Transformada z en matlab para Series y Transformadas

Gu´ıa 1: Ejercicios sobre transformada z Alumno: Guillermo M. Tabeni Couvert Profesor: Ing. Carlos A. Espinoza J.T.P.: Ing. Daniel R. Graff C´atedra de Ingenier´ıa Industrial Universidad Tecnol´ogica Nacional, F.R.A. 2 de julio de 2007 Objetivo: Realizar distintos ejercicios num´ericos de mano y con el uso de Matlab.

Ejercicio 1 Para la funci´ on Y (z), determinar los polos y ceros y ubicarlos dentro del plano z. Los teoremas del valor inicial y final son aplicables en dicha funci´on. ¿Por qu´e? Hallar sus valores. Y (z) =

0, 792z 2 (z − 1)(z 2 − 0, 416z + 0, 208)

Para hallar los polos y ceros de Y (z), introducimos los comandos: z=tf(’z’); Yz=.792*z^2/((z-1)*(z^2-0.416*z+.208)) [ceros,polos,K]=zpkdata(Yz,’v’) Vemos que hay un cero doble en el origen, un polo real en 1 y un par de polos complejos conjugados: ceros = 0 0 polos = 1.0000 0.2080 + 0.4059i 0.2080 - 0.4059i K = 0.7920 Ahora, graficamos el plano z con los ceros y polos obtenidos: [num,den]=tfdata(Yz,’v’); zplane(num,den) zgrid Por el teorema del valor inicial: 0, 792z 2 z→∞ z 3 − 1, 416z 2 + 0, 624z − 0, 208 0, 792/z = l´ım =0 z→∞ 1 − 1, 416/z + 0, 624/z 2 − 0, 208/z 3

y(t = 0) = l´ım Y (z) = l´ım z→∞

Por el teorema del valor final: z−1 0, 792z 2 2 z→1 z (z − 1)(z − 0, 416z + 0, 208) 0, 792z = l´ım 2 =1 z→1 z − 0, 416z + 0, 208

y(t → ∞) = l´ım [1 − z −1 Y (z)] = l´ım z→1

Estos teoremas son aplicables porque, por definici´on, existen los l´ımites calculados. Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007

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Ejercicio 2 Obtenga la transformada z de la siguiente funci´on donde a es una constante. Grafique y compare en Matlab la funci´ on en tiempo continuo y la funci´ on en tiempo discreto. x(t) =

1 (1 − e−at ) a

Distribuyendo, tenemos 1 e−at − a a Luego, por la transformada del escal´on y la propiedad lineal de la transformada z, x(t) =

1 1 − −1 a(1 − z ) a(1 − e−ak z −1 ) 1 − e−ak z −1 − 1 + z −1 = a(1 − z −1 )(1 − e−ak z −1 )   1 z −1 (1 − e−ak ) = a 1 − z −1 (1 + e−ak ) + z −2 e−ak

X(z) =

(1)

En el Matlab comparamos la respuesta del sistema continuo (en rojo) con la del sistema discreto (azul): num=[0 1-exp(-1) 0]; den=[1 -1-exp(-1) exp(-1)]; t=0:0.2:10; xt=(1-exp(-t)); plot(t,xt,’r’) hold; impz(num,den)

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Ejercicio 3 Para la funci´ on G(z) = Y (z)/X(z), hallar la transformada inversa z mediante el m´etodo Matlab (comando filter) hasta k = 10. Graficar la secuencia (comando stem). Y (z) = 0, 01409z 3 + 0, 028z 2 + 0, 01409z X(z) = z 3 − 2, 7624z 2 + 2, 5811z − 0, 8187

Con el siguiente programa graficamos los 10 primeros elementos de la secuencia de Y (z)/X(z). num=[0.01409 0.028 0.01409 0]; den=[1 -2.7624 2.5811 -0.8187]; Xz=[1 zeros(1,10)]; Yz=filter(num,den,Xz); n=0:1:10; stem(n,Yz); xlabel(’k’);

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Ejercicio 4 Para la ecuaci´ on en diferencias encontrar la serie en forma recursiva realizando un programa en Matlab. Luego, hallar la transformada Z mediante c´alculo de mano y luego, mediante el m´etodo de Matlab (comando filter), encontrar la transformada inversa Z hasta k = 30. Verificar ambos gr´aficos y hallar conclusiones. x(k + 2) = x(k + 1) + x(k),

donde x(0) = 0 y x(1) = 1

Las transformadas z de x(k + 2), x(k + 1) y x(k) est´an dadas, respectivamente, por Z[x(k + 2)] = z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1) Z[x(k + 1)] = zX(z) − zx(0) Z[x(k)] = X(z) Al tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci´on en diferencias dada, se obtiene z 2 X(z) − z = zX(z) + X(z) donde se han reemplazado las condiciones iniciales dadas. Finalmente, despejando y simplificando, X(z) =

z z2 − z − 1

(2)

que es la transformada z buscada. Ahora utilizo el siguiente programa para comparar el m´etodo manual con el m´etodo de Matlab. %Metodo manual x(1)=0; x(2)=1; N=30; for k=1:N-1 x(k+2)=x(k+1)+x(k) end n=0:N; subplot(2,1,2); stem(n,x,’r’); title(’Metodo manual’); %Metodo Matlab num=[0 1 0]; den=[1 -1 -1]; n=0:1:N; x=[1 zeros(1,N)]; y=filter(num,den,x); subplot(2,1,1); stem(n,y,’b’); title(’Metodo Matlab’);

