Transformada de Z y Sistemas de Control Digital

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Objetivo • Describir los procedimientos para migrar de los sistemas en tiempo continuo a los sistemas en tiempo discreto (digitales) usando la transformada Z. • Identificar las diferencias, ventajas y desventajas de los controladores digitales respecto a los analógicos.

Introducción En esta sesión se explicarán los sistemas digitales (discretos) y su aplicación a los sistemas de control. Se explicará la teoría de la Transformada Z, herramienta muy útil en el análisis de sistemas discretos y cómo aplicarla a sistemas en tiempo continuo. Se explicará la simulación en MATLAB y la influencia de la tasa de muestreo de señales en la respuesta de salida de un sistema.

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

1

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

5.1 Transformada Z Transformada Z y sistemas de control digital Comenzamos con el desarrollo de las características y funcionamientos principales de la transformada Z. Transformada Z Todos los sistemas digitales modernos tienen señales de entrada y salida que no son funciones en el dominio del tiempo continuo, sino que son una secuencia de pulsos. Esto es que han sido muestreadas a intervalos de tiempo regulares y cuyo valor depende de su magnitud en ese intervalo finito específico. La transformada Z nos permite estudiar los sistemas de control en tiempo discreto y es un análogo de la transformada de Laplace, para sistemas en tiempo continuo. En la siguiente figura se observa un sistema de muestreo de datos:

Fig. Sistema de muestreo de señales. W. Bolton. Ingeniería de Control 2ª Edición. Editorial Alfaomega. La entrada es la señal analógica (en tiempo continuo), esta señal se convierte en discreta a través de un convertidor análogo digital. El procesador aplica el control sobre el sistema y su señal de salida, se envía a un convertidor digital análogo que la hace de nuevo continua en el tiempo. El reloj alimenta un pulso cada T segundos, y cada que el ADC recibe un pulso, este muestrea la señal de error, de esta forma, decimos que T es nuestro periodo de muestreo. Considera una señal en tiempo continuo etc, donde:

la cual es muestreada en los tiempos

,

• T es el periodo de muestreo. Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

2

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital • El valor de

se toma durante un intervalo muy corto

saber hacer para competir

de modo que su valor se pueda

considerar constante. • La salida es una serie de pulsos a intervalos regulares y al valor de Matemáticamente:

Donde es el valor de la función en así sucesivamente, de modo que se puede sobrescribir:

es el valor de la función en

Fig. Proceso de muestreo. W. Bolton. Ingeniería de Control 2ª Edición. Editorial Alfaomega. Considera una señal analógica que es solamente un impulso unitario en señal muestreada sería: Un impulso unitario en Ahora, un impulso en

se puede escribir como

La salida de dicha

Puesto que

esto es

tendría una serie de pulsos:

Y podría representarse como

El término

indica que la función impulso

se presenta en Para una función de escalón unitario en

la serie que producen los pulsos es:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

3

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

La secuencia es la suma de los impulsos en representar:

saber hacer para competir

etcétera y por ello la podemos

Entonces, en conclusión, la señal en tiempo continuo es una serie de impulsos donde se presenta en 0 y se escribe como y se escribe como es:

es un impulso retrasado en un

y así sucesivamente, de modo que la señal de datos muestreados

Si calculamos la transformada de Laplace de un impulso en en el tiempo función

es

en el tiempo

es

es 1, en el tiempo

es

de modo que la transformada de Laplace de la

muestreada es:

Si hacemos ahora

entonces podemos escribir la transformada como:

Esto se denomina transformada Z Ejemplo: Calcula la transformada Z de un escalón unitario muestreado, el cual tiene

para todos

los valores de t mayores que 0.

Esta serie entonces puede representarse como:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

4

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

En Matlab:

Transformada Z inversa Formalmente, la transformada inversa de una función de variable compleja se define como:

Donde la integral se calcula sobre una curva cerrada simple C positivamente orientada que encierra el origen y que cae en la región de convergencia (ROC) de X(z) . A pesar de la definición, es más conveniente calcular la transformada Z inversa buscando las señales que tienen como transformada Z a la expresión X(z) . Ejemplo 1: Calcula la transformada inversa de:

Primeramente, es mejor trabajar con fracciones parciales, entonces aplicamos X(z)/z:

Encontrando los valores de A, B, C y D, tenemos que la expresión nos queda:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

5

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Aplicando las reglas de las transformadas Z y las tablas entonces:

Ejemplo 2 Dado el siguiente procesador de tiempo discreto de condiciones iniciales nulas, calcula la función de transferencia.

