Transformada Z Ejemplos

Transformada Z 

Ejemplos 2.

Ejemplos de cálculo

Antitransformada Z.

2.1. Determinar la secuencia secuencia unilateral derecha x[n] calculando la antitransformada antitransformada de X(z)

1. Transformada Z. 1.1. Calcular la transformada transformada Z de x[n], por definición, definición, indicando la región región de convergencia convergencia  x n 

 π   = cos  n u [n ] 2 

2.1.1.

Utilizando la propiedad de diferenciación en el dominio Z.

2.1.2.

Por desarrollo en series de potencias.

2.1.3.

Por expansión en serie de z± mediante división decreciente de polinomios. 1

X( z ) =

Solución: Por definición ∞

 X (z ) =

 x [n ]z − ∑ = −∞

n

n

=

1

∞

∑e 2 =

 j 

π 

2

n

−n

z 

∞

∞

 π  

cos  n u [n ]z − = ∑ ∑ 2  = −∞ =

=

n

∑e 2 =

+

n 0

 j 

π 

2

n

π 

−  j  n 2

−n

z 

=

n 0

1 2

1 1− e

 j 

+

π 

2

z −

1

− j  n

1 2

2

π 

+e

2

2

n 0

n

∞

1

e

1

  1 −1  1 − z    2  

2

z − n

W ( z ) 1

1− e

Solución: 2.1.1. Utilizando una función auxiliar W(z) con W (z)=X(z)

=

− j 

=

π 

2

z −

1

1 −2

1 + z 

;

z 

=

>1

Z 

1

  1 −1  1 − z     2  

 1

n

↔ w [n] =   u [n] 2

por propiedad de diferenciación en la frecuencia 1.2. Calcular la transformada Z de las secuencias utili zando las propiedades −2

 π    x 1[n ] = cos (n − 3)u [n − 3] 2 

 π    x 2[n ] = cos− n u [− n]  2 

Solución: Utilizando Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo  X 1(z ) =

z −

3

; 1 < z 

1 + z − 2

 X 2(z ) =

;

1 + z 2

z 

1 −2

1 + (4z )

n

∂W ( z ) 1 −1  1 −1  Z   1 = z  1 − z   ↔ nw [n ] = n   u [n] ∂z  2   2   2

Si a la función anterior la llamamos V(z)=–z ∂W(z)/ ∂z, entonces X(z) puede escribirse escribirse en la forma X(z)=2zV(z), X(z)=2zV(z), y por propiedad del desplazamiento desplazamiento en el tiempo

2.1.2.

= 1+

1 1 16

z − 2

;

z 

<

1 1 1 = v  = z − ⇒  X (v ) = 2 (1 − v )2

1 4

 X ( z ) =

∞

 1

∑= [n + 1] 2 

n 0

2.1.3.

n +1

u [n + 1]

Tomando una variable intermedia v

 X (0) = 1  X ' (0) = 2 ∞  ⇒ ⇒  X (v ) = ∑ [n + 1]v n = ' ' ( 0 ) 6  X  n =0   X ( n ) (0) = (n + 1)!