Transformada de Fourier en ingeniería eléctrica

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MÉTODOS OPERACIONALES

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA ELÉCTRICA ELT-266 MÉTODOS OPERACIONALES

CAPÍTULO 3 TRANSFORMADA DE FOURIER Docente: ING. LUCIO MAMANI CHOQUE Gestión: 2020

LA PAZ-BOLIVIA

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INDICE: CAPITULO 3 “TRANSFORMADA DE FOURIER” 3.1

Definición de Convolución

3.1.1

Propiedad conmutativa

3.1.2

Propiedad asociativa

3.1.3

Propiedad distributiva

3.1.4

Elemento neutro de la Convolución

3.1.5

Propiedad inversa

3.1.6

Convolución con el paso unitario

3.1.7

Función del sistema

3.2

Definición y Existencia de la transformada de Fourier

3.3

Propiedades de la transformada de Fourier

3.3.1

Propiedad de linealidad

3.3.2

Propiedad de retardo

3.3.3

Propiedad de modulación

3.3.4

Propiedad de simetría

3.3.5

Propiedad de desplazamiento

3.4

Teorema de la energía (T. Parseval)

3.5

Transformada de Fourier en términos de magnitud y fase

3.6

Transformada de Fourier de una función par e impar

3.7

Transformada de Fourier de función del sistema

3.8

Transformada de Fourier de una señal periódica

3.9

Transformada de Fourier de una derivada

3.10

Aplicaciones de la transformada de Fourier

3.11

Problemas propuestos

ING. LUCIO MAMANI CHOQUE DOCENTE TITULAR INGENIERIA ELECTRICA ELT-243 ELECTROTECNIA GENERAL ELT-266 METODOS OPERACIONALES

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CAP 3 TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1.- Definición. – Sea 𝑆 un conjunto de funciones reales, se define la convolución entre dos funciones reales, como otra función que también pertenece al conjunto 𝑆 de la siguiente manera. Sea: 𝑝 ∧ 𝑞 ∈ 𝑆 → 𝑟(𝑡) ∈ 𝑆 ∞

𝑟(𝑡) = 𝑝(𝑡) ∗ 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑝(𝜆)𝑞(𝑡 − 𝜆)𝑑𝜆

( 𝟏)

−∞

3.1.1.- Propiedad conmutativa. – Se demuestra por simple sustitución de variables. En diagramas de bloques implica que la función del sistema ℎ(𝑡) y la señal de salida 𝑦(𝑡) son intercambiables. Es decir:

Generalmente:

La aplicación más importante de la convolución es que nos permite determinar la salida de un sistema, conocidas la señal de entrada y la función del sistema. La señal de salida o respuesta 𝑦 (𝑡 ) = 𝑥 (𝑡 ) ∗ ℎ(𝑡 )

( 𝟐)

Conocer la entrada: 𝑥(𝑡) Conocer la función: ℎ(𝑡)

𝑥 (𝑡 ) ∗ ℎ(𝑡 ) = ℎ (𝑡 ) ∗ 𝑥 (𝑡 )

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( 𝟑)

"𝑚𝑢𝑡𝑢𝑜"

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Donde: 𝑥(𝑡) y ℎ(𝑡) se pueden conmutar como indica la ecuación (2). 3.1.2.- Propiedad asociativa. – 𝑥(𝑡) ∗ [ℎ1 (𝑡) ∗ ℎ2 (𝑡)] = [𝑥(𝑡) ∗ ℎ1 (𝑡)] ∗ ℎ2 (𝑡)

( 𝟒)

Donde el diagrama se le puede escribir de la siguiente manera:

3.1.3.- Propiedad distributiva. – 𝑥(𝑡) ∗ [ℎ1 (𝑡) ± ℎ2 (𝑡)] = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ1 (𝑡) ± 𝑥(𝑡) ∗ ℎ2 (𝑡)

( 𝟓)

3.1.4.- Elemento neutro de la convolución. – El impulso unitario puede considerarse como el elemento neutro en esta operación. 𝑥 (𝑡 ) ∗ 𝛿 (𝑡 ) = 𝛿 (𝑡 ) ∗ 𝑥 (𝑡 ) = 𝑥 (𝑡 )

( 𝟔)

En este caso la función del sistema ℎ(𝑡), es el impulso unitario y se puede apreciar que la respuesta es l misma señal de entrada. Este sistema se denomina SISTEMA IDENTIDAD. 3.1.5.- Propiedad inversa. – Como consecuencia de la anterior propiedad, se puede definir la función inversa de otra manera. 𝑓 (𝑡) ∗ 𝑓 −1 (𝑡) = 𝑓 −1 (𝑡) ∗ 𝑓 (𝑡) = 𝛿 (𝑡)

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( 𝟕)

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3.1.6.- Convolución con el paso unitario. – ∞

𝑡

𝑓 (𝑡) ∗ 𝜇 (𝑡) = ∫ 𝑓 (𝜆)𝜇(𝑡 − 𝜆)𝑑𝜆 = ∫ 𝑓(𝜆)𝑑𝜆 −∞

( 𝟖)

−∞

3.1.7.- Función del sistema. – Se define la función del sistema ℎ(𝑡) como la respuesta de un sistema cuando la entrada es el impulso unitario. La transformada de la función del sistema se denomina función de transferencia, la cual nos permite analizar la estabilidad del sistema, razón por la cual es importante conocer la función del sistema también denominada respuesta del sistema al impulso, es decir:

Operador de La Place:

ℒ

Operador de Fourier:

ℑ

Operador Zeta:

𝓩

ℒ

ℑ {ℎ} = 𝐻 𝒵

;

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂

Ejemplo 1: Para el sistema mostrado determinar la función del sistema

Solución: Aplicando L.V.K. en el circuito: 𝑥 = 𝑅∙𝑖+

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1 ∫ 𝑖 ∙ 𝑑𝑡 → 𝑥 = 𝑅 ∙ 𝑖 + 𝑦 𝐶

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Donde: 𝑦=

1 ∫ 𝑖 ∙ 𝑑𝑡 𝐶

𝑖 (𝑡 ) = 𝐶 ∴

𝑥 =𝑅∙𝐶∙

𝑑𝑦 +𝑦 𝑑𝑡 𝑦′ + 𝑡

1

𝑡

(𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜)

𝑡 1 1 𝑦= 𝑥 //∙ 𝑒 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑅𝐶

𝑦 ′ 𝑒 𝑅𝐶 + 𝑡

𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡

𝑡 1 1 𝑡 𝑦𝑒 𝑅𝐶 = 𝑒 𝑅𝐶 𝑥 𝑅𝐶 𝑅𝐶

𝑡

Pero: 𝑦 ′ 𝑒 ∙𝑅𝐶 + 𝑅𝐶 𝑦 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 = 𝑑 (𝑦 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 ) 𝑡

𝑑 (𝑦 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 ) = 𝑡

∫ 𝑑 (𝑦 ∙ 𝑒 𝑅𝐶 ) =

1 𝑡 𝑒 𝑅𝐶 𝑥 //∫ 𝑅𝐶

𝑡 𝑡 𝑡 1 1 ∫ 𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑡 → ℎ(𝑡) ∙ 𝑒 𝑅𝐶 = ∫ 𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝛿 (𝑡) ∙ 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑅𝐶

Recordando la propiedad impulso: 𝑏

∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝛿 (𝑡 − 𝑡𝑜 ) ∙ 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡𝑜 ) 𝑎

∴

𝒉 ( 𝒕) =

𝟏 −𝒕 𝒆 𝑹𝑪 ∙ 𝝁(𝒕) 𝑹𝑪

Ejemplo 2: Determinar la función del sistema.

Solución: Aplicando L.V.K. en el circuito: 𝑥= Donde: 𝑦(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖

→

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1 ∫ 𝑖 ∙ 𝑑𝑡 + 𝑅 ∙ 𝑖 𝐶

𝑖 = 𝑦/𝑅 Página 6

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𝑥= 𝑥′ =

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1 ∫ 𝑖 ∙ 𝑑𝑡 + 𝑦 // ∙ 𝑑𝑡 𝐶

1 𝑦 1 ∙ + 𝑦′ → 𝑥′ = 𝑦′ + 𝑦 (𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 ) 𝐶 𝑅 𝑅𝐶 𝑦 ′ (𝑡 ) +

1 ℎ (𝑡 ) = 𝛿 ′ (𝑡 ) 𝑅𝐶

(𝜶 )

𝑑ℎ(𝑡) 1 𝑑ℎ(𝑡) 1 =− ℎ (𝑡 ) → ∫ = −∫ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅𝐶 ℎ (𝑡 ) 𝑅𝐶 𝑡 1 𝑡 + 𝑐 → ℎ𝐻 (𝑡) = 𝑐1 ∙ 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝜇 (𝑡) 𝑅𝐶

𝑙𝑛(ℎ(𝑡)) =

ℎ𝑃 (𝑡) = 𝑐2 𝛿 (𝑡) La solución general será: 𝑡

ℎ(𝑡) = ℎ𝐻 (𝑡) + ℎ𝑃 (𝑡) = 𝑐1 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝜇 (𝑡) + 𝑐2 ∙ 𝛿 (𝑡) ℎ′ (𝑡) = 𝑐1 [−