(a) Diagrama de bloques del promediador móvil Aplicando el álgebra de bloques, tenemos:

Ahora calculamos la transformada Z de nuestro sistema:

Entonces, la función de transferencia H(z) está dada por:

En MATLAB:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

6

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

La función “kroneckerDelta” está definida matemáticamente como:

Utiliza “help kroneckerDelta” en MATLAB para saber más de cómo usarla. En este caso nos ayuda a representar ecuaciones en diferencias. Ejemplo 3 Se tiene un sistema dado por la siguiente ecuación en diferencias: Calcula la función de transferencia del sistema y encuentra la secuencia de respuesta ante una muestra unitaria Primeramente, calculamos la transformada Z del sistema La función de transferencia es:

H(z) es igual a la transformada z de la respuesta a la muestra unitaria

. Escribiendo H(z)

en forma completa, se obtiene: Por lo que la secuencia a la muestra unitaria del sistema es: En MATLAB:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

7

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Ejemplo 4 Se tiene que un sistema cuenta con la siguiente función de transferencia.

Calcula su ecuación en el dominio del tiempo. Primero vamos a desarrollar la función de transferencia: Dividiendo todo entre z3 tenemos: Ahora multiplicando todo por

tenemos:

Entonces podemos obtener por medio de tablas: De donde:

Ejemplo 5 Se tiene el siguiente sistema representado en diagrama de bloques:

G1 (s) = Sistema en Tiempo Continuo

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

8

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Calcula la función de transferencia desde Ud(z) hasta Yd(z) para el siguiente caso:

La respuesta al escalón del sistema está dada por:

Para calcular

usamos las muestras de la señal

es decir:

Finalmente nuestra función de transferencia Hd(z) está dada por: En MATLAB:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

9

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

5.2 Sistemas de tiempo continuo a tiempo discreto y simulación con MATLAB Para transformar un sistema de tiempo continuo a un sistema de tiempo discreto, podemos apoyarnos de MATLAB. • El comando c2d(sys,Ts) crea un sistema en tiempo discreto a partir de un sistema de tiempo continuo a la tasa de muestreo indicada. • Un sistema en tiempo discreto obedece las mismas reglas de simulación de MALTAB y SIMULINK, por lo que podemos conocer su respuesta en el tiempo mediante comandos como STEP, IMPULSE, etc., o simular el sistema en SIMULINK mediante diagramas de bloques. En el siguiente ejemplo observarás el sistema de tiempo continuo a tiempo discreto y simulación con MATLAB. Ejemplo Se tiene la siguiente ecuación de planta:

a) Convierte el sistema a tiempo discreto usando la transformada Z y un muestreo de 2 Hz. (Hz = 1/t) b) Simula y el sistema ante un escalón unitario. Primeramente, debemos hacer nuestro sistema en tiempo continuo en MATLAB:

Nuestro sistema entonces es, usando la transformada Z:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

10

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Para simular el sistema ante un escalón unitario, usamos el comando STEP:

Como podemos ver, la señal de salida es una señal “digital” donde la salida tiene valores discretos en 0.5T de acuerdo a nuestra tasa de muestreo. Al anterior sistema, vamos a calcularle un controlador PID y explicaremos cómo discretizarlo. Primeramente debemos calcular la frecuencia crítica y el periodo crítico del sistema: De la ecuación característica

sustituyendo

tenemos:

Donde:

El periodo crítico se obtiene de:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

11

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

La función de transferencia del PID es:

Que se puede sobre escribir.

Sabemos que Kcr = 30 y que Pcr = 2.81 seg, por lo que de la tabla calculamos:

Por lo que la función de transferencia del controlador es:

Nuestro sistema se vería:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

12

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Y la función de transferencia, mediante el álgebra de bloques nos da:

Vamos a analizar la respuesta en tiempo continuo y en tiempo discreto (2Hz) de muestreo. Después veremos cómo se afecta la señal de salida ante diferentes tasas de muestreo. Primeramente, nuestro sistema en tiempo continuo y su respuesta ante un escalón unitario sería:

Ahora vamos a discretizar nuestro sistema con una frecuencia de muestreo de 2Hz:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

13

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

La respuesta ante el escalón unitario es:

Como se aprecia, la respuesta es la misma, pero la señal discreta solo tiene valores en 0.5T (2Hz). ¿Qué pasa si hacemos ahora el muestreo a 10 Hz (0.1 s)?

La respuesta del sistema ante un escalón unitario sería:

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

14

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Como se observa, a mayor velocidad de muestreo, tenemos más muestras por unidad de tiempo (mayor “resolución”) y esto genera una mejor señal de salida discreta.

