Transformada de Laplace en Sistemas de Control Automático

Transformada de Laplace en sistemas de control cont rol automático

TRANSFORMADA DE LAPLACE La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una ariable de entrada en otra función en otra ariable. La transformada de Laplace puede ser usada para resoler Ecuaciones !iferenciales Lineales y Ecuaciones "ntegrales. #unque se pueden resoler alg$n tipo de E! con coeficientes ariables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. %n requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma E!. &u mayor enta'a sale a relucir cuando la función en la ariable independiente que aparece en la E! es una función seccionada. (uando se resuelen E! usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodolog)a consiste en aplicar la transformada a la E! y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de a*ora consiste en encontrar una función en la ariable independiente tenga una cierta e+presión como transformada.

Definición de la Transformada Transformada &ea f una función definida para

, la transformada de Laplace de ft- se define

como

cuando tal integral conerge

Notas . La letra s representa representa una una nuea nuea ariable, ariable, que para el proceso de integracion integracion se considera constante /. La transformada transformada de Laplace Laplace conierte conierte una una funcion funcion en t en una una funcion funcion en la ariable s 0. (ondiciones (ondiciones para para la e+istencia e+istencia de la transformada transformada de una una función1 función1

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!e orden e+ponencial

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(ontinua a tro2os

En ingenier)a es usual describir los sistemas lineales mediante sus funciones de transferencia en e2 de con sus ecuaciones diferenciales de la forma. 3or e'emplo el siguiente sistema de control mediante retroalimentación, dado por el siguiente diagrama

En este sistema buscamos obtener la

solución transformada 42-

mediante

"nicialmente

el

siguiente

proceso.

52- a partir del sistema dado por la

función

de

obtenemos transferencia

F2-. La función 52- se transforma en el sistema dado por 62- obteniéndose &2-. Fi7 nalmente E2- 8 42- 9 &2-, que a su e2 uele a ser utili2ada para obtener una nuea 5 2- mediante el proceso dado por la función de transferencia F2-. :uscamos la función de transferencia

3ara ello utili2amos que

(omo

de donde

 # partir de esta función de transferencia puede la estabilidad del sistema de control por  retroalimentación planteado calculando los polos de T2-.

3or e'emplo, supongamos que

Es inmediato er 

que

y resolviendo la ecuación

obtenemos como posibles ra)ces , por lo que el sistema será inestable. #demás, podemos e+presar la ecuación diferencial lineal que define el sistema teniendo en cuenta que

de donde

y definiendo y sabiendo como se construye la función de transferencia, tenemos que el sistema endrá dado por las ecuaciones

3ara finali2ar, podemos comprobar el carácter inestable del sistema de retroalimentación del e'emplo anterior considerando la función rampa

cuya gráfica es

Entonces su Transformada de Laplace es

de donde la Transformada de Laplace de + iene dada por 

Otenemos su Transformada inversa

donde

de la función + en en interalo ;, /al de entrada ó referencia. E&-1 Transformada de Laplace de la se>al de error. (&-1 Transformada de Laplace de la se>al de salida ó ariable controlada. 6&-1 Función de transferencia directa reguladorC accionador C proceso-. :&-1 Transformada de Laplace de la se>al realimentada. H&-1 Función de transferencia del bucle de realimentación

Estailidad$ Sistema estale$ Es aquel que permanece en reposo a no ser que se e+cite por una fuente e+terna, en cuyo caso alcan2ará de nueo el reposo una e2 que desapare2can las e+citaciones.

Condiciones de estailidad$ 3ara que el sistema sea estable, las ra)ces de

su ecuación caracter)stica sus polos- deben estar situadas en la parte negatia del plano comple'o de Laplace.

 #plicaciones actuales del control en "ngenier)a #eronáutica

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(randes estructuras es#aciales. Es frecuente escuc*ar que el despliegue de una antena o telescopio en el espacio *a ocasionado algunos problemas técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso que *an inutili2ado completamente la estructura. Estos despliegues y acoplamientos de componentes deben basarse en el control.