𝑡 1 −𝑡 𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝜇 (𝑡) + 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝛿 (𝑡)] + 𝑐2 ∙ 𝛿′(𝑡) 𝑅𝐶

Reemplazando en la ecuación (𝛼 ): 𝑐1 [−

𝑡 𝑡 1 −𝑡 1 𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝜇 (𝑡) + 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝛿 (𝑡)] + 𝑐2 ∙ 𝛿 ′ (𝑡) + [𝑐1 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝜇 (𝑡) + 𝑐2 ∙ 𝛿(𝑡)] = 𝛿 ′ (𝑡) 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑡

𝑐1 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝛿 (𝑡) + 𝑐2 ∙ 𝛿 ′ (𝑡) + 𝑡

𝛿 (𝑡) [𝑐1 ∙ 𝑒 −𝑅𝐶 + 𝑡

𝑐1 𝑒 −𝑅𝐶 + 𝑡

𝑐2 𝛿 (𝑡) = 𝛿′(𝑡) 𝑅𝐶

𝑐2 ] + 𝑐2 ∙ 𝛿 ′ (𝑡) = 𝛿 ′ (𝑡) 𝑅𝐶

𝑐2 = 0 → 𝑐2 = 1 𝑅𝐶

𝑐1 𝑅𝐶𝑒 −𝑅𝐶 + 𝑐2 = 0 → 𝑐1 𝑅𝐶𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 = −1 → 𝑐1 = − 𝒉 ( 𝒕) = −

1 𝑡 1 𝑒 𝑅𝐶 → 𝑐1 = − 𝑅𝐶 𝑅𝐶

𝟏 −𝒕 𝒆 𝑹𝑪 ∙ 𝝁(𝒕) + 𝜹(𝒕) 𝑹𝑪

Ejemplo 3: Usando convolución, determinar la respuesta del sistema sabiendo que la tensión 𝑡

de entrada es igual a 𝑣𝑖 = 𝑡 ∙ 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝜇(𝑡)

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Solución: 𝑣𝑜 = 𝑣𝑖 (𝑡) ∗ ℎ(𝑡)

(1 )

Calculamos ℎ(𝑡): 𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) + 𝑣′𝑜 =

1 ∫ 𝑖(𝑡) ∙ 𝑑𝑡 𝐶

1 𝑖 → 𝑖 = 𝐶𝑣′𝑜 𝐶

𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑅𝐶𝑣′𝑜 + 𝑣𝑜 𝑣′ 𝑜 +

1 1 𝑣𝑜 = 𝑣 (𝑡 ) 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑖

(𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜)

1

Done el factor integrante será: 𝐹𝐼 = 𝑒 ∫𝑅𝐶𝑑𝑡 𝑡

𝐹𝐼 = 𝑒 𝑅𝐶 𝑡

𝑡 𝑒 𝑅𝐶 𝑣′𝑜

𝑡

𝑒 𝑅𝐶 𝑒 𝑅𝐶 + 𝑣𝑜 = 𝑣 (𝑡 ) 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑖 𝑡

𝑡 𝑑 𝑒 𝑅𝐶 (𝑒 𝑅𝐶 𝑣𝑜 ) = 𝑣 (𝑡 ) 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑖

//∫

𝑡

𝑡 𝑒 𝑅𝐶

𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝑣𝑜 = ∫ [ 𝑣 (𝑡) ∙ 𝑑𝑡 + 𝑘] 𝑅𝐶 𝑖

→

𝑡

𝑒 𝑅𝐶 𝑣𝑜 =

𝑡 1 ∫ 𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝑣𝑖 (𝑡) ∙ 𝑑𝑡 𝑅𝐶

𝑡

𝑡 𝑒 −𝑅𝐶 ∫ 𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝑣𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 𝑣𝑜 = 𝑅𝐶 𝑡

ℎ(𝑡) = 𝑒 −𝑅𝐶 [

𝑡 1 ∫ 𝛿 (𝑡) ∙ 𝑒 𝑅𝐶 𝑑𝑡] 𝑅𝐶

para: 𝑡 = 0 Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE

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∫ 𝛿(0) ∙ 𝑒 0 ∙ 𝑑𝑡 = 1 Donde 𝜇 (𝑡) = Función paso unitario 𝑡

ℎ(𝑡) = 𝑒 −𝑅𝐶 𝑡

𝑣𝑜 = 𝑡𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝜇 (𝑡)

1 −𝑡 𝑒 𝑅𝐶 ∙ 𝜇(𝑡) 𝑅𝐶

En función unitaria se evalúa desde: (0 a 𝑡) y no de (−∞ a ∞): 𝑡

𝑣𝑜 = ∫ 𝜆 ∙ 0

𝜆 𝑒 𝑅𝐶

𝜆 𝑡 𝜆 𝑡 1 −(𝑡−𝜆) 1 𝑡 1 𝑡 − − + 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑅𝐶 ∫ 𝜆∙𝑒 ∫ 𝜆 ∙ 𝑒 −𝑅𝐶 ∙ 𝑑𝜆 𝑒 ∙ 𝑑𝜆 = ∙ 𝑑𝜆 = 𝑅𝐶 𝑅𝐶 0 𝑅𝐶 0 𝑡

1 − 𝑡 𝜆2 𝑣𝑜 = 𝑒 𝑅𝐶 ∙ | 𝑅𝐶 2 0 𝟏 − 𝒕 𝒕𝟐 𝒗𝒐 = 𝒆 𝑹𝑪 𝝁(𝒕) 𝑹𝑪 𝟐 3.2.- Definición de la Transformada de Fourier. – La Transformada de Fourier se deduce a partir de la Serie Compleja de Fourier considerando que el periodo T de la función f(t) que tiende a infinito: Cualquier señal periódica, también puede desarrollarse en serie compleja de Fourier: 𝑛=∞

𝑓 (𝑡) = ∑ 𝑐𝑛 ∙ 𝑒 𝑗𝑛𝜔𝑜 𝑡 𝑛=−∞

Donde: 𝑇/2 1 ∙ ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝑛𝜔𝑜 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇/2

𝑐𝑛 = 𝑛=∞

𝑇

𝑛=−∞

2

2 1 𝑓(𝑡) = ∑ [ ∙ ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝑛𝜔𝑜 𝑡 ∙ 𝑑𝑡] ∙ 𝑒 𝑗𝑛𝜔𝑜 𝑡 𝑇 −𝑇

Consideramos: 𝑇 𝜔𝑜 = 𝑛𝜔𝑜 = 𝜔

→

∞

2𝜋 ; 𝑑𝜔 → 0 𝑇 "𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟"

𝑛=∞

1 1 ∞ 𝑓 (𝑡 ) = ∑ [ ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝑛𝜔𝑜 𝑡 ∙ 𝑑𝑡] 𝑒 𝑗𝑛𝜔𝑜 𝑡 𝜔𝑜 2𝜋 𝑇 −∞ 𝑛=−∞

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𝑓 (𝑡 ) =

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∞ 1 ∞ ∫ [∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡] 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ −∞

Aquí: ∞

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡

( 𝟏)

𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂

( 𝟐)

𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂

−∞

𝑓 (𝑡 ) =

1 ∞ ∫ 𝐹(𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑍 ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞

Existencia de la transformada de Fourier. – Si analizamos la ecuación (1), si 𝑓 (𝑡) converge hacia 𝐹 (𝜔), lo que implica que el cálculo de esa integral es único, entonces debe cumplirse las condiciones de “condiciones de Dirichlet”:   

𝑓 (𝑡): Debe tener un numero finito de máximos y mínimos. 𝑓 (𝑡): Debe tener un numero finito de discontinuidades. 𝑓 (𝑡): Debe ser absolutamente integrado, es decir ∞

∫ |𝑓 (𝑡)|𝑑𝑡 < ∞ −∞

Si 𝑓(𝑡) verifica las tres condiciones de Dirichlet, tiene transformada de Fourier. Esas condiciones son suficientes para incluir virtualmente a todas las señales de energía. Sin embargo, ellas excluyen un número importante de señales, tales como las señales periódicas y la función paso unitario que no son absolutamente integrables. Sin embargo, la inclusión de la función impulso unitario en la Transformada de Fourier facilita que las señales de variación súbita sean manejadas con los métodos de las señales de energía. 3.3.- Propiedades de transformada de Fourier. – 3.3.1.- Propiedad de linealidad. – Es consecuencia directa de la propiedad lineal de las integrales. ℑ{𝑎𝑓1 (𝑡) ± 𝑏𝑓2 (𝑡)} = 𝑎𝐹1 (𝜔) ± 𝑏𝐹2 (𝜔) Ejemplo 4: Calcular las siguientes transformadas. a) Pulso, exponencial, decreciente, unilateral b) Pulso, exponencial, ascendente, bilateral c) Pulso rectangular centrado en el origen, de amplitud A y duración T Solución: a) Analizando mediante la gráfica donde ∄ simetría:

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∞

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∞

𝐹(𝜔) = ∫ 𝐴 ∙ 𝑒 −𝑎𝑡 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝐴 ∫ 𝑒 −(𝑎+𝑗𝜔)𝑡 ∙ 𝑑𝑡 0

