aproximados de resolución para variable continua con variable discreta y viceversa. Son ejemplo de ello:

Variable real (continua)

Variable discreta (enteros y fraccionarios)

Sistemas analógicos Transformada de Laplace Derivadas Ecuaciones diferenciales lineales Integrales

Sistemas digitales Transformada Zeta Diferencias finitas Ecuaciones en diferencias finitas lineales Sumas

6.1.- ERRORES DE LA APROXIMACIÓN  La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error en la señal de entrada:

1. Error por pasaje de función continua (números reales) a función escalonada (sucesión o función discreta  de números enteros o fraccionarios) Esto aproximación puede llevar a errores por exceso o por defecto de la entrada. La cota del error de aproximación depende esencialmente del período T de muestreo.

 2.- Error de conversión de un Código de número entero a Código Binario

Un segundo error se introduce cuando los valores discretos (enteros o fraccionarios) se representan en código binario. Este error depende de la cantidad de bits que s e tomen para representar los números enteros en el procesamiento digital. Ejemplo de ello se ha especificado en la Tipificación de Sistemas y Señales.

6.2.- RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE  LAPLACE La aproximación entre la función continua y la función escalonada correspondiente también establece la relación entre las Transformadas de Laplace y Zeta de cada una de ellas

TL     f(t)       →      →   F(s) =

+∞

∫ ∫0 

f(t) e – st dt

↓ muestreo con período T TZ     f(nT)       →    →   F(z,T) =

+∞

∑

  f[nT] z – n

 n= 0

A partir de la TZ se puede definir una TZ para un período T. +∞

  F(z) =

∑

  f[n] z – n

 n = 0 +∞

  F(z,T) =

∑

  f[ nT] z – n

 n = 0

Multiplicando por T +∞

  F(z,T) T =

∑

 f[ nT] z – n T 

 n = 0

Y cambiando de variables y pasando al límite pata T

→ 0+ se obtiene la TL

tn = nT T = (n+1)T – nT = ∆t z = e sT +∞

  F(z,T) T = F( e s T  ,T) T = ∑  f[ tn ] ( e sT )  – n ∆t =  n = 0

F(s) =

∫ ∫0 

∑  n = 0

↓ T→0 +∞

+∞

–st

f(t) e

+

dt

s

 f[ tn ]  e −st n ∆t

La Región de CV de la TL y la TZ también están relacionadas por la función

 ROC TL: Re(s) > α  α 

↔  ↔ 

z =e sT

αT    ROC TZ: B( ∞   ) ∞ ,  R = eα 

Como se observa en el gráfico la ROC de la TL: un semiplano de  s a la derecha de la abscisa α  α   se transforma αT    en la ROC de la TZ unilateral , una Bola con centro en el ∞  ∞   y Radio  R = eα 

6.3.- APROXIMACIÓN DE DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS El método consiste en reemplazar las derivadas por diferencias finitas:

 y’(t) ≅  ≅ 

y[ n ] − y[ n − 1]

=

∆y[n − 1]

T T donde con T suficientemente pequeño se puede esperar una aproximación conveniente. Análogamente para segundo orden. y[n ] − y[ n − 1]

 y’’(t) ≅  ≅ 

T

−

y[n − 1] − y[n − 2] T T

=

y[ n ] − 2 y[ n − 1] + y[n − 2] T2

=

∆2 y[n − 2] T

2

6.4.- APROXIMACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES EN DIFERENCIAS  FINITAS La aproximación de las Ecuaciones Diferenciales por Ecuaciones en Diferencias se basa en la aproximación de las Derivadas con Diferencias. Se presentan como ejemplo dos variantes , aunque puede haber otras opciones :

 I.- Primera aproximación para la Ecuación Diferencial   y(t) →  →  y[n] 

 y’(t) →  → 

∆ y [  n − 1 ] 

T  ∆  y [  n − 2 ]  →    y’’(t) → T   2

etc.

 II.- Segunda aproximación:  y(t) →  →  y[n]  ∆ y [  n ]   y’(t) →  →  T   2 ∆  y [  n ]   y’’(t) →  etc →  T  En ejercicios posteriores se ejemplifican algunas aproximaciones.