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Ejercicio 5 Encontrar la expresi´ on en forma cerrada de y[n] usando el m´etodo de la transformada Z. Donde u[n] representa la funci´ on escal´ on. y[n] − (5/6)y[n − 1] + (1/6)y[n − 2] = (1/5)n u[n],

donde y[−1] = 6 e y[−2] = 25

Las transformadas z de secuencias desplazadas son: Z[y(n − 1)] = Y (z)z −1 + y(−1) Z[y(n − 2)] = Y (z)z −2 + y(−1)z −1 + y(−2) Adem´as, la transformada z de an u[n] es, Z[an u(n)] =

1 1 − (z/a)−1

Al tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci´on en diferencias dada, se obtiene Y (z) −

 1  5 Y (z)z −1 + 6 + Y (z)z −2 + 6z −1 + 25 = 6 6

1 z −1 1− 5   3 5 1 25 z Y (z) z 2 − z + − 5z 2 + z + z 2 = 6 6 6 1 z− 5   31 1 1 11 7 1 Y (z) z 3 − z 2 + z − = z3 − z2 + z 30 3 30 6 6 5

Despejando Y (z)/z, para luego aplicar el m´etodo de inversi´on por fracciones parciales: Y (z) = z

1 11 2 7 z − z+ 6 6 5 1 1 31 z3 − z2 + z − 30 3 30

Factorizando el denominador, la funci´on expandida tendr´a la forma: Y (z) = z

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a1 1 z− 2

+

a2 1 z− 3

+

a3 z−

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donde los coeficientes son:   1 Y (z) 3 a1 = (z − ) · = 2 z z= 1 2   2 1 Y (z) 2 a2 = (z − ) · =− 3 z z= 1 3   3 1 Y (z) a3 = (z − ) · =1 5 z z= 1 5

La descomposici´ on en fracciones parciales podr´ıa haberse realizado con Matlab, de la siguiente manera: num=[0 11/6 -7/6 1/5]; den=[1 -31/30 1/3 -1/30]; [R,P,K]=residue(num,den) R = 1.5000 -0.6667 1.0000 P = 0.5000 0.3333 0.2000 K = [] Reemplazando y multiplicando ambos miembros por z: Y (z) =

3/2 2/3 1 − + 1 − 12 z −1 1 − 13 z −1 1 − 15 z −1

La transformada inversa, resulta: y(n) =

3 2n+1

−

2 3n+1

+

1 5n

(3)

que es la forma cerrada pedida. Con el siguiente programa podemos comparar las secuencias obtenidas con la ecuaci´on de diferencias dada al comienzo del problema y la forma cerrada obtenida: %Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias y(1)=25; y(2)=6; N=30; u=[0 0 ones(1,N+1)]; for n=1:N+1 y(n+2)=(1/5)^(n-1)*u(n+2)+(5/6)*y(n+1)-(1/6)*y(n) end n=-2:N; subplot(2,1,1); stem(n,y); title(’Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias’); %Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada for n=1:N+1 y(n)=3/(2^(n-2))-2/(3^(n-2))+1/(5^(n-3)) end n=-2:N; subplot(2,1,2); stem(n,y,’r’); title(’Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada’);

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Ejercicio 6 Resuelva la siguiente ecuaci´ on en diferencias tanto de manera anal´ıtica como por computadora con Matlab. La funci´ on de entrada u[k] = 1 para k = 0, 1, 2, . . .. x(k + 2) − x(k + 1) + 0, 25x(k) = u(k + 2),

donde x(0) = 1 y x(1) = 2

Las transformadas z de x(k), x(k + 1) y x(k + 2) est´an dadas, respectivamente, por Z[x(k)] = X(z) Z[x(k + 1)] = zX(z) − zx(0) Z[x(k + 2)] = z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1) Adem´as, la transformada z de u[k + 2] es Z[u(k + 2)] = z 2 U (z) − z 2 u(0) − zu(1) =

z2 − z2 − z 1 − z −1

ya que u(0) = u(1) = 1. Al tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci´on en diferencias dada, se obtiene z 2 X(z) − z 2 − 2z − zX(z) + z + 0, 25X(z) =

z2 − z2 − z 1 − z −1

Despejando X(z)/z, para luego aplicar el m´etodo de inversi´on por fracciones parciales: X(z) z2 z2 = 3 = 2 z z − 2z + 1, 25z − 0, 25 (z − 1)(z − 12 )2 La funci´on expandida tendr´ a la forma: a3 X(z) a2 a1 + + = z−1 z z − 12 (z − 12 )2 donde los coeficientes son:   1 1 2 X(z) =− a1 = (z − 2 ) · z 2 z= 12    d X(z) = −3 a2 = (z − 12 )2 · dz z z= 12   X(z) a3 = (z − 1) · =4 z z=1 Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007

