Transformada de Fourier

 

CÁLCULO IV TRANSFORMADA DE FOURIER

 

CASO 01: ON OND DAS SI SISM SMIC ICAS AS Observa la presentación sobre sismología y ondas sísmicas pro pr ovocad ocadas as po porr terr errem emot otos os,, en la cual ual se des destaca aca la representación represent ación sismográfica de las mismas. https://www.youtube.com/watch?v=TLXBIMTux08 Responde las preguntas: ¿Son periódicas las señales sísmicas del video? ¿Cuá Cuál es la caracterí rísstic tica fundamen enttal de la forma exponencial o compleja de la serie de Fourier? ¿Qué fórmula permite calcular los coeficientes de la serie de Fourier dada en forma exponencial compleja?

 

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  Serie compleja de Fourier

 

  og ogros de la sesión Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante calcula la Transformada de Fourier, utilizando la forma compleja de la integral de Fourier, demostrando coherencia en la ejecución manual y destreza en el manejo de software.

 

Temario 1. Introducción. 2. Transformada de Fourier. 3. Ejemplos.

 

INTRODUCCIÓN Hemo He moss mo mosstr trad ado o có cómo mo podr podría íamo moss expre xpresa sarr un una a fu func nció ión n periódica en términos de una serie de senos y cosenos, es decir, como una serie de Fourier y de esa manera obtener una representación en el dominio de las frecuencias. Sin embargo, la mayoría de las funciones son no periódica, por eso surge la siguiente interrogante:   ¿Es posible extender de

alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de   funciones

no per i ódi ca cass?

 

TRANSFORMADA DE FOURIER La transformada de Fourier  F  f  (t ) de una función f(t) se define como:





   F  f  (t )   F (  jw )     f  (t )e  jwt dt ,

 

(1)



Siempre que exista la integral. De manera similar, definimos la transformada inversa de Fourier de G (  jw) como: 1

 F  G (  jw)   g (t )   

1





  G (  jw)e jwt dt ,

2   

Siempre que exista la integral.

 (2)

 

OBSERVACIÓN: 1. La Lass rel elac aciion ones es (1) (1) y (2) (2) jun juntas consti nstitu tuy yen el par par de TRA TR ASNFORMADAS DE FOURIER y proporciona una tray tr ayect ectori oria a en entre tre las repr represe esent ntaci acione oness del domini dominio o del tiempo t y de la frecuencia w de una función. 2. La ecuación (1) expresa f(t) en el dominio de la frecuencia. 3. Usamo Usamoss la n notaci otación ón F(jw) para la trans transform formada ada de Fouri Fourier er de f(t) en lugar de la alternativa F(w) que también es de uso común.

 

Ejemplo 01: ¿Tiene la función  f  (t )  1   (  una representación     t   ) en trasformada de Fourier?

 

Ejemplo 02: Encuentre la transformada de Fourier de la función   exponencial de una lado  f  (t )   H (t )  e  



at 

  (a  0), donde H(t)

es la función escalón unitario de Heaviside.

 

Ejemplo 03: Encuentre la transformada de Fourier de la función pulso rectangular:

 A,   t   0  f  (t )   0,   t   0

 

BREVE TABLA DE TRANSFORMADA DE FOURIER 

 

 f  (t )

 F  f  (t )     f  (t   )e  jwt dt 





e

 H (t ) 

   at 

 

1

(a  0)

a    jw te

 H (t ) 

   at 

 

( a  0)

 A, t   T   0,  t   T 

1

a   jw

2

2 AT  sin  si n cwT 

2a

  at  

e

  (a   0)

a

2

w

2

 

PROPIEDADES ADES DE LA TRASFORMADA DE FOURIER PROPIED Propiedad De Linealidad: Si f(t) y g(t) son funciones cuyas Transformadas de Fourier son F(jw) y G(jw) respectivamente, y si a y b son constantes entonces:

 F af  (t )  bg (t )    aF    f  (t ) bF  g (t )

Propiedad De Derivación con respecto al tiempo: Si la función f(t) tiene Transform ormada de Fourie rier F(j (jw w) entonces:

 d n  f    n  F   dt  



n

 jw  F  jw

 

OND DAS SI SISM SMIC ICAS AS CASO 01: ON Observa la presentación sobre sismología y ondas sísmicas pro pr ovocad ocadas as po porr terr errem emot otos os,, en la cual ual se des destaca aca la representación represent ación sismográfica de las mismas. https://www.youtube.com/watch?v=TLXBIMTux08 Responde las preguntas: ¿Son periódicas las señales sísmicas del video? ¿Cuá Cuál es la caracterí rísstic tica fundamen enttal de la forma exponencial o compleja de la serie de Fourier? ¿Qué fórmula permite calcular los coeficientes de la serie de Fourier dada en forma exponencial compleja?

 

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