0

𝐴 𝐴 ∞ (0 − 1) 𝑒 −(𝑎+𝑗𝜔)𝑡 |0 = − −(𝑎 + 𝑗𝜔) 𝑎 + 𝑗𝜔

𝐹 (𝜔 ) =

𝑭(𝝎) = 𝐴 ∙ 𝑒 −𝑎𝑡 ∙ 𝜇 (𝑡) ⇔

𝑨 𝒂 + 𝒋𝝎

𝐴 𝑎 + 𝑗𝜔

∄ 𝒔𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎

Nota: 𝜇 (𝑡) se utiliza cuando la integral o función es limitada por cero b) Analizando la gráfica (señal par):

𝑓(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑒 −𝑎|𝑡| 0

∞

𝐹(𝜔) = ∫ 𝐴 ∙ 𝑒 𝑎𝑡 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 + ∫ 𝐴 ∙ 𝑒 −𝑎𝑡 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 −∞

0 0

∞

𝐹(𝜔) = 𝐴 [∫ 𝑒

(𝑎−𝑗𝜔)𝑡

−∞

𝐹(𝜔) = 𝐴 [ 𝐹 (𝜔 ) = 𝐴 [

∙ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 −(𝑎+𝑗𝜔)𝑡 𝑑𝑡] 0

1 1 0 ∞ 𝑒 (𝑎−𝑗𝜔)𝑡 |−∞ + 𝑒 −(𝑎+𝑗𝜔)𝑡 |0 ] 𝑎 − 𝑗𝜔 −(𝑎 + 𝑗𝜔)

1 1 𝑎 + 𝑗𝜔 + 𝑎 − 𝑗𝜔 (1 − 0) − (0 − 1)] = 𝐴 ( ) (𝑎 − 𝑗𝜔)(𝑎 + 𝑗𝜔) 𝑎 − 𝑗𝜔 𝑎 + 𝑗𝜔 𝑨 ∙ 𝒆−𝒂|𝒕| =

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𝟐𝑨𝒂 + 𝝎𝟐

𝒂𝟐

"𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑹𝒆𝒂𝒍"

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c) Analizando la gráfica (señal par):

𝑇 2

𝐹 (𝜔) = ∫ 𝐴 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑇 − 2

𝑗𝜔𝑇 𝑗𝜔𝑇 𝐴 −𝑗𝜔𝑡 𝑇2 𝐴 | 𝑇 = − (𝑒 − 2 − 𝑒 2 ) 𝑒 − −𝑗𝜔 𝑗𝜔 2

2𝐴 𝑒 ( 𝐹(𝜔) = 𝜔

𝑗𝜔𝑇 2

− 𝑒− 2𝑗

𝑗𝜔𝑇 2

)

Sabemos que: 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) =

𝑒 𝑗𝜃 − 𝑒 −𝑗𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) ; 𝑆𝑎(𝑥 ) = 2𝑗 𝑥 𝜔𝑇 𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) 𝐹(𝜔) = 𝐴𝑇 𝜔𝑇 2

𝑨 ∙ 𝑷𝑻 (𝒕) ⇔ 𝑨𝑻 ∙ 𝑺𝒂 (

𝝎𝑻 ) 𝟐

"𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑹𝒆𝒂𝒍"

3.3.2.- Propiedad de retardo. – Esta propiedad se utiliza para un tiempo en retardo (𝑡 − 𝑎), como indica a continuación la ecuación correspondiente: 𝑓 (𝑡 ) ↔ 𝐹 ( 𝜔 )

→

𝑓(𝑡 − 𝑎) ↔ 𝑒 −𝑎∙𝑡 ∙ 𝐹 (𝜔)

3.3.3.- Propiedad de modulación. – Es la propiedad fundamental de modulación y es útil en el análisis espectral de las señales procedentes de multiplicadores y moduladores. 𝑓 (𝑡 ) ↔ 𝐹 ( 𝜔 )

→

𝑒 −𝑎∙𝑡 ∙ 𝑓 (𝑡) ↔ 𝐹 (𝜔 + 𝑎)

3.3.4.- Propiedad de simetría. – Tratemos de calcular la transformada de Fourier de la señal de muestreo. ∞

𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) −𝑗𝜔𝑥 ∙𝑒 ∙ 𝑑𝑥 𝑥 −∞

𝐹 (𝜔 ) = ∫

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En este tipo de funciones y situaciones, donde la integral de Fourier es demasiado complicada es conveniente aplicar esta propiedad. 𝑓 (𝑡 ) ⇔ 𝐹 (𝜔 )

Si:

𝑓 (𝑡 ) =

1 ∞ ∫ 𝐹(𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞

𝑓 (𝜔 ) =

1 ∞ ∫ 𝐹(𝑡) ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 2𝜋 −∞

𝐴𝑞𝑢𝑖

(𝜔 → 𝑡 ∧ 𝑡 → 𝜔)

𝐴𝑞𝑢𝑖

(𝜔 → −𝑝)

Comparando con la ecuación (1): ∞

2𝜋𝑓(−𝑝) = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒 −𝑗𝑝𝑡 𝑑𝑡 −∞

Donde: ∞

∫ 𝐹(𝑡)𝑒 −𝑗𝑝𝑡 𝑑𝑡 = ℑ{𝐹 (𝑡)} −∞

𝐹 (𝑡) ⇔ 2𝜋𝑓(−𝑝)

"𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎"

𝐹 (𝑡) ⇔ 2𝜋𝑓(−𝜔)

( 𝟑)

𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂

Ejemplo 5: Calcular la Transformada de Fourier de las siguientes señales: a) 𝑆𝑎 (𝑡) 2 b) 𝑒 −𝑎𝑡 Solución: a) Analizando 𝑆𝑎 (𝑡) Si:

𝑓 ( 𝑡 ) ⇔ 𝐹 (𝜔 ) 𝐴 ∙ 𝑃𝑇 (𝑡) ⇔ 𝐴 ∙ 𝑇 ∙ 𝑆𝑎 ( 𝑃𝑇 (𝑡) ⇔ 𝑇 ∙ 𝑆𝑎 (

𝜔𝑇 ) 2

𝜔𝑇 ) 2

Comparando: 𝐹 (𝑡) ⇔ 2𝜋𝑓(−𝜔) 𝑇 ∙ 𝑆𝑎 ( 𝑇 ∙ 𝑆𝑎 (

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𝜔𝑇 ) ⇔ 2𝜋𝑓(−𝜔) 2

𝑡∙𝑇 ) ⇔ 2𝜋𝑃𝑇 (−𝜔) 2

;

𝑇=2

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2𝑡 2 ∙ 𝑆𝑎 ( ) ⇔ 2𝜋𝑃𝑇 (−𝜔) 2

𝑺𝒂(𝒕) ⇔ 𝝅𝑷𝟐 (𝝎) Gráficamente:

b) La siguiente función representa una campana de Gauss: 𝑒 −𝑎𝑡

0

𝐹 (𝜔 ) = ∫ 𝑒

−𝑎𝑡 2

∞

∙𝑒

−𝑗𝜔𝑡

2

0 ∞

∞

2

𝐹 (𝜔) = ∫ 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 −∞

2

∙ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −𝑎𝑡 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡

−∞ 0

2

→

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑒 −𝑎𝑡

0

2 −𝑗𝜔𝑡

𝑑𝑡

−∞

Completando cuadrados: ∞

𝐹 (𝜔 ) = ∫

𝑗 2 𝜔2 𝑗 2 𝜔2 −(𝑎𝑡 2 +𝑗𝜔𝑡+ ) 4𝑎 4𝑎 𝑒

∞

∙ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒

−∞

2 2√𝑎𝑡𝑗𝜔 𝑗 2 𝜔2 𝑗𝜔 2 −((√𝑎𝑡) + +( ) ) 4𝑎 2 √𝑎 2√𝑎

∙ 𝑑𝑡

−∞ ∞

𝐹 (𝜔 ) = ∫ 𝑒

𝑗 2𝜔2 𝑗𝜔 2 −(√𝑎𝑡+ ) 4𝑎 2 √𝑎

∙ 𝑑𝑡

−∞

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Realizando el C.V.