6.5.- APROXIMACIÓN DE INTEGRALES CON SUMAS FINITAS También las Integrales de Riemann o Impropias se pueden calcular por aproximación por la TZ:

6.5.1.- INTEGRALES DE RIEMANN  N

∑

N

  f[ nT] T = T ∑  f[ nT] 

k = 0

k = 0

6.5.2.- INTEGRALES IMPROPIAS +∞

∑

+∞

  f[ kT] T = T ∑   f[ kT] = T F(z)  z = 1 = T F(1)

k = 0

k = 0

7.- APLICACIONES 7.1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS 7.1.1.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS SIN CONDICIONES INICIALES Dado una Ecuación en Diferencias Lineal y con Coeficientes Constantes su Transformada Z es: a0 y[n] + a1 y[n–1] + a2 y[n–2] + ... + an-k y[n–k] = x[n] Y(z) [ a0 + a1 z

–1

↓

+ a2 z –2 + ... + an–k z – (n–k) ] = X(z)

Llamando A(z) := [ a0 + a1 z –1 + a2 z –2 + ... + an–k z – (n–k) ] Se tiene la solución general de la ecuación en diferencias en el campo Transformado z. (que responde a la l ey de Ohm).

Y(z) :=

 X (  z )  A(  z )

7.1.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS CON CONDICIONES INICIALES Dado una ecuación en diferencias y las condiciones iniciales:

an+k y[n+k] + an+k-1 y[n+k–1] + ... + a0 y[n] = x[n] y[0] = c0 y[1] = c1 y[2] = c2 y[n–k] = cn-k  Se transforma como: an+k y[n+k] + an+k-1 y[n+k-1] + ... + a0 y[n] = x[n] k 

↓

an+k  z [ Y(z) – y[0] – y[1] z –1 – y[2] z –2 - ... – y[k–1] z – (k–1) ] + + an+k-1 z k–1 [ Y(z) – y[0] – y[1] z –1 – y[2] z –2 - ... – y[k–2] z – (k–2) ] + + ... + a0 [Y(z)] = X(z) Ordenando: Y(z) [ an+k  z k  + an+k-1 z k–1 – y[0] [ an+k  z k  + an+k-1 z k–1 – y[1] [ an+k  z k–1 + an+k-1 z k–2 – y[2] [ an+k  z k–2 + an+k-1 z k–3 ... – y[k–1] [ an+k  z ] = X(z)

+ ... + a0 ] – + ... + a1 z ] – + ... + a2 z ] – + ... + a3 z ] –

Llamando A(z) := [ an+k  z k  + an+k-1 z k–1 + ... + a0 ] k  k–1 C(z) := f[0] [ an+k  z + an+k-1 z + ... + a1 z ] + + f[1] [ an+k  z k–1 + an+k-1 z k–2 + ... + a2 z ] + + f[2] [ an+k  z k–2 + an+k-1 z k–3 + ... + a3 z ] + ... + f[k] [ an+k  z ] . Resulta: Y(z) A(z) – C(z) = X(z) Se tiene la solución general de la ecuación en diferencias en el campo Transformado z

Y(z) =

 X (  z ) C (  z ) +  A(  z )  A(  z ) Esta solución es la suma (superposición) de dos soluciones, la primera

Y 1(z) =

 X (  z )  A(  z )

que es la respuesta del sistema a la señal de Entrada (Sistema forzado) que responde a la ley de Ohm y la segunda

Y 0(z) =

C (  z )  A(  z ) que es la respuesta del sistema a las Condiciones Iniciales (Sistema libre)

7.2 .- APLICACIONES A SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES. (TDLI) 7.2.1.- SISTEMA TDLI EN EL CAMPO z Un Sistema TDLI representado por una Ecuación lineal en diferencias finitas

se trasforma por medio de la Transformada z en

Y(z) = X(z) H(z) que no es otra que la

 Ley de Ohm generalizada.

A la relación entre la salida y la entrada del Sistema se la llama transferencia H(z) H(z) :=

Y (  z )  X (  z )

La solución del sistema es en general la convolución:

 y[n] = x[n] * h[n] 

7.2.2.- EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS TDLI    Ejemplo 1: Resolver el circuito de la figura con

La ecuación que representa el circuito es: y[n] = x[n] + a y[n–1]

x[n] = u[n]

Transformando con TZ : y[n] – a y[n–1]

= x[n] ↓ TZ Y(z) – a z–1 Y(z) = X(z) Y(z) [1 – a z

–1

] =

1 1−

1 z

x[n] = u[n] 

1

Y(z) =

1− Y(z) =

1 1 z

1−

a z

z2 ( z − 1)(z − a )

Se antitransforma: y[n] = y[n] = y[n] =

1

∫  2πi ∫ 

Y(z) z n–1 dz

γ   γ   

1

z

∫  2πi ∫ 

2

(z − 1)(z − a )

γ   γ   

1

1

∫  2πi ∫ 

(z − 1)(z − a )