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Control de la comustión . &e trata de un tema releante en la industria aeronáutica y aeroespacial en las que se *ace imprescindible controlar las inestabilidades en la combustion que, normalmente, iene acompa>ada de perturbaciones ac$sticas considerables. En el pasado se *a reali2ado el énfasis en los aspectos del dise>o, modificando la geometr)a del sistema para interferir la interacción, combustión7ac$stica o incorporando elementos disipatios. El control actio de la combustión mediante mecanismos térmicos o ac$sticos, es un tema en el que casi todo está por e+plorar 

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Control de Fluidos . &e trata de un problema con muc*a importancia en aeronáutica puesto que la dinámica estructural del aión en sus alas, por e'emplo- está acoplada con el flu'o del aire en su entorno. #unque en los aiones conencionales se puede en gran medida ignorar este acoplamiento, es probable que los aiones del futuro tengan que incorporar

mecanismos de control para eitar la aparición de turbulencias en torno a las alas. !esde un punto de ista matemático casi todo está por *acer, tanto en lo que respecta a la modeli2ación, al control y a los aspectos computacionales.

LOS PACS Los ingenieros de grandes compa>)as con la tarea de resoler los problemas de ba'o rendimiento computacional y aumentar las capacidades básicas de los 3L(s fueron los que consideraron las 3(s para control industrial para obtener la fle+ibilidad ofrecida por  softDare y el *ardDare de alto niel. &in embargo, utili2ar las 3(s para control industrial en aquella época también significa lidiar con debilidades in*erentes como estabilidad, confiabilidad, y *erramientas de programación no familiares. El paso eolutio obio en estas *erramientas fue el desarrollo de productos que ofrecen la enta'a en ambas plataformas. (ompa>)as como AocDell, &iemens, 6E Fanuc, y :ec*off ieron la necesidad de estos dispositios y *oy d)a ofrecen plataformas completas basándose en este concepto. Los nueos controladores resultantes, dise>ados para lograr aplicaciones más especiali2adas, combinan lo me'or de las caracter)sticas 3L( con lo me'or de las caracter)sticas de las 3(s. El analista industrial #A( nombró a estos dispositios controladores de automati2ación programable, o 3#(s.

3456 ES 5N PAC7 %n 3#( 3rogrammable #utomation (ontroller- es una tecnolog)a industrial orientada al control automati2ado aan2ado, al dise>o de equipos para laboratorios y a la medición de magnitudes análogas. El 3#( se refiere al con'unto formado por un controlador una (3% t)picamente-, módulos de entradas y salidas, y uno o m$ltiples buses de datos que lo interconectan todo. Este controlador combina eficientemente la fiabilidad de control de un autómata o 3L( 'unto a la fle+ibilidad de monitori2ación, cálculo y desempe>o de un computador  industrial. Los 3#(s pueden utili2arse en el ámbito inestigador y de laboratorios, pero es sobre todo en el industrial, para control de máquinas y procesos, donde más se utili2a. # destacar los siguientes1 m$ltiples la2os cerrados de control independientes, la2os de control robusto, adquisición de datos de precisión, análisis matemático y memoria profunda, monitori2ación remota, isión artificial, control de moimiento y robótica, seguridad controlada, administración de recursos #A3 o , entre otros.

Los 3#(s de se comunican usando los protocolos de red abiertos como T(3"3 u G3(. Espec)ficamente los 3#(s :ec*off prácticamente están abiertos a todos los protocolos industriales como lo son Et*er(#T, Lig*tbus, 3AGF":%& !3  FM&, "nterbus, (#open, Multi7Master , !eiceet, (ontrolet, Modbus, Fipio, ((7Lin, &EA(G& A&/0/A&IJK, Et*ernet T(3  "3, Et*ernet  "3, 3AGF"ET, %&:, entre otros.

3456 ES 5N PLC7 El 3L( es un dispositio electrónico que puede serprogramado por el usuario y se utili2a en la industria para resoler problemas de secuencias en la maquinaria o procesos, a*orrando costos en mantenimiento y aumentando la confiabilidad de los equipos. Es importante conocer sus generalidades y lo que un 3L( puede *acer por tu proceso, pues podr)as estar gastando muc*o dinero en mantenimiento y reparaciones, cuando estos equipos te solucionan el problema y se pagan sólos.  #demás, programar un 3L( resulta bastante sencillo. #nteriormente se utili2aban los sistemas de releadores pero las desenta'as que presentaban eran bastantes más adelante mencionaremos algunas. La *istoria de los 3L( nos dice que fueron desarrollados por "ngenieros de la 6M( 6eneral Motors (ompany- para sustituir sus sistemas basados en releadores. La palabra 3L( es el acrónimo de (ontrolador Lógico 3rogramable en inglés 3rogrammable Logic (ontroler-.