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𝑗𝜔

√𝑎𝑡 + 2√𝑎 = 𝑢 //∙ 𝑑() ∞

𝐹 (𝜔 ) = ∫

𝑗 2 𝜔2 2 𝑒 4𝑎 −𝑢

√𝑎

−∞

𝑑𝑢

→ 𝑑𝑢

=

MÉTODOS OPERACIONALES

√𝑎𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 → 𝑑𝑡 = √𝑎 𝑒

𝑗 2 𝜔2 4𝑎

√𝑎

∞

2

∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 −∞

Pero: ∞

2

∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = √𝜋 −∞

𝐹 (𝜔 ) =

𝑒

𝑗 2 𝜔2 4𝑎

√𝜋

√𝑎

𝝅 𝝎𝟐 𝑭(𝝎) = √ 𝒆− 𝟒𝒂 𝒂

→

𝒇(𝒕) ↔ 𝑭(𝝎)

𝑭(𝒕) ↔ 𝟐𝝅𝒇(−𝝎)

∶

Ejemplo 6: Calcular la siguiente integral ∞

2

𝐼 = ∫ 𝑒 −𝑎𝑥 ∙ 𝑑𝑥 −∞

Solución: Realizando el respectivo C.V. 𝑢2 = 𝑎𝑥 2 → 𝑢 = √𝑎𝑥 → 𝑑𝑢 = √𝑎 ∙ 𝑑𝑥 → 𝑑𝑥 = ∞

𝐼=∫ 𝑒 −∞

−𝑢 2

𝑑𝑢 √𝑎

∞

=∫

1

−∞ √𝑎

𝑒

−𝑢 2

∙ 𝑑𝑢 =

1 √𝑎

∞

𝑑𝑢 √𝑎 2

∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢 −∞

Donde: ∞

2

∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢 −∞

Conocida como integral de Gaussiana: 2

𝑒 −𝑢 = 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑃𝑎𝑟 ; 𝑥 2 = (−𝑥 )2

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𝑢=𝑥 ∞

∞

2

2

∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢 𝑜 ∫ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑑𝑥 −∞

−∞ 𝑏

𝑑

∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 𝑎

𝑐

Se puede factorizar, si: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥 ) ∙ ℎ(𝑦) 𝑏

𝑑

𝑏

𝑑

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 = [∫ 𝑔(𝑥 ) ∙ 𝑑𝑥 ] ∙ [∫ ℎ(𝑦) ∙ 𝑑𝑦] 𝑎

𝑐

𝑎 ∞

𝑐

2

𝐼 = ∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 //∙ () 2 −∞ ∞

∞

2

∞

2

∞

2

2

𝐼 2 = [∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢] ∙ [∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢] = [2 ∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢] ∙ [2 ∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢] −∞

−∞

0 ∞

0

∞

2

2

𝐼 2 = 4 [∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑥] [∫ 𝑒 −𝑢 ∙ 𝑑𝑢] 0

0

Aplicamos teorema de Fubini: 𝑢 = 𝑥 = 𝑦 ∞ 2

𝐼 = 4 [∫ 𝑒

−𝑥 2

∞

2

𝑑𝑥 ] ∙ [∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦]

0

0

Aplicando integral doble: ∞

∞

2

𝐼 = 4 [∫ ∫ 𝑒 0

−𝑥 2

∙𝑒

−𝑦 2

∞

𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ] = 4 ∫ ∫ 𝑒 −𝑥

0

0 ∞

∞

2

𝐼 = 4∫ ∫ 𝑒 0

Intercambiando el orden:

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∞

−𝑥 2−𝑥 2𝑢 2

2−𝑦 2

0 ∞

𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑑𝑢

∞

𝑥 ∙ 𝑑𝑢 ∙ 𝑑𝑥 = 4 ∫ ∫ 𝑒 −𝑥

0

0

2 (1+𝑢 2)

𝑥 ∙ 𝑑𝑢 ∙ 𝑑𝑥

0

0→∞ ∧0→∞

Página 16

INGENIERÍA ELÉCTRICA ∞

∞

𝐼 2 = 4 ∫ ∫ 𝑒 −𝑥 0

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2(1+𝑢 2)

∞

𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑢 = 4 ∫

0

0 ∞

𝐼2 = 4 ∫ 0 ∞

𝐼2 = 2 ∫ 0

MÉTODOS OPERACIONALES

∞ 1 2 2 ∫ 𝑒 −𝑥 (1+𝑢 ) (−2𝑥(1 + 𝑢2 )) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑢 −2(1 + 𝑢2 ) 0

∞ ∞ 1 ∞ 1 −𝑥 2(1+𝑢 2 ) | −𝑥 2(1+𝑢 2 ) ]| ∫ [𝑙𝑖𝑚 𝑒 ∙ 𝑑𝑢 = −2 𝑒 ∙ 𝑑𝑢 2 2 0 −2(1 + 𝑢 ) 0 0 1 + 𝑢 𝑥→∞

1 𝜋 ∞ | ( ) ( ) ∙ 𝑑𝑢 = 2 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) = 2 (𝒍𝒊𝒎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ∞ − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0 ) = 2 ( ) 0 𝒖→∞ 1 + 𝑢2 2 𝐼 2 = 𝜋 → 𝐼 = √𝜋 𝐼=

√𝜋 √𝑎

𝑰=√

→

𝝅 𝒂

Ejemplo 7: Calcular la transformada de Fourier de un pulso triangular centrado en el origen, de amplitud 𝐴 y duración 2𝑇.

Solución: ℒ1 :

𝑦−0 𝐴−0 = 𝑥+𝑡 0+𝑇

→

𝑦=

𝐴 (𝑡 + 𝑇 ) 𝑇

→

𝑓1 (𝑡) = 𝐴 +

𝑓1 (𝑡) = ℒ2 :

𝑦−0 𝐴−0 = 𝑥−𝑇 −𝑇

𝐴 𝑡 𝑇

𝐴 𝑦 = − (𝑥 − 𝑇 ) 𝑇

→

𝑓2 (𝑡) = 𝐴 −

𝐴 (𝑥 + 𝑇 ) 𝑇

𝐴 𝑡 𝑇

Analizando en la integral: ∞

0

𝐹 (𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = ∫ (𝐴 + −∞

−𝑇

0

𝐹(𝜔) = ∫ 𝐴𝑒

𝑇 𝐴 𝐴 𝑡) 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 + ∫ (𝐴 − 𝑡) 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 𝑇 𝑇 0

0

−𝑗𝜔𝑡

−𝑇

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𝑇 𝑇 𝐴 −𝑗𝜔𝑡 𝐴 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡𝑒 ∙ 𝑑𝑡 + ∫ 𝐴𝑒 ∙ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 −𝑇 𝑇 0 0 𝑇

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0

MÉTODOS OPERACIONALES

𝑇

0 𝑇 𝐴𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝐴𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝐴 −𝑗𝜔𝑡 𝐴 | + | +∫ 𝐹 (𝜔 ) = 𝑡𝑒 ∙ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 −𝑗𝜔 −𝑇 −𝑗𝜔 0 −𝑇 𝑇 0 𝑇

𝐹 (𝜔 ) =

0 𝑇 𝐴𝑒 −𝑗𝜔(0) 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝐴𝑒 −𝑗𝜔𝑇 𝐴𝑒 −𝑗𝜔(0) 𝐴 −𝑗𝜔𝑡 𝐴 + + + +∫ 𝑡𝑒 ∙ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 −𝑗𝜔 𝑗𝜔 −𝑗𝜔 𝑗𝜔 −𝑇 𝑇 0 𝑇

𝐴 𝑗𝜔𝑇 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) + 𝐼1 + 𝐼2 𝑗𝜔

𝐹 (𝜔 ) =

(1 )

Integrando por partes: 𝑢=𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

𝑑𝑢 = 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑢= −𝑗𝜔 0

0

𝐴 −𝑗𝜔𝑡 𝑡𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑡𝑒 −𝑗𝜔𝑡 0 | − 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 |−𝑇 𝐼1 = ∫ 𝑡𝑒 𝑑𝑡 = − +∫ 𝑑𝑡 = − 𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝑗𝜔 −𝑇 −𝑇 𝑇 (0)𝑒 −𝑗𝜔(0) 𝑇𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝑇 𝐼1 = − + − 𝑒 −𝑗𝜔(0) + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 = − ∙ (𝑒 𝑗𝜔𝑇 ) + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 − 1 𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝐼1 = 𝑒 𝑗𝜔𝑇 (1 − 𝐼2 = − 𝐹 (𝜔 ) = 𝐹 (𝜔 ) = 𝐹 (𝜔) = 2𝐴𝑇

𝑇 𝐴 ) − 1 //∙ 𝑗𝜔 𝑇

𝑇 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 + 1 𝑗𝜔

𝐴 𝑗𝜔𝑇 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) + 𝐼1 + 𝐼2 𝑗𝜔

2𝑗𝐴 𝑒 𝑗𝜔𝑇 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 2𝐴 ( )= 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇) 𝑗𝜔 2𝑗 𝜔

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇) 𝜔𝑇

→

𝑭(𝝎) = 𝟐𝑨𝑻 ∙ 𝑺𝒂(𝝎𝑻)

𝑇 (1) − 1 + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝑗𝜔 𝑇 (2) 𝐼2 = − − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 + 1 𝑗𝜔 𝐼1 − 𝐼2 = −2 + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 + 𝑒 −𝑗𝜔𝑇

𝐼1 = −

𝐹 (𝜔 ) =

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𝐴 𝑗𝜔𝑇 2𝑇 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 − 𝑗𝜔 𝑗𝜔

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𝐹 (𝜔 ) =

MÉTODOS OPERACIONALES

𝐴 2𝑇 2𝑗 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇) + 2𝑗 ∙ 𝑠𝑒𝑚(𝜔𝑇) − 𝑗𝜔 𝑗𝜔

𝐹(𝜔) = 2𝐴𝑇 ∙

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇) 2𝑇 + 2𝑗𝜔𝑇 ∙ − 𝜔𝑇 𝜔𝑇 𝑗𝜔 2𝑇 2𝑇 = 𝑆𝑎 (𝜔𝑇)(2𝐴𝑇 + 2𝑗𝜔𝑇) − 𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝐴 + 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 = 2𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇) − 2 + 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑇) 𝑗𝜔

𝐹(𝜔) = 2𝐴𝑇 ∙ 𝑆𝑎(𝜔𝑇) + 2𝑗𝜔𝑇 ∙ 𝑆𝑎 (𝜔𝑇) − 𝐹 (𝜔 ) =

𝐴 𝑗𝜔𝑇 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) − 2 + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝑗𝜔 2𝐴 𝐹 (𝜔 ) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇) + 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑇) − 2 𝜔 𝑇

