Transformada Discreta de Fourier CON MATLAB

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis de Fourier. Transforma una función matemática en otra, obteniendo una representación en el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio del tiempo. Los algoritmos FFT se utilizan tan habitualmente para calcular DFTs que el término "FFT" muchas veces se utiliza en lugar de "DFT" en lenguaje coloquial. Formalmente, hay una diferencia clara: "DFT" hace alusión a una transformación o función matemática, independientemente de cómo se calcule, mientras que "FFT" se refiere a una familia específica de algoritmos para calcular DFTs.

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER CON MATLAB En Matlab la Transformada de Fourier Discreta DFT de x(n) se calcula con el comando: Xn = fft (Xk) La secuencia de N números complejos x0,..., xN−1 se transforma en la secuencia de N números complejos X0,..., XN−1 mediante la DFT con la fórmula: N−1

Xk= ∑ Xne

− j 2 πkn N

k =0, … , N −1

n=0

Donde j es la unidad imaginaria y

e

j2π N

es la N-ésima raíz de la unidad. (Esta

expresión se puede escribir también en términos de una matriz DFT; cuando se escala de forma apropiada se convierte en una matriz unitaria y Xk puede entonces ser interpretado como los coeficientes de x en una base ortonormal.) La transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) viene dada por:

Xk = ifft (Xn) Y su ecuación matemática es dada por la siguiente ecuación:

Xn=

1 N

N−1

∑

Xk e

j 2 πkn N

n=0, … , N −1

k=0

ALGORITMO PARA REALIZAR TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

clear clc Xn=input('Ingresar datos de Xn: ','s'); %defino la secuencia Xn a=str2num(Xn); %str2num extrae los componentes digitados por el usuario disp('LA SECUENCIA DE X[n] ES: '); %imprime el mensaje en la pantalla disp(a); %imprime el vector Xn en pantalla sin imprimir el nombre N=length(a) %cuenta el número de dígitos que están en Xn k=0:length(a)-1 %cuenta la secuencia de k Xk=fft(a); %comando para hallar Transformada de Fourier Discreta disp('LA SECUENCIA DE X[k] ES: '); %imprime el mensaje en la pantalla disp(Xk); %imprime el vector Xk en pantalla sin imprimir el nombre subplot(221) %cuadro superior izquierdo stem(k,real(Xk),'markerfacecolor','r'); %grafica de la parte real en Xk title('Parte real de X(k)') %titulo de la parte real en Xk grid subplot(223) %cuadro inferior izquierdo stem(k,imag(Xk),'markerfacecolor','b') %grafica de la parte imag en Xk title('Parte imaginaria de X(k)') %titulo de la parte imaginaria en Xk

grid %RECUPERAR LA SEÑAL X(N) TRANSFORMADA INVERSA Xn=ifft(Xk); %hallar Transformada inversa de Fourier Discreta subplot(222) %cuadro superior derecho stem(k,real(Xn),'markerfacecolor','r'); %parte real de Xn title('Parte real de x(n)') %titulo de la parte real de xn grid subplot(224) %cuadro inferior derecho stem(k,imag(Xn),'markerfacecolor','b'); %parte Imag de Xn title('Parte imaginaria de x(n)') %titulo de la parte imaginaria en Xn grid Xk=input('Ingresar datos de Xk: ','s'); %defino la secuencia Xn a=str2num(Xk); %str2num extrae los componentes digitados por el usuario disp('LA SECUENCIA DE X[k] ES: '); %imprime el mensaje en la pantalla disp(a); %imprime el vector Xn en pantalla sin imprimir el nombre N=length(a) %cuenta el número de dígitos que están en Xn n=0:length(a)-1 %cuenta la secuencia de k Xn=ifft(a); %comando para hallar Transformada de Fourier Discreta disp('LA SECUENCIA DE X[n] ES: '); %imprime el mensaje en la pantalla disp(Xn);

Ejemplo: sea la secuencia de X[n]= [ 1 2 1 0 ] hallar su transformada discreta de Fourier mediante un algoritmo en Matlab, además de eso plasmar en una gráfica su parte real e imaginaria. Solución en Matlab… Ingresar datos de Xn: 1 2 1 0

LA SECUENCIA DE X[n] ES: 1 N=

4

k=

0

1

2

2

0

3

LA SECUENCIA DE X[k] ES: [ 4 + 0i

Graficas

1

0

-

2i

0

+

0i

0

+

2i ]

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

DILSON ZULETA MOLINA HUGO SOSA MARCOS LÓPEZ GUERRA

INGENIERO VICENTE OROZCO

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR FACULTA INGENIERIA Y TECNOLOGIA INGENIERIA ELECTRONICA

ANALISIS DE SEÑALES 04/11/2014