PLC8S 9 RELE:ADORES Los sistemas de releadores eran utili2ados para un proceso espec)fico, por lo tanto su función era $nica. 3ensar en cambiar el proceso era un caos y el cambio requer)a oler a obtener la lógica de control y para obtenerla se tenia que reali2ar un análisis matemático. También *ab)a que modificar el cableado de los releadores y en algunos casos incluso era necesario oler a *acer la instalación del sistema. En cambio, el 3L( es un sistema de microprocesador en otras palabras una computadora de tipo industrial. Tiene una %nidad central de procesamiento me'or  conocido como (3%, interfaces de comunicación, y puertos de salida y entrada de tipo digital o análogo, etc., y estas son solo algunas de sus caracter)sticas más sobresalientes

CAMPOS DE APL;CAC;ali2ación, etc. La aplicación de un 3L( abarca procesos industriales de cualquier tipo y ofrecen cone+ión a

red esto te permite tener comunicado un 3L( con una 3( y otros dispositios al mismo tiempo, permitiendo *acer monitoreo, estad)sticas y reportes.

:ENTA=AS DEL PLC Hablar sobre las enta'as que ofrece un 3L( es un tema largo, pero aqu) te presentare las más importantes1 •

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Gfrecen las mismas enta'as sobre la lógica cableada, principalmente por su ariedad de modelos e+istentes. Menor tiempo empleado en su elaboración. 3odrás reali2ar modificaciones sin cambiar cableado. La lista de materiales es muy reducida. M)nimo espacio de aplicación. Menor costo. Mantenimiento económico por tiempos de paro reducidos.

LAS F5NC;ONES '>S;CAS DE 5N PLC SON LAS S;(5;ENTES$ • • • • • •

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!etección El 3L( detecta se>ales del proceso de diferentes tipos. Mando Elabora y en)a acciones al sistema seg$n el programa que tenga. !ialogo *ombre maquina Aecibe configuraciones y da reportes al operador de producción o superisores. 3rogramación El programa que utili2a permite modificarlo, incluso por el operador, cuando se encuentra autori2ado.

3or todo esto es eidente que por medio de la implementación de un sistema de control 3L( es posible *acer automático prácticamente cualquier   proceso, me'orar laeficiencia y confiabilidad de la maquinaria, y lo más importante ba'ar  los costos.En suma, se pagan solos.

D;FERENC;AS 9 S;M;L;T5DES ENTRE 5N PAC 9 5N PLC Los 3#(s y 3L(s tienen arias cosas en com$n. "nternamente, ambos incluyen una fuente de potencia, un (3%, un plano trasero o dispositio de E&, y módulos. Tienen registros de memoria que refle'an los canales de E& indiiduales en los módulos. &in embargo, las siguientes diferencias resultan muy significatias. En su estudio de ?6eneralidades de los (ontroladores Lógicos 3rogramables a iel Mundial@, #A( identificó K caracter)sticas principales en los 3#(1

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Funcionalidad de dominio m$ltiple, al menos dos de lógica, moimiento, control 3"!, y proceso en una sola plataforma 3lataforma de desarrollo sencillo de disciplina m$ltiple incorporando etiquetas comunes y una base de datos sencilla para tener acceso a todos los parámetros y funciones Herramientas de softDare que permiten dise>ar flu'o del proceso a traés de arias máquinas o unidades de proceso, 'unto con el "E( 070, gu)a del usuario y administración de datos  #rquitecturas modulares, abiertas que refle'an las aplicaciones industriales a partir  de un despliegue de maquinaria en fábricas en plantas de proceso %so de estándares de la industria para interfases en red, lengua'es, etc., como b$squedas T(3"3, G3( y 5ML, y &NL

:ENTA=AS DE LOS PACs EN LA AD45;S;C;