γ   γ   

z n–1 dz z n+1 dz

 I.- Caso a ≠ 1 1

y[n]

 n≥ −1                   →   = R(1) + R(a) =

y[n]

 n< −1                   →   = R(1) + R(a) + R(0) = – R(∞) = R (

a −1

[ – 1n+1 + a n+1 ] = a n+ a n–1+ a n–2+ ...+ a2 + a + 1 1 (

y[n] =

1 a

1 w

− 1)(

1 1 w

− a) w

2

w – (n+1) ; 0 ) = 0

( an+1 – 1) u[n]

−1

 II.- Caso a = 1 y[n]

 n≥ −1                   →   = R(1) = n+1

y[n]

 n< −1                   →   = R(1) + R(2) + R(0) = – R(∞) = R (

1 (

1 w

1

− 1) 2 w

2

w – (n+1) ; 0 ) = 0

y[n] = ( n+1) u[n+1]

≠  1) Verificación: el caso de a = 1 se puede obtener como límite cuando a tiende a 1 en el caso general de (a ≠  n n–1 n–2 2 y[n] = a + a + a + ...+ a + a + 1                  → n+1  a →1

Verificación de la antitransformada por otros métodos :  2.- Forma por convolución (para a ≠ 1 ) Y(z) =

1 1−

1 a z

1−

1 z

+∞

y[n]

∑

=

ak  u[k] u[n-k]

k = −∞ n

y[n]

∑

=

ak  u[k] u[n-k] = 1+ a+ a2+ ...+ an–1 + an

k =0

 3.- Forma por fracciones simples (para a ≠ 1 ) 1

Y(z) =

1− y[n]

=

1 (a − 1)

1 a z

1−

1

=

1 (a − 1)

z

[

a 1−

a z

1

–

1−

1

]

z

[ an+1 – 1 ] u[n]

Verificación por método directo para a = 2 n -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X[n] y[n]=x[n]+2y[n-1] 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191

Potencia[2,n+1] - 1 0 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191

Verificación por método directo para a = 3 Ej 2 n -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x[n] y[n]=x[n]+3y[n-1] 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 4 13 40 121 364 1093 3280 9841 29524

Potencia[3,n+1] 0 1 4 13 40 121 364 1093 3280 9841 29524

10 11

1 1

88573 265720

88573 265720

Casos particulares: a=–b a=–1

= 1 –b + b2+ ...+ (–b)n = 1 – 1 + 1+ ...+ (–1)n

y[n] y[n]

{y[n]} = {1,0,1,0,1...}

7.3.- APROXIMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES EN   DIFERENCIAS FINITAS 7.3.1.- APROXIMACIÓN  El método consiste en reemplazar las derivadas por diferencias finitas: y[ n ] − y[ n − 1]

 y’(t) ≅  ≅ 

∆y[n − 1]

=

T T donde con T suficientemente pequeño se puede esperar una aproximación conveniente. Análogamente para segundo orden. y[n ] − y[ n − 1] T

 y’’(t) ≅  ≅ 

y[n − 1] − y[n − 2]

−

T

=

T

y[ n ] − 2 y[ n − 1] + y[n − 2]

7.3.2.- EJEMPLO   y’ + y = u(t)

y(0) = 0

y = – e  – t + 1

⇒  ⇒ 

 I.- Primera aproximación ∆ y [  n − 1 ] 

T  1 T

+ y[n] = u[n] 

[ Y(z) – z –1 Y(z) ] + Y(z) =

Y(z) {

1 1−

1 T

1 z

1

[ 1 – z –1 ] + 1} =

1−

1 z

T Y(z) =

1 1−

y[n] =

1 z

1−

T T +1

y[n] = ( 1 – (

T +1 1 (T + 1)z

1 1−

1

(1 – (

T +1

1 T +1

)n+1 ) u[n+1]

1 T +1

)n+1 ) u[n+1]

T2

=

∆2 y[n − 2] T2

 II.- Segunda aproximación: ∆ y [  n ] 

T  1 T

+ y[n] = u[n] 

[ z Y(z) – Y(z) ] + Y(z) =

Y(z) {

Y(z) =

1 1−

1 T

1−

1 z

T z −1+ T

1

1−

z

1

(z –1) + 1} =

1

1

z 1

Y(z) = z–1

1−

1

T 1− T

1− z z y[n] = ( 1 – (1 – T)n ) u[n]

para comparar el error de las aproximaciones se ha preparado la tabla que tiene 3 errores 1 n+1 Serie 1 : error de la primera aproximación y[n] = ( 1 – ( ) ) u[n+1] T +1 1 n Serie 2 : error de una aproximación derivada de la primera y[n] = ( 1 – ( ) ) u[n] T +1 y[n] = ( 1 – (1 – T) n ) u[n]

Serie 3 : error de la segunda aproximación

T 0.1 n 0  1 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 12  13  14  15 