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

15

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Conclusión En esta sesión se explicó la teoría alrededor de la transformada Z y su aplicación a los sistemas de tiempo continuo para analizar estos sistemas en tiempo discreto. La transformada Z tiene aplicaciones en los sistemas de control digital ya que las señales analógicas, deben ser convertidas a señales discretas. Se explicaron los convertidores AD y DA y como convertir sistemas de tiempo continuo a tiempo discreto en MATLAB así como la influencia del tiempo de muestreo en la señal de salida de un controlador o de una señal.

Glosario Modelo matemático: Formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. Sistema de control: Es un conjunto de sistemas que se encargan de ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema para obtener los resultados deseados de acuerdo a una señal de entrada. Ganancia: La ganancia es la amplificación o atenuación de la perturbación en el interior del proceso y no tiene interferencia con las características de tiempo de respuesta. Diagrama de bloques: Muestra gráficamente las funciones de cada uno de los componentes del sistema de control. Tal diagrama se encarga de mostrar las relaciones que existen entre los diferentes componentes del sistema. Tiempo de retraso: El tiempo muerto de un sistema, es el retraso que se tiene desde la aplicación de la entrada hasta que el sistema empieza a generar una salida correspondiente a la acción de la entrada. Tiempo de transición: La respuesta transitoria es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo Constante de tiempo: Es la constante que nos indica el tiempo que tardará la salida del sistema para tener un 63% de su valor final. Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

16

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Tiempo de muestreo: Intervalo de tiempo para el cual el valor de una función continua en el tiempo se discretiza y adquiere un valor constante durante el intervalo de tiempo del muestreo . DAC & ACD: Convertidor análogo digital o viceversa. Convierten señales continuas en el tiempo a señales discretas o viceversa. DAQ: Sistema de adquisición de datos. Sirve para leer y almacenar los datos de las señales muestreadas a partir de una señal análoga. Lazo abierto: Es aquel sistema en que solo actúa el proceso sobre la señal de entrada y da como resultado una señal de salida independiente a la señal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que este pueda ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador. Lazo cerrado: Son los sistemas en los que la acción de control está en función de la señal de salida. Los sistemas de circuito cerrado usan la retroalimentación desde un resultado final para ajustar la acción de control en consecuencia. Estabilidad del sistema: Capacidad del sistema para producir una salida de magnitud finita ante una entrada de magnitud finita. Polos: Raíces del polinomio del denominador de la función de transferencia. Indican la estabilidad del sistema, si una de estas raíces tiene parte real positiva, el sistema es inestable. Ceros: Raíces del polinomio del numerador de la función de transferencia. Indican si el sistema será críticamente estable o estable. Error en estado estable: Es la diferencia entre el valor de la señal de salida real contra el valor de salida esperado. Este error se realimenta al sistema de lazo cerrado para ajustar la salida y minimizarlo.

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

17

Control automático

Sesión 5 Transformada Z y sistemas de control digital

saber hacer para competir

Bibliografía Katsuhiko Ogata 1997. Dinámica de Sistemas 6ª Edición. Editorial Prentice Hall. Katsuhiko Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, 2ª Edición. Editorial Prentice Hall. Katsuhijo Ogata. Ingeniería de Control Moderna 3ª Edición. Editorial Pearson. W. Bolton. Ingeniería de Control 2ª Edición. Editorial Alfaomega. Universidad de Buenos Aires, Facultad de Ingeniería. Tema 1: Discretizacion. Disponible en PDF en la web: http://materias.fi.uba.ar/7609/material/Clase%2002/03%20a%20Sistemas%20Discretos.pdf Tratamiento Digital de Señales: Capitulo 3: Transformada Z. Libro disponible en PDF en la web: https://books.google.com.mx/books?id=jkhyWjmJBGUC&pg=PA119&lpg=PA119&dq=rlc+transfor mada+z&source=bl&ots=RnRv70b8nn&sig=CwPitO6-8v3parAl05ZN4v-esQU&hl=en&sa=X&redir_ esc=y#v=onepage&q=rlc%20transformada%20z&f=false Universidad Industrial de Santander, Facultad de Ciencias: La Transformada Z y algunas aplicaciones. Disponible en PDF en la web: http://repositorio.uis.edu.co/jspui/ bitstream/123456789/7226/2/116771.pdf Universidad de Buenos Aires, Departamento de Matemáticas. Transformada Z, Disponible en PDF en la web: http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/TZ00.pdf Universidad de Valencia, Departamento de Ingeniería. Tema 4: Transformada Z. Disponible en PDF en la web: http://ocw.uv.es/ingenieria-y-arquitectura/1-1/tema4.pdf

Universidad Tecnológica Santa Catarina

• Educación a Distancia •

18