𝑥𝑒 −𝑗𝜔𝑥 𝑇𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝑇 | − 𝑒 −𝑗𝜔𝑥 |0 = − 𝐼2 = − − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 + 1 𝑗𝜔 0 𝑗𝜔 𝐼1 − 𝐼2 = 𝑒 𝑗𝜔𝑇 (1 −

𝐼1 − 𝐼2 = 𝑒 𝐼1 − 𝐼2 = 𝐹 (𝜔 ) =

𝑗𝜔𝑇

𝑇 𝑇 ) − 1 − (1 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 (1 + )) 𝑗𝜔 𝑗𝜔

𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝑇 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 𝑇 −𝑗𝜔𝑇 − −1−1+𝑒 + 𝑗𝜔 𝑗𝜔

𝑇 −𝑗𝜔𝑇 𝐴 (𝑒 − 𝑒 𝑗𝜔𝑇 ) − 2 + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 + 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 //∙ 𝑗𝜔 𝑇

𝐴 𝑗𝜔𝑇 𝐴𝑇 𝑗𝜔𝑇 𝐴 (𝑒 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) − − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) − (−2 + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 + 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) 𝑗𝜔 𝑗𝜔𝑇 𝑇 𝐹 (𝜔 ) =

(𝑒 𝑗𝜔𝑇 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 ) (𝐴 − 𝑇) − 2 + 𝑒 𝑗𝜔𝑇 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 𝑗𝜔 2

2

𝐴 −2𝑒 𝑗𝜔𝑇 + (𝑒 𝑗𝜔𝑇 ) + 1 𝐴 (𝑒 𝑗𝜔𝑇 + 1) ) 𝐹 (𝜔 ) = ( = 𝑇 𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝑇 𝑒 𝑗𝜔𝑇 𝑭(𝝎) = 𝑨𝑻 ∙ 𝑺𝒂𝟐 (

𝝎𝑻 ) 𝟐

Ejemplo 8: Hallar la transformada de Fourier de: ℑ{

1 } 𝑎2 + 𝑡 2

Solución: 𝐹 (𝜔 ) =

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1 𝑎2 + 𝑡 2

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MÉTODOS OPERACIONALES

∞

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 −∞

Propiedad de simétria: 𝐹(𝑡) = 2𝜋𝑓(−𝜔) Pero: 𝐴𝑒 −𝑎|𝑡| =

2𝐴𝑎 𝑎2 + 𝜔 2

𝐹(𝑡) = 2𝜋𝑓(−𝜔) 2𝐴𝑎 = 2𝜋𝐴𝑒 −𝑎|−𝜔| + 𝜔2

𝑎2

𝟏 𝝅 −𝒂|𝝎| = 𝒆 𝒂𝟐 + 𝒕𝟐 𝒂 Ejemplo 9: Demostrar analíticamente que la transformada de Fourier de una señal par es una señal real. Solución: Señal par cumple 𝐹(−𝜔) = 𝐹(𝜔) 𝐹 (𝜔) = |𝐹(𝜔)|𝑒 −𝑗𝑛𝜔 𝐹 (−𝜔) = |𝐹(−𝜔)|𝑒 𝑗𝑛(−𝜔) Aplicando la transformada inversa de Fourier. 𝑓 (𝑡 ) =

1 ∞ ∫ 𝐹 (𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞

0 ∞ 1 𝑗𝜔𝑡 [∫ 𝐹(𝜔) ∙ 𝑒 𝑓 (𝑡 ) = ∙ 𝑑𝜔 + ∫ 𝐹 (𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝜔] 2𝜋 −∞ 0

𝑓(𝑡) =

∞ 1 [∫ |𝐹 (𝜔)| ∙ (𝑒 𝑗𝜔𝑡+𝑛𝜔 + 𝑒 −𝑗𝜔𝑡+𝑛𝜔 ) ∙ 𝑑𝜔] 2𝜋 0

𝑓 (𝑡 ) =

1 ∞ ∫ 2|𝐹(𝜔)| ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑛𝜔) ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 0

Ahora si 𝑓 (𝑡) es par: ∞

𝐹 (𝜔 ) = ∫ 𝑓 (𝑡 ) ∙ 𝑒

∞ −𝑗𝜔𝑡

−∞

Pero:

∙ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)] ∙ 𝑑𝑡 −∞

𝑓 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) → 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟

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MÉTODOS OPERACIONALES

𝑓 (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) → 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ∞

𝐹 (𝜔) = 2 ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡

→

𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑦 𝑝𝑎𝑟

0

∴

La transformada de Fourier (𝑇𝐹 ) de una señal par y real en el dominio del tiempo, es una señal par y real en el dominio de Fourier (𝜔).

3.3.5.- Propiedad de Desplazamiento. – Si:

𝑓 (𝑡 ) ⇔ 𝐹 (𝜔 ) ∞

∞

ℑ{𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡 ∙ 𝑓} = ∫ 𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡 ∙ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒 −(𝜔−𝜔𝑜 )𝑗𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝐹(𝜔 − 𝜔𝑜 ) −∞

−∞

𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡) ⇔ 𝐹 (𝜔 − 𝜔𝑜 )

( 𝟒)

3.4.- Teorema de la energía. – También puede ser denominado teorema de Parseval. La energía asociada a una señal 𝑓 (𝑡) en el dominio del tiempo está dada por la ecuación. ∞

∞ 2(

𝐸 = ∫ 𝑓 𝑡) ∙ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑑𝑡 −∞

−∞

De la ecuación (2): ∞

∞ 1 ∞ 1 ∞ 𝑗𝜔𝑡 ∫ 𝑓 (𝑡) ∫ 𝐹(𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝜔 ∙ 𝑑𝑡 ; 𝝎 → −𝒑 𝐸 = ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ [ ∫ 𝐹 (𝜔) ∙ 𝑒 𝑑𝜔 ] ∙ 𝑑𝑡 = 2𝜋 2𝜋 −∞ −∞ −∞ −∞

𝐸=

∞ 1 ∞ ∫ 𝐹(𝜔) ∙ [∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝑝𝑡 ∙ 𝑑𝑡] ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ −∞

𝐸=

1 ∞ ∫ 𝐹 (𝜔) ∙ 𝐹 (−𝜔) ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞

𝐸=

1 ∞ ∫ 𝐹 (𝜔) ∙ 𝐹 (−𝜔) ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞

Recordando: 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 𝑧 ∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 𝑧 ∙ 𝑧 ∗ = 𝑥 2 + 𝑦 2 = |𝑧 |2 Aplicando en la transformada de Fourier: ∞

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 −∞ ∞

∞

∗(

𝐹 𝜔) = ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 − 𝑗 ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 −∞

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−∞

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MÉTODOS OPERACIONALES

𝐹 ∗ (𝜔) = 𝐹(−𝜔) ∞

∞

𝐹 (−𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 + 𝑗 ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 −∞

∴

𝐸=

−∞

1 ∞ 1 ∞ ∫ 𝐹(𝜔) ∙ 𝐹 ∗ (𝜔) ∙ 𝑑𝜔 = ∫ |𝐹(𝜔)|2 ∙ 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ 2𝜋 −∞

( 𝟓)

"𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑷𝒂𝒓𝒔𝒆𝒗𝒂𝒍"

Ejemplo 10: Calcular la integral por cualquier método: ∞

𝑠𝑒𝑛4 (𝑥 ) ∙ 𝑑𝑥 𝑥4 −∞

𝐼=∫ Solución: ∞

𝑠𝑒𝑛4 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑥4 −∞

𝐼=∫

;

𝑥→𝑍

∞

𝑠𝑒𝑛4 (𝑍) 𝑑𝑍 𝑍4 −∞

(𝛼 )

𝐼=∫ En (𝛼 ) por teorema de Cauchy: ∫

𝑓 (𝑍 ) 2𝜋𝑖 𝑛 𝑑𝑍 = 𝑓 (𝑍𝑜 ) 𝑛+1 (𝑍 − 𝑍𝑜 ) 𝑛!

donde punto singular 𝑍𝑜 = 0 ∞

𝑠𝑒𝑛4 (𝑍) 2𝜋𝑖 ′′′ 𝑑𝑍 = 𝑓 (𝑍𝑜 ) 3+1 3! −∞ 𝑍

𝐼=∫

(1)

𝑓(𝑍) = 𝑠𝑒𝑛4 (𝑍) 𝑓 ′ (𝑍) = 4𝑠𝑒𝑛3 (𝑍) 𝑐𝑜𝑠(𝑍) 𝑓 ′′ (𝑍) = 4(3𝑠𝑒𝑛2 (𝑍) 𝑐𝑜𝑠(𝑍) 𝑐𝑜𝑠(𝑍) − 𝑠𝑒𝑛3 (𝑍)𝑠𝑒𝑛(𝑍)) 𝑓 ′′′ (𝑍) = 4[(6𝑠𝑒𝑛(𝑍) 𝑐𝑜𝑠(𝑍 ) 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑍) − 6𝑠𝑒𝑛2 (𝑍) 𝑐𝑜𝑠(𝑍) 𝑠𝑒𝑛(𝑍) − 4𝑠𝑒𝑛3 (𝑍) 𝑐𝑜𝑠(𝑍))] 𝑓 ′′′ (𝑍𝑜 ) = 4[(6𝑠𝑒𝑛(𝑍𝑜 )𝑐𝑜𝑠 3 (𝑍𝑜 ) − 6𝑠𝑒𝑛3 (𝑍𝑜 ) 𝑐𝑜𝑠(𝑍𝑜 ) − 4𝑠𝑒𝑛 3 (𝑍𝑜 ) 𝑐𝑜𝑠(𝑍𝑜 ))] 𝑓 ′′′ (𝑍𝑜 ) = 4[6(0 − 𝑠𝑒𝑛(𝑍)(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑍)) − 0 + 1] 𝑓 ′′′ (𝑍) =