Comparación de las Aproximaciones de y'+y = u(t) con Diferencias Finitas  Serie 1 Serie 2 1-pot(1/(T+1),n+1) 1-pot(1-T,n) t y(t)=1-exp(-t) err=En-Bn err=En-Bn-1 0.090909091 0.173553719 0.248685199 0.316986545 0.379078677 0.43552607 0.486841882 0.53349262 0.575902382 0.614456711 0.649506101 0.681369182 0.71033562 0.736668746 0.760607951 0.782370864

0 0.1 0.19 0.271 0.3439 0.40951 0.468559 0.5217031 0.56953279 0.612579511 0.65132156 0.686189404 0.717570464 0.745813417 0.771232075 0.794108868

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0  0.095162582  0.181269247  0.259181779  0.329679954  0.39346934  0.451188364  0.503414696  0.550671036  0.59343034  0.632120559  0.667128916  0.698805788  0.727468207  0.753403036  0.77686984 

-0.090909091 -0.078391137 -0.067415952 -0.057804765 -0.049398723 -0.04205673 -0.035653518 -0.030077924 -0.025231346 -0.02102637 -0.017385542 -0.014240266 -0.011529832 -0.009200539 -0.007204915 -0.005501024

0 0.004253491 0.007715528 0.01049658 0.012693409 0.014390663 0.015662294 0.016572814 0.017178416 0.017527959 0.017663848 0.017622816 0.017436606 0.017132587 0.01673429 0.016261889

Serie 3  err=En-Cn  0 -0.004837418 -0.008730753 -0.011818221 -0.014220046 -0.01604066 -0.017370636 -0.018288404 -0.018861754 -0.019149171 -0.019201001 -0.019060488 -0.018764675 -0.01834521 -0.017829039 -0.017239028

16  17  18  19  20  21 22  23  24  25  26  27  28  29  30  31 32  33  34  35  36  37  38  39  40 

0.802155331 0.82014121 0.836492009 0.851356372 0.864869429 0.877154026 0.888321842 0.898474402 0.907704002 0.916094547 0.923722316 0.930656651 0.936960591 0.942691447 0.947901315 0.952637559 0.956943236 0.960857487 0.964415897 0.967650816 0.970591651 0.973265137 0.975695579 0.977905072 0.979913702

0.814697981 0.833228183 0.849905365 0.864914828 0.878423345 0.890581011 0.90152291 0.911370619 0.920233557 0.928210201 0.935389181 0.941850263 0.947665237 0.952898713 0.957608842 0.961847958 0.965663162 0.969096846 0.972187161 0.974968445 0.9774716 0.97972444 0.981751996 0.983576797 0.985219117

1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

0.798103482  0.817316476  0.834701112  0.850431381 0.864664717  0.877543572  0.889196842  0.899741156  0.909282047  0.917915001 0.925726422  0.932794487  0.939189937  0.94497678  0.950212932  0.954950798  0.959237796  0.963116833  0.96662673  0.969802617  0.972676278  0.975276474  0.977629228  0.979758089  0.981684361

-0.004051849 -0.002824734 -0.001790897 -0.000924991 -0.000204712 0.000389545 0.000874999 0.001266754 0.001578045 0.001820454 0.002004106 0.002137837 0.002229346 0.002285333 0.002311616 0.002313238 0.00229456 0.002259346 0.002210833 0.002151801 0.002084627 0.002011337 0.001933649 0.001853017 0.001770659

0.015732618 0.015161145 0.014559902 0.013939372 0.013308345 0.012674143 0.012042815 0.011419314 0.010807645 0.010211 0.009631875 0.009072172 0.008533287 0.008016189 0.007521485 0.007049482 0.006600237 0.006173597 0.005769243 0.005386719 0.005025462 0.004684823 0.004364091 0.00406251 0.003779289

-0.016594499 -0.015911707 -0.015204253 -0.014483447 -0.013758629 -0.013037439 -0.012326068 -0.011629463 -0.01095151 -0.0102952 -0.009662759 -0.009055776 -0.008475299 -0.007921933 -0.00739591 -0.00689716 -0.006425366 -0.005980013 -0.005560431 -0.005165828 -0.004795323 -0.004447967 -0.004122768 -0.003818708 -0.003534756

8.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA

   f[n] =

1  2π  πi 

f[n]

∫ ∫ 

γ   γ   

F(z) z  n-1 dz

F(z) +∞

  F(z) = ∑ f[n] z  –n  n = −∞

 A(r1 ,r 2 )

1

u[n] 

1  z = 1 − ( 1 /  z )  z − 1

|z| >  > 1

 2

δ  δ [n]   

1

 z ∈ C 

δ  δ [n-k]   

 z  –k

  k>0 | z|>0   k  > 1

 3  k ∈ Z  4

 k∈ Z  k >0