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Reemplazando y multiplicando ambos miembros por z: X(z) = −

(1

1 −1 2z − 12 z −1 )2

−

3 4 + 1 − z −1 1 − 12 z −1

La transformada inversa, resulta: k 3 − k +4 (4) 2k 2 Con el siguiente programa podemos comparar las secuencias obtenidas con la ecuaci´on de diferencias dada al comienzo del problema y la forma cerrada obtenida: x(k) = −

%Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias x(1)=1; x(2)=2; N=30; u=[ones(1,N+3)]; for k=1:N-1 x(k+2)=u(k+2)+x(k+1)-0.25*x(k); end k=0:N; subplot(2,1,1); stem(k,x); title(’Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias’); %Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada for k=1:N+1 x(k)=-(k-1)/(2^(k-1))-3/(2^(k-1))+4 end k=0:N; subplot(2,1,2); stem(k,x,’r’); title(’Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada’);

Ejercicio 7 Usar el m´etodo de la divisi´ on directa para obtener la transformada z inversa. Decidir si el sistema es estable o no. ¿Por qu´e? Mostrar el diagrama de polos y ceros en el plano z. Si el sistema es inestable, implementar la modificaci´ on necesaria para que deje de serlo.

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X(z) =

z −1 (1 − z −2 ) (1 + z −2 )2

Primero, expreso X(z) en polinomios de z −1 : X(z) =

z −1 − z −3 1 + 2x−2 + z −4

Luego, efectuando la divisi´ on: +z −1 −z −1

−z −3 −2z −3 −3z −3 +3z −3

−z −5 −z −5 +6z −5 +5z −5 −5z −5

/1 + 2z −2 + z −4 z −1 − 3z −3 + 5z −5 − 7z −7 + 9z −9 − · · ·

+3z −7 +3z −7 −10z −7 −5z −9 −7z −7 −5z −9 ... ... P∞ Comparando directamente X(z) = 0 x(k)z −k , tenemos x(0) = 0 x(1) = 1 x(2) = 0 x(3) = −3 x(4) = 0 x(5) = 5 x(6) = 0 x(7) = −7 x(8) = 0 x(9) = 9 .. . Como vemos, la secuencia x(n) es alternadamente creciente; por lo tanto, el sistema es inestable. Graficamos los polos y ceros de X(z) mediante la siguiente secuencia de comandos: num=[0 1 0 -1 0]; den=[1 0 2 0 1]; zplane(num,den);

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Confirmamos con el diagrama de polos y ceros que el sistema es inestable, ya que posee polos m´ ultiples sobre el c´ırculo unitario (es condici´ on suficiente, p´ag. 183 del libro de Ogata).

Ejercicio 8 Encuentre la transformada inversa Z utilizando el m´etodo de expansi´on en fracciones parciales y con el Matlab (comando residuez). X(z) =

z −1 (0, 5 − z −1 ) (1 − 0, 5z −1 )(1 − 0, 8z −1 )

Multiplicamos numerador y denominador por z 2 y luego, divido ambos miembros por z para expresar X(z)/z en potencias de z: 0, 5(z − 2) X(z) = z z(z − 0, 5)(z − 0, 8) La funci´on expandida tendr´ a la forma: X(z) =

a1 a2 a3 + + z − 0, 5 z − 0, 8 z

donde los coeficientes son:   Y (z) a1 = (z − 0, 5) · =5 z z=0,5   Y (z) a2 = (z − 0, 8) · = −2, 5 z z=0,8   Y (z) a3 = (z) · = −2, 5 z z=0 Reemplazando y multiplicando ambos miembros por z: X(z) =

2, 5 5 − − 2, 5 1 − 0, 5z −1 1 − 0, 8z −1

La descomposici´ on en fracciones parciales podr´ıa haberse realizado con Matlab, de la siguiente manera: num=[0 .5 -1]; % En potencias asc. de z^{-1} o desc de z den=[1 -1.3 .4]; [R,P,K]=residuez(num,den) R = -2.5000 5.000 P = 0.8000 0.5000 K = -2.5 Por simple inspecci´ on de la tabla, la transformada inversa resulta: x(k) = 5 · (0, 5)k − 2,5 · (0, 8)k − 2, 5 · δ(k)

(5)

que es el resultado de la ecuaci´ on en diferencias en forma cerrada. Para verificar el resultado, puedo compararlo con el m´etodo de Matlab. N=30; delta=[1 zeros(1,N)] %Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada for k=1:N+1 x(k)=5*(0.5)^(k-1)-2.5*(0.8)^(k-1)-2.5*delta(k); Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007

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end k=0:N; subplot(2,1,1); stem(k,x); title(’Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada’); %Metodo Matlab num=[0 .5 -1]; den=[1 -1.3 .4]; n=0:1:N; x=[1 zeros(1,N)]; y=filter(num,den,x); subplot(2,1,2); stem(n,y,’r’); title(’Metodo Matlab’);

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