2 𝑖

Reemplazamos en (1) 𝐼=

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2𝜋𝑖 2 ∙ 3∙2∙1 𝑖

→

𝑰=

𝟐𝝅 𝟑

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MÉTODOS OPERACIONALES

Ejemplo 11: Calcular la integral aplicando el teorema de la energía. ∞

𝑠𝑒𝑛4 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑥4 −∞

𝐼=∫ Solución: ∞

2

𝐼 = ∫ (𝑆𝑎2 (𝑡)) 𝑑𝑡

(𝛼 )

−∞

Función: 𝐴 (1 −

|𝑡 | 𝜔𝑇 ) ⇔ 𝐴𝑇 ∙ 𝑆𝑎2 ( ) 𝑇 2

𝑓(𝑡) ⇔ 𝐹 (𝜔) ⇒ 𝐹(𝑡) ⇔ 2𝜋𝑓(−𝜔) 𝐴𝑇 ∙ 𝑆𝑎2 ( Si:

|𝜔 | 𝑡𝑇 ) ⇔ 2𝜋𝐴 (1 − ) 2 𝑇

𝑇=2 |𝜔 | 2𝑡 2 ∙ 𝑆𝑎2 ( ) ⇔ 2𝜋 (1 − ) 2 𝑇 𝑆𝑎2 (𝑡) = 𝜋 (1 −

|𝜔 | ) 2

Continuando con la ecuación (𝛼) Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE

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ELT-266 ∞

MÉTODOS OPERACIONALES

2

𝐼 = ∫ (𝑆𝑎2 (𝑡)) ∙ 𝑑𝑡 −∞ ∞

𝐸 = ∫ 𝑔2 (𝑡) ∙ 𝑑𝑡

;

𝐸=

−∞

1 ∞ ∫ |𝐺 (𝜔)|2 𝑑𝜔 2𝜋 −∞

∞

(𝑆𝑎2 (

𝐸=∫

1 2 2 ∫ (𝑆𝑎2 (𝑡)) ∙ 𝑑𝑡 2𝜋 −2

2

𝑡)) ∙ 𝑑𝑡 =

−∞

𝐸=

"𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂"

0 2 1 𝜔 2 𝜔 2 [∫ 𝜋 2 (1 + ) ∙ 𝑑𝜔 + ∫ 𝜋 2 (1 − ) ∙ 𝑑𝜔 ] 2𝜋 −2 2 2 0

𝐸=

2 𝜋 0 𝜔 2 𝜔 2 [∫ (1 + ) ∙ 𝑑𝜔 + ∫ (1 − ) ∙ 𝑑𝜔 ] 2 −2 2 2 0

Realizando el C.V. 𝑢 =1+

𝜔 2

↔

𝑑𝑢 =

𝑑𝜔 2

0

0

𝑢3 8 𝐼1 = ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑢 = | = − ∙ 2 3 −2 3 −2 2

Realizando el C.V. 𝑢 =1−

𝜔 2

↔

𝑑𝑢 = −

2

𝐼2 = ∫ −2𝑢2 ∙ 𝑑𝑢 = −2 ∙ 0

𝑑𝜔 2 8 3

Reemplazando en la ecuación (𝛼 ) 𝐸=

1 2𝜋 2 2𝜋 2 [ ] + 2𝜋 3 3

→

𝑬=

𝟐𝝅 𝟑

Ejemplo 12: Calcular la siguiente integral aplicando el teorema de la energía: ∞

𝐼=∫ −∞

(𝑎 2

𝑑𝑡 + 𝑡 2 )2

Solución: 𝑓 (𝑡 ) =

1 (𝑎 2 + 𝑡 2 ) 2

;

𝑓 (𝑡 ) = 𝐹 (𝜔 )

Aplicando el Teorema de la simetría

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𝑎2

MÉTODOS OPERACIONALES

1 𝜋 = ∙ 𝑒 −𝑎|𝜔| 2 +𝑡 𝑎

4 ∞ 1 ∞ 1 1 ∞ 𝜋 2 −2𝑎|𝜔| 2 ∫ |𝐺 (𝜔)| ∙ 𝑑𝜔 = ∫ ( 2 ∫ 𝐸 = ∫ 𝑔 𝑡) ∙ 𝑑𝑡 = ) ∙ 𝑑𝜔 = 𝑒 ∙ 𝑑𝜔 2 2𝜋 −∞ 2𝜋 −∞ 𝑎2 −∞ −∞ 𝑎 + 𝑡 ∞

2(

𝜋 ∞ −2𝑎|𝜔| 𝐸 = 2∫ 𝑒 ∙ 𝑑𝜔 2𝑎 −∞

(𝜶 )

0

∞

0 ∞ 𝜋 𝜋 𝑒 2𝑎𝜔 𝑒 −2𝑎𝜔 2𝑎𝜔 | + | ] 𝐼 = 2 [∫ 𝑒 ∙ 𝑑𝜔 + ∫ 𝑒 −2𝑎𝜔 ∙ 𝑑𝜔] = 2 [ 2𝑎 −∞ 2𝑎 2𝑎 −∞ −2𝑎 0 0

𝜋 (𝑒 0 − 𝑒 −∞ − (𝑒 −∞ − 𝑒 0 )) 4𝑎3 𝜋 𝝅 𝐼 = 3 (1 + 1 ) → 𝑰= 𝟑 4𝑎 𝟐𝒂 𝐼=

Ejemplo 13: Calcular la siguiente integral: ∞

𝑠𝑒𝑛3 (𝑡) 𝐼=∫ 𝑑𝑡 𝑡3 −∞ Solución: ∞

𝐼 = ∫ 𝑆𝑎2 (𝑡) ∙ 𝑆𝑎 (𝑡)𝑑𝑡

(1)

−∞

Pero: 

Pulso Triangular |𝑡 | 𝜔𝑇 ) ⇔ 𝐴𝑇 ∙ 𝑆𝑎2 ( ) 𝑇 2 𝑓 (𝑡) ⇔ 𝐹 (𝜔) ⇒ 𝐹(𝑇) ⇔ 2𝜋𝑓(𝜔) 𝐴 (1 +



Pulso Rectangular 𝐴𝑃𝑇 (𝑡) ⇔ 𝐴𝑇 ∙ 𝑆𝑎 (

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𝜔𝑇 ) 2

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𝑃𝑇 (𝑡) = 𝑇 ∙ 𝑆𝑎 ( ∞

∫ 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = −∞

𝐼=

MÉTODOS OPERACIONALES

𝜔𝑇 ) 2

1 ∞ ∫ |𝐹 (𝜔)|2 𝑑𝜔 2𝜋 −∞

1 ∞ ∫ 𝐹 {𝑆𝑎2 (𝑡)}𝐹{𝑆𝑎 (𝑡)}𝑑𝜔 2𝜋 −∞

(1)

Considerando 𝑇 = 2 máximo periodo 

Pulso Triangular:



Pulso Rectangular:



Teorema de simetría

𝑃2 (𝑡) ⇔ 2 ∙ 𝑆𝑎2 (𝜔)

𝑃2 (𝑡) ⇔ 2 ∙ 𝑆𝑎 (𝜔)

2𝜋𝑓(−𝜔) ⇔ 𝐹(𝑡𝑜 ) Simetría par 𝑓(−𝜔) ⇔ 𝑓 (𝜔) 2𝜋𝑓 (𝜔) ⇔ 𝐹 (𝑡) 

Pulso Triangular 𝑃2 (𝑡) ⇔ 2 ∙ 𝑆𝑎2 (𝜔)

2𝜋𝑃2 (𝜔) ⇔ 2 ∙ 𝑆𝑎2 (𝑡) 𝑆𝑎2 (𝑡) ⇔ 𝜋𝑃2 (𝜔) 

Pulso Rectangular 𝑆𝑎(𝑡) ⇔ 𝜋𝑃2 (𝜔) ∞

𝐴 1 ∫ 𝜋𝑃 (𝜔)𝜋𝑃2⧠ (𝜔) ∙ 𝑑𝜔 𝐼 = ∫ 𝑆𝑎 𝑡)𝑑𝑡 = 2𝜋 −1 2∆ −∞ 3(



Pulso Triangular

−1 → 0 ; 𝑃2∆ (𝜔) = −𝑚𝜔𝑡 Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE

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MÉTODOS OPERACIONALES

0 → 1 ; 𝑃2∆ (𝜔) = 𝑚𝜔𝑡 𝑃2∆ (𝜔) = [1 + 

|𝜔 | ] 2

Pulso Rectangular:

𝑃2⧠ = 1 |𝜔 | 𝜋 1 𝜋 1 𝜋 1 𝜋 1 ] (1) ∙ 𝑑𝜔 = ∫ (2 − |𝜔|) ∙ 𝑑𝜔 = ∫ 2𝑑𝜔 − ∫ |𝜔| ∙ 𝑑𝜔 𝐼 = ∫ [1 − 2 −1 2 4 −1 4 −1 4 −1 0

1

𝜋 1 𝜋 0 𝜋 1 𝜋 𝜔2 𝜔2 𝐼 = ∫ 2 ∙ 𝑑𝜔 − [ ∫ −𝜔 ∙ 𝑑𝜔 + ∫ 𝜔 ∙ 𝑑𝜔] = [2𝜔|1−1 + | − | ] 4 −1 4 −1 4 0 4 2 −1 2 0 𝐼=

𝜋 1 1 𝜋 [4 − − ] = ∙ 3 4 2 2 4

→

𝑰=

𝟑𝝅 𝟒

3.5.- Transformada de Fourier en términos de magnitud y fase. – Aplicando la identidad de Euler en la Transformada directa de Fourier: ∞

∞

𝐹 (𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ (cos(𝜔𝑡) − 𝑗 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)) ∙ 𝑑𝑡 −∞ ∞

−∞ ∞

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ cos(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 − 𝑗 ∙ ∫ 𝑓 (𝑡) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 = ℝ𝑒(𝜔) + 𝑗 ∙ 𝕀𝑚(𝜔) −∞

−∞

Ahora que la Transformada de Fourier se encuentra en su forma cartesiana, calculemos su módulo y su argumento: |𝐹(𝜔)|2 = ℝ𝑒 2 (𝜔) + 𝑗 ∙ 𝕀𝑚2 (𝜔) 𝑡𝑔(∅(𝜔)) =

𝕀𝑚(𝜔) ℝ𝑒(𝜔)

Los diagramas de estas dos ecuaciones se denominan ESPECTROS DE MAGNITUD Y FASE respectivamente. Observando ambas ecuaciones, el espectro de magnitud es una función par y el espectro de fase es una función impar. Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE

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MÉTODOS OPERACIONALES

3.6.- Transformada de Fourier de una función par e impar. – Es importante recordar que toda función real puede descomponerse como la suma de su componente par e impar. 𝑓(𝑡) = 𝑓𝑃 (𝑡) + 𝑓𝐼 (𝑡) Aplicando este concepto y la identidad de Euler en la definición de la Transformada directa de Fourier, obtendremos que: ∞

∞

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒

𝑗𝜔𝑡

−∞

∙ 𝑑𝑡 = ∫ [𝑓𝑃 (𝑡) + 𝑓𝐼 (𝑡)] ∙ (𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) − 𝑗 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)) ∙ 𝑑𝑡 −∞

Multiplicando ambos binomios y reconociendo que la integral del producto de dos funciones, uno par y otra impar, podemos ver que dos integrales son nulas. Finalmente obtenemos que: ∞

∞

𝐹 (𝜔) = ∫ 𝑓𝑃 (𝑡) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 − 𝑗 ∙ ∫ 𝑓𝐼 (𝑡) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 −∞

−∞

Si analizamos esta última ecuación, podemos concluir que: Si una función es par su Transformada de Fourier en una función real. Si una función es impar su Transformada de Fourier en una función imaginaria. 3.7.- Transformada de Fourier de función del sistema. – Una de las aplicaciones más importantes de la convolución de funciones es que nos permite determinar la respuesta 𝑦(𝑡) de un sistema, conocidas la entrada del sistema 𝑥(𝑡) y la función del sistema ℎ(𝑡) mediante la ecuación: 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) Aplicando la definición de la convolución e intercambiando el orden de integración: 𝑌(𝜔) = 𝐻 (𝜔) ∗ 𝑋(𝜔) Donde 𝐻 (𝜔) se denomina Función de Transferencia del Sistema Con la función de transferencia, se puede analizar la estabilidad de un sistema. 3.8.- Transformada de Fourier de una señal periódica. – Inicialmente determinamos la transformada de Fourier de una constante 𝑡. Teorema de simetría: 𝑓 (𝑡 ) ⇔ 𝐹 (𝜔 ) 𝐹(𝑡) ⇔ 2𝜋 ∙ 𝑓(−𝜔) 𝑎 ∙ 𝛿 (𝑡 ) ⇔ 𝑎 𝑎 ⇔ 2𝜋 ∙ 𝛿(−𝜔) ∙ 𝑎

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MÉTODOS OPERACIONALES

𝑎 ⇔ 2𝜋 ∙ 𝛿(𝜔) ∙ 𝑎 Se ha demostrado que cualquier señal periódica puede expresarse en serie compleja de Fourier. 𝑛=∞

𝑓 (𝑡) = ∑ 𝑐𝑛 𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡 //∙ ℑ{} 𝑛=−∞ ∞

∞

∞

𝐹 (𝜔) = ∑ 𝑐𝑛 ℑ{𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡 ∙ 1} = ∑ 𝑐𝑛 ∙ 2𝜋𝛿(𝜔)|𝜔=𝜔−𝜔𝑜 = ∑ 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔𝑜 ) 𝑛=−∞

𝑛=−∞

𝑛=−∞

Donde: 𝑇

∞

2

−∞

∞ 1 2 𝑐𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑗𝑛𝜔𝑜 𝑡 𝑑𝑡 𝛿 (𝜔 − 𝜔𝑜 ) = 𝜔𝑜 ∑ ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡𝛿(𝜔 − 𝜔𝑜 ) 𝑇 −𝑇 −∞ ∞

𝑭(𝝎) = 𝝎𝒐 ∑ 𝑭𝑻 (𝒏𝝎𝒐 ) ∙ 𝜹(𝝎 − 𝝎𝒐 )

"𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒆ñ𝒂𝒍 𝑷𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒊𝒄𝒂"

−∞

Ejemplo 14: El circuito mostrado se usa en las medidas de señales con osciloscopio, bosqueje las gráficas de magnitud y fase de la función de transferencia. Si: 𝑅1 ∙ 𝐶1 = 𝑅2 ∙ 𝐶2

Solución: Analizando en función de impedancias:

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𝑍1 =

1 𝑅1 𝑗𝜔𝐶

1

1 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐶

=

MÉTODOS OPERACIONALES

𝑅1 𝑗𝑅1 𝜔𝐶1 + 1

1

𝑍2 =

𝑅2 𝑗𝑅2 𝜔𝐶2 + 1

Por divisor de tensión: 𝑉𝑜 (𝜔) = Reemplazando si:

𝑍2 𝑉 (𝜔 ) 𝑍1 + 𝑍2 𝑖

𝑅1 𝐶1 = 𝑅2 𝐶2

𝑉𝑜 (𝜔) 𝐻 (𝜔 ) = = 𝑉𝑖 (𝜔)

𝑅2 𝑗𝑅2 𝜔𝐶2 + 1

𝑅2 𝑅2 𝑗𝑅𝜔𝐶 + 1 = = + 𝑗0 𝑅1 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 𝑅 + 𝑅 1 2 𝑗𝑅1 𝜔𝐶1 + 1 + 𝑗𝑅2 𝜔𝐶2 + 1 𝑗𝑅𝜔𝐶 + 1 𝑯(𝝎) =

𝑹𝟐 + 𝒋𝟎 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐

Ejemplo 15: Se aplica la señal de entrada 𝑥 (𝑡) = 𝑎(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡) ; 𝑎(𝑡) ≥ 0 A un sistema cuyo modelo matemático es: 𝑦(𝑡) = |𝑥(𝑡)| Determinar el espectro de salida. Solución: 𝑦(𝑡) = |𝑥(𝑡)| 𝑦(𝑡) = |𝑎(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡)| //∙ ℑ{} 𝑌 (𝜔 ) =

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1 ℑ{𝑎(𝑡)}ℑ{|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡)|} 2𝜋

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𝑌 (𝜔 ) =

1 [𝐴(𝜔) ∙ ℑ{|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡)|}] 2𝜋

MÉTODOS OPERACIONALES

(𝜶 )

Transformada de Fourier de una señal periódica. ∞

ℑ{𝑓 (𝑡)} = 𝜔𝑜 ∑ 𝐹𝑇 (𝑛𝜔𝑜 )𝛿(𝜔 − 𝜔𝑜 ) −∞

𝜔𝑜 =

2𝜋 2𝜋 ; 𝜔1 = ; 𝑇𝑜 = 2𝑇1 𝑇𝑜 𝑇1

𝜔𝑜 =

2𝜋 𝜋 = 𝜔 → 𝜔1 = 2𝜔𝑜 2𝑇1 2𝜋 1

Reemplazando en la transformada de Fourier: ∞

ℑ{|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡)|} = 2𝜔𝑜 ∑ 𝐹𝑇 (2𝑛𝜔𝑜 )𝛿(𝜔 − 2𝑛𝜔𝑜 )

( 𝜷)

−∞ 𝑇𝑜 2

𝐹𝑇 (𝜔) = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 0

Pero: 𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) − 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)) ∫ 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)𝑑𝑡 = 2 𝑎 + 𝑡2 𝑏𝑡

𝑒 −𝑗𝜔𝑡 (−𝑗𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡) − 𝜔𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑜 𝑡)) 𝐹𝑇 (𝜔) = 2 𝜔𝑜 + (−𝑗𝜔)2 𝑇𝑜 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 (−𝑗𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡) − 𝜔𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑜 𝑡))|02 𝐹𝑇 (𝜔) = 2 𝜔𝑜 − 𝜔 2 𝑗𝜔𝑇𝑜

𝑒− 2 𝜔𝑜 𝑇𝑜 𝜔𝑜 𝑇𝑜 𝑒0 (𝜔) (−𝑗𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0) − 𝜔𝑜 𝑐𝑜𝑠(0)) (−𝑗𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ( ) − 𝜔𝑜 𝑐𝑜𝑠 ( )) − 2 𝐹𝑇 = 2 2 𝜔𝑜 − 𝜔 2 2 𝜔𝑜 − 𝜔 2

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MÉTODOS OPERACIONALES

𝜔𝑜 𝑇𝑜 =𝜋 2

𝐹𝑇 (𝜔) =

1

[𝑒− 2

2

𝜔𝑜 − 𝜔

𝑗2𝑛𝜔𝑜 𝑇𝑜 2

𝐹𝑇 (2𝑛𝜔𝑜 ) =

𝜔𝑜 (𝑒 −

𝑗𝜔𝑇𝑜 2

𝜔𝑜 ] −

+ 1)

𝜔𝑜 2 − (2𝑛𝜔𝑜 )2

=

−𝜔𝑜 𝜔𝑜 2 − 𝜔2

𝜔𝑜 (𝑒 −𝑗2𝜋𝑛 + 1) 𝜔𝑜 2 (1 − 4𝑛2 )

𝑒 −𝑗2𝜋𝑛 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑛) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑛) = 1 𝐹𝑇 (2𝑛𝜔𝑜 ) =

2 𝜔𝑜 (1 − 4𝑛2 )

Reemplazando en la ecuación (𝛽 ): ∞

ℑ{|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑜 𝑡)|} = 2𝜔𝑜 ∑ −∞

2 𝛿 (𝜔 − 2𝑛𝜔𝑜 ) 𝜔𝑜 (1 − 4𝑛2 )

∞

1 1 𝑌 (𝜔 ) = 𝐴 (𝜔 ) ∙ 4 ∑ 𝛿(𝜔 − 2𝑛𝜔𝑜 ) (1 − 4𝑛2 ) 2𝜋 −∞

∞

2 ∞ 1 𝑌(𝜔) = ∫ 𝐴(𝜆) ∑ 𝛿 (𝜔 − 𝜆 − 2𝑛𝜔𝑜 )𝑑𝜆 (1 − 4𝑛2 ) 𝜋 −∞ −∞

∞

∞ 2 1 ∫ 𝑌 (𝜔 ) = ∑ 𝐴(𝜆)𝛿(𝜔 − 2𝑛𝜔𝑜 − 𝜆)𝑑𝜆 (1 − 4𝑛2 ) −∞ 𝜋 −∞

∞

∫ 𝐴(𝜆)𝛿(𝜔 − 2𝑛𝜔𝑜 − 𝜆)𝑑𝜆 → 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 −∞ ∞

𝐴(𝜔 − 2𝑛𝜔𝑜 ) = ∫ 𝐴(𝜆)𝛿(𝜔 − 2𝑛𝜔𝑜 − 𝜆)𝑑𝜆 −∞ ∞

𝟐 𝟏 𝒀 ( 𝝎) = − ∑ 𝑨(𝝎 − 𝟐𝒏𝝎𝒐 ) (𝟒𝒏𝟐 − 𝟏) 𝝅 −∞

Nota: 𝑓 (𝑡 ) ∙ 1 = 𝑓 (𝑡 ) ∙ 𝛿 (𝑡 ) ∞

𝑓 (𝑡) = 𝑓 (𝑡) ∗ 𝛿 (𝑡) = ∫ 𝑓(𝜆)𝛿 (𝑡 − 𝜆)𝑑𝜆 −∞

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MÉTODOS OPERACIONALES

3.9.- Transformada de Fourier de una derivada. – Se tiene la relación siguiente: 𝑓 (𝑡 ) ↔ 𝐹 (𝜔 ) Si derivamos la primera derivada quedara de la siguiente manera: 𝑑𝑓(𝑡) ↔ 𝑗𝜔 ∙ 𝐹(𝜔) 𝑑𝑡 Esta propiedad se puede denostar derivando los dos miembros de la ecuación anterior, con respecto al tiempo. Para así poder hallar la transformada de Fourier de una derivada. 𝑓 (𝑡 ) ↔ 𝐹 (𝜔 )

→

𝑑 𝑛 𝑓(𝑡) ↔ (𝑗𝜔) 𝑛 ∙ 𝐹(𝜔) 𝑑𝑡 𝑛

3.10.- Aplicación de la transformada de Fourier. – La transformada de Fourier tiene varias aplicaciones como: - En circuitos eléctricos: Estudiar la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada es sinusoidal, mediante el uso de la transformada de Fourier - En sistemas de control: la transformada de Fourier se aplica en sistemas de control, el cual es importante para el estudio de respuestas en el tiempo de una variable. - En la ingeniería: La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia. - Modulación de amplitud: El objetivo de los sistemas de comunicación es transmitir información de un punto a otro. Antes de enviar la información por el canal de transmisión, hay que transformar las señales en formas más útiles mediante un proceso que se conoce como modulación. Existen muchas razones para realizar este tipo de conversión. Entre cuales podemos destacar lo siguiente:    

Transmitir información más eficiente. Evitar las limitaciones de hardware. Reducir el ruido y las interferencias. Utilizar eficientemente el espectro electromagnético.

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MÉTODOS OPERACIONALES

3.11.- Problemas propuestos. – Resolver los siguientes problemas propuestos: 3.11.1.- Determinar ℎ(𝑡) en el circuito mostrado.

3.11.2.- Determinar 𝑓 (𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) de las funciones mostradas a continuación: 𝑓 (𝑡 ) =

1 𝜎1 ∙ √2𝜋

𝑡2 − 2𝜎 𝑒 12

; 𝑔 (𝑡 ) =

1 𝜎2 ∙ √2𝜋

𝑒

−

𝑡2 2𝜎2 2

3.11.3.- Mostrando todo el procedimiento calcular la Transformada de Fourier de un pulso rectangular de amplitud A, duración T y centrado en el origen. 3.11.4.- Mostrando todo el procedimiento calcular la Transformada de Fourier de un pulso triangular de amplitud A, duración 2T y centrado en el origen. 3.11.5.- Una de las aplicaciones más importantes de la convolución de funciones es que nos permite determinar la respuesta 𝑦(𝑡) de un sistema, conocidas la entrada del sistema 𝑥(𝑡) y la función del sistema ℎ(𝑡) mediante la ecuación: 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) Deducir una ecuación para el espectro de salida 𝑌(𝑤) 3.11.6.- De forma completa calcular la siguiente integral: ∞

𝑠𝑒𝑛(𝑡) ∙ 𝑑𝑡 𝑡 −∞

𝐼=∫

3.11.7.- Aplicando la Transformada de Fourier calcular la siguiente integral: ∞

𝐼=∫ −∞

𝑎2

𝑑𝑡 + 𝑡2

3.11.8.- De forma completa calcular la siguiente integral: ∞

𝐼=∫ 0

𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) ∙ 𝑑𝑡 𝑎2 + 𝑡 2

3.11.9.- Calcular la Transformada de Fourier de un pulso exponencial bilateral cuya amplitud máxima es A y cuya constante de tiempo es 1/a. Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE

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MÉTODOS OPERACIONALES

3.11.10.- Calcular la Transformada de Fourier de las señales de potencia. 3.11.11.- Explicar las propiedades más importantes de la convolución de dos funciones y aplicarla al algebra de bloques. 3.11.12.- Explicar de forma clara la Transformada de Hilbert y aplicarla a un sistema LTI cuya función del sistema es: ℎ (𝑡 ) =

1 𝜋∙𝑡

3.11.13.- Explicar de forma clara, concreta y mediante ecuaciones una aplicación de la Transformada de Fourier a la Transferencia de Calor. 3.11.14.- Aplicar el concepto de Función de Transferencia y aplicarlo en un problema de ingeniería eléctrica. 3.11.15.- Hallar la transformada inversa de la función, cuyos espectros de magnitud y fase son:

3.11.16.- Considerando las dos señales que se muestran en la figura. Utilizando las propiedades de linealidad, desplazamiento e integración, junto a la expresión de la transformada de una señal rectangular, calcular 𝑋(𝜔) 𝑒 𝑌(𝜔):

3.11.17.- Calcular la energía de las siguientes señales, utilizando el teorema de Parseval. a) b)

𝑥(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 ∙ 𝜇(𝑡) 𝑥(𝑡) = 𝜇 (𝑡) − 𝜇(𝑡 − 5)

3.11.18.- Encuentre la transformada de Fourier. Ing. LUCIO MAMANI CHOQUE

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𝑓 (𝑡 ) =

MÉTODOS OPERACIONALES

5 ∙ 𝑒 3𝑎𝑡 𝑡 2 + 4𝑡 − 13

3.11.19.- Hallar la función de transferencia del siguiente